精品解析： 河北省沧州市吴桥县2024-2025学年九年级上学期期末考试数学试题

沧州市2024—2025学年度第一学期期末教学质量评估 九年级数学试题（冀教版） 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 的值等于（   ） A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，根据特殊角构造直角三角形计算即可． 【详解】解：如图，中，，，则，， ∴， 故选：C． 2. 反比例函数的图象一定经过的点是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，将各个选项的点代入计算即可得解，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解此题的关键． 【详解】解：A、当时，，故反比例函数的图象不经过，不符合题意； B、当时，，故反比例函数的图象不经过，不符合题意； C、当时，，故反比例函数的图象不经过，不符合题意； D、当时，，故反比例函数的图象经过，符合题意； 故选：D． 3. 的半径为3，点到直线l的距离为4，则反映直线l与位置关系的图形（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查直线与圆的位置关系，熟练掌握判断方法是解题的关键．根据圆的半径和圆心到直线l的距离的大小，相交：；相切：；相离：；即可选出答案． 【详解】解：⊙的半径为3，圆心到直线l的距离为4， ，即：， 直线l与的位置关系是相离，如图所示 故选：D． 4. 若两个相似三角形的周长比，则这两个三角形的面积比是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，如果两个三角形相似，那么它们的对应角相等，对应边的比，对应高的比，对应中线的比，对应角平分线的比，对应周长的比都等于相似比；它们对应面积的比等于相似比的平方．据此即可解答． 【详解】解：∵两个相似三角形的周长比， ∴这两个三角形的面积比是． 故选A． 5. 某县准备选购平均高度较一致的1000株樱花风景树来进行新修道路边的绿化，有四个苗圃生产商投标（单株樱花风景树的价格都一样）．绿化人员从四个苗圃中都任意抽查了30株树苗的高度，得到的数据如统计表所示： 甲苗圃 乙苗圃 丙苗圃 丁苗圃 树苗平均高度/m 1.8 1.8 2.0 2.0 方差 1.8 3.6 0.36 0.04 根据表中数据，请你帮绿化人员出谋划策，应选购（ ） A. 甲苗圃的树苗 B. 乙苗圃的树苗 C. 丙苗圃的树苗 D. 丁苗圃的树苗 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了用方差和平均数作决策，根据方差的意义：反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．再根据树苗的高度的平均数，选择丁苗圃的树苗． 【详解】解：∵ ∴丁苗圃的方差最小，波动小，树苗较整齐； 且丁苗圃高度的平均数也大于甲苗圃高度与乙苗圃的高度， ∴应选购丁苗圃的树苗， 故选∶ D． 6. 一元二次方程的根的情况为（ ） A. 没有实数根 B. 有两个相等实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 无法判断 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键．当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根．求出根的判别式即可得出结论． 【详解】解：∵ ∴， ∴方程没有实数根． 故选A． 7. 如图，点A，B，C在量角器的外圈上，对应的刻度分别是外圈，和，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，三角形内角和定理．根据题意补全图形，可得，，由圆周角定理可知，，，再利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：如图，点为外圈所对的圆心，连接、、， 由题意得，， 由圆周角定理可知，，， ∴， 故选：C． 8. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点A的坐标为．若以原点O为位似中心画，使它与相似比为，则点A的对应点的坐标是（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是位似变换，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或． 