专题04 二次根式80道计算题专项训练（8大题型）-2024-2025学年八年级数学下册重难点专题提升精讲精练（人教版）

第04讲 二次根式80道计算题专项训练（8大题型） 【经典计算题一 二次根式的加减计算】 1．（2024八年级下·浙江·专题练习）计算：． 2．（2024九年级下·浙江·专题练习）计算：． 3．（23-24九年级上·吉林长春·期中）计算：． 4．（23-24九年级上·吉林长春·期中）计算：． 5．（23-24九年级上·吉林长春·期末）计算：． 6．（23-24八年级下·浙江丽水·期末）计算： (1)； (2)． 7．（23-24八年级上·上海金山·期中）计算：． 8．（23-24九年级上·福建泉州·期中）计算：． 9．（23-24八年级下·广西梧州·期末）计算： 10．（23-24七年级下·辽宁葫芦岛·期末）计算：． 【经典计算题二 二次根式的乘除计算】 11．（23-24八年级下·浙江台州·期中）计算： (1)． (2)． 12．（23-24八年级下·浙江湖州·期中）计算： (1)； (2)． 13．（23-24七年级下·福建福州·期中）计算： 14．（23-24八年级下·浙江·期中）计算： (1)； (2)． 15．（23-24九年级上·四川乐山·期中）计算：． 16．（2023八年级下·全国·专题练习）计算： (1)； (2)． 17．（23-24八年级上·上海闵行·期中）计算： 18．（23-24八年级上·陕西西安·期中）计算： (1) (2) 19．（23-24九年级上·河南新乡·阶段练习）计算 (1) (2) 20．（23-24七年级下·上海静安·期中）计算：． 【经典计算题三 二次根式的化简求值】 21．（24-25八年级上·辽宁铁岭·期中）已知实数，，在数轴上对应的点如图所示，化简 22．（2024八年级上·全国·专题练习）在下列条件下化简． (1)； (2)； (3)． 23．（24-25八年级上·上海宝山·期中）已知、是实数，且，求的值． 24．（24-25八年级上·全国·期中）实数在数轴上的对应点如图所示，化简． 25．（24-25八年级上·四川达州·阶段练习）已知实数，，在数轴上的位置如图所示，化简： 26．（24-25九年级上·海南海口·阶段练习）已知，化简：． 27．（24-25八年级上·山西·阶段练习）求代数式的值，其中．以下是小芳的解答过程．原式请你模仿小芳的解答过程，求解代数式的值，其中． 28．（24-25八年级上·陕西咸阳·阶段练习）是二次根式的一条重要性质．请利用该性质解答以下问题： (1)化简： ， (2)已知实数在数轴上的对应点如图所示． ① ， ②化简： 29．（24-25八年级上·上海·阶段练习）求代数式的值，其中，如图是小亮和小芳的解答过程：    (1)__________的解法是错误的； (2)求代数式的值，其中． 30．（23-24九年级上·浙江温州·自主招生）（1）已知方程①， ② 请判断这两个方程是否有解?并说明理由； （2）已知，求的值． 【经典计算题四 二次根式的混合运算】 31．（24-25八年级上·湖南长沙·期末）计算：． 32．（24-25八年级上·广东深圳·期末）计算： (1)； (2)； (3)． 33．（24-25八年级上·陕西西安·期中）计算：． 34．（24-25八年级上·陕西西安·期中）计算： (1) (2) 35．（24-25八年级上·北京通州·期末）计算：． 36．（24-25八年级上·北京通州·期末）计算：． 37．（24-25八年级上·河南焦作·期中）计算． (1)； (2) 38．（24-25八年级上·全国·期末）计算： (1) (2) 39．（24-25八年级上·内蒙古包头·阶段练习）计算下列各式： (1) (2)． 40．（24-25八年级上·广东梅州·期中）计算： (1) (2) 【经典计算题五 复合二次根式的化简】 41．（24-25八年级上·江苏南通·阶段练习）因为，所以 因为，所以 因为，所以 请你根据以上规律，结合你的经验化简： （1）= ； （2）= ； （3）= ； （4）= ． 42．（24-25八年级上·四川雅安·期中）有这样一类题目：将化简，如果你能找到两个数m、n，使m2＋n2＝a 且mn＝，则a±2将变成m2＋n2±2mn，即变成(m±n)2，从而使得以化简．例如，因为5＋2＝3＋2＋2＝()2＋()2＋2×＝(＋)2，所以＝． 请仿照上面的例子化简下列根式： (1)       (2) 43．（24-25八年级上·四川·期中）先阅读下列的解答过程，然后作答： 形如的化简，只要我们找到两个数、使、，这样，那么便有 例如：化简． 解：首先把化为， 这里，．由于，， 即，， ． 由上述；例题的方法化简： （1）； （2）． 44．（24-25八年级上·辽宁沈阳·阶段练习）先阅读下列的解答过程，然后再解答： 形如的化简，只要我们找到两个数a、b，使a+b＝m，ab＝n，使得+＝m，＝，那么便有： ＝＝±（a＞b）． 例如：化简． 解：首先把化为，这里m＝7，n＝12，由于4+3＝7，4×3＝12 即+＝7，×＝ ∴＝＝＝2+． 由上述例题的方法化简：． 45．（24-25八年级上·湖南怀化·期末）同学们，我们以前学过完全平方公式，你一定熟练掌握了吧！现在，我们又学习了二次根式，那么所有的非负数（以及0）都可以看作是一个数的平方，如，，下面我们观察：，反之，，∴，∴ 求：（1）； （2）； （3）若，则m、n与a、b的关系是什么？并说明理由． 46．（24-25八年级下·安徽安庆·期末）阅读理解题，下面我们观察： 反之， 所以，所以 完成下列各题： （1）在实数范围内因式分解：； （2）化简：； （3）化简：． 47．（24-25八年级下·北京海淀·期中）小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：，善于思考的小明利用完全平方公式进行了以下探索： ．请你仿照小明的方法解决下列问题： （1），则______，_______； （2）已知是的算术平方根，求的值； （3）当时，化简_______． 48．（24-25七年级下·上海·期中）先阅读下列的解答过程，然再解答： 我们可以利用完全平方公式化简形如的代数式，只要我们找到两个正数、，使使得那么便有： 例如：化简 解：首先把化为，这里，由于4+3=7，4×3=12 即 （1）填空______，_______． （2）化简：． 49．（24-25八年级下·福建莆田·期中）若要化简我们可以如下做： 仿照上例化简下列各式： （1） （2） 50．（24-25八年级上·湖北十堰·期末）先阅读下列的解答过程，然后作答： 形如的化简，只要我们找到两个数、使，， 这样，，于是. 例如：化简. 解：这里，，由于，，即，， . 由上述例题的方法化简：（1）；（2） 【经典计算题六 分母有理化】 51．（24-25九年级上·四川宜宾·期中）已知，求的值． 52．（24-25八年级上·四川成都·期中）若，，求代数式的值． 53．（24-25九年级上·四川内江·阶段练习）阅读下列运算过程： ， ，， ， 数学上将这种把分母的根号去掉的过程称作“分母有理化”．通过分母有理化，可把不是最简的二次根式化成最简二次根式．请参考上述方法，解决下列问题： (1)化简： ， ， ； (2)计算：； (3)计算：． 54．（24-25九年级上·四川宜宾·期中）有这样一个问题：已知，求的值． 小明是这样解答的：∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 根据小明的解答过程，解决以下问题： (1)计算：． (2)已知． ①求的值； ②求的值． 55．（24-25八年级上·福建三明·期中）阅读理解：已知，求的值．小明是这样分析与解答的： ∵ ∴，∴ ∴，∴ 问题解决： (1)化简：； (2)若，求的值． 56．（24-25八年级上·四川雅安·期中）阅读材料：像，……这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．在进行二次根式运算时，利用有理化因式可以化去分母中的根号，请你根据上述材料，解决如下问题： (1)化简：_____； (2)的有理化因式是______，______； (3)比较大小：______（填，，，或中的一种）； (4)若，求的值． 57．（24-25八年级上·辽宁丹东·期中）材料阅读题： 把分母中的根号化去，使分母转化为有理数的过程，叫做分母有理化． 例如：化简． 解：． 