第1章 3 乘法公式-【鸿鹄志·名师测控】2024-2025学年新教材七年级下册数学（北师大版2024）

(吉)一动十录子几.解，1为了=所世好==（国为子= -+105一10y.{x=-131时.原式=--1P+0X-1》X8-0×g 参考答案 一L,n解1(1》4十21(4w+21一21.十4=42+20A十的-一46 W一2x+1+w).有.第略砖的面积为（型+1a0十W(2)当■=2， 第一意整式的乘除 乳爆拓兼 A时.席式一2×乎十18x2×名十2×型，答，当a一2，h=3时.圆要插地 1幂的采除 18解：分以下3件棉配：①当2x+3-1时，解得一一1，支时x+2现-22内.则12 防的度肤是Ng配 第1深时同底数器的兼法 3r一Pm-1.所以工--13当9十3-一1时.解得2--2，比时+224 韩力慢升 11H12A1线C4解：(1根据题度，得(8e十)(2一50=一6x十2山 越理过美 202.则2+1TW=一1附=1，桥以x-一2：①背士十1024m0时，解厚r= 1.D1D王D4.期，(11原式==x第式=-a4一-a':3)短式 一意24，此时2：+3==4045，则2+1P=(一45P=1.所以一-g必1检 5n-2--w1一【w,博-1w=一2，第得w=52(3x一1〔2一1=- ( -()-立，C6C9.0【使m,四为=g· 上所连，当x一1，或一公.成x■一26@4时，代数式2十1+甲的值为1， 菜石课时用科李记数法表乐绝对值小于1的数 思维既据 ,=,所以=科，质以g=1属94×pW 15解，11式m一a6+0一bm一4(h护+(a于一8bm一4×g+6×☒ 能力遵升 蒂影过关 8×3--m十54-4=-8(g四为4F十4-1=0，所以w5十4=12=1一4.源式 1报C11.C12.43.解，183T421因为(3.=4，B,1=6,(3,09mc,情 1B2A1C4丽：1)第式=48×102)原式=-气时×10，》聚式 a·t++2四5=(1-》·M+2:+25=址-0++2世=a+a+2= 分日8=5子6=0，折以于×子=一=3，以d十b=6 人阁×10。三.已长A7解，(1每式一4000212力某式=102 【+22西w含2 第2深时军的乘方 能力提界 3乘法公式 装B线C推明，9×10-=LeG地品答，用小数表示1m氧气的质量是 整移过关 第】深时平方差公式的认识 1.Ⅱ15【应式】玉A4解，1)原式=1源式-.5可我3 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1a”+19-×(深-11+D-- 基建过美 是2版式-中+-1m新明为广一产-3所线广 第2课时平才差公式的综合应用 1C2人D4广5解，聚式-（一宁)-安2原式-了+y- 《-y-y·×+(y-广y=+P-×=7+15 基裙过关 (厚式-一)-发4》原式一—y女(x-y=x一)，4D【宜式到 5-21L,解：的级 L.A11001100223目4解.41)￥式-(0+3)×(0阳一8=0= 2深时单（多）项式泉多式 无D名在多M士1，解：0第式-高(2原式-1a)惊式-一+-1-名 单=5030-b=2562眼式-0-么卦×(0十位29=的-L竖-160 蒂留议类 能力规开 1B2D天64.D5解：1D原式-2y·1y+2s·1y+2y·t-2) 4-3,以5A《C3解原式--4+-=—斗+五8解原 2心a县4≠-2且x修5.18前，两为0产3,0-高 ry+r-n2)原减-ry(-a-2w·《-3y)-12r+uw 式-一1+（一子）-y-+心-￥-y-当=号y2时，醇 6B7CR幅，1i绿式=2x+6r十2r十4=8x+8r十：2组式=-a+省 的-合时-青R1之-r+-1户y+gr一（合）+ +女-城+-十，解期式-子十2y一一2+y+g一y 或-号×2--1-4一3 第1百（共48氨） 第2页（失48算） 第3氧《共8有) 儒力线开 =(一1+(+1)+L国为r-1)y20,fy+1),所风x一1)-+(y+1)1+1+2=0:30式=4a+4+0-(4a一位)门+4=(4a+6十古-4a+01+2= 失非0C11.一上12.解，大分得，得+31r一8》十165一士=1.大桥号，4 L斯以不论y取什么值，多明式广+一十2y+3的值德是正数。 