根据位似变换的性质计算即可． 【详解】解∶以原点为位似中心，相似比为，把缩小，点A的坐标为， 点A的对应点的坐标为或， 即或． 故选∶B． 9. 为倡导全民健身，某小区在公共活动区域安装了健身器材，其中跷跷板很受欢迎．如图，点为跷跷板中点，支柱垂直于地面，垂足为，，跷跷板的一端落到地面时与地面的夹角，则点离地面的距离是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，相似三角形的判定与性质，解直角三角形等知识．求出，过点B作垂直底面于点D，判断出是的中位线，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得，即可得到答案． 【详解】解：由题意可得，， 在中，， 如图，过点B作垂直底面于点D， ， ， ∴， ∴， 点O为跷跷板的中点， ∴， 是的中位线， ， 故选：D． 10. 已知线段，求作线段，使，则下列作图中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键． 先证明相似三角形，然后根据相似三角形的性质列比例式即可解答． 【详解】解：A． 由图可知：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即，与矛盾，不符合题意； B． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，无法得出，不符合题意； C．由图可知：，， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴，即，与矛盾，不符合题意； D． ∵， ∴ ∴， ∴， ∴，即，与相符，符合题意． 故选：D． 11. 已知锐角是的中点，嘉嘉、琪琪二人想在线段上找一点，使得为直角．对于嘉嘉、琪琪二人的作法，正确的是（ ） 嘉嘉的作法： 琪琪的作法： 以点为圆心，适当长为半径画弧，交直线于点 ，分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线，交于点．则点即为所求． 以为圆心，长为半径画弧，交于点．则点即为所求． A. 只有嘉嘉正确 B. 只有琪琪正确 C. 两人都正确 D. 两人都不正确 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了作垂线以及圆周角定理，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．由嘉嘉的作图可知，过点B作与垂线，则；由琪琪的作图可知，是的直径，则，即可作答． 【详解】解：∵过点B作与垂线，交于点P， ∴， ∴嘉嘉的作法是正确的； ∵以O为圆心，长为半径画弧，交于点P， ∴是的直径， ∴（直径所对的圆周角是直角）， ∴琪琪的作法是正确的； ∴两人都正确． 故选：C． 12. 如图，是平行四边形，对角线在轴正半轴上，位于第一象限的点和第二象限的点分别在双曲线 和 的一个分支上，分别过点作轴的垂线段，垂足分别为点和点，给出如下四个结论： 阴影部分的面积是 ；当时，； 若是菱形，则 ；以上结论正确的是（ ） A. ①③ B. ①②③ C. ②③④ D. ①④ 【答案】D 【解析】 【分析】作轴于，轴于，由得，进而得，再由，，即可判断；当， 四边形是矩形，不能确定与相等，故不能判断，即不能判断，由此不能确定，即可判断；若四边形是菱形，可证，得到，即得，即可判断；正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：作轴于，轴于，如图， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴ ∵，， ∴，故正确； ∵，， 又由图象可得，，， ∴，故错误； 当， 四边形是矩形， ∴不能确定与相等， 而， ∴不能判断， ∴不能判断， ∴不能确定，故错误； 若四边形是菱形，则，而， ∴， ∴， ∴， 又由图象可得，，， ∴， ∴，故正确； ∴结论正确的是， 故选：D． 【点睛】本题考查了反比例函数的图象和性质，平行四边形的性质，矩形的性质和菱形的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键． 