观察上面解题过程，并解答下列问题： (1)求______，的倒数是______； (2)若a是的小数部分，化简：； (3)利用上面的解法，请化简：． 58．（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）认识概念： 一、两个含有二次根式且非零的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式； 如：；，我们称的一个有理化因式为，的一个有理化因式是； 二、如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化． 如：； 理解应用： （1）填空：的有理化因式是________；将分母有理化得________； （2）化简：； 拓展应用： （3）利用以上解题方法比较与的大小，并说明理由． 59．（24-25八年级上·辽宁锦州·期中）阅读下列材料，然后回答问题，在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： 以上这种化简的步骤叫做分母有理化． (1)请参照上面的方法化简： (2)直接写出化简结果：_______，_______ (3)计算： 60．（24-25八年级上·广东佛山·期中）我们知道，因此在计算时，分子和分母同时乘以，从而将分母中含有的根号通过化简去掉，这就是分母有理化． (1)化简：； (2)若，求的值； (3)若，，比较和的大小． 【经典计算题七 二次根式中的新定义运算】 61．（24-25八年级上·陕西咸阳·阶段练习）对于实数a，b定义一种新运算“”，规定，如． (1)求的值； (2)若，求x的值． 62．（23-24八年级下·云南昆明·期中）已知实数，，定义“★”运算规则如下：，求的值． 63．（23-24七年级下·辽宁·期末）我们知道，任意一个无理数都介于两个连续的整数之间，定义：若无理数t，（其中m、n为两个连续的整数），则称无理数t的“整数区间”为．例如：，则的“整数区间”为；，则的“整数区间”为． (1)无理数的“整数区间”为______，无理数的“整数区间”为______； (2)若实数x、y满足，求的“整数区间”； (3)若一个无理数的“整数区间”为，且满足，其中是关于x，y的二元一次方程的一组正整数解，求a的值． 64．（23-24八年级下·山东威海·期末）定义：若两个二次根式，满足，且为有理数，则称与是关于的共轭二次根式． (1)与是关于______的共轭二次根式； (2)若与是关于2的共轭二次根式，则______； (3)若与是关于12的共轭二次根式，求的值． 65．（23-24八年级下·山东临沂·期中）阅读材料，并解决问题：定义：将分母中的根号化去的过程叫做分母有理化． 如：将分母有理化，解：原式． 运用以上方法解决问题： 已知：． (1)化简； (2)求的值． 66．（23-24八年级上·福建漳州·期中）定义：已知都是实数，若，则称与是关于3的“实验数”． (1)4与是______关于3的“实验数”，与______是关于3的“实验数”． (2)若，判断与是否是关于3的“实验数”，并说明理由． 67．（24-25八年级下·湖北咸宁·期末）定义：任意两个数，，按规则扩充得到一个新数，称所得的新数为“如意数”． (1)若，，求出，的“如意数”． (2)如果，，求，的“如意数”，并证明“如意数”． (3)已知，且，的“如意数”，求的值． 68．（23-24九年级上·吉林长春·期中）定义：我们将与称为一对“对偶式”．因为，可以有效的去掉根号，所以有一些题可以通过构造“对偶式”来解决． 例如：已知，求的值，可以这样解答： 因为，所以． (1)已知：，求： ① ； ②结合已知条件和第①问的结果，解方程：； (2)代数式中的取值范围是 ； (3)计算： ． 69．（23-24七年级上·福建福州·期末）任意一个无理数介于两个整数之间，我们定义，若无理数，（其中为满足不等式的最大整数，为满足不等式的最小整数），则称无理数的“麓外区间”为，如，所以的麓外区间为． (1)无理数的“麓外区间”是 ； (2)若，求的“麓外区间”； (3)实数满足，求的算术平方根的“麓外区间”． 70．（24-25八年级下·北京海淀·期中）定义，任意两个数，，按规则扩充得到一个新数，称所得的新数为“扩充数”． (1)若，直接写出，的“扩充数”； (2)如果，，为，的“扩充数”，求（用含的式子表示）； (3)在（1）的条件下，先化简，再求值：． 【经典计算题八 二次根式中的规律计算】 71．（24-25八年级上·江苏南通·阶段练习）观察下列各式的计算过程，寻找规律： ； ； ；… 利用发现的规律解决下列问题． (1)化简式子______； (2)直接写出式子的值： ； (3)计算：（n为正整数）． 72．（24-25八年级上·山西晋中·期中）阅读理解 材料一：两个含有二次根式的非零代数式相乘，如果它们的积不是二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式． 例1：，我们称的一个有理化因式是，的一个有理化因式是． 材料二：如果一个代数式的分母含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫分母有理化． 例2： 请仿照材料中的方法探索并解决下列问题： (1)的有理化因式是________．的有理化因式是________（均写出一个即可）． (2)若是的小数部分，化简． (3)利用你发现的规律计算下面式子的值 73．（24-25八年级上·江西抚州·期中）阅读下列解题过程，并解答问题． ①； ②． (1)直接写出结果________； (2)利用上面的规律，计算：； (3)比较大小：与． 74．（24-25八年级上·河南郑州·期中）二次根式中有一个有趣的“穿墙”现象： (1)具体运算，发现规律， ①； ②； ③； ④_________； (2)观察、归纳，得出猜想（提醒：注意带分数的表达规范）如果为正整数，用含的式子表示上述的运算规律； (3)证明你的猜想． 75．（23-24八年级下·四川凉山·阶段练习）阅读下列解题过程： ， ， …… 请解答下列问题： (1)观察上面的解题过程，请写出 ； (2)请你用含n（n为正整数）的式子表示上述各式子的规律； (3)利用上面的规律，请化简：． 76．（24-25九年级上·河南南阳·期中）小强根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律．下面是小强的探究过程，请补充完整： (1)具体运算，发现规律， 特例1： 特例2： 特例3：＝ 特例4： ；（填写一个符合上述运算特征的例子） (2)观察、归纳，得出猜想，如果n为正整数，用含n的式子表示上述的运算规律为： ； (3)请证明你的猜想； (4)应用运算规律计算：． 77．（24-25九年级上·河南周口·阶段练习）观察下列各式及其验证过程 ， 验证： ， 验证： (1)按照上述等式及其验证过程的基本思想，猜想的变形结果并进行验证； (2)针对上述各式反映的规律，写出用（为自然数且）表示的等式并给出说明． 78．（23-24八年级上·陕西咸阳·期中）阅读下列解题过程： 请根据上面的解题过程解答下列问题： （1）仿照上面的解题过程化简： ① ② （2）请你用含（为正整数）的关系式表示上面各式子的变形规律：_____________； （3）利用（2）中的结论，试求 的值． 79．（23-24八年级上·江西抚州·阶段练习）化简一个分母含有二次根式的式子时，采用分子、分母同乘以分母的有理化因式的方法就可以了，例如：，， (1)若，求的值； (2)比较与的大小，并说明理由． (3)利用这一规律计算：． 80．（24-25八年级上·四川成都·阶段练习）（1）观察下列各式的特点：，，，… 根据以上规律可知：______． （2）观察下列式子的化简过程： ， ， ，… 根据观察，请写出式子的化简过程． （3）计算下列算式：． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04讲 二次根式80道计算题专项训练（8大题型） 【经典计算题一 二次根式的加减计算】 1．（2024八年级下·浙江·专题练习）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的加减法，先进行二次根式的化简，然后合并同类二次根式． 【详解】解： ． 2．