6.5 二项式定理（2种题型基础练+能力提升练）-【上好课】2024-2025学年高二数学同步精品课堂（沪教版2020选择性必修第二册）

6.5 二项式定理 （2种题型基础练+能力提升练） 题型一： 二项式定理（共7小题） 1．展开式中的常数项为（   ） A． B． C．20 D．10 2．若，则（    ） A．10 B．0 C． D．130 3．的展开式中项的系数为（    ） A．280 B． C．448 D． 4．已知，则（   ） A．10 B．20 C．40 D．80 5．的展开式中的系数为（    ） A． B． C． D． 6．若，则（    ） A．180 B． C． D．90 7．的展开式中的常数项为（    ） A．-80 B．80 C．-160 D．160 题型二： 二项式系数性质（共9小题） 8．已知的展开式中所有项的系数之和为3，则展开式中的常数项为（    ） A． B．100 C． D．380 9．已知，则（    ） A． B． C． D． 10．已知，则（    ） A． B．此二项展开式系数最大的项为第4项 C．此二项展开式的二项式系数和为32 D． 11．在的二项展开式中，含的奇次幂的项之和为，当时，等于（   ） A． B． C． D． 12．已知展开式各项系数之和为64，则展开式中的系数为（    ） A．31 B．30 C．29 D．28 13．被100除所得的余数为（    ） A．1 B．81 C． D． 二、多选题 14．杨辉三角形又称贾宪三角形，因首现于南宋杰出数学家杨辉的《详解九章算法》而得名，它的排列规律如图所示：在第一行的中间写下数字1；在第二行写下两个1，和第一行的1形成三角形；随后的每一行，第一个位置和最后一个位置的数都是1，其他的每个位置的数都是它左上方和右上方的两个数之和.那么下列说法中正确的是（    ） A．第行的第个位置的数是 B．若从杨辉三角形的第三行起，每行第3个位置的数依次组成一个新的数列，则 C．70在杨辉三角中共出现了3次 D．记第行的第个数为，则 15．在下列关于二项式的命题中，正确的是（   ） A．的展开式中，一共有6项 B．在的展开式中，所有二项式系数的和为64 C．若，则 D．二项式，若，则 16．已知，则（    ） A． B． C． D． 一、单选题 1．的展开式中的系数为(    ) A． B． C． D． 2．在的二项展开式中，第3项的二项式系数是（    ） A．8 B． C．28 D． 3．设则中奇数的个数为 A．2 B．3 C．4 D．5 4．若，则（    ） A．1 B． C． D． 5．已知二项式的展开式中仅有第4项的二项式系数最大，则n为（    ） A．8 B．7 C．6 D．9 6．设，若，则实数a的值为（    ） A．2 B．0 C．1 D． 7．的展开式中常数项是（ ） A．-252 B．-220 C．220 D．252 8．若能被13整除，则可以是（    ） A．0 B．1 C．11 D．12 9．若的展开式中各项系数之和为，则第四项与第五项的系数之比为（    ） A． B． C． D． 10．展开式中的系数为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 11．已知二项式（且，，）的展开式中第项为15，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 12．如图，“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现，则下列关于“杨辉三角”的性质中正确的是（    ） A． B．第8行所有数字之和为256 C． D．记第20，21行数字的最大值分别为，则 13．若，则（   ） A． B． C． D． 14．若，则不正确的是（    ） A． B． C． D． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 6.5 二项式定理 （2种题型基础练+能力提升练） 题型一： 二项式定理（共7小题） 1．展开式中的常数项为（   ） A． B． C．20 D．10 【答案】B 【分析】根据二项展开式的通项公式，取即可计算求得常数项. 【详解】因展开式的通项为：， 使，解得，故展开式的常数项为． 故选：B. 2．若，则（    ） A．10 B．0 C． D．130 【答案】C 【分析】根据二项式展开式的通项特征即可求解. 【详解】，所以， 故选：C 3．的展开式中项的系数为（    ） A．280 B． C．448 D． 【答案】D 【分析】利用二项式展开式的通项特征，即可求解. 【详解】由于，则其展开式的通项为，， 令，则，所以项的系数为． 故选：D 4．已知，则（   ） A．10 B．20 C．40 D．80 【答案】C 【分析】根据二项展开式的通项公式求解即可. 【详解】二项展开式的通项公式为， 令，可得， 所以， 故选：C 5．的展开式中的系数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二项式展开式的通项公式计算即可求解. 