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 已知一组数据：3，4，4，x，5，5，9的平均数是5，则这组数据的众数是___________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查平均数，众数．先根据平方数的计算方法列出方程，求出数据x，再根据众数的定义求解即可． 【详解】解：∵一组数据：3，4，4，x，5，5，9的平均数是5， ∴， ∴， ∴这组数据为：3，4，4，5，5，5，9，其中数据5出现的次数最多， ∴众数为5． 故答案为：5 14. 如图，已知正六边形ABCDEF的外接圆半径为2cm，则正六边形的边心距是__________cm． 【答案】 【解析】 【详解】连接OA，作OM⊥AB于点M， ∵正六边形ABCDEF的外接圆半径为2cm ∴正六边形的半径为2 cm， 即OA＝2cm 在正六边形ABCDEF中，∠AOM=30°， ∴正六边形的边心距是OM= cos30°×OA=(cm) 故答案为. 15. 为反比例函数的图像上两点，当时，有，则的取值范围是_____． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，由已知条件可得出反比例函数的图象位于一、三象限，进而可得出，解不等式即可求出． 【详解】解：∵当时，有， ∴反比例函数的图象位于一、三象限， ∴， 解得：， 故答案为：． 16. 已知关于的一元二次方程，若的两边的长是这个方程的两个实数根，第三边的长为5，当是等腰三角形时，的值为_____． 【答案】4或5 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解和等腰三角形，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键． 先利用公式法求出方程的解为，然后分类讨论：，当或时为等腰三角形，然后求出k的值． 【详解】解：， ∴= 即， ， 、中有一个数为． 当时， 解得：． 、、能构成等腰三角形， 符合题意； 当时，、、能构成等腰三角形， 符合题意． 综上所述：的值为或． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 用适当方法解方程． （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，灵活选择合适的方法是解答本题的关键． （1）用因式分解法求解即可； （2）移项后用因式分解法求解即可． 【小问1详解】 解：∵ ∴ ∴ ∴或 ∴ 【小问2详解】 解：∵ ∴ ∴ ∴或 ∴ 18. 中国面食文化至今已有两千多年的历史（面条在东汉称之为“煮饼”）．厨师将一定质量的面团做成拉面时，面条的总长度是面条横截面面积的反比例函数，其图象经过，两点（如图）． （1）求与之间的函数关系式及的值； （2）某厨师拉出的面条最细时的横截面面积不超过，求这根面条的总长度至少有多长． 【答案】（1）， （2）面条的总长度至少为 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数的运用，求不等式的解集，掌握待定系数法求解析式，反比例函数图象的性质，求不等式的解集是解题的关键． （1）设y与x之间的函数表达式为：，将代入可得解析式，再把将代入解析式可得的值； （2）厨师做出的面条横截面面积不超过，可得列式得，解不等式即可． 【小问1详解】 解：设y与x之间的函数表达式为：， 将代入可得：， ∴y与S之间的函数表达式为：； 将代入可得； 【小问2详解】 解：∵厨师做出的面条横截面面积不超过， ∴， 故面条的总长度至少为． 19. 今年是农历龙年，假期里学校组织学生进行龙灯制作活动，每班精选一项进行年级评选，校学生会组织对同学的作品按10分制进行评分，成绩（单位：分）均为不低于6的整数．对每个班的成绩进行整理，并绘制统计表，信息如表： 八年级10个班成绩统计表 成绩/分 6 7 8 9 10 班级个数 1 3 a b 1 已知八年级各班成绩只有一个众数为9分，且a、b均为正整数． 请根据以上信息，完成下列问题： （1）　　，　　； （2）八年级成绩的中位数为 　　分； （3）若年级均分高于8.5分，则认定该年级在活动中荣获“优秀组织奖”，请判断本次活动八年级能否获得“优秀组织奖”． 【答案】（1）1，4 （2）8.5 （3）本次活动八年级不能获得“优秀组织奖” 【解析】 【分析】本题考查了众数、中位数、平均数，解题的关键是明确题意，求出相应的数据． （1）根据八年级各班成绩只有一个众数为9分，且、均为正整数和表格中的数据，可以得到、的值； （2）根据表格中的数据，可以得到八年级成绩的中位数； （3）先计算出八年级成绩的平均数，再与8.5比较大小即可． 