（2024九年级下·浙江·专题练习）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数的运算，解题的关键是掌握实数的运算法则．利用负整数指数幂，零指数幂，二次根式的运算法则，绝对值的性质计算即可． 【详解】解： ． 3．（23-24九年级上·吉林长春·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算．先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可． 【详解】解：原式 4．（23-24九年级上·吉林长春·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的加减计算，先化简二次根式，再根据二次根式的加减计算法则求解即可． 【详解】解：原式 ． 5．（23-24九年级上·吉林长春·期末）计算：． 【答案】0 【分析】本题主要考查二次根式的加减运算，先将二次根式化简，再合并即可． 【详解】解： ． 6．（23-24八年级下·浙江丽水·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查了二次根式的计算，对于（1），根据，，再计算； 对于（2），先化简，再合并同类二次根式． 【详解】（1）原式 ； （2） ． 7．（23-24八年级上·上海金山·期中）计算：． 【答案】0 【分析】本题考查了二次根式的加减，熟记二次根式的运算法则并根据法则计算是解题关键．根据二次根式的乘除，可化简二次根式，根据二次根式的加减，可得答案． 【详解】解：原式 ． 8．（23-24九年级上·福建泉州·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的加减法，二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变；掌握二次根式的加减法法则是解题的关键； 根据二次根式的加减法法则进行解题即可； 【详解】解：原式 ． 9．（23-24八年级下·广西梧州·期末）计算： 【答案】 【分析】先把每一个二次根式化简为最简二次根式，然后根据二次根式的运算法则求出答案． 【详解】解：原式 【点睛】本题主要考查二次根式的化简以及二次根式的混合运算．熟练地掌握计算技巧是解题的关键． 10．（23-24七年级下·辽宁葫芦岛·期末）计算：． 【答案】 【分析】根据算术平方根的定义，以及绝对值的代数意义化简，合并即可得到结果． 【详解】解：原式 ． 【点睛】本题考查了二次根式的运算，熟练掌握算术平方根的定义，绝对值的代数意义，二次根式的加减法则，是解题的关键． 【经典计算题二 二次根式的乘除计算】 11．（23-24八年级下·浙江台州·期中）计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式运算法则是关键． （1）先算二次根式的除法、化简二次根式，再合并同类二次根式即可； （2）利用二次根式的乘法进行计算，合并同类二次根式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 12．（23-24八年级下·浙江湖州·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的运算，对于（1），根据乘方分配率计算；对于（2），根据完全平方公式计算即可． 【详解】（1）原式 ； （2）原式 ． 13．（23-24七年级下·福建福州·期中）计算： 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的乘除混合运算，熟练掌握和运用二次根式的运算方法是解决本题的关键．根据二次根式的性质化简，二次根式的乘法和除法法则计算即可求解． 【详解】解： ． 14．（23-24八年级下·浙江·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算、完全平方公式、平方差公式． （1）先运算乘除，再运算减法，即可作答． （2）先根据完全平方公式、平方差公式进行展开，再合并同类二次根式，即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解： 15．（23-24九年级上·四川乐山·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的乘除混合运算，根据二次根式的乘除运算法则进行计算即可求解． 【详解】解： 16．（2023八年级下·全国·专题练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)5 (2) 【分析】（1）先算除法，再化为最简二次根式，最后合并即可； （2）先展开，再去括号，最后合并．熟练掌握公式是解题的关键． 【详解】（1） ． （2） ． 17．（23-24八年级上·上海闵行·期中）计算： 【答案】 【分析】本题考查二次根式的乘除法．根据二次根式的乘除法法则进行计算即可． 【详解】解： ． 18．（23-24八年级上·陕西西安·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的运算，对式子进行化简，计算是解答本题的关键． （1）先计算二次根式的除法，二次根式的乘法，然后化成最简形式，合并得到最终结果； （2）先利用平方差公式和完全平方公式，将两个括号展开，再计算出答案． 【详解】（1）解：原式 ； （2）原式 ． 19．（23-24九年级上·河南新乡·阶段练习）计算 (1) (2) 【答案】(1)1 (2) 【分析】本题主要考查了二次根式混合运算， （1）根据二次根式乘除运算法则进行计算即可； （2）根据二次根式混合运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 20．（23-24七年级下·上海静安·期中）计算：． 【答案】 【分析】利用二次根式的乘除运算法则计算即可． 【详解】解： 【点睛】本题考查了二次根式的乘除法，解题的关键是掌握运算顺序和运算法则． 【经典计算题三 二次根式的化简求值】 21．（24-25八年级上·辽宁铁岭·期中）已知实数，，在数轴上对应的点如图所示，化简 【答案】 【分析】本题考查了根据点在数轴的位置判断式子的正负，实数与数轴，二次根式的性质化简，完全平方公式的运用，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先由数轴得，且，则，，，然后化简，再进行加减运算，即可作答． 【详解】解：根据实数，，在数轴上对应点的位置可得：，且， ∴，，， ∴原式． 22．（2024八年级上·全国·专题练习）在下列条件下化简． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了化简二次根式，熟练掌握相关知识是解题的关键； （1）首先根据完全平方公式转化式子，然后根据的取值范围，进一步化简即可； （2）首先根据完全平方公式转化式子，然后根据的取值范围，进一步化简即可； （3）首先根据完全平方公式转化式子，然后根据的取值范围，进一步化简即可； 【详解】（1）解：． 当时，， 原式． （2）当时，， 原式． （3）当时，， 原式． 23．（24-25八年级上·上海宝山·期中）已知、是实数，且，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式和分式有意义的条件，求不等式组的解集，化简二次根式，先根据分式有意义的条件是分母不为0，二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0得到，则，进一步可得，据此代值计算即可． 【详解】解：∵式子有意义， ∴， ∴， ∴， ∴． 24．（24-25八年级上·全国·期中）实数在数轴上的对应点如图所示，化简． 【答案】 【分析】本题主要考查数轴与有理数的对应关系，二次根式的非负性，绝对值化简，根据数轴的特点可得，，由此即可化简计算即可． 【详解】解：根据题意，得，， ∴， ∴ ． 25．（24-25八年级上·四川达州·阶段练习）已知实数，，在数轴上的位置如图所示，化简： 【答案】 【分析】本题考查了实数与数轴，二次根式的性质，解题的关键是掌握相关知识．由数轴可知：，，得到，，，再根据二次根式和绝对值的性质化简即可． 【详解】解：由数轴可知：，， ，，， ， ， ， ， ． 26．（24-25九年级上·海南海口·阶段练习）已知，化简：． 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式的性质及化简绝对值，解题的关键是掌握二次根式的性质． 根据确定，再对原式进行化简即可得出答案． 【详解】解：， ， ． 27．（24-25八年级上·山西·阶段练习）求代数式的值，其中．以下是小芳的解答过程．原式请你模仿小芳的解答过程，求解代数式的值，其中． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值,先根据化简二次根式得到，进一步化简得到，据此代值计算即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴ ． 28．（24-25八年级上·陕西咸阳·阶段练习）是二次根式的一条重要性质．请利用该性质解答以下问题： (1)化简： ， (2)已知实数在数轴上的对应点如图所示． ① ， ②化简： 【答案】(1)2， (2)①，；② 【分析】本题考查二次根式的性质，化简绝对值，数轴上的点表示实数，理解并运用二次根式的性质是解题的关键． （1）根据所给的二次根式的性质即可求解； （2）①根据数轴可得到，，再根据所给的二次根式的性质即可求解； ②根据数轴可得到，，，再根据所给的二次根式的性质即可求解． 【详解】（1）解：，； 故答案为：2，． （2）解：①由数轴可得：，， ∴，， ∴， ． 故答案为：，． ②∵，， ∴，， ∴ ． 29．（24-25八年级上·上海·阶段练习）求代数式的值，其中，如图是小亮和小芳的解答过程：    (1)__________的解法是错误的； (2)求代数式的值，其中． 【答案】(1)小亮 (2)2030 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． （1）根据二次根式的性质化简求值即可得解； （2）根据二次根式的性质化简求值即可得解． 【详解】（1）解：∵当时，， ∴， ∴小亮的计算错误，小芳的计算正确； （2）解： ， 当时，， ∴原式． 30．（23-24九年级上·浙江温州·自主招生）（1）已知方程①， ② 请判断这两个方程是否有解?并说明理由； （2）已知，求的值． 【答案】（1）方程无解，方程有解，理由见解析；（2）2，理由见详解； 【分析】（1）本题考查二次根式的性质，根据二次根式的性质得到x的取值范围，结合根式最值求解即可得到答案； （2）本题考查平方差公式，设，乘以求解即可得到答案； 【详解】（1）解：由题意可得， 由 ，， 解得：得， ∵， ∴的最小值为， ∵， ∴方程①无解； 由，，得， 当时，     的最小值为， ∵， ∴方程②有解； （2）解：的值是2，理由如下， 设， ∵， ∴， 即：， 解得：， ∴的值是2． 【经典计算题四 二次根式的混合运算】 31．（24-25八年级上·湖南长沙·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法和除法法则、零指数幂和负整数指数幂是解决问题的关键． 【详解】解： 32．（24-25八年级上·广东深圳·期末）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）根据平方差公式计算即可； （2）先根据二次根式的除法、立方根的定义计算，再根据有理数的加减法则计算即可； （3）先化简每个二次根式，再合并同类项二次根式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 33．（24-25八年级上·陕西西安·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的计算，先进行二次根式的乘除法运算，然后进行合并同类二次根式，得到答案，熟练掌握二次根式的运算法则是解答本题的关键． 【详解】解： ． 34．（24-25八年级上·陕西西安·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的运算法则是解题的关键． （1）先化简，再合并同类项即可； （2）先用完全平方公式和平方差公式展开，再合并即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 35．（24-25八年级上·北京通州·期末）计算：． 【答案】 【分析】先利用乘法分配律和平方差公式进行计算，然后根据二次根式的性质化简，最后合并同类二次根式即可． 【详解】解： ． 【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，平方差公式，利用二次根式的性质化简，合并同类二次根式等知识点，熟练掌握二次根式的性质和运算法则是解题的关键． 36．（24-25八年级上·北京通州·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，根据单项式乘以多项式以及平方差公式计算后再合并即可得出答案． 【详解】解： 37．（24-25八年级上·河南焦作·期中）计算． (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查二次根式的化简，加减乘除混合运算，掌握二次根式的化简，二次根式的混合运算法则是解题的关键． （1）化简二次根式，根据加减法即可求解． （2）化简二次根式，根据二次根式的乘除法，加减法即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 38．（24-25八年级上·全国·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算； （1）根据完全平方公式，平方差公式，化简绝对值进行计算即可求解； （2）根据二次根式的除法以及二次根式的性质化简，进而即可求解． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 39．（24-25八年级上·内蒙古包头·阶段练习）计算下列各式： (1) (2)． 【答案】(1) (2)2 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，掌握运算法则和利用乘法公式是解题的关键． （1）先计算二次根式的乘法，再合并同类二次根式即可； （2）先利用平方差公式计算乘法，计算除法，再合并同类二次根式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 40．（24-25八年级上·广东梅州·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2)6 【分析】本题主要考查了二次根式混合运算，分母有理化，熟练掌握运算法则，平方差公式和完全平方公式，是解题的关键． （1）根据二次根式混合运算法则，结合平方差公式和完全平方公式进行计算即可； （2）根据二次根式混合运算法则和分母有理化运算方法，进行计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 【经典计算题五 复合二次根式的化简】 41．（24-25八年级上·江苏南通·阶段练习）因为，所以 因为，所以 因为，所以 请你根据以上规律，结合你的经验化简： （1）= ； （2）= ； （3）= ； （4）= ． 【答案】（1）﹣；（2）；（3）；（4） 【分析】（1）由被开方数中5分为(3+2)，利用完全平方公式变形，利用平方根定义开方即可得到结果； （2）被开方数变形为：，中的4分为(3+1)，利用完全平方公式变形，利用平方根定义开方即可得到结果； （3）由被开方数中7分为(4+3)，利用完全平方公式变形，利用平方根定义开方即可得到结果； （4）由被开方数中13分为(7+6)，利用完全平方公式变形，利用平方根定义开方即可得到结果． 【详解】（1）∵， ∴， 故答案为：； （2）∵， 而， ∴ ∴， 故答案为：； （3）∵， ∴， 故答案为：； （4）∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的性质及化简，关键是把复合二次根式的被开方数配成完全平方式． 42．