14A十21÷第=2✉+4当4=，6=一1时，知式=2×2-1-3：(4厚式=w一4 16x一1十一1F■1，移到，合并制类项，得u=1位方程的再边除以，得 纺实基础专题乘法公式 》+一-m-w一一1专一改一乡调为十支十h-所 务队解，式-+-2一出-一做为d-一1=0以 1解：1》原式=(2)=4361=w2-W,(2)原式=-=Ay-产16y3)厘 以。一多一3.所份源式-6+1一6-上我解：1复武-了十十子+数+1 =1,所以期式-广一)=4-望×1一4=一21具解，11=对2(w-m 式62+25+y40单式队-=4一wb+2厚我2一 一=4一W=a+0(u一1=0X清=风答：A1比多L的他用值阴为， =4+20十25y7:6每)原式2-u+1一+1=一+2：《7)期式■(- +2)+1.同为22-清=0.所以+2r=器，所源式-2×3十1=7)原式 思维拓馨 w十)(w-=(w一1（一）=一+，)厚式 -2yy-2+y++g+y-》◆y=口-2e-立 线解，【探究】+ba-=过-#【位川】11d2)第式-20-(2心5+1》× 《4-3y1+y=-9y领式==(3w-1门[4+3w1]-(2P(3动 20≤一1)=1C5-2g-1)#竖0行-12+11：【颗展】浆式(100+99外 =4-W+18M-9(》短式物[r一H+2P+41=[(一4+437= -士2以，因为y红-m.所双xy--勿所以果式-×-0)--0 ×10-月)+(5g+57刀X0g-97+一+4+JD×(4一3)十2+11×(1-1)=190+ -16■-38+263解.(1原式=410-11×(10十10×1间十1m100 式=4一y一+小y+Y-4y-生因为y=2,衡以原式 1面++7+15a 一11×400十1=f一1=499，（源式=204-(204一10×224十1） 一4×26的■一80，(4银式子一2+一w十ym4y-万■4Ky一罗 第司漾时完全平方公式的认识 802-(2论年-1)-C一2心+1-1.41长4k第：(1》原式=*， 州为y)中3-，所以y一=一5，所以家式一4×《-=队 据德过关 r)-19+16-212银式-r十yY-BxJ一14+24=40(8》厚式=山+y-w 第一章整合与提升 1,11D美士24第：(1)里大-5+w+12)象大=-3P+3·#· 。16+2线 高频考点突炫 (-D+(2-一1+，(30原式-(2+)=42+4y+.&第(1期式 4竖式的除法 LD2C天C4DE2D天.&.75×108.A线.C很第L.上2 了+2+1+4--2：+当-1时，矩式一240=7(2)原.式-(16，+6+0》= 落秘议美 2解：1期式-y+1-y)=F,42原式=一1r十5-5户+4 6,-a6+-th+一1大h一8-6到为子所以期式-6 LB2.D3.D4.A线解，1)第式■-N日2)原式m山y+y四/： 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(0+壹)-10+2×0mx号十（宁）-100十5Ar-2x+1 思果后和 常考量恒须适 17.1P+++2++r+12 工，解：1累式十a十一一如十4(2白家式一u一2b十46-4心+a=w一 L日1D3C43w玉D西2三4解，第式=+uy十子一+y B4,(39原式-+0y-(P=2+4+h一2.落到 计算强化练整式的平除 能力罐开 1解：1夏式-一10y42夏式-72·（一=-之2,3式-a6 一y-4一（宁）一要.原式-×（宁）关-×是× D电C1,D【立式】52第：设源正方无章群的道长考了m根界延童，图 -小-(4)式--2：-15-了42山=一1i.2解，(130式=2原式 ()×-××（×）-1×-1性-一 (十D一-一子.整理，得6==4十，解得g=天所以原正方形Q平 -形(w）08原式-1y+a山厦式-(2+a =6,期行一H一)■6-1e+6=-小+（上一2）-3，所以（行一Y十一2y 的自机为广一了-省人日解，一7区1+(204￥子=a-1+1g4 云+a+6-2hw容一2汉2=9-4■1(2》①士一1-1西同为长方用 aP=a-10☒3(201-》-a18☒+2041+262C-4224-a)=1+ r-r-号+名1馨，1厚武--2(-ry+4ry-2ry T的积是，断队F·一一)a一)=8，刷影年分的度积★一 2×204T=4006 ry-1可白果式一十ry--ry原或--2一-(4y =(一1-(x-P,设一1一a,—1=A,明一一368a-b=(—1 围推佑属 1-)-2,联以a+6)-a十6=2+4×清=6，所以4+-土气.