【小问1详解】 解：八年级各班成绩只有一个众数为9分，且、均为正整数， ，则， 故答案为：1，4； 【小问2详解】 解：由表格可得， 八年级的中位数为：（分， 故答案为：8.5； 【小问3详解】 解：由表格可得，八年级的平均分为：（分）， ， 本次活动八年级不能获得“优秀组织奖”． 20. 近年来，某市深入挖掘消费潜力，以网红品牌激活城市经济．据调查，某网红餐饮品牌在某门店2024年10月的营业额为500万元，12月的营业额为720万元． （1）求该店营业额的月平均增长率； （2）若保持前两月营业额的月平均增长率不变，预计2025年1月该店的营业额能否超过850万元？请利用计算说明． 【答案】（1）该店营业额的月平均增长率为 （2）预计该店2025年1月的营业额能超过850万元，理由 预计2025年1月该店的营业额：（万元） ∵， ∴预计该店2025年1月的营业额能超过850万元． 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据题意正确列出一元二次方程成为解题的关键． （1）设该店2024年10月至12月营业额的月平均增长率为x，然后根据增长率问题列出方程求解即可； （2）根据（1）求得的增长率计算出1月份的营业额，然后与850万元比较即可． 【小问1详解】 解：设该店营业额的月平均增长率为，依题意得：， 解得：（不合题意，舍去）． 答：该店营业额的月平均增长率为 【小问2详解】 略 21. 如图，为的直径，的顶点D在上，边交于点C． （1）从①与相切；②；③是的平分线中选择合适的两个作为已知条件，余下的一个作为结论，编制一道题目，并完成证明过程； （2）在（1）的前提下，过点D作于点F，若，，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1） ②③作为条件，①为结论． 证明如下：连接， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， 又∵是的半径． ∴与相切． （答案不唯一：任意两个作为条件，都可以推出第三个） （2） 【解析】 【分析】（1）②③作为条件，①为结论．连接，由角平分线的定义可出，等边对等角可得出，等量代换可得出，即可证，由平行线的性质可得出，进一步即可证明与相切． （2）由角平分线的性质定理可得出，，由圆周角定理和含直角三角形的性质可出，，由勾股定理求出，，最后由即可得出答案． 【小问1详解】 （1）略 【小问2详解】 ∵是的平分线，，， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∴， 解得∶，， ∴ 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质定理，切线的性质判定以及性质，平线线的判定以及性质，圆周角定理，含直角三角形的性质，勾股定理，扇形的面积等知识，掌握这些性质是解题的关键． 22. 江西庐山素有“匡庐奇秀甲天下山”之美称．早在一千二百多年前，唐代诗人李白曾这样赞美庐山：“予行天下，所游山水甚富，俊伟诡特，鲜有能过之者，真天下之壮观也”．庐山景区为给游客提供更好的游览体验，拟在如图1景区内修建观光索道．设计示意图如图2所示，以山脚A为起点，沿途修建、两段长度相等的观光索道，最终到达山顶D处，中途设计了一段与平行的观光平台．索道与的夹角为，与水平线夹角为，点B的垂直高度为，垂足为点F．（图中所有点都在同一平面内，点A，E，F在同一水平线上．） （1）求索道的长；（结果精确到） （2）求山顶点D到水平地面的距离的长（结果精确到）．（参考数据：，，，） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查直角三角形的实际应用问题． （1）中，利用即可求解； （2）在中，，先求出的高度，再加的高度即可求解． 【小问1详解】 解：在中， 由题意得， ； 即索道的长约为． 【小问2详解】 解：如图，延长交直线于点，易得， 在中， 由题意得， 即山顶点到水平地面的距离的长约为． 23. 装有水的水槽放置在水平台面上，其横截面是以为直径的半圆，，如图1和图2所示，为水面截线，为台面截线，，半圆与相切于水槽最低点．如图1，初始情况下A，C重合，． （1）求圆心到水面的距离； （2）探究图1中的水槽沿向右无滑动的滚动，使水流出一部分，当时停止滚动，此时B，D重合，如图2． ①求水位下降的高度； ②求圆心移动的距离，并比较圆心移动的距离与半径的大小．