专题8.3 乘法公式（6大知识点4大考点19类题型）（知识梳理与题型分类讲解）-2024-2025学年七年级数学下册基础知识专项突破讲与练（苏科版）

专题8.3 乘法公式（6大知识点4大考点19类题型）（知识梳理与题型分类讲解） 第一部分【知识点归纳】 【知识点1】平方差公式 （1）平方差公式的推导： （a＋b）（a－b）＝a2－ab＋ab－b2＝a2－b2， （a＋b）（a－b）＝a2－b2. （2）语言叙述： 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差． （3）公式的特点： ①公式中的a和b可以是实数，也可以是单项式或多项式； ②公式的左边是两个数（式）的和与这两个数（式）的差的积，公式的右边是这两个数（式）的平方差（先平方后作差）． 【特别提示】平方差公式的特征　利用平方差公式进行乘法计算时，要看清题目是否符合公式的特点，不符合平方差公式特点的，不能用平方差公式．对于符合平方差公式的，结果要用相同项的平方减去相反项的平方，千万不要颠倒了． 【知识点2】完全平方公式 （1）两数和的完全平方公式：（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2； 两数差的完全平方公式：（a－b）2＝a2－2ab＋b2. （2）语言叙述：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加（或减）它们的积的2倍． （3） 公式的特点：两个公式左边都是一个二项式的完全平方，二者仅差一个“符号”不同，右边都是二次三项式，其中有两项是公式左边二项式中每一项的平方，中间一项是左边二项式中两项乘积的2倍，二者也仅差一个“符号”不同． （4）完全平方公式的特征：　完全平方公式总结口诀为：首平方，尾平方，首尾二倍积，加减在中央． 【知识点3】添括号法则 法则：添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号． 【特别提示】添括号法则的易错点　添括号时，如果括号前面是负号，括到括号里面的各项都改变符号，不可只改变部分项的符号，如：a－b＋c＝a－（b＋c），这样添括号时只是改变了第一项的符号，而第二项的符号没有改变，所以这样添括号是错误的． 【知识点4】平方差公式、完全平方公式的推导 从“数”和“形”两个方面都可以推导出平方差公式． （1）“数”方面：平方差公式可以用整式的乘法，用一个多项式的每一项去乘另一个多项式的每一项，合并后即可推导出平方差公式． （2）“形”方面：可以运用某个图形形状变化前后的面积不变，但面积的表达式不同来推导平方差公式． 【知识点5】添括号法则与平方差公式、完全平方公式的综合运用 添括号法则可以把某些项放到一个括号内成为一个整体，这样就能使式子变形为符合公式的形式，然后运用乘法公式再进行计算，这样使比较复杂的运算变得简单． 【知识点6】运用乘法公式解探索规律题 解决探索规律型问题，一定要认真审清题意，观察式子左右两边的变化特点，纵向、横向来寻找规律． 这类题目的解题步骤一般有：先根据给出的问题情境探究其变化规律，并用实例检验其规律的正确性，然后应用规律来解决问题，体会学以致用． 知识点与题型目录 【考点一】平方差公式 【题型1】平方差公式的辨析...................................................3; 【题型2】运用平方差公式进行运算.............................................4; 【题型3】运用平方差公式进行化简求值.........................................5; 【题型4】运用平方差公式进行有理数简便运算...................................6; 【题型5】平方差公式的逆运算.................................................8; 【题型6】平方差公式与规律问题...............................................9; 【题型7】平方差公式与几何图形..............................................11; 【考点二】完全平方公式 【题型8】完全平方公式的辨析................................................14; 【题型9】运用完全平方公式进行运算..........................................15; 【题型10】运用完全平方公式变形进行求值.....................................16; 【题型11】运用完全平方公式进行有理数的简便运算.............................18; 【题型12】求完全平方公式的字母系数.........................................19; 【题型13】运用完全平方公式进行化简求值.....................................21; 【题型14】完全平方公式与规律问题...........................................23; 【题型15】完全平方公式与几何问题...........................................25; 【考点三】平方差公式和完全平方公式综合与拓展 【题型16】平方差公式和完全平方公式综合运算.................................27; 【题型17】利用完全平方公式配方求最值.......................................28; 【考点四】中考链接与拓展延伸 【题型18】中考链接.........................................................31; 【题型19】拓展延伸.........................................................32. 