【详解】展开式的通项为，， 又， 分别令、，分别解得和， 所以的展开式含项的系数为. 故选：C. 6．若，则（    ） A．180 B． C． D．90 【答案】A 【分析】根据题意可知将二项式变形可得，求得含的项即可得出结果. 【详解】易知， 其中展开式中含项为， 因此. 故选：A 7．的展开式中的常数项为（    ） A．-80 B．80 C．-160 D．160 【答案】C 【分析】将变形为，求出通项，令的指数为零，求出的值，再代入通项计算即可. 【详解】因为，展开式的通项为， 令，得， 所以的展开式中的常数项为， 所以即的展开式中的常数项为. 故选：C. 题型二： 二项式系数性质（共9小题） 8．已知的展开式中所有项的系数之和为3，则展开式中的常数项为（    ） A． B．100 C． D．380 【答案】C 【分析】借助赋值法，令可计算出的值，再利用二项式的展开式的通项公式计算可得其常数项即可得. 【详解】对于，令，则，故， 的展开式的通项公式为， 故的展开式中的常数项为： .故选：C. 9．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知条件，结合二项式定理，利用赋值法逐项求解各个选项即可. 【详解】令，得，故A不正确； 令，得，所以，故B不正确； 令，得， 所以，故C正确； 令，得，所以D不正确. 故选：C 10．已知，则（    ） A． B．此二项展开式系数最大的项为第4项 C．此二项展开式的二项式系数和为32 D． 【答案】D 【分析】对A：借助二项式的展开式的通项公式计算即可得；对B：计算出第4项的系数可得其小于0，再计算出第1项的系数可得其大于0，可得其错误；对C：借助二项式系数和为计算即可得；对D：借助赋值法，令代入计算后结合即可得. 【详解】对A：，则，故A错误； 对B：，即第4项的系数为， 令，有，故B错误； 对C：，故此二项展开式的二项式系数和为，故C错误； 对D：令，则，又， 故，故D正确.故选：D. 11．在的二项展开式中，含的奇次幂的项之和为，当时，等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用二项式定理得的二项展开式，令分别取、得到两等式，令两等式相减即可得解. 【详解】由题得， 所以当时有①， 当时有②， 所以①②得， 故.故选：B. 12．已知展开式各项系数之和为64，则展开式中的系数为（    ） A．31 B．30 C．29 D．28 【答案】C 【分析】先由赋值法得到关于a的方程求出a，接着求出二项式展开式中含和的项即可求出展开式中含的项，进而得解. 【详解】令得，解得， 二项式的展开式的通项公式为且， 所以当时，；当时，， 所以二项式展开式中含的项为， 所以二项式展开式中的系数为.故选：C. 13．被100除所得的余数为（    ） A．1 B．81 C． D． 【答案】B 【分析】由二项式定理将展开，即可得出答案. 【详解】． 前91项均能被100整除，剩下两项为， 显然8281除以100所得的余数为81． 故被100除所得的余数为81． 故选：B. 二、多选题 14．杨辉三角形又称贾宪三角形，因首现于南宋杰出数学家杨辉的《详解九章算法》而得名，它的排列规律如图所示：在第一行的中间写下数字1；在第二行写下两个1，和第一行的1形成三角形；随后的每一行，第一个位置和最后一个位置的数都是1，其他的每个位置的数都是它左上方和右上方的两个数之和.那么下列说法中正确的是（    ） A．第行的第个位置的数是 B．若从杨辉三角形的第三行起，每行第3个位置的数依次组成一个新的数列，则 C．70在杨辉三角中共出现了3次 D．记第行的第个数为，则 【答案】BCD 【分析】A选项，由杨辉三角形的特征，可直接判断A错；B选项，由题意易知，根据累加法即可判断B正确；C选项，根据，可判断C正确；D选项，逆用二项展开式，得到 ，即可判断D正确. 【详解】A选项，第行的第个位置的数是，故A错； B选项，由题意可得，，， 则,，,......，， 以上各式相加得：， 因此，故B正确； C选项，由于，不妨设，令， 当时，，所以； 当时，，无正整数解； 当时，，当时，；当时，；而递增，从而，无正整数解； 当时，，当时，；而是第九行最中间的数，杨辉三角中以该数为顶点的下方三角形区域中的数都大于， 所以当时，，70在杨辉三角中共出现了3次，故C正确； D选项，第行的第个数为，则， 因为 ， 所以.故D正确；故选：BCD 15．在下列关于二项式的命题中，正确的是（   ） A．的展开式中，一共有6项 B．在的展开式中，所有二项式系数的和为64 C．若，则 D．二项式，若，则 【答案】ABC 【分析】应用展开式的性质判断A；利用展开式二项式系数的和公式求解判断B；令与，可求得的值判断C；求得中的系数即可计算判断D. 【详解】对于A，二项式展开式一共有6项，A正确； 对于B，在的展开式中，所有二项式系数的和为，故B正确； 对于C，令，可得， 令，可得，所以，故C正确； 对于D，二项式， 则， 令，得，则，故D不正确.故选：ABC. 16．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】利用赋值法即可求解ABD，由二项式展开式的通项特征即可求解C. 