（参考数据：，） 【答案】（1） （2）①；②，圆心移动距离大于半径（） 【解析】 【分析】（1）根据题意得，由切线定理和垂径定理得，且； （2）①由题意得，且，则即可求得水位下降的高度；②结合和得，知，得，可求得点移动的距离为的长，利用弧长公式即可求得点移动的距离，比较数字大小即可知圆心移动的距离与半径的大小． 【小问1详解】 解：在图1中，设与交于点，如图， ∵， ∴， 由题意得， ∵， ∴， 在中，∵，， ∴， ∴圆心到水面的距离为； 【小问2详解】 ①在图2中，设与的交点为，如图， ∵， ∴． ∵此时点B，D重合，是半径， ∴． 在中，∵，， ∴， ∴水位下降的高度为； ②在图2中连接， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 由题意可得点移动的距离为的长， ∴点移动的距离为． ∵半径为5， ∴． 【点睛】本题主要考查垂径定理、切线定理、解直角三角形、勾股定理和弧长公式，解题的关键是熟悉圆的知识和解直角三角形． 24. 【问题情景】 如图，在中，，点D是平面内与点A，C不重合的任意一点，连接，将线段绕点D顺时针旋转角得到线段，连接． 【观察猜想】 （1）如图1，当时，的值为______； 【类比探究】 （2）如图2，当时，请求出的值并仅就图2的情形说明理由； 【拓展应用】 （3）若，，点P是的中点，当A，D，P三点共线时，请直接写出的值． 【答案】（1） 理由如下： ， ， 同理可得，， ， ， ， ，即； （2）；（3） 【解析】 【分析】（1）可得出，从而得出 ，从而得出 ； （2）可得出，从而得出 ，从而得出 ； （3）当点在的延长线上时，可得出，从而，从而得出，可求得，进一步得出结果； 同样得出当点在上时的情形. 【详解】解：（1）略 （2）如图， ，理由如下： 过点作于点， ， ，， ∴， ∴，即， 同理可得，， ， ， ， ； （3）如图， ∵点是的中点， ， ， ， ， 当点在的延长线上时， 同理（2）可得， ， ， ， ， ， ， ， 当点在上时 (图中）此时， ， 综上所述： ． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，解决问题的关键是分类讨论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 沧州市2024—2025学年度第一学期期末教学质量评估 九年级数学试题（冀教版） 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 的值等于（   ） A. 1 B. C. D. 2. 反比例函数的图象一定经过的点是（ ） A. B. C. D. 3. 的半径为3，点到直线l的距离为4，则反映直线l与位置关系的图形（　　） A. B. C. D. 4. 若两个相似三角形的周长比，则这两个三角形的面积比是（ ） A. B. C. D. 5. 某县准备选购平均高度较一致的1000株樱花风景树来进行新修道路边的绿化，有四个苗圃生产商投标（单株樱花风景树的价格都一样）．绿化人员从四个苗圃中都任意抽查了30株树苗的高度，得到的数据如统计表所示： 甲苗圃 乙苗圃 丙苗圃 丁苗圃 树苗平均高度/m 1.8 1.8 2.0 2.0 方差 1.8 3.6 0.36 0.04 根据表中数据，请你帮绿化人员出谋划策，应选购（ ） A. 甲苗圃的树苗 B. 乙苗圃的树苗 C. 丙苗圃的树苗 D. 丁苗圃的树苗 6. 一元二次方程的根的情况为（ ） A. 没有实数根 B. 有两个相等实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 无法判断 7. 如图，点A，B，C在量角器的外圈上，对应的刻度分别是外圈，和，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点A的坐标为．若以原点O为位似中心画，使它与相似比为，则点A的对应点的坐标是（ ） A. B. 或 C. D. 或 9. 为倡导全民健身，某小区在公共活动区域安装了健身器材，其中跷跷板很受欢迎．如图，点为跷跷板中点，支柱垂直于地面，垂足为，，跷跷板的一端落到地面时与地面的夹角，则点离地面的距离是（ ） A. B. C. D. 10. 已知线段，求作线段，使，则下列作图中正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知锐角是的中点，嘉嘉、琪琪二人想在线段上找一点，使得为直角．对于嘉嘉、琪琪二人的作法，正确的是（ ） 嘉嘉的作法： 琪琪的作法： 以点为圆心，适当长为半径画弧，交直线于点 ，分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线，交于点．