重庆市潼南区2024—2025学年九年级上学期期末考试数学试题

2024—2025学年度第一学期期末检测 九年级数学试题 （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 参考公式：抛物线的顶点坐标为，对称轴为． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1．下列方程中，是一元二次方程的是 A． B． C． D． 2．抛物线的顶点坐标为 A． B． C． D． 3．翻开人教版九年级上册数学课本，恰好是56页，这个事件是 A．不可能事件 B．必然事件 C．随机事件 D．无法确定 4．围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史．以下是在棋谱中截取的四个部分，由黑白棋子摆成的图案是中心对称图形的是 A． B． C． D． 5．如图，经过圆心且交⊙O于两点，与⊙O 相切于点，连接，．若， 则的度数为5题图 A． B． C． D． 6．某菜鸟驿站星期一收件120件，星期三收件150件，设该菜鸟驿站收件数量平均每天增长率为，则可列方程为 A． B． C． D． 7．不透明的袋子中有2个红球、10个黄球，这些小球除颜色外无其他差别，随机摸取1个小球后放回，连续摸取5次，每次摸取到的都是黄球，下列说法正确的是 A．第6次摸取到的一定是黄球 B．第6次摸取到的可能还是黄球 C．第6次摸取到的一定是红球 D．第6次摸取到红球的可能性更大 8．如图，正六边形的边长为，以顶点为圆心，长为 半径画圆，则图中阴影部分的面积是8题图 A． B． C． D． 9． 如图，中，，在同一平面内， 将绕点逆时针旋转一定角度到 的位置，使得，则等于9题图 A． B． C． D． 10．对于若干个数，我们先将任意两个数作差（相同的两个数只作一次差），再将这些差的绝对值进行求和，这样的运算称为对这若干个数作“差绝对值运算”．例如：对于 ，，作“差绝对值运算”，得到．下列说法： ①对－3，－1，2，5，6作“差绝对值运算”的结果是50； ②对 ，，1，3作“差绝对值运算”的结果的最小值为； ③对，，作“差绝对值运算”的结果为28，则的值为或． 其中正确的个数是 A． B． C． D． 二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上. 11．点A（1，－7）关于原点的对称点为点B，则点B的坐标为 ． 12．已知关于x的方程的一个根是2，那么 ． 13．《墨经》是中国古籍中最早讨论滑轮力学的著作，如图所示是书中记载的一个滑轮机械，称为“绳制”，若图中的定滑轮半径为，滑轮逆时针方向旋转，则重物“甲”上升了 （绳索粗细不计，且与滑轮之间无滑动，结果保留）． 14．抛物线向左平移1个单位长度，向下平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式是 ． 15．如图，是⊙O的直径，于点，连接．若，，则的长为 ． 13题图 15题图 17题图 18题图 16．读了《田忌赛马》故事后，小杨用数学模型来分析齐王与田忌的这场比赛．他分别用下表中的数字来代表马的实力，数字越大，马的实力越强，每匹马只赛一场，三场两胜则赢．已知齐王的三匹马出场顺序依次为上等马、中等马、下等马，则齐王赢得比赛的概率为 ． 马匹等级 人物 下等马 中等马 上等马 齐王 2 4 6 田忌 1 3 5 17．如图，抛物线与轴的其中一个交点坐标为，对称轴为直线，结合图像给出下列结论：①；②；③当时，随的增大而减小；④对于任意实数m，总有．其中正确的个数是 ． 18．如图，在矩形中，，．将矩形绕点顺时针旋转，得到矩形，边与相交于点，边与的延长线相交于点．在矩形旋转过程中，当落在线段上时， ；当是线段的三等分点时， ． 三、解答题:（本大题8个小题，第19题8分，第20题—第26题每小题10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上. 19．解下列方程． （1）； （2）． 20．为落实国家“双减”政策，某中学在课后延时服务时间里开展了“剪纸社团、足球社团、文学社团、合唱社团”活动．