第二部分【题型展示与方法点拨】 【知识点一】平方差公式 【题型1】平方差公式的辨析 【例1】（24-25八年级上·河南信阳·期末）下列各式能用平方差公式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平方差公式，两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差：．根据平方差公式的结构特征进行判断即可． 解：A、，不符合平方差公式特点，不能用平方差公式； B、，不符合平方差公式特点，不能用平方差公式； C、，符合平方差公式特点，能用平方差公式； D、，不符合平方差公式特点，不能用平方差公式． 故选：C． 【变式1】（24-25八年级上·安徽淮南·阶段练习）下列各式中不能用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平方差公式，根据平方差公式：，进行判断即可． 解：A、可以用平方差公式进行计算，不符合题意； B、可以用平方差公式进行计算，不符合题意； C、可以用平方差公式进行计算，不符合题意； D、，不能用平方差公式进行计算，符合题意； 故选D 【变式2】（23-24六年级下·山东威海·期中）认真观察下列各式，不能用平方差公式计算的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平方差公式，符合两项的和与这两项的差的积的形式，才能运用平方差公式进行计算．据此逐一判断即可． 解：A．，能运用平方差公式进行计算，故不符合题意； B．，能运用平方差公式进行计算，故不符合题意； C．，不能运用平方差公式进行计算，故符合题意； D．，能运用平方差公式进行计算，故不符合题意； 故选：C． 【题型2】运用平方差公式进行运算 【例2】（24-25七年级上·全国·假期作业）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了平方差公式． （1）利用平方差公式进行计算，然后合并同类项即可； （2）利用平方差公式计算即可． 解：（1）解： ； （2）解： ． 【变式1】（24-25七年级上·上海浦东新·期中）计算： 【答案】 【分析】本题考查了整式的乘法运算．根据多项式乘以多项式运算法则及平方差公式去掉括号，然后合并同类项即可． 解：原式 ． 【变式2】（24-25八年级上·山东济宁·阶段练习）已知，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了利用平方根解方程，平方差公式的应用，设，则，然后根据平方根的定义即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键 ． 解：设，则， ∴ ， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 故答案为：． 【题型3】运用平方差公式进行化简求值 【例3】（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）已知，求代数式的值． 【答案】． 【分析】本题考查了整式的混合运算和求值，先算乘法，再合并同类项，最后求出后代入，即可求出答案，能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键． 解： ∵， ∴， ∴原式， 【变式1】（2024·广西南宁·模拟预测）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查代入求值，涉及整式的混合运算，先将原式化简，然后将的值代入求解． 解：∵ ， ∴当时，原式． 【变式2】（24-25七年级上·上海奉贤·阶段练习）先化简，再求值，其中． 【答案】； 【分析】本题考查了整式的化简求值，利用多项式乘以多项式及平方差公式先去括号，再合并同类项，然后把，代入化简后的式子进行计算即可解答，掌握整式的运算法则是解题的关键． 解： ， 当时，原式． 【题型4】运用平方差公式进行有理数简便运算 【例4】（24-25八年级上·江苏南通·阶段练习）用简便方法计算： （1）； （2）． （3） 【答案】（1）9999；（2）1；（3） 【分析】本题考查了平方差公式，同底数幂的乘法，熟练掌握这些知识是解题的关键． （1）根据平方差公式运算即可； （2）先根据平方差公式计算，再算加减； （3）利用平方差公式计算即可． 解：（1）解： ； （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． 【变式1】（24-25八年级上·江西上饶·阶段练习）计算：（    ） A．1992 B．1993 C．1 D． 【答案】C 【分析】本题考查有理数的混合计算，平方差公式，利用平方差公式计算是解题关键．将原式变形为，再结合平方差公式计算即可． 解： ． 故选：C． 【变式2】（24-25八年级上·黑龙江大庆·阶段练习）计算： 【答案】 【分析】本题考查了平方差公式的应用，熟悉公式特点并逆用是关键；把每个因数逆用平方差公式，表示为两数的差与两数的和的形式，再约分即可． 解： ． 【题型5】平方差公式的逆运算 【例5】（24-25八年级上·福建泉州·阶段练习）若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平方差公式，已知式子的值求代数式的值，先整理原式为，结合，则得，再去括号合并同类项，即可作答． 解：∵， ∴ ， 故选：D． 【变式1】（2024八年级上·全国·专题练习）已知，则等于（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了平方差公式，根据平方差公式即可得出答案． 解：∵， ∴原式， 故选：C． 【变式2】（24-25九年级上·山东淄博·阶段练习）若，则代数式的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平方差公式，求代数式的值．解题的关键是根据平方差公式将原式化为，再整体代入化简． 