又因为4中 14解，目小眼等式可化真为+2十(y一4中D,所以：+1”0，)一4时区辉以= r+2一0r一5一2++：=P一一成=2时，复式=3解一一5= 厂L所u义-与-2以+-红++1--14与y+3+1+12源式-2+8w-4-o.汽a-寺4，至式-4-（吉）- 些第分的面积为 第4丽（共48氨） 第5页（失48真） 第6氧《共8菊)3 乘法公式 第1课时 平方差公式的认识 ②基础过关。逐点击破 6.(2024·湖南长沙)先化简，再求值：2m一 知识点1用平方差公式进行运算 m(m-2)+(m+3)(m-3).其中m-号 1.计算(1+y)(1一y)的结果是 A.1+y B.-1-y C.1-y2 D.-1+y 2.下列各式能用平方差公式计算的是( A.(a+b)(b+a) B.(2a+b)(2b-a) C.(a+1)(-a-1) 知识点2连续用平方差公式进行运算 D.(2a-1)(2a+1) 7.计算(1一a)(1十a)(1+a)的结果是( 3.下列式子中，和4x2一5y相乘能用平方差公 A.1-a B.1+a 式进行计算的是 C.1-2a2+a D.1+2a”+a A.4x2+5y B.-4x2+5y 8.计算： C.(4x2-5y)8 D.(4x2+5y) (1)(a+b)(a-b)(a2+b): 4.(2024·上海)计算：(a十b)(b-a)= 5.计算： (1)(m+2)(m-2n): (2)(m2+1)(m+1)(m-1)-(m+1). 23a-1(3a+1): (3)(xy-2)(xy+2): ?易错点利用平方差公式时，没有把单 项式的系数进行平方 9.下列计算正确的是 (4)(2x-y)(-2.x-y). A.(a+3b)(a-3b)=a2-3b B.(-a+3b)(a-3b)=-a2-9b C.(-a-3b)(a-3b)=-a+9b2 D.(-a-3b)(a+3b)=a2-9b 11名师测控·数学七年级下册配BS版 阅能力提升0整合运用 ⊙思维拓展。学科素养 10.在等式（一a-b)( )=a2一b中，括号 16.小明在计算(2+1)(22+1)(2+1)(2+ 中应填的多项式是 ( 1)(26+1)时是这样分析的：这个算式里面 A.a-b B.a+b 每个括号内都是两数和的形式，跟平方差 C.-a-b D.b-a 公式类似，但是需要添加两数的差，于是将 11.若(x+1)(x-1)(x2+1)(x+1)=x”-1, 算式乘(2一1)，并做了如下的计算： 则n的值为 ( (2+1)(22+1)(2+1)(28+1)(26+1) A.16 B.8 C.6 D.4 =(2-1)(2+1)(22+1)(24+1)(2+ 12.已知m十1=3，m-n=2,则m2-2的值为 1)(216+1) =(22-1)(22+1)(2+1)(28+1)(216+1) 【变式】(2024·四川凉山州)已知a2-b= =(2-1)(2+1)(28+1)(216+1) 12,且a一b=-2,则a+b= =(28-1)(28+1)(218+1) 13.新视角新运算阅读理解：引入新数i,新数i =(216-1)(216+1) 满足分配律、结合律、交换律，已知严= =22-1 一1，那么(1十)·(1一i)的值为 请按照小明的方法计算： 14.已知a,b为有理数，式子[2a2一(a一b)(a十 (3+1)(32+1)(3+1)(38+1)(316+1). b)]-[(2-a)(a+2)+(-b-2)(2-b)]的 值与b的取值有关吗？请说明理由. 15.某游乐中心决定建一个长方体游泳池，已 知游泳池的长为(4a2+9b)m,宽为(2a+ 3b)m,深为(2a一3b)m,请你计算一下这个 游泳池的容积是多少 第一章整式的乘除12 第2课时平方差公式的综合应用 ②基础过关。逐点击破 (2)59.8×60.2. 知识点1利用图形验证平方差公式 1.观察下列图形，从图①到图②可用式子表示 为 知识点3平方差公式的灵活应用 图① 图② 5.若等式(-x2-y2)( )=y一x成立，则 A.(a+b)(a-b)=a2-b 括号内应填入下式中的 ( B.a2-=(a+b)(a-b) A.x2-y2 B.y-x2 C.(a+b)2=a2+2ab+b2 C.-x2-y2 D.2+y D.a2+2ab+b2=(a+b)2 6.如果用平方差公式计算(x一y十5)(x十y十 知识点2利用平方差公式进行简便运算 5),那么可将原式变形为 ( ) 2.运用平方差公式计算： A.[(x-y)+5][(x+y)+5] 1002×998=( B.[(x-y)+5][(x-y)-5] )=10002 2=999996. C.[(x+5)-y][(x+5)+y] 3.用简便方法计算40号×39号变形正确的 3 D.[x-(y+5)][x+(y+5)] 是 7.计算：(2-2)(2x+2)+(-3+0(-x-3). A(40+号)(39+号》 B(0+号)40-) C(40+3(40-3) D(40-号)40-号) 8.(2024·山东济宁)先化简，再求值：x(y一 4.运用平方差公式计算： 4+(2z+0(2x-0,其中x-2y=2. (1)503×497: 13名师测控·数学七年级下册配BS版 阅能力提升0整合运用 (1)用含a,m的代数式表示A中能使用的 9.如图是将一个正方形放入一个司 面积： (2)若a十b=10,a-b=5,求A比B多出 大正方形中形成的图形，两个正 的使用面积. 方形的边长相差3，阴影部分的 面积为51，则较小正方形的面积是( A47 B.49 C.51 D.53 10.题生活应用从前，有一位地主把一块边 长为am(a>6)的正方形土地租给租户张 老汉.第二年，他对张老汉说：“我把这块地 ○思维拓展○学科素养 的一边增加6m,相邻的另一边减少6m, 15.【探究】如图①，边长为a的大正方形中有 变成长方形土地继续租给你，租金不变，你 一个边长为b的小正方形，把图①中的阴影 也没有吃亏，你看如何？”如果这样，你觉得 部分拼成一个长方形（如图②所示），通过 张老汉的租地面积会 A.没有变化 观察比较图②与图①中的阴影部分面积， B.变大 C.变小 可以得到乘法公式 .(用含a, D.无法确定 b的等式表示)》 11.计算：799×801-8002= 12.解方程： 4r+34r-3)+8x6-)=2 图① 图② 【应用】请应用这个公式完成下列各题： (1)已知4m2=12+n2,2m+n=4,则2 n的值为 ； (2)计算：20252-2026×2024； 【拓展】 计算：1002-992+982-97+…+4-32+ 13.已知5.x2-x-1=0,求代数式(3x+2)(3.x 22-12. 2)+x(x-2)的值. 14.如图，学校劳动实践基地有两块边长分别 为a,b的正方形秧田A,B,其中不能使用 的面积（阴影部分）为m. 第一章整式的乘除14 第3课时 完全平方公式的认识 基础过关。逐点击破 (2)已知ab=寻，求(4a+b)2-(4a-b)2 知识点1用完全平方公式进行运算 的值 1.计算(a一1)2正确的是 ( A.a2-a+1 B.a2-2a+1 C.a2-2a-1 D.a2-1 2.下列计算正确的是 A.(-2a-1)2=-4a2-4a+1 B.(2a+1)2=4a2+1 C.(-a-1)2=-a2-2a+1 D.(2a-1)2=4a2-4a+1 3.已知y2一my十1是完全平方式，则m的值 是 4计算： 知识点2用图形验证完全平方公式 (1)(5mm+1)2; 6.如图，将图①中阴影部分拼成图②，根据两 个图形中阴影部分的关系，可以验证下列哪 个计算公式 ( (2)(-3+2a)2: 图① 图②四 A.(a-b)2=a2-2ab+b2 (3)(-2x-y)2 B.(a+b)2=a2+2ab+b2 C.(a-b)2=(a+b)2-4ab D.(a+b)(a-b)=a2-b2 7.图①是一个长为2m,宽为2n(m>n)的长方 形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它 分成四块形状和大小都一样的小长方形，然 5.(1)先化简，再求值：(x+1)2+(2+x)(2 后按图②那样拼成一个正方形，则中间空白 x),其中x=1: 部分的面积是 图D 图② A.2mn B.(m+n)2 C.(m-n)2 D.m2- 15名师测控·数学七年级下册配BS版 阅能力提升0整合运用 你还有其他解法吗？试一试吧！ 8.婷婷在计算一个二项式的平方时，得到的正 确结果是9x2十24xy十■，但最后一项不慎 被污染了，这一项应是 ( A.16y B.8y2 C.4y D.土16y2 9.若(x十m)2=x2一6.x十，则m,n的值分别 为 ( A.3,9 B.3,-9 C.-3,9 D.-3,一9 10.如图，C是线段AB上的一点，以AC,BC 为边在AB的两侧作正方形.若AB=6,两 个正方形的面积和S+S2=20,则图中阴 思维拓展。学科素养 影部分的面积为 13.从特殊到一散观察下列等式： 第1个等式：(2×1+1)2=(2×2+1)2 (2×2)2, 第2个等式：(2×2+1)=(3×4十1)2 (3×4)2, 11.做学文化杨辉三角（教材P2“阅读·思考”变 第3个等式：(2×3+1)2=(4×6+1)2 式)我国古代数学的许多创新和发展都位 (4×6)2. 居世界前列，如南宋数学家杨辉（约13世 纪中叶)所著的《详解九章算法》一书中，用 第4个等式：(2×4十1)2=(5×8+1)2一 如图所示的三角形解释二项和(a十b)”的 (5×8)2, 展开式的各项系数，此三角形被称为“杨辉 0* 三角”.根据“杨辉三角”，设(a十b)5的展开 按照以上规律，解答下列问题： 式中第三项的系数为m,(a十b)°的展开式 (1)写出第5个等式： 中第三项的系数为1，则m十n (2)写出你猜想的第n个等式（用含n的式 (a+b)……1 子表示)，并验证 (a+b)……1 (atb)）…l (a+b)…1 (a+b)…146 12.(教材Ps习题Tg变式)课堂上，老师出了 这样一道题：计算(a一b+2c). 小明的解法是： (a-b+2c)2 =[(a-b)+2c] =(a-b)2+2(a-b)·2c+(2c)2 =a2-2ab++4ac-4bc+4c2. 第一章整式的乘除16 第4课时完全平方公式的综合应用 ②基础过关。逐点击破 知识点2与完全平方公式有关的综合 知识点1运用完全平方公式进行简便 运算 计算 5.(a-b+c)(一a十b-c)与下列哪个式子相 1.将9.5变形正确的是 等 A.9.52=92+0.5 A.-(a-b+c) B.9.52=(10+0.5)(10-0.5) B.c2-(a-b) C.9.5=102-2×10×0.5+0.5 C.(a-b)2-c2 D.9.5=92+9×0.5+0.5 D.c2-a+62 2.运用完全平方公式计算79.82的最佳选择 6.计算：(x+1)(x-1)(x2-1)= 是 7.计算： A.(79+0.8)2 B.(70+9.8) (1)(a+2)2-a2: C.(80-0.2)2 D.(100-20.2)2 3.计算： (1)0.982=(1 )2 (2)10022=( 4.计算： (1)1992: (2)(3a-2b)2-(a-2b)(-a-2b): (2)472-94×27+272: (3)(a+2b+3c)(a+2b-3c). (3(1002月 ?易错点运用完全平方公式变形时错误 8.(2024·四川乐山)已知a一b=3,ab=10,则 a2+b= 17名师测控·数学七年级下册配BS版 阅能力提升0整合运用 13.已知(2023-a)(2024-a)=2047,求(a- 9.数学思想整体思想已知2：一a一3=0，则(2a十 2023)2+(2024-a)2的值. 3)(2a-3)+(2a-1)2的值是 ( ) A.6 B.-5 C.-3 D.4 10.对于等式(a十b)”=a2+b,甲、乙、丙三人 有不同看法，则下列说法正确的是( 甲：无论a和b乙：只有当丙：当a=0或 取何值，等式a=0时，等式b=0时，等式 均不能成立 才能成立 成立 思维拓展学科素养 A.只有甲正确 B.只有乙正确 14.选若m+2mn+2r-6n+9=0,求器 C.只有丙正确 的值 D.三人说法均不正确 解：因为m2+2m1+2一6n十9=0， 11.如图，长为a、宽为b的长方形的周长为14， 即m2+2m+n2+2-6n十9=0， 面积为10，则a2+?的值为 ) 所以(m十n)2十(n一3)2=0. A.140B.70 C.35 D.29 所以m十n=0,n-3=0. D 所以n=3,m=一3. 3 (第11题图) (变式题图) 根据你的观察，探究下面的问题： 【变式】如图，长方形ABCD的周长为16， 以这个长方形的四条边为边长分别向外作 (1)若x2+4x+4+y2-8y+16=0求 7 四个正方形.若四个正方形的面积和等于 的值； 68,则长方形ABCD的面积为 (2)试说明：不论x,y取什么值，多项式 12.某公园有一块正方形草坪，需要修整成一 x2+y2一2x+2y十3的值总是正数， 块长方形草坪，在修整时一边长加长了 4m,另一边长减少了4m,这时得到的长方 形草坪的面积与原来正方形草坪的边长减 少2m后的正方形面积相等，求原正方形 草坪的面积是多少. 第一章整式的乘除18