该校从全校540名学生中随机抽取了部分学生进行“你最喜欢哪一种社团活动（每人必选且只选一种）”的问卷调查，根据调查结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图． 20题图 根据图中信息，解答下列问题： （1）条形统计图中m的值为______，扇形统计图中的度数为_______； （2）根据调查结果，可估计该校540名学生中最喜欢“合唱社团”的约有______人； （3）现从“文学社团”里表现优秀的甲、乙、丙三名同学中随机选取两名去参加演讲比赛和诗词大会，每人限参加一项，请用列表或画树状图的方法求出恰好由甲参加演讲比赛、乙参加诗词大会的概率． 21．我们规定：对于任意实数，，，，有，其中等式右边是常用的乘法和减法运算，如：． （1）求的值； （2）若关于的方程有两个相同的实数根，求的值． 22．如图，是⊙O的一个内接三角形，点是劣弧上一点（点不与，重合），设，． （1）当时，求的度数； （2）猜想与之间的关系，并给予证明． 22题图 23．如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图像与x轴交于，两点，与y轴交于点C． （1）求抛物线的表达式； （2）在对称轴上找一点P，使的周长最小，求点P的坐标． 23题图 24．在正方形网格中，的三个顶点都在格点上． 24题图1 24题图2 （1）在图1中作出绕点B逆时针旋转得到的； （2）在图2中作出与关于点对称的． 25．当下年轻人喜欢喝奶茶，在草莓成熟的时节，某品牌奶茶店推出了多款草莓系列的新品，其中“莓莓奶麻薯”大杯款（无小杯和中杯款）最受大众欢迎。已知这种饮品的成本价为10元每杯，试销售期间售价定为14元每杯，日销售量为40杯．经市场调查发现，若该饮品的销售单价每增加1元，则日销售量减少5杯．试销售期结束后，设这种饮品的销售单价为x元，每天的销售利润为y元． （1）求y关于x的函数解析式； （2）若奶茶店老板希望每天销售“莓莓奶麻薯”大杯款所得利润为175元，则销售单价应定为多少元？ （3）若规定这种饮品的销售单价不得高于20元每杯，当销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？ 26．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，B两点，交y轴于点，对称轴是直线，顶点为． 26题备用图 26题图 （1）求抛物线的表达式； （2）设抛物线的对称轴DE交线段BC于点E，P为第一象限内抛物线上一点，过点P作x轴的垂线，交线段BC于点F，若四边形DEFP为平行四边形，求点P的坐标； （3）设点M是线段BC上的一动点，过点M作MN∥AB，交AC于点N．点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿线段BA向点A运动，运动时间为t（秒）．当以MN为直角边的△QMN是等腰直角三角形时，直接写出此时t的取值． 答案第1页，共2页 九年级数学（期末）试卷 第1页 共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024—2025学年度第一学期期末检测 九年级数学参考答案 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D C C B A B B D A C 10．【详解】解：①对-3，，2，，6进行“差绝对值运算”得： ，故此说法错误； ②对 ，，，进行“差绝对值运算”得： ， ∵表示的是数轴上的点到，和的距离之和， ∴当时，取的最小值，最小值为， ∴对，，，作“差绝对值运算”的结果的最小值为，故此说法正确； ③当时，则， 化简得：，解得：或（舍去）； 当时，则， 化简得：，解得：（舍去）或； 当时，则， 化简得：，解得：（舍去）； 当时，则， 化简得：， ∵ ∴无解； 当时，则， 化简得：，解得：（舍去）， 当时，则， 化简得：，解得：（舍去）， 综上，的值为或，故③错误； 综上所述，以上说法中正确的个数为1个． 故选：C． 2、 填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分） 11．（-1，7）； 12． -9； 13．； 14．； 15．； 16．； 17．2； 18 ．； ． 18 ．【详解】(1)∵四边形是矩形， ∴ 当落在线段上时，此时点与点E重合， 由旋转的性质可知． 在中，； (2)①当时， 设，则， 过点F作交于点G，连接CF， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴． 解得，（不符合题意，舍去）， ∴； ②当时， 设， 同理可求． 在中，， ∴， ∴． 解得，（不符合题意，舍去）， ∴， 综上所述，当是线段的三等分点时，． 三、解答题:（本大题8个小题，第19题8分，第20题—第26题每小题10分，共78分）19．(1) ； (2)． 20．(1)15，60°；(2)99；(3) 【详解】（1）解：（人）， ∴参加问卷调查的学生共有60人， 由题意得：，； （2）解：（人）， ∴估计该校540名学生中最喜欢“音乐社团”的约有99人； （3）解：设甲、乙、丙三名同学分别用A，B，C表示，根据题意可画树状图或列表如下：C A B B A C A B C 诗词大会 演讲比赛 A B C A AB AC B BA BC C CA CB 由上图或上表可知，共有6种等可能的结果，符合条件的结果有1种，故恰好选中甲、乙两名同学的概率为． 21．(1)-3； (2 )． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵， ∴， 整理得， ∵关于x的方程有两个相同实数根， ∴， 解得． 22．【详解】解：（1）在优弧AB上取一点D，连结DA、DB，如图， ∵， ∴， ∴， ∴， 即的度数为； （2）．理由如下： ∵， ∴， ∴． 23．(1)； (2)． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于点，点， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为； （2）解：如图，连接交对称轴于点Q， ∵抛物线的对称轴为直线，且点A，B关于对称轴对称， ∴， ∴， ∴当C，B，Q三点共线时，的周长最小， ∵，， 设直线的解析式为， ∴ ， ∴ ∴直线的解析式为， 在中，当时，， ∴． 24．【详解】（1）解：如图1所示，即为所求． A A1 B C1 C （2）如图2所示，即为所求． A C2 B O B2 C A2 25．(1)日销量利润与之间的函数关系式为； (2)要使得每天销售“莓莓奶麻薯”大杯款所得利润为175元，销售单价应定为15元或17元； (3)当销售单价定为每杯16元时，每天的销售利润最大，最大利润是180元． 【详解】（1）解：由题意得：， 答：日销量利润与之间的函数关系式为． （2） 由得： ； 解得：； ∴要使得每天销售“莓莓奶麻薯”大杯款所得利润为175元，销售单价应定为15元或17元． （3）由题意得：， 可化为 ∵且这种饮品的销售价不得高于20元每杯， ∴当时，有最大值180元， ∴当销售价定为16元每杯时，每天可获最大销售利润180元． 26． 【详解】解：（1） ∵抛物线过,,且对称轴为， ∴， ∴ ∴抛物线解析式为， ∵D是抛物线的顶点， ∴D的坐标为； （2）由题可得：点B的坐标为（5,0）， 设直线BC的方程为， ∴， ∴， ∴直线BC的方程为： ∴E点坐标为， ∴， 设P点坐标为则F点的坐标为， ∴， ∵四边形DEFP是平行四边形， ∴DE=PF， ∴， 解得或（舍去）， ∴P点坐标为； (2) 情况一：如图所示： 当∠NMQ=90°时， 设M点的坐标为 ∵MN∥x轴， ∴MQ⊥y轴，N点的纵坐标为 ∴Q点的坐标为， 设直线AC的解析式为， ∴， ∴， ∴直线AC的解析式为， ∴N点坐标为， ∴，， 又∵△MNQ是以MN为直角边的等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴Q点坐标为， ∴； ∴ 情况二：如图所示： 当∠MNQ=90°时，设N点坐标为， 可得Q点坐标为，M坐标为， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴Q点坐标为， ∴； ∴ 综上所述，当以MN为直角边的△QMN是等腰直角三角形时，t的值为或2． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$