解：∵， ∴ ， ∴代数式的值为． 故选：B． 【题型6】平方差公式与规律问题 【例6】（21-22八年级上·福建厦门·期中）已知下列等式：①，②，③，…根据以上式子的规律，写出第个式子， ． 【答案】 【分析】由题意得①；②；③；则可得第个式子是：． 解：①； ②； ③； ∴第个式子是：， 故答案为：． 【点拨】本题主要考查了平方差公式的应用，解题的关键在于能够准确找到式子所蕴含的规律． 【变式1】（22-23七年级下·浙江宁波·期末）观察：， ． ， 据此规律，求的个位数字是（    ） A．5 B．6 C．1 D．3 【答案】A 【分析】本题主要考查了平方差公式，根据材料找出规律是解答本题的关键．根据题目规律得出计算结果为，然后确定个位数字的规律解答即可． 解：根据题意可得规律：， ∴， ∵的个位数字是； 的个位数字是； 的个位数字是； 的个位数字是； 的个位数字是； 的个位数字是； 而 ∴的个位数字是； 故选：A． 【变式2】（23-24七年级下·湖南永州·期中）观察下列各式： ……… 这些等式反映出多项式乘法的某种运算规律．请你猜想： ． 【答案】 【分析】本题考查了平方差公式、数字的变化类，根据所列式子所反映的规律得出答案即可，发现规律是解此题的关键． 解： ……… ， 故答案为：． 【题型7】平方差公式与几何图形 【例7】（23-24八年级上·云南保山·阶段练习）如图1，从边长为的大正方形中剪掉一个边长为的小正方形，再将剩下的阴影部分剪开，拼成如图2的长方形，则根据图1、图2阴影部分的面积相等，可以得到的一个等式为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查平方差公式的几何意义，用两种方法表示阴影部分的面积是解题的关键． 由大正方形的面积－小正方形的面积=矩形的面积，进而可以证明平方差公式． 解：图1中：大正方形的面积－小正方形的面积， 图2中：矩形的面积， 依题意得：， 故答案为：． 【变式1】（24-25八年级上·北京·期中）从边长为a的大正方形纸板中挖去一个边长为b的小正方形纸板后，将其裁成四个相同的等腰梯形（如图甲），然后拼成一个平行四边形（如图乙）．通过计算两个图形阴影部分的面积，从左至右验证成立的公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平方差公式，运用不同方法表示阴影部分面积是解题的关键．分别表示出图甲和图乙中阴影部分的面积，二者相等，即可解题． 解：由图知，甲图形阴影部分的面积为， 乙图形阴影部分的长为，宽为，则其面积为， 即， 故选：C． 【变式2】．（23-24七年级下·山东聊城·期末）从边长为的正方形中减掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． （1）上述操作能验证的等式是______． A．        B．        C． （2）运用你从（1）写出的等式，完成下列各题： ①已知：，求的值； ②计算：． 【答案】（1）B；（2）①；② 【分析】本题考查平方差公式的几何背景及其在计算中的应用，熟练掌握平方差公式是解题的关键． （1）分别表示出图1剩余部分的面积和图2的面积，由二者相等可得等式； （2）①将已知条件代入（1）中所得的等式，计算即可； ②利用平方差公式将原式的各个因式进行拆分，计算即可． 解：（1）从边长为的正方形中减掉一个边长为的正方形（如图，然后将剩余部分拼成一个长方形（如图， 图1剩余部分的面积为，图2的面积为，二者相等，从而能验证的等式为：． 故选：B． （2）①， ， ； ②原式 【知识点二】完全平方公式 【题型8】完全平方公式的辨析 【例8】（24-25八年级上·山东日照·阶段练习）下列各式能用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了乘法公式．分别用乘法公式计算后即可做出判断． 解：A. ，不符合题意； B. ，不符合题意； C. ，不符合题意； D. ，符合题意； 故选：D 【变式1】（22-23七年级下·辽宁沈阳·阶段练习）下列多项式乘法，能用平方差公式进行计算的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平方差公式，平方差公式是，利用平方差公式的结构特征判断即可． 解：A、，能用完全平方公式计算，不能用平方差公式，故此选项不符合题意； B、，能用平方差公式，故此选项符合题意； C、，能用完全平方公式计算，不能用平方差公式，故此选项不符合题意； D、，不能用平方差公式计算，故此选项不符合题意； 故选：B． 【变式2】（19-20七年级·浙江金华·期中）对于的计算，追风学习小组进行了激烈的讨论，①小杰说只能用公式；②小聪说可以看成普通的多项式乘以多项式即；③小懿说可以用公式但要看准谁是a谁是b；④小王说口算就是；⑤小亮说可以转化计算，你认为谁的说法正确请写出序号 ． 【答案】①②③⑤ 【分析】根据多项式乘以多项式和完全平方公式计算即可. 解：①，正确； ②，正确； ③，正确； ④错误； ⑤，正确； 故答案为：①②③⑤ 【点拨】此题考查了多项式乘以多项式和完全平方公式计算，熟练掌握运算法则是解答此题的关键. 【题型9】运用完全平方公式进行运算 【例9】（2024八年级上·全国·专题练习）计算下列各式： （1）；（2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】此题考查了完全平方公式，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）首先利用完全平方公式计算，然后合并即可求解； （2）先分组，再按照完全平方公式计算． 解：（1） ； （2） ． 【变式1】（2024八年级上·黑龙江·专题练习）的计算结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查完全平方公式，熟记完全平方公式是解答的关键．根据完全平方公式展开求解即可． 解： ， 故选：B． 