则点即为所求． 以为圆心，长为半径画弧，交于点．则点即为所求． A. 只有嘉嘉正确 B. 只有琪琪正确 C. 两人都正确 D. 两人都不正确 12. 如图，是平行四边形，对角线在轴正半轴上，位于第一象限的点和第二象限的点分别在双曲线 和 的一个分支上，分别过点作轴的垂线段，垂足分别为点和点，给出如下四个结论： 阴影部分的面积是 ；当时，； 若是菱形，则 ；以上结论正确的是（ ） A. ①③ B. ①②③ C. ②③④ D. ①④ 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 已知一组数据：3，4，4，x，5，5，9的平均数是5，则这组数据的众数是___________． 14. 如图，已知正六边形ABCDEF的外接圆半径为2cm，则正六边形的边心距是__________cm． 15. 为反比例函数的图像上两点，当时，有，则的取值范围是_____． 16. 已知关于的一元二次方程，若的两边的长是这个方程的两个实数根，第三边的长为5，当是等腰三角形时，的值为_____． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 用适当方法解方程． （1）； （2）． 18. 中国面食文化至今已有两千多年的历史（面条在东汉称之为“煮饼”）．厨师将一定质量的面团做成拉面时，面条的总长度是面条横截面面积的反比例函数，其图象经过，两点（如图）． （1）求与之间的函数关系式及的值； （2）某厨师拉出的面条最细时的横截面面积不超过，求这根面条的总长度至少有多长． 19. 今年是农历龙年，假期里学校组织学生进行龙灯制作活动，每班精选一项进行年级评选，校学生会组织对同学的作品按10分制进行评分，成绩（单位：分）均为不低于6的整数．对每个班的成绩进行整理，并绘制统计表，信息如表： 八年级10个班成绩统计表 成绩/分 6 7 8 9 10 班级个数 1 3 a b 1 已知八年级各班成绩只有一个众数为9分，且a、b均为正整数． 请根据以上信息，完成下列问题： （1）　　，　　； （2）八年级成绩的中位数为 　　分； （3）若年级均分高于8.5分，则认定该年级在活动中荣获“优秀组织奖”，请判断本次活动八年级能否获得“优秀组织奖”． 20. 近年来，某市深入挖掘消费潜力，以网红品牌激活城市经济．据调查，某网红餐饮品牌在某门店2024年10月的营业额为500万元，12月的营业额为720万元． （1）求该店营业额的月平均增长率； （2）若保持前两月营业额的月平均增长率不变，预计2025年1月该店的营业额能否超过850万元？请利用计算说明． 21. 如图，为的直径，的顶点D在上，边交于点C． （1）从①与相切；②；③是的平分线中选择合适的两个作为已知条件，余下的一个作为结论，编制一道题目，并完成证明过程； （2）在（1）的前提下，过点D作于点F，若，，求图中阴影部分的面积． 22. 江西庐山素有“匡庐奇秀甲天下山”之美称．早在一千二百多年前，唐代诗人李白曾这样赞美庐山：“予行天下，所游山水甚富，俊伟诡特，鲜有能过之者，真天下之壮观也”．庐山景区为给游客提供更好的游览体验，拟在如图1景区内修建观光索道．设计示意图如图2所示，以山脚A为起点，沿途修建、两段长度相等的观光索道，最终到达山顶D处，中途设计了一段与平行的观光平台．索道与的夹角为，与水平线夹角为，点B的垂直高度为，垂足为点F．（图中所有点都在同一平面内，点A，E，F在同一水平线上．） （1）求索道的长；（结果精确到） （2）求山顶点D到水平地面的距离的长（结果精确到）．（参考数据：，，，） 23. 装有水的水槽放置在水平台面上，其横截面是以为直径的半圆，，如图1和图2所示，为水面截线，为台面截线，，半圆与相切于水槽最低点．如图1，初始情况下A，C重合，． （1）求圆心到水面的距离； （2）探究图1中的水槽沿向右无滑动的滚动，使水流出一部分，当时停止滚动，此时B，D重合，如图2． ①求水位下降的高度； ②求圆心移动的距离，并比较圆心移动的距离与半径的大小．（参考数据：，） 24. 【问题情景】 如图，在中，，点D是平面内与点A，C不重合的任意一点，连接，将线段绕点D顺时针旋转角得到线段，连接． 【观察猜想】 （1）如图1，当时，的值为______； 【类比探究】 （2）如图2，当时，请求出的值并仅就图2的情形说明理由； 【拓展应用】 （3）若，，点P是的中点，当A，D，P三点共线时，请直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $