四川省泸州高级中学校2024-2025学年高二上学期期末测试数学试题

泸州市泸州高级中学2024-2025学年上期高二期末测试题 数 学 注意事项: 1.答卷前，考生务必把自己的姓名、 准考证号填写在答题卡上。 2.考生作答时，选择题用2B铅笔将答题卡对应题目的答案标号涂黑，其余各题用0.5毫米黑色墨迹签字笔将答案写在答题卡上,在本试卷、草稿纸上答题无效。 3.全卷满分150分，考试时间120分钟。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．经过两点，的直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D．不存在 2．抛物线的焦点坐标为（    ） A． B． C． D． 3．学校组织知识竞赛，某班8名学生的成绩（单位：分）分别是65，60，75，78，86，84，90，94，则这8名学生成绩的75%分位数是（   ） A．88分 B．84分 C．85分 D．90分 4．两个圆和的公切线有（    ）条 A．1 B．2 C．3 D．4 5．已知双曲线的虚轴长是实轴长的倍，且与椭圆有公共焦点，则该双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 6．正方体的棱长为2，若动点在线段上运动，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．某同学参加学校组织的化学竞赛，比赛分为笔试和实验操作测试，该同学参加这两项测试的结果相互不受影响.若该同学在笔试中结果为优秀的概率为，在实验操作中结果为优秀的概率为，则该同学在这次测试中仅有一项测试结果为优秀的概率为（    ） A． B． C． D． 8．设，是双曲线的左､右焦点，过作C的一条渐近线的垂线l，垂足为H，且l与双曲线右支相交于点P，若，且，则下列说法正确的是（    ） A．到直线l的距离为a B．双曲线的离心率为 C．的外接圆半径为 D．的面积为9 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．PM2.5的监测值是用来评价环境空气质量的指标之一，如图是某地12月1日至10日的PM2.5日均值（单位：）变化的折线图，则（    ） A．这10日PM2.5日均值的80%分位数为60 B．前5日PM2.5日均值的极差小于后5日PM2.5日均值的极差 C．前5日PM2.5日均值的方差大于后5日PM2.5日均值的方差 D．这10日PM2.5日均值的中位数为43 10．设椭圆：（）与双曲线：（，）有相同的左右焦点且分别为，，离心率分别为，.设与在第一象限内的交点为，且满足，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 11．如图，棱长为的正方体的内切球为球，，分别是棱，的中点，在棱上移动，则下列选项正确的是（   ） A．该内切球的球面面积为 B．存在点，使得平面 C．平面被球截得的截面圆的面积为 D．当为的中点时，过，，的平面截该正方体所得截面的面积为 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．某地有居民5000户，其中普通家庭3500户，高收入家庭500户，低收入家庭1000户．现用分层抽样的方法随机抽取居民调查家庭用电情况，若从普通家庭中抽取到70户，则从低收入家庭中抽取到 户． 13．如图所示，在长方体中，，，点E，F，G分别是，，的中点，则异面直线与所成的角是 . 14．已知椭圆的左、右顶点分别为，动点均在椭圆上，是坐标原点，记和的斜率分别为；与的面积分别为.若，则的最大值为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（本题13分）从出游方式看，春节期间是家庭旅游好时机.某地区消费者协会调查了部分2023年春节以家庭为单位出游支出情况，统计得到家庭旅游总支出（单位：百元）频率分布直方图如图所示.（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表） (1)求的值； (2)估计家庭消费总支出的平均值及第80百分位数.（结果保留一位小数） 16．（本题15分）已知数列满足，等差数列的前n项和为，且． (1)求数列和的通项公式； (2)若，求数列的前n项和． 17．（本题15分）已知圆C：，点．点P在圆C上运动，B为线段AP的中点． (1)求点B的轨迹方程E，并说明其轨迹； (2)若过点的直线l被曲线E（点E为轨迹中心）截得的弦长为4，求直线l的方程． 18．（本题17分）如图，在四棱锥中，底面是矩形，底面，点是的中点，，， (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 19．（本题17分）已知椭圆 的左、右焦点分别为，为椭圆的一个顶点，且右焦点到直线的距离为. (1)求椭圆C的标准方程； (2)设直线与椭圆C交于 A、B两点. ①若直线过椭圆右焦点，且的面积为求实数的值； ②若直线过定点，且，在轴上是否存在点使得以为邻边的平行四边形为菱形? 若存在，则求出实数的取值范围； 若不存在，请说明理由. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C A A A A C B BD BD 题号 11 答案 ACD 12．20 13． 14． 15．（1）由频率分布直方图，得， ∴. （2）平均值为. 第80百分位数为，则， 解得. 16．（1）当时，， ，当时，， 两式相减，得，即，显然满足上式，因此， 设公差为，则，即，解得， 因此， 所以数列和的通项公式分别为，. （2）由（1）知，， 则， 于是， 两式相减得：， 所以. 17．（1）圆C：的圆心，半径， 取线段的中点，连接， 则，，因此点的轨迹为以为圆心，半径为的圆， 轨迹方程为. （2）由（1）知，点到直线的距离， 点到直线的距离为2，因此直线的方程可以为； 当直线的斜率存在时，设其方程为，即， 于是，解得，此时直线的方程为， 所以直线的方程为或. 18．（1）连接交于，连接，由于是的中点、是的中点， 所以是三角形的中位线，所以， 由于平面平面，所以平面； （2）依题意，底面是矩形，所以， 底面，平面，所以， 由此以为原点建立如图所示空间直角坐标系， ， ，， 设平面的法向量为， 则，故可设， 设直线与平面所成角为， 则. 19．（1）由题意，得，又到直线的距离为 则，因为，所以，再由椭圆的一个顶点为，可得， 所以，即椭圆C的标准方程为； （2）①由（1）知， 直线过椭圆右焦点F₂可得：，即， 所以由直线与椭圆C的标准方程联立方程组，消去得 . 设两交点，则有 所以， 又椭圆左焦点到直线的距离为， 所以， 解得或（舍去），即；   ②假设存在点使得以为邻边的平行四边形为菱形， 由于直线过定点， 且，可知直线方程为， 与椭圆联立方程组，消去得：， 由，且，解得，      设两交点，中点，则有 所以， 即，整理得， 又因为，所以，则. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$