【变式2】（24-25八年级上·河南南阳·期中）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了平方差公式和完全平方公式的应用，熟记平方差公式是正确解题的关键．平方差公式．完全平方和公式，完全平方差公式． 解：． 故答案为： ． 【题型10】运用完全平方公式变形进行求值 【例10】（24-25八年级上·四川泸州·阶段练习）已知，，求： （1）的值；（2）的值． 【答案】（1）26；（2）36 【分析】（1）把变形为，再把，代入计算； （2）把变形为，再把，代入计算． 本题考查了完全平方公式的变形求值，熟练掌握完全平方公式是解答本题的关键． 解：（1）解：，， ； （2）解：，， ． 【变式1】（24-25七年级上·黑龙江大庆·期中）用乘法公式计算． （1）已知，，求的值． （2）已知，求的值． 【答案】（1）53；（2）14 【分析】（1）根据，，求和解答即可． （2）根据完全平方公式解答即可． 本题考查了完全平方公式的变形计算，求代数式的值，熟练掌握公式是解题的关键． 解：（1）解：∵，， ∴， ∵，， ∴． （2）解：∵， ∴， ∴， ∴． 【变式2】（24-25七年级上·上海嘉定·期中）已知，，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式的变形求值，多形式与多项式的乘法计算，先根据完全平方公式求出，，然后根据多相式的乘法法则把化简后代入计算即可． 解：当，时 原式 ． 【题型11】运用完全平方公式进行有理数的简便运算 【例11】（2025七年级下·全国·专题练习）计算． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，完全平方公式的应用．设，将原式转换成，再利用完全平方公式计算即可求解． 解：设， 则原式 ． 【变式1】（19-20八年级上·湖北十堰·期中）简便计算：等于（  ） A．1 B．0 C．-1 D．以上都不对 【答案】A 【分析】根据有理数的混合运算，构造平方差公式即可求解． 解：原式=100002-（10-1）×（10+1）×101×10001 =100002-（100-1）×（100+1）×10001 =100002-（10000-1）×（10000+1） =100002-100002+1 =1 故选A． 【点拨】本题考查了有理数的混合运算，构造平方差公式进行计算是解题的关键． 【变式2】（24-25七年级上·上海·期中）利用完全平方公式和平方差公式都能对进行简便计算，请你写出相应的计算过程： ；（运用完全平方公式） ．（运用平方差公式） 【答案】 【分析】本题考查了整式的乘法公式，掌握平方差公式和完全平方公式是解题的关键． （）根据完全平方公式即可求解； （）根据平方差公式即可求解． 解：； ； 故答案为：；． 【题型12】求完全平方公式的字母系数 【例12】（24-25八年级上·湖北武汉·阶段练习）若是完全平方式；是完全平方式，则和的值分别是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查完全平方公式，解题的关键在于掌握完全平方公式的结构特征．根据完全平方公式中首末两项是和的平方，中间一项为加上或减去它们乘积的2倍，可得，进而求出的值，同理求出的值，即可解题． 解：是完全平方式， ， 解得， 是完全平方式， ， 有， 故选：D． 【变式1】（24-25八年级上·山东日照·阶段练习）如果关于的整式是某个整式的平方，那么的值是 ． 【答案】或 【分析】本题考查完全平方式，根据是某个整式的平方，得到，进行求解即可． 解：∵是某个整式的平方， ∴， ∴， ∴或； 故答案为：或． 【变式2】（24-25八年级上·上海闵行·期中）如果二次三项式是完全平方式，那么k的值是 ． 【答案】/ 【分析】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．利用完全平方公式的特征判断即可得到k的值． 解：∵是二次三项式， ∴且， ∴且， ∵二次三项式是一个完全平方式， ∴， 当时，方程无解； 当时，解得：． 故答案为：． 【题型13】运用完全平方公式进行化简求值 【例13】（24-25八年级上·河南周口·期末）先化简，再求值：，其中x、y满足． 【答案】；16 【分析】本题主要考查整式的混合运算和非负数的性质，先根据乘法公式和单项式乘以多项式运算法则将括号展开，再合并得最简结果，由非负数的性质得出的值代入计算即可． 解： ， ， 解得， ∴原式 【变式1】（21-22七年级下·陕西咸阳·期中）（1）先化简，再求值：，其中． （2）已知，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了整式的混合运算，平方差公式与完全平方公式的计算； （1）先根据整式的运算法则化简，然后将x的值代入即可求出答案． （2）将已知等式两边平方，可得结果． 解：（1） 当时，原式； （2）解：∵ ∴ ∴ ∴ 【变式2】（24-25六年级上·上海·期中）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先根据平方差公式和完全平方公式去括号，然后合并同类项化简，最后代值计算即可． 解： ， 当，时，原式． 【题型14】完全平方公式与规律问题 【例14】（23-24八年级下·安徽宿州·期末）观察下列等式，并回答问题． ，，，，…． （1）将2024写成两整数平方差的形式：______． （2）用含有字母a（a为正整数）的等式表示这一规律，并用已学的知识验证这一规律． 【答案】（1）；（2），验证见分析 【分析】本题考查了找规律，用代数式表示，整式的运算，解题的关键是整理题目给出的规律． （1）利用题意得到，根据进行整理，即可解题； （2）根据题中等式进行归纳即可表示出该规律，再利用整式的运算法则即可验证． 解：（1）解：由题中等式可知，（为正整数）， ， ． 故答案为：． （2）解：由题中等式可知，这一规律为， 右边 ． 即左边右边， 这一规律成立． 