【详解】， 令时，解得，故A正确； 令，解得，故，故B正确； 根据二项式的展开式的通项，， 当时，，故C错误； 令，解得，故， 故，D正确； 故选：ABD 一、单选题 1．的展开式中的系数为(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先写出展开式的通项公式，根据已知条件求得代入展开式即可求解. 【详解】的展开式的通项为,， 根据题意得，解得：，则含的项为， 故的展开式中的系数为. 故选：B. 2．在的二项展开式中，第3项的二项式系数是（    ） A．8 B． C．28 D． 【答案】C 【分析】利用二项式系数的意义求解即可. 【详解】第3项的二项式系数为. 故选：C. 3．设则中奇数的个数为 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】根据二项式定理分别求出后可得． 【详解】由可知：均为二项式系数， 依次是, 因为，，，，， 所以中奇数只有两个， 故选：A. 4．若，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】利用赋值法可得答案. 【详解】令，得， 故选：B. 5．已知二项式的展开式中仅有第4项的二项式系数最大，则n为（    ） A．8 B．7 C．6 D．9 【答案】C 【分析】分析可知，二项式的展开式共项，即可求出的值. 【详解】因为二项式的展开式中仅有第项的二项式系数最大， 则二项式的展开式共项，即，解得. 故选：C. 6．设，若，则实数a的值为（    ） A．2 B．0 C．1 D． 【答案】A 【分析】对已知关系式两边同时求导，然后令，建立方程即可求解. 【详解】对已知关系式两边同时求导可得： ， 令，则， ，即，解得：. 故选：A. 7．的展开式中常数项是（ ） A．-252 B．-220 C．220 D．252 【答案】A 【分析】化简二项式为，求得展开式的通项，令，求得，代入即可求解． 【详解】由， 可得二项式的展开式通项为： ， 令，解得， ∴展开式的常数项为． 故选：A． 8．若能被13整除，则可以是（    ） A．0 B．1 C．11 D．12 【答案】B 【分析】利用二项式定理展开，然后根据整除列式计算即可. 【详解】因为 ， 又因为能被13整除， 所以能被13整除，观察选项可知可以是.故选：B. 9．若的展开式中各项系数之和为，则第四项与第五项的系数之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先令，根据各项系数之和解得，再求对应项系数计算比值即可. 【详解】的各项系数和：令，则， 所以，所以的通项，第四项的系数：令，得， 第五项的系数：令，得， 所以. 故选：D. 10．展开式中的系数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出各项展开中的系数，再利用组合数的性质求和即可. 【详解】的系数分别为， 故展开式中的系数和为 . 故选：A. 二、多选题 11．已知二项式（且，，）的展开式中第项为15，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】利用二项展开式的通项公式可求的值，可判断A，B项；再利用排列数和组合数的运算性质判断C，D项. 【详解】由二项式定理可得：， 则得，解得：，故A,B项正确； 因，故C错误； 因，，故可得，即得D错误. 故选：AB. 12．如图，“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现，则下列关于“杨辉三角”的性质中正确的是（    ） A． B．第8行所有数字之和为256 C． D．记第20，21行数字的最大值分别为，则 【答案】BC 【分析】根据“杨辉三角”，利用组合数的计算可判断A和C；利用二项式系数的性质可判断B和D. 【详解】对于A，， 所以，故A错误； 对于B，由二项式系数的性质知，第行各数的和为， 所以第8行所有数字之和为，故B正确； 对于C， ，故C正确； 对于D，第20行数字的最大值为，第21行数字的最大值为， 所以，故D错误. 故选：BC. 13．若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】由二项式令可求，取可求所有系数和，由此判断AB；取，结合二项式展开式的通项公式求，判断C，取，结合的值判断D. 【详解】令，得， 令，得， 所以， 所以A正确；B正确； 令，则，所以， 因为二项式的展开式的通项公式为，， 所以，故C不正确； 令，得， 所以，故D正确. 故选：ABD. 14．若，则不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】利用赋值法，即可判断各选项的正误. 【详解】时，A正确； 时； 时； 所以两式相减化简得，，B错误； 两式相加化简得，又， 所以，C错误； ，D正确. 故选：BC 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$