（24-25八年级上·四川雅安·期中）有这样一类题目：将化简，如果你能找到两个数m、n，使m2＋n2＝a 且mn＝，则a±2将变成m2＋n2±2mn，即变成(m±n)2，从而使得以化简．例如，因为5＋2＝3＋2＋2＝()2＋()2＋2×＝(＋)2，所以＝． 请仿照上面的例子化简下列根式： (1)       (2) 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）把4分成1和3，可以把根号里面的数凑成完全平方的形式； （2）把9分成4和5，可以把根号里面的数凑成完全平方的形式． 【详解】解：（1）原式； （2）原式． 【点睛】本题考查二次根式的化简和完全平方公式，解题的关键是熟练掌握完全平方公式的运用． 43．（24-25八年级上·四川·期中）先阅读下列的解答过程，然后作答： 形如的化简，只要我们找到两个数、使、，这样，那么便有 例如：化简． 解：首先把化为， 这里，．由于，， 即，， ． 由上述；例题的方法化简： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2）． 【分析】根据所给信息解答即可． 【详解】（1）； （2）＝． 【点睛】本题考查了复合二次根式的化简，熟练掌握复合二次根式化简的方法是解答本题的关键． 44．（24-25八年级上·辽宁沈阳·阶段练习）先阅读下列的解答过程，然后再解答： 形如的化简，只要我们找到两个数a、b，使a+b＝m，ab＝n，使得+＝m，＝，那么便有： ＝＝±（a＞b）． 例如：化简． 解：首先把化为，这里m＝7，n＝12，由于4+3＝7，4×3＝12 即+＝7，×＝ ∴＝＝＝2+． 由上述例题的方法化简：． 【答案】2﹣． 【分析】先将原式变形，再由15＝8+7，＝×，仿照阅读材料中的方法计算即可． 【详解】解：＝，这里m＝15，n＝56， 由于8+7＝15，8×7＝56， ∴+＝15，×＝， ∴ ＝ ＝ ＝﹣ ＝2﹣． 【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，读懂阅读材料中的方法是解题的关键． 45．（24-25八年级上·湖南怀化·期末）同学们，我们以前学过完全平方公式，你一定熟练掌握了吧！现在，我们又学习了二次根式，那么所有的非负数（以及0）都可以看作是一个数的平方，如，，下面我们观察：，反之，，∴，∴ 求：（1）； （2）； （3）若，则m、n与a、b的关系是什么？并说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3），，理由见解析 【分析】（1）将3拆分为2+1，再根据完全平方公式和二次根式化简即可求解； （2）将4拆分为3+1，再根据完全平方公式和二次根式化简即可求解； （3）利用二次根式的性质结合完全平方公式直接化简得出即可． 【详解】解：（1） ＝ ＝； （2）； （3）m+n＝a，mn＝b. 理由：∵， ∴， ∴m+n+2＝a+2， ∴m+n＝a，mn＝b 【点睛】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确理解二次根式化简的意义是解题关键． 46．（24-25八年级下·安徽安庆·期末）阅读理解题，下面我们观察： 反之， 所以，所以 完成下列各题： （1）在实数范围内因式分解：； （2）化简：； （3）化简：． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）利用二次根式的性质结合完全平方公示直接化简得出即可； （2）利用二次根式的性质结合完全平方公示直接化简得出即可； （3）利用二次根式的性质结合完全平方公示直接化简得出即可． 【详解】解：（1） （2） （3）． 【点睛】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确理解二次根式化简的意义是解题关键． 47．（24-25八年级下·北京海淀·期中）小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：，善于思考的小明利用完全平方公式进行了以下探索： ．请你仿照小明的方法解决下列问题： （1），则______，_______； （2）已知是的算术平方根，求的值； （3）当时，化简_______． 【答案】（1）2，1；（2）－2018；（3）2． 【分析】（1）根据题目所给方法对变形即可； （2）根据题意结合所给方法求出，然后对所求式子变形，整体代入计算即可； （3）根据题目所给方法，将写成的形式，然后根据二次根式的性质化简即可． 【详解】解：（1）∵， ∴a＝2，b＝1； 故答案为：2,1 （2）∵是的算术平方根， ∴， ∴； （3）∵， ∴， ， ， ， ． 故答案为：2 【点睛】本题考查了二次根式的性质，解题的关键是正确理解题中所给方法，将根号内的式子变形为完全平方式的形式． 48．（24-25七年级下·上海·期中）先阅读下列的解答过程，然再解答： 我们可以利用完全平方公式化简形如的代数式，只要我们找到两个正数、，使使得那么便有： 例如：化简 解：首先把化为，这里，由于4+3=7，4×3=12 即 （1）填空______，_______． （2）化简：． 【答案】（1），；（2）. 【分析】（1）（2）先把各题中的无理式变成 的形式，再根据范例分别求出各题中的a、b，即可求解． 【详解】解：（1）==； ==； 故答案为：；； （2）==. 【点睛】本题主要考查二次根式根号内含有根号的式子的化简．二次根式根号内含有根号的式子化简主要利用了完全平方公式，所以一般二次根式根号内含有根号的式子化简是符合完全平方公式的特点的式子． 49．（24-25八年级下·福建莆田·期中）若要化简我们可以如下做： 仿照上例化简下列各式： （1） （2） 【答案】（1）；（2）- 【分析】（1）直接利用二次根式的性质结合完全平方公式进而开平方得出答案； （2）直接利用二次根式的性质结合完全平方公式进而开平方得出答案． 【详解】解：（1）∵4+2= 3+1+2=（）2+2××1+12=（+1）2， ∴ 故答案为：+1； （2）∵= ∴=（）2-2××+（）2=（-）2， ∴ 故答案为：-； 【点睛】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确应用完全平方公式是解题关键． 50．（24-25八年级上·湖北十堰·期末）先阅读下列的解答过程，然后作答： 形如的化简，只要我们找到两个数、使，， 这样，，于是. 例如：化简. 解：这里，，由于，，即，， . 由上述例题的方法化简：（1）；（2） 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据材料里提供的方法化简即可得解； （2）根据材料里提供的方法化简即可得解. 【详解】（1）原式， （2）原式. 【点睛】本题考查了复合二次根式的化简，关键是确定两个数、，然后根据二次根式的性质化简. 【经典计算题六 分母有理化】 51．（24-25九年级上·四川宜宾·期中）已知，求的值． 【答案】 【分析】先将分母有理化，得，进而可得，，然后将原式化简为，再将和的值代入求值即可． 【详解】解：， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了二次根式的化简求值 ，分母有理化，等式的性质，完全平方公式，利用二次根式的性质化简等知识点，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． 52．（24-25八年级上·四川成都·期中）若，，求代数式的值． 【答案】17 【分析】本题考查了分母有理化，二次根式的混合运算，先把，化简，再根据完全平方公式把变形后代入计算即可． 【详解】解：∵， ， ∴ ． 53．（24-25九年级上·四川内江·阶段练习）阅读下列运算过程： ， ，， ， 数学上将这种把分母的根号去掉的过程称作“分母有理化”．通过分母有理化，可把不是最简的二次根式化成最简二次根式．请参考上述方法，解决下列问题： (1)化简： ， ， ； (2)计算：； (3)计算：． 【答案】(1)， ，   (2)3 (3) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． （1）分别分母有理化计算即可； （2）先分母有理化，然后合并即可； （3）先分母有理化，然后合并即可． 【详解】（1）解：， ， ； 故答案为：，，； （2）解：∵==， ==， ==，   ……， ==， 原式 ； （3）解：原式= = = = = =． 54．（24-25九年级上·四川宜宾·期中）有这样一个问题：已知，求的值． 小明是这样解答的：∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 根据小明的解答过程，解决以下问题： (1)计算：． (2)已知． ①求的值； ②求的值． 【答案】(1) (2)①，② 【分析】本题考查了分母有理化，二次根式的化简求值； （1）原式各项分母有理化，计算即可求出值； （2）①先把a分母有理化可得到，从而得到，再把式子进行整理，将代入计算即可求出值；②将式子整理成，再代入，即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解：①∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ②∵， ∴ ． 55．（24-25八年级上·福建三明·期中）阅读理解：已知，求的值．小明是这样分析与解答的： ∵ ∴，∴ ∴，∴ 问题解决： (1)化简：； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2)2 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，平方差公式、完全平方公式，解题的关键是理解题意，理清分母有理化的过程． （1）把分子分母同乘，然后利用平方差公式计算； （2）先分母有理化得到，再移项平方得到，接着把变形为，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵， ∴， ∴，， ∴， ． 56．（24-25八年级上·四川雅安·期中）阅读材料：像，……这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．在进行二次根式运算时，利用有理化因式可以化去分母中的根号，请你根据上述材料，解决如下问题： (1)化简：_____； (2)的有理化因式是______，______； (3)比较大小：______（填，，，或中的一种）； (4)若，求的值． 【答案】(1) (2)， (3) (4)9 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，理解题目中所给的有理化因式的定义，熟知二次根式的运算法则是解答关键． （1）利用二次根式的运算法则进行化简求解； （2）利用有理化因式的定义和二次根式的运算法则进行化简求解； （3）根据题意得到所给的两个二次根式都是正数，再结合有理化因式的定义比较它们倒数的大小来求解； （4）先利用有理化因式的定义求出，再将所求值的代数式进行配方得到，再将代入求解． 【详解】（1）解：． 故答案为：． （2）解：的有理化因式是． ． 故答案为：， （3）解：因为 ，， 而， ． 和都是大于的数， ． 故答案为：． （4）解： ， ， ， ． 57．（24-25八年级上·辽宁丹东·期中）材料阅读题： 把分母中的根号化去，使分母转化为有理数的过程，叫做分母有理化． 例如：化简． 解：． 观察上面解题过程，并解答下列问题： (1)求______，的倒数是______； (2)若a是的小数部分，化简：； (3)利用上面的解法，请化简：． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了无理数的估算，二次根式的混合运算，读懂题中材料：分母有理化的方法是解题的关键． （1）根据分母有理化化简即可解答； （2）估算出的整数部分，即可求得a的值，然后把值代入并化简即可； （3）利用分母有理化的方法化简每个二次根式，最后合并同类二次根式即可． 【详解】（1）解：， 的倒数是； （2）解：∵， ∴， 即的整数部分为2， ∴． 当时，． （3）解：原式 ． 58．（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）认识概念： 一、两个含有二次根式且非零的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式； 如：；，我们称的一个有理化因式为，的一个有理化因式是； 二、如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化． 如：； 理解应用： （1）填空：的有理化因式是________；将分母有理化得________； （2）化简：； 拓展应用： （3）利用以上解题方法比较与的大小，并说明理由． 【答案】（1）， ；（2）；（3），理由见解析 【分析】本题主要考查二次根式的性质，二次根式的混合运算，掌握二次根式的混合运算法则是解题的关键． （1）根据材料提示的分母有理化方法，二次根式的性质，二次根式的乘法运算法则即可求解； （2）根据二次根式的混合运算法则，二次根式的性质化简即可求解； （3）根据题意可得，，再根据实数比较大小的方法即可求解． 【详解】解：（1）∵， ∴的有理化因式是， ∵， ∴将分母有理化得， 故答案为：，； （2） ； （3），理由如下： 由题意得：，， ∵， ∴． 59．（24-25八年级上·辽宁锦州·期中）阅读下列材料，然后回答问题，在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： 以上这种化简的步骤叫做分母有理化． (1)请参照上面的方法化简： (2)直接写出化简结果：_______，_______ (3)计算： 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握分母有理数的两种方法． （1）仿照已知分母有理化方法求解可得答案； （2）分母有理化即可； （3）先分母有理化，再提取公因数，继而两两相消，进一步计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：， ， 故答案为：，； （3）解： ． 60．（24-25八年级上·广东佛山·期中）我们知道，因此在计算时，分子和分母同时乘以，从而将分母中含有的根号通过化简去掉，这就是分母有理化． (1)化简：； (2)若，求的值； (3)若，，比较和的大小． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查分母有理化，二次根式的化简求值，实数比较大小，熟练掌握分母有理化的方法是解题的关键． （1）根据题干给定的方法进行求解即可； （2）先将进行分母有理化得到，再代中计算即可； （3）将、进行分母有理化，再比较即可． 【详解】（1）解： （2）， （3）， ， ， ， ． 【经典计算题七 二次根式中的新定义运算】 61．（24-25八年级上·陕西咸阳·阶段练习）对于实数a，b定义一种新运算“”，规定，如． (1)求的值； (2)若，求x的值． 【答案】(1)4 (2)x的值为 【分析】本题考查了实数的运算和解一元一次方程，二次根式的混合运算，解题关键是掌握实数运算的方法和解一元一次方程的步骤． （1）直接利用新运算的规定列出算式运算即可； （2）先将左边根据规定变形，再解方程即可． 【详解】（1）解：， ∴的值为4． （2）解：∵， ∴， ， ∴， ∴， ∴x的值为． 62．（23-24八年级下·云南昆明·期中）已知实数，，定义“★”运算规则如下：，求的值． 【答案】 【分析】本题考查新定义实数运算，读懂题意，按照新定义运算规则求解即可得到答案，看懂新定义实数运算是解决问题的关键． 【详解】解：，， ，则， ， ． 63．（23-24七年级下·辽宁·期末）我们知道，任意一个无理数都介于两个连续的整数之间，定义：若无理数t，（其中m、n为两个连续的整数），则称无理数t的“整数区间”为．例如：，则的“整数区间”为；，则的“整数区间”为． (1)无理数的“整数区间”为______，无理数的“整数区间”为______； (2)若实数x、y满足，求的“整数区间”； (3)若一个无理数的“整数区间”为，且满足，其中是关于x，y的二元一次方程的一组正整数解，求a的值． 【答案】(1)， (2) (3)17 【分析】本题考查无理数的估算，二次根式的性质，二元一次方程的解： （1）夹逼法求出无理数的范围即可； （2）根据被开方数为非负数，求出的值，再利用夹逼法求解即可； （3）根据题意，得到，且m，都是正整数，结合，得到，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴的“整数区间”为； ∵， ∴， ∴的“整数区间”为； （2）由题意得，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴的“整数区间”为； （3）∵一个无理数的“整数区间”为， ∴， 又∵是关于x，y的二元一次方程的一组正整数解， ∴m，都是正整数， 则， 当时，，，，符合， 将，代入中，得， ∴； 当时，不满足． ∴a的值为17． 64．（23-24八年级下·山东威海·期末）定义：若两个二次根式，满足，且为有理数，则称与是关于的共轭二次根式． (1)与是关于______的共轭二次根式； (2)若与是关于2的共轭二次根式，则______； (3)若与是关于12的共轭二次根式，求的值． 【答案】(1)1； (2)； (3)． 【分析】此题主要考查了新定义共轭二次根式的理解和应用，并会利用二次根式的性质进行计算． （1）根据共轭二次根式的定义，即可得解； （2）根据共轭二次根式的定义，列出等式求得的值即可； （3）根据共轭二次根式的定义，列出等式求得的值即可； 【详解】（1）解：， ∴ 与是关于1的共轭二次根式， 故答案为：1； （2）解：∵与是关于2的共轭二次根式， ∴ ∴， 故答案为：； （3）解：∵与是关于12的共轭二次根式， ∴ ∴， ∴． 65．（23-24八年级下·山东临沂·期中）阅读材料，并解决问题：定义：将分母中的根号化去的过程叫做分母有理化． 如：将分母有理化，解：原式． 运用以上方法解决问题： 已知：． (1)化简； (2)求的值． 【答案】(1)，； (2)． 【分析】（）仿照已知化简即可； （）求出、的值，再把它们代入代数式计算即可求解； 本题考查了二次根式的化简求值，掌握分母有理化是解题的关键． 【详解】（1）解：， ； （2）解：∵，， ∴，， ∴原式 ， ． 66．（23-24八年级上·福建漳州·期中）定义：已知都是实数，若，则称与是关于3的“实验数”． (1)4与是______关于3的“实验数”，与______是关于3的“实验数”． (2)若，判断与是否是关于3的“实验数”，并说明理由． 【答案】(1)，； (2)与是关于3的“实验数”．理由见解析． 【分析】本题考查二次根式的混合运算，二次根式的乘除运算．掌握本题的关键是：①能理解题述1 的“实验数”的定义，并据此作出计算；②掌握二次根式的化简及同类二次根式的合并． （1）根据所给的例子，可得出实验数的求法，由此即可计算4与-1是关于3的“实验数”； （2）把代入计算与的和，根据所求得结果即可判断． 【详解】（1）解：， 所以与是关于的“实验数”， ， 所以与是关于的“实验数” 故依次填：，； （2）解：与是关于的“实验数”．理由如下： ∵， ∴ ∴与是关于的“实验数”． 67．（24-25八年级下·湖北咸宁·期末）定义：任意两个数，，按规则扩充得到一个新数，称所得的新数为“如意数”． (1)若，，求出，的“如意数”． (2)如果，，求，的“如意数”，并证明“如意数”． (3)已知，且，的“如意数”，求的值． 【答案】(1) (2)，证明见详解 (3) 【分析】本题考查的是新定义运算，二次根式的运算，完全平方公式， （1）根据题目中所给的运算规则可得“如意数”c； （2）根据题目中所给的运算规则计算出“如意数”c后，把所得的式子化为完全平方式的形式即可判定“如意数”c的大小； （3）先有理化可得，根据题目中所给的运算规则可得，问题即可得解． 【详解】（1） （2）∵，， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）∵， ，的“如意数”， ∴， ∴， 即：． 68．（23-24九年级上·吉林长春·期中）定义：我们将与称为一对“对偶式”．因为，可以有效的去掉根号，所以有一些题可以通过构造“对偶式”来解决． 例如：已知，求的值，可以这样解答： 因为，所以． (1)已知：，求： ① ； ②结合已知条件和第①问的结果，解方程：； (2)代数式中的取值范围是 ； (3)计算： ． 【答案】(1)①，②； (2)； (3)． 【分析】（1）仿照题意，进行计算即可得到答案； （2）根据二次根式有意义的条件列出不等式组，解不等式组即可得到答案； （3）利用平方差公式，对原式进行变形后，即可得到答案． 【详解】（1）解：①∵，， ∴； 故答案为： ②由①得，已知，两式相加得到， ， 即， 则，解得， 经检验，是原方程的根， 即方程的解是； （2）解： 由二根式有意义的条件得到， 解得， 即的取值范围是， 故答案为：； （3）解： ， 故答案为：． 【点睛】此题考查了二次根式的性质、二次根式的混合运算、二次根式有意义的条件、平方差公式以及分母有理化，熟练掌握二次根式的运算法则和灵活变形是解题的关键． 69．（23-24七年级上·福建福州·期末）任意一个无理数介于两个整数之间，我们定义，若无理数，（其中为满足不等式的最大整数，为满足不等式的最小整数），则称无理数的“麓外区间”为，如，所以的麓外区间为． (1)无理数的“麓外区间”是 ； (2)若，求的“麓外区间”； (3)实数满足，求的算术平方根的“麓外区间”． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查无理数的估算，二次根式有意义的条件，非负性．熟练掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键． （1）夹逼法求出的取值范围，即可得出结果； （2）根据二次根式有意义的条件，得到，进一步求出的取值范围即可； （3）根据二次根式有意义的条件，结合算术平方根的非负性，得到，，求出的值，进而求出的“麓外区间”即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 即：无理数的“麓外区间”是； 故答案为：； （2）∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的“麓外区间”为； （3）∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 联立：， 解得：， ∴的算术平方根为， ∵， ∴； ∴的算术平方根的“麓外区间”为． 70．（24-25八年级下·北京海淀·期中）定义，任意两个数，，按规则扩充得到一个新数，称所得的新数为“扩充数”． (1)若，直接写出，的“扩充数”； (2)如果，，为，的“扩充数”，求（用含的式子表示）； (3)在（1）的条件下，先化简，再求值：． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】(1)利用“扩充数”的定义可直接求得； (2)利用“扩充数”的定义求出x的值，再判断； (3)先化简，再求值即可． 【详解】（1）解：由“扩充数”的定义可得， ； （2）解：由“扩充数”的定义可得， ， ， ， ； （3）解： 当时， 原式． 【点睛】本题考查了整数的混合运算和分式的化简求值，关键是能根据定义表示出“扩充数”，然后利用运算法则进行计算． 【经典计算题八 二次根式中的规律计算】 71．（24-25八年级上·江苏南通·阶段练习）观察下列各式的计算过程，寻找规律： ； ； ；… 利用发现的规律解决下列问题． (1)化简式子______； (2)直接写出式子的值： ； (3)计算：（n为正整数）． 【答案】(1)； (2)2023； (3)． 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，分母有理化，式子规律，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据题干的式子，总结规律，即可作答． （2）先运用式子规律化简括号内，再运算二次根式的乘法运算，即可作答． （3）先把原式的每个项进行分母有理化，再进行二次根式的加法运算，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，， 故答案为：； （2）解： ． 故答案为：2023， （3）解：依题意， ． 72．（24-25八年级上·山西晋中·期中）阅读理解 材料一：两个含有二次根式的非零代数式相乘，如果它们的积不是二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式． 