【变式1】（22-23七年级下·安徽宿州·期末）观察下列算式：①；②；③；…结合你观察到的规律判断的计算结果的末位数字为（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】C 【分析】根据已知式子的特点得出规律，求出式子的结果，再求出的个位数字，最后即可得出答案. 解：由题意，得 ． 因为，，，，，， 所以2的乘方运算，其末位数字分别为2，4，8，6，每4个为一组，依次循环． 因为，所以的末位数字为6，所以的末位数字为5， 即的计算结果的末位数字为5． 【点拨】本题考查了整式的混合运算和求值的运用，主要考查学生阅读理解能力，题目比较好，但有一定的难度. 【变式2】（23-24九年级下·山东聊城·期中）如图，图中数字是从1开始按箭头方向排列的有序数阵，从3开始，把位于同一列且在拐角处的两个数字提取出来组成有序数对：；；；；…如果单把每个数对中的第一个或第二个数字按顺序排列起来研究，就会发现其中的规律，请写出第个数对： ． 【答案】 【分析】本题考查了数字的变化规律，利用拐弯处数字的差的规律求得结果是解题的关键．根据题意把每一个数对中的第一个数字和第二个数字按顺序排列起来，可发现第个数对的第一个数为，第二个数为，于是得到结论． 解：每个数对的第一个数分别为，，，，，， 即，，，，，， 则第个数对的第一个数为， 每个数对的第二个数分别为，，，，，， 即，，，，， 则第个数对的第二个数为， ∴第个数对为， 故答案为：． 【题型15】完全平方公式与几何问题 【例15】（23-24七年级下·福建三明·期中）如图，某师范大学新建校区有一块长为米、宽为米的长方形地块，中间是边长为米的正方形，设计部门计划将在中间的正方形修建一座陶行知雕像，四周的阴影部分进行绿化． （1）求绿化的面积（用含字母a、b的式子表示） （2）求出当，时的绿化面积． 【答案】（1）平方米；（2）平方米 【分析】此题考查了多项式乘多项式，以及整式的混合运算化简求值，弄清题意是解本题的关键． （1）绿化面积长方形面积正方形面积，利用多项式乘多项式法则，及完全平方公式化简，去括号合并得到最简结果； （2）将与的值代入计算即可求出值． 解：（1）解：依题意得： 平方米． 答：绿化面积是平方米； （2）当，时，原式（平方米）． 答：绿化面积是29平方米． 【变式1】（2024·河北张家口·三模）现有甲、乙、丙三种矩形卡片各若干张，卡片的边长如图1所示．某同学分别用4张卡片拼出了两个矩形（不重叠无缝隙），如图2和图3，其面积分别为，．   （1） ； （2） ． 【答案】 【分析】本题考查列代数式，根据所给的图形，用含，的代数式表示出长方形的长和宽是解题的关键． （1）根据图2中正方形的组成即可解决问题； （2）根据图3长方形的组成即可解决问题． 解：（1）由题可知，图2正方形的边长为， ∴， 根据长方形的组成得： ， ∴， 故答案为：． （2）由题可知，图3长方形的长和宽为和 ∴， ∴， 故答案为：． 【变式2】（19-20七年级下·陕西西安·阶段练习）如图，根据标注该图所反映的乘法公式是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接利用已知边长表示出各部分面积即可． 解：由题意可得： 阴影部分的面积为：，也可以表示为：， 能验证的乘法公式是：． 故选：C． 【点拨】本题考查了完全平方式的几何背景，正确表示出各部分面积是解题关键． 【知识点三】平方差公式和完全平方公式综合与拓展 【题型16】平方差公式和完全平方公式综合运算 【例16】（24-25七年级上·上海徐汇·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了整式的乘法，涉及多项式乘多项式，完全平方公式及平方差公式等知识，正确计算是解题的关键；先用平方差公式、多项式乘多项式展开，再用完全平方公式展开，最后合并同类项即可． 解： ． 【变式1】（24-25八年级上·四川南充·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了整式的混合运算—化简求值，先根据整式的混合运算法则进行化简，再根据非负数的性质求出，，代入计算即可得解． 解： ， ∵，，， ∴，， ∴，， ∴原式． 【变式2】（24-25七年级上·上海松江·期中）计算：； 【答案】 【分析】本题主要考查了平方差公式和完全平方公式，先把原式变形为，再利用完全平方公式和平方差公式进行求解即可． 解： ． 【题型17】利用完全平方公式配方求最值 【例17】（23-24七年级下·全国·单元测试）阅读材料：数学课上，陈老师在求代数式的最小值时，利用公式，对式子作如下变形：， 因为， 所以， 当时，， 因此有最小值，即的最小值为． 通过阅读，解下列问题： （1）代数式的最小值为______； （2）求代数式的最大值或最小值； （3）试比较代数式与的大小，并说明理由． 【答案】（1）1；（2）代数式的最大值为2；（3），理由见分析 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，解题的关键是正确理解配方法，本题属于基础题型． （1）根据题意给出的方法即可求出答案； （2）根据配方法即可求出答案． （3）先作差，然后利用配方法即可求出答案． 解：（1）解：∵， 又∵， ∴， ∴的最小值为1； （2）解：， ∵， ∴， ∴， ∴最大值为； （3）解：， ∵， ， 即． 【变式1】（23-24八年级下·江苏苏州·期中）已知为任意实数，则代数式的最大值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，配方法，非负数的性质，不等式的性质等知识点，熟练掌握配方法和完全平方公式的结构特征，理解非负数的性质是解题的关键． 首先利用配方法将代数式转化为，然后利用非负数的性质即可得出答案． 解： ， ， ， ， 的最大值为， 即代数式的最大值是， 故答案为：． 【变式2】（23-24七年级下·四川成都·期中）设被除的余数等于，而被除的余数等于，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式，根据题意得出被除的余数等于，，的个数，进而求得的值，根据连续5个数的平方的和被除的余数等于，进而求得后4个数字的个位数分别为，，，，即可求解． 解： ∴至中被3除余数为的数有个，至中被3除余数为的数有个，至中被3除余数为的数有个， ∵被除的余数等于，则被除的余数等于， 被除的余数等于，则被除的余数等于， 被除的余数等于，则被除的余数等于， ∵ ∴被除的余数等于，，即 又∵被除的余数等于 即连续5个数的平方的和被除的余数等于 ∴ （为正整数） 后4个数字的个位数分别为，，， ∴ ∴ ∴， 故答案为：． 第二部分【中考链接与拓展延伸】 【中考链接与拓展延伸】 【题型18】中考链接 【例1】（2024·湖南长沙·中考真题）先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【分析】本题考查整式的混合运算及其求值，先根据整式的混合运算法则化简原式，再代值求解即可． 解： ． 当时，原式． 【例2】（2024·陕西·中考真题）先化简，再求值：，其中，． 【答案】，6 【分析】本题考查了整式的混合运算以及求值．根据完全平方公式和单项式乘以多项式法则进行运算，再合并同类项，最后代入即可求解． 解： ； 当，时， 原式． 【题型19】拓展延伸 【例1】（23-24八年级上·湖北武汉·期末）已知，下列结论：①；②；③；④，其中正确的有 ．（请填写序号） 【答案】①②③ 【分析】本题主要考查了代数式的恒等变形及整体代入法求代数式的值，熟练掌握整体代入法是解题的关键．将两边同时除以x可得，由此可得①正确；将①式两边平方再化简可得②正确；由，将①代入其中可得③正确；给①式两边同乘以得，再将①式变形得，然后代入上式即可判断④错误． 解：由，得 ， ∴， 故①正确； ∵， ， ， ， 故②正确； ∵， ∴， 故③正确； 由，得， 两边同乘以，得， 又由，得， ， ， ， ， 故④错误． 综上，正确的有①②③， 故答案为：①②③． 【例2】（23-24七年级下·四川成都·期中）设被除的余数等于，而被除的余数等于，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式，根据题意得出被除的余数等于，，的个数，进而求得的值，根据连续5个数的平方的和被除的余数等于，进而求得后4个数字的个位数分别为，，，，即可求解． 解： ∴至中被3除余数为的数有个，至中被3除余数为的数有个，至中被3除余数为的数有个， ∵被除的余数等于，则被除的余数等于， 被除的余数等于，则被除的余数等于， 被除的余数等于，则被除的余数等于， ∵ ∴被除的余数等于，，即 又∵被除的余数等于 即连续5个数的平方的和被除的余数等于 ∴ （为正整数） 后4个数字的个位数分别为，，， ∴ ∴ ∴， 故答案为：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题8.3 乘法公式（6大知识点4大考点19类题型）（知识梳理与题型分类讲解） 第一部分【知识点归纳】 【知识点1】平方差公式 （1）平方差公式的推导： （a＋b）（a－b）＝a2－ab＋ab－b2＝a2－b2， （a＋b）（a－b）＝a2－b2. （2）语言叙述： 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差． （3）公式的特点： ①公式中的a和b可以是实数，也可以是单项式或多项式； ②公式的左边是两个数（式）的和与这两个数（式）的差的积，公式的右边是这两个数（式）的平方差（先平方后作差）． 【特别提示】平方差公式的特征　利用平方差公式进行乘法计算时，要看清题目是否符合公式的特点，不符合平方差公式特点的，不能用平方差公式．对于符合平方差公式的，结果要用相同项的平方减去相反项的平方，千万不要颠倒了． 【知识点2】完全平方公式 （1）两数和的完全平方公式：（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2； 两数差的完全平方公式：（a－b）2＝a2－2ab＋b2. （2）语言叙述：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加（或减）它们的积的2倍． （3） 公式的特点：两个公式左边都是一个二项式的完全平方，二者仅差一个“符号”不同，右边都是二次三项式，其中有两项是公式左边二项式中每一项的平方，中间一项是左边二项式中两项乘积的2倍，二者也仅差一个“符号”不同． （4）完全平方公式的特征：　完全平方公式总结口诀为：首平方，尾平方，首尾二倍积，加减在中央． 【知识点3】添括号法则 法则：添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号． 【特别提示】添括号法则的易错点　添括号时，如果括号前面是负号，括到括号里面的各项都改变符号，不可只改变部分项的符号，如：a－b＋c＝a－（b＋c），这样添括号时只是改变了第一项的符号，而第二项的符号没有改变，所以这样添括号是错误的． 【知识点4】平方差公式、完全平方公式的推导 从“数”和“形”两个方面都可以推导出平方差公式． （1）“数”方面：平方差公式可以用整式的乘法，用一个多项式的每一项去乘另一个多项式的每一项，合并后即可推导出平方差公式． （2）“形”方面：可以运用某个图形形状变化前后的面积不变，但面积的表达式不同来推导平方差公式． 【知识点5】添括号法则与平方差公式、完全平方公式的综合运用 添括号法则可以把某些项放到一个括号内成为一个整体，这样就能使式子变形为符合公式的形式，然后运用乘法公式再进行计算，这样使比较复杂的运算变得简单． 【知识点6】运用乘法公式解探索规律题 解决探索规律型问题，一定要认真审清题意，观察式子左右两边的变化特点，纵向、横向来寻找规律． 这类题目的解题步骤一般有：先根据给出的问题情境探究其变化规律，并用实例检验其规律的正确性，然后应用规律来解决问题，体会学以致用． 知识点与题型目录 【考点一】平方差公式 【题型1】平方差公式的辨析...................................................3; 【题型2】运用平方差公式进行运算.............................................3; 【题型3】运用平方差公式进行化简求值.........................................3; 【题型4】运用平方差公式进行有理数简便运算...................................4; 【题型5】平方差公式的逆运算.................................................4; 【题型6】平方差公式与规律问题...............................................4; 【题型7】平方差公式与几何图形...............................................5; 【考点二】完全平方公式 【题型8】完全平方公式的辨析.................................................6; 【题型9】运用完全平方公式进行运算...........................................6; 【题型10】运用完全平方公式变形进行求值......................................6; 【题型11】运用完全平方公式进行有理数的简便运算..............................7; 【题型12】求完全平方公式的字母系数..........................................7; 【题型13】运用完全平方公式进行化简求值......................................7; 【题型14】完全平方公式与规律问题............................................8; 【题型15】完全平方公式与几何问题............................................9; 【考点三】平方差公式和完全平方公式综合与拓展 【题型16】平方差公式和完全平方公式综合运算.................................10; 【题型17】利用完全平方公式配方求最值.......................................10; 【考点四】中考链接与拓展延伸 【题型18】中考链接.........................................................10; 【题型19】拓展延伸.........................................................11. 第二部分【题型展示与方法点拨】 【知识点一】平方差公式 【题型1】平方差公式的辨析 【例1】（24-25八年级上·河南信阳·期末）下列各式能用平方差公式的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25八年级上·安徽淮南·阶段练习）下列各式中不能用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24六年级下·山东威海·期中）认真观察下列各式，不能用平方差公式计算的是（    ） A． B． C． D． 【题型2】运用平方差公式进行运算 【例2】（24-25七年级上·全国·假期作业）计算： （1）； （2）． 【变式1】（24-25七年级上·上海浦东新·期中）计算： 【变式2】（24-25八年级上·山东济宁·阶段练习）已知，则 ． 【题型3】运用平方差公式进行化简求值 【例3】（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）已知，求代数式的值． 【变式1】（2024·广西南宁·模拟预测）先化简，再求值：，其中． 【变式2】（24-25七年级上·上海奉贤·阶段练习）先化简，再求值，其中． 【题型4】运用平方差公式进行有理数简便运算 【例4】（24-25八年级上·江苏南通·阶段练习）用简便方法计算： （1）； （2）． （3） 【变式1】（24-25八年级上·江西上饶·阶段练习）计算：（    ） A．1992 B．1993 C．1 D． 【变式2】（24-25八年级上·黑龙江大庆·阶段练习）计算： 【题型5】平方差公式的逆运算 【例5】（24-25八年级上·福建泉州·阶段练习）若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（2024八年级上·全国·专题练习）已知，则等于（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2】（24-25九年级上·山东淄博·阶段练习）若，则代数式的值为（    ） A． B． C． D． 【题型6】平方差公式与规律问题 【例6】（21-22八年级上·福建厦门·期中）已知下列等式：①，②，③，…根据以上式子的规律，写出第个式子， ． 【变式1】（22-23七年级下·浙江宁波·期末）观察：， ． ， 据此规律，求的个位数字是（    ） A．5 B．6 C．1 D．3 【变式2】（23-24七年级下·湖南永州·期中）观察下列各式： ……… 这些等式反映出多项式乘法的某种运算规律．请你猜想： ． 【题型7】平方差公式与几何图形 【例7】（23-24八年级上·云南保山·阶段练习）如图1，从边长为的大正方形中剪掉一个边长为的小正方形，再将剩下的阴影部分剪开，拼成如图2的长方形，则根据图1、图2阴影部分的面积相等，可以得到的一个等式为 ． 【变式1】（24-25八年级上·北京·期中）从边长为a的大正方形纸板中挖去一个边长为b的小正方形纸板后，将其裁成四个相同的等腰梯形（如图甲），然后拼成一个平行四边形（如图乙）．通过计算两个图形阴影部分的面积，从左至右验证成立的公式为（    ） A． B． C． D． 【变式2】．（23-24七年级下·山东聊城·期末）从边长为的正方形中减掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． （1）上述操作能验证的等式是______． A．        B．        C． （2）运用你从（1）写出的等式，完成下列各题： ①已知：，求的值； ②计算：． 【知识点二】完全平方公式 【题型8】完全平方公式的辨析 【例8】（24-25八年级上·山东日照·阶段练习）下列各式能用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（22-23七年级下·辽宁沈阳·阶段练习）下列多项式乘法，能用平方差公式进行计算的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（19-20七年级·浙江金华·期中）对于的计算，追风学习小组进行了激烈的讨论，①小杰说只能用公式；②小聪说可以看成普通的多项式乘以多项式即；③小懿说可以用公式但要看准谁是a谁是b；④小王说口算就是；⑤小亮说可以转化计算，你认为谁的说法正确请写出序号 ． 【点拨】此题考查了多项式乘以多项式和完全平方公式计算，熟练掌握运算法则是解答此题的关键. 【题型9】运用完全平方公式进行运算 【例9】（2024八年级上·全国·专题练习）计算下列各式： （1）；（2）． 【变式1】（2024八年级上·黑龙江·专题练习）的计算结果为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级上·河南南阳·期中）计算： ． 【题型10】运用完全平方公式变形进行求值 【例10】（24-25八年级上·四川泸州·阶段练习）已知，，求： （1）的值；（2）的值． 【变式1】（24-25七年级上·黑龙江大庆·期中）用乘法公式计算． （1）已知，，求的值． （2）已知，求的值． 【变式2】（24-25七年级上·上海嘉定·期中）已知，，求代数式的值． 【题型11】运用完全平方公式进行有理数的简便运算 【例11】（2025七年级下·全国·专题练习）计算． 【变式1】（19-20八年级上·湖北十堰·期中）简便计算：等于（  ） A．1 B．0 C．-1 D．以上都不对 【变式2】（24-25七年级上·上海·期中）利用完全平方公式和平方差公式都能对进行简便计算，请你写出相应的计算过程： ；（运用完全平方公式） ．（运用平方差公式） 【题型12】求完全平方公式的字母系数 【例12】（24-25八年级上·湖北武汉·阶段练习）若是完全平方式；是完全平方式，则和的值分别是（   ） A．， B．， C．， D．， 【变式1】（24-25八年级上·山东日照·阶段练习）如果关于的整式是某个整式的平方，那么的值是 ． 【变式2】（24-25八年级上·上海闵行·期中）如果二次三项式是完全平方式，那么k的值是 ． 【题型13】运用完全平方公式进行化简求值 【例13】（24-25八年级上·河南周口·期末）先化简，再求值：，其中x、y满足． 【变式1】（21-22七年级下·陕西咸阳·期中）（1）先化简，再求值：，其中． （2）已知，求的值． 【变式2】（24-25六年级上·上海·期中）先化简，再求值：，其中，． 【题型14】完全平方公式与规律问题 【例14】（23-24八年级下·安徽宿州·期末）观察下列等式，并回答问题． ，，，，…． （1）将2024写成两整数平方差的形式：______． （2）用含有字母a（a为正整数）的等式表示这一规律，并用已学的知识验证这一规律． 【变式1】（22-23七年级下·安徽宿州·期末）观察下列算式：①；②；③；…结合你观察到的规律判断的计算结果的末位数字为（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 【变式2】（23-24九年级下·山东聊城·期中）如图，图中数字是从1开始按箭头方向排列的有序数阵，从3开始，把位于同一列且在拐角处的两个数字提取出来组成有序数对：；；；；…如果单把每个数对中的第一个或第二个数字按顺序排列起来研究，就会发现其中的规律，请写出第个数对： ． 【题型15】完全平方公式与几何问题 【例15】（23-24七年级下·福建三明·期中）如图，某师范大学新建校区有一块长为米、宽为米的长方形地块，中间是边长为米的正方形，设计部门计划将在中间的正方形修建一座陶行知雕像，四周的阴影部分进行绿化． （1）求绿化的面积（用含字母a、b的式子表示） （2）求出当，时的绿化面积． 【变式1】（2024·河北张家口·三模）现有甲、乙、丙三种矩形卡片各若干张，卡片的边长如图1所示．某同学分别用4张卡片拼出了两个矩形（不重叠无缝隙），如图2和图3，其面积分别为，．   （1） ； （2） ． 【变式2】（19-20七年级下·陕西西安·阶段练习）如图，根据标注该图所反映的乘法公式是（    ）． A． B． C． D． 【知识点三】平方差公式和完全平方公式综合与拓展 【题型16】平方差公式和完全平方公式综合运算 【例16】（24-25七年级上·上海徐汇·期中）计算：． 【变式1】（24-25八年级上·四川南充·期中）先化简，再求值：，其中． 【变式2】（24-25七年级上·上海松江·期中）计算：； 【题型17】利用完全平方公式配方求最值 【例17】（23-24七年级下·全国·单元测试）阅读材料：数学课上，陈老师在求代数式的最小值时，利用公式，对式子作如下变形：， 因为， 所以， 当时，， 因此有最小值，即的最小值为． 通过阅读，解下列问题： （1）代数式的最小值为______； （2）求代数式的最大值或最小值； （3）试比较代数式与的大小，并说明理由． 【变式1】（23-24八年级下·江苏苏州·期中）已知为任意实数，则代数式的最大值是 ． 【变式2】（23-24七年级下·四川成都·期中）设被除的余数等于，而被除的余数等于，则 ． 第二部分【中考链接与拓展延伸】 【中考链接与拓展延伸】 【题型18】中考链接 【例1】（2024·湖南长沙·中考真题）先化简，再求值：，其中． 【例2】（2024·陕西·中考真题）先化简，再求值：，其中，． 【题型19】拓展延伸 【例1】（23-24八年级上·湖北武汉·期末）已知，下列结论：①；②；③；④，其中正确的有 ．（请填写序号） 【例2】（23-24七年级下·四川成都·期中）设被除的余数等于，而被除的余数等于，则 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$