例1：，我们称的一个有理化因式是，的一个有理化因式是． 材料二：如果一个代数式的分母含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫分母有理化． 例2： 请仿照材料中的方法探索并解决下列问题： (1)的有理化因式是________．的有理化因式是________（均写出一个即可）． (2)若是的小数部分，化简． (3)利用你发现的规律计算下面式子的值 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查二次根式的混合运算、分母有理化、平方差公式， （1）根据题目中的材料，可以求出的有理化因式和的有理化因式； （2）先求出，再代入进行分母有理化即可； （3）先将所求式子分母有理化，然后合并同类二次根式即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴的有理化因式为，的有理化因式为， 故答案为：，； （2）∵， ∴， ∴， ∴的整数部分是，小数部分是， ∴， ∴， （3） ． 73．（24-25八年级上·江西抚州·期中）阅读下列解题过程，并解答问题． ①； ②． (1)直接写出结果________； (2)利用上面的规律，计算：； (3)比较大小：与． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查平方差公式、分母有理化，解答本题的关键是明确二次根式混合运算的运算法则和运算顺序，注意平方差公式的应用． （1）根据①中的计算方法，可以求得所求式子的值； （2）根据（1） 中的结果，可以将所求式子展开，然后计算即可； （3）根据②中的结果，可以将与变形，从而可以求得 与的大小关系． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：原式 ； （3）解：，， ∵， ∴， 即． 74．（24-25八年级上·河南郑州·期中）二次根式中有一个有趣的“穿墙”现象： (1)具体运算，发现规律， ①； ②； ③； ④_________； (2)观察、归纳，得出猜想（提醒：注意带分数的表达规范）如果为正整数，用含的式子表示上述的运算规律； (3)证明你的猜想． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】本题主要考查了化简二次根式，数字类的规律探索： （1）仿照①化简求解即可； （2）根据（1）中式子可得一个大于等于2的正整数的平方减去1的倒数乘以这个正整数再加上这个正整数的和的算术平方根等于这个正整数乘以这个正整数的平方减去1的倒数乘以这个正整数的算术平方根，据此求解即可； （3）仿照①中化简二次根式的方法求解即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：①； ②； ③； ④； ……．， 以此类推，可知； （3）证明： ． 75．（23-24八年级下·四川凉山·阶段练习）阅读下列解题过程： ， ， …… 请解答下列问题： (1)观察上面的解题过程，请写出 ； (2)请你用含n（n为正整数）的式子表示上述各式子的规律； (3)利用上面的规律，请化简：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了分母有理化，二次根式的运算，解题的关键是根据题目中给出的数字表达式，找出规律，准确计算． （1）根据题目中给出的方法进行计算即可； （2）根据（1）中找出的规律，写出用含n（n 为正整数）的关系式表示的规律即可； （3）根据解析（2）找出的一般规律进行化简计算即可． 【详解】（1）解： ； 故答案为：． （2）解：观察前面例子的过程和结果得： ． （3）解： ． 76．（24-25九年级上·河南南阳·期中）小强根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律．下面是小强的探究过程，请补充完整： (1)具体运算，发现规律， 特例1： 特例2： 特例3：＝ 特例4： ；（填写一个符合上述运算特征的例子） (2)观察、归纳，得出猜想，如果n为正整数，用含n的式子表示上述的运算规律为： ； (3)请证明你的猜想； (4)应用运算规律计算：． 【答案】(1)； (2)； (3)见解析； (4)． 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，掌握其运算法则是解题的关键． （1）根据材料提示计算即可； （2）由材料提示，归纳总结即可； （3）运用二次根式的性质，二次根式的混合运算法则计算即可； （4）根据材料提示的方法把，再根据二次根式的乘法运算计算即可． 【详解】（1）解 ：根据材料提示可得，特例4为：， 故答案为：； （2）解：由上述计算可得，如果n为正整数，上述的运算规律为：， 故答案为：； （3）解：， 等式左边等式右边； （4）解： ． 77．（24-25九年级上·河南周口·阶段练习）观察下列各式及其验证过程 ， 验证： ， 验证： (1)按照上述等式及其验证过程的基本思想，猜想的变形结果并进行验证； (2)针对上述各式反映的规律，写出用（为自然数且）表示的等式并给出说明． 【答案】(1)猜想，验证见详解 (2)，验证见详解 【分析】本题考查数字的变化类，理解题目所提供的等式的呈现规律是正确解答的关键． （1）根据题目中所提供的方法进行验证即可； （2）总结概括出一般的规律，用代数式表示出来，再利用题目所提供的方法进行验证即可． 【详解】（1）解：猜想， 验证：； （2）解：， 验证：． 78．（23-24八年级上·陕西咸阳·期中）阅读下列解题过程： 请根据上面的解题过程解答下列问题： （1）仿照上面的解题过程化简： ① ② （2）请你用含（为正整数）的关系式表示上面各式子的变形规律：_____________； （3）利用（2）中的结论，试求 的值． 【答案】（1）①，②；（2）；（3）． 【分析】本题考查了分母有理化，二次根式的混合运算，平方差公式等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据题例运算即可求解； （2）根据题例即可得出一般规律； （3）原式各项分母有理化后，合并即可得出答案． 【详解】解：（1）依题意可得： ① ②； （2）根据题意，观察式子的规律可得： ， 故答案为：； （3） ． 79．（23-24八年级上·江西抚州·阶段练习）化简一个分母含有二次根式的式子时，采用分子、分母同乘以分母的有理化因式的方法就可以了，例如：，， (1)若，求的值； (2)比较与的大小，并说明理由． (3)利用这一规律计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（）先化简，再代入代数式计算即可； （）利用倒数的关系，先分别化简、，比较结果的大小，进而可比较与的大小； （）由题意可得每项可表示为，利用该规律拆项后计算即可求解； 本题考查了二次根式的化简及化简求值，二次根式的混合运算，掌握二次根式的化简是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴原式 ， ， ； （2）解：∵， ， 又∵， ∴， ∴； （3）解：∵， ， ， ， ∴原式 ， ． 80．（24-25八年级上·四川成都·阶段练习）（1）观察下列各式的特点：，，，… 根据以上规律可知：______． （2）观察下列式子的化简过程： ， ， ，… 根据观察，请写出式子的化简过程． （3）计算下列算式：． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）利用题目中的规律进行判断即可； （2）利用分母有理化进行化简即可； （3）利用（2）中的化简方法得到原式，然后合并即可． 【详解】解：（1）根据题目中的规律可知：， 故答案为：； （2） ； （3） ． 【点睛】本题考查的知识点是二次根式的混合运算，先把二次根式化简为最简二次根式，然后进行乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，能结合题目，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往事半功倍． 学科网（北京）股份有限公司 $$