专题7.4 平行线的性质与判定（分层专项练习）-2024-2025学年七年级数学下册基础知识专项突破讲与练（人教版）

专题7.4 平行线的性质与判定（分层专项练习） 第一部分：夯实基础.............................................................................................................1 第二部分：链接中考...........................................................................................................12 第三部分：培优拓展...........................................................................................................23 第一部分：夯实基础 一、单选题 1．（24-25七年级上·江苏南京·期末）如图，下列选项不能得到的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定是解题的关键．根据平行线的判定，对选项逐一分析判断即可． 解：A、， （内错角相等，两直线平行），故此选项不符合题意； B、， （内错角相等，两直线平行），不能得到，故此选项符合题意； C、， （同位角相等，两直线平行），故此选项不符合题意； D、， （同旁内角互补，两直线平行），故此选项不符合题意． 故选：B． 2．（2024七年级上·全国·专题练习）若将一副三角板按如图所示的方式放置，则下列结论不正确的是（   ） A． B．若，则有 C．若，则有 D．若，必有 【答案】C 【分析】本题主要考查平行线判定与性质、余角和补角，根据两种三角板的各角的度数，利用平行线的判定与性质结合已知条件对各个结论逐一验证，即可得出答案． 解：A、∵， ∴， ∴，正确，不符合题意． B、∵， ∴， ∵， ∴， ∴，正确，不符合题意． C、∵， ∴， ∵， ∴不平行于，原来的结论错误，符合题意． D、由可得，正确，不符合题意． 故选：C． 3．（24-25八年级上·湖南长沙·期末）如图，已知，与交于点，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质，垂直的定义，根据两直线平行，内错角相等可得，根据垂直的定义可得，然后根据平角等于列式计算即可得解． 解：如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：D． 4．（2024·广东·模拟预测）如图，已知，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，先根据内错角相等，两直线平行得到，再根据两直线平行，同位角相等即可得到． 解：如图所示， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 5．（24-25八年级上·河北保定·期末）如图，在四边形中，，，求证：．证明过程如下，则“…”处补充的过程为（    ） 证明：∵，，…，∴． A．∴，∴ B．∴，∴ C．∴ D．∴ 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，掌握平行线的判定和性质是解题关键．由同旁内角互补，可判断，再根据两直线平行，内错角相等，即可得到答案． 解：∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 6．（24-25七年级上·四川眉山·期中）如图，两平行线间有一个三角形和一个平行四边形，它们的底分别为a和b．当（    ）时，三角形的面积大于平行四边形的面积． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是三角形和平行四边形的面积公式，平行线间的距离，是解答此题的关键．根据三角形的面积底高，平行四边形的面积底高，解答此题即可． 解：设两平行线间的距离为， ∵三角形的面积大于平行四边形的面积 ∴， ∴， 当时，三角形的面积大于平行四边形的面积． 故选：D． 二、填空题 7．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，直线l分别与直线a，b相交，若．则当为 时，． 【答案】116 【分析】此题考查了平行线，熟练掌握平行线的性质是解本题的关键． 利用得到，利用与互补，即可求出的度数． 解：当为时，，理由如下： 如图， ∵， ∴， ∴． 故本题答案为：116． 8．（24-25八年级上·甘肃庆阳·期末）如图，在五边形中，，，，是五边形的外角，则的度数为 ． 【答案】 【分析】过点C作，利用平行线的判定和性质，平角的定义解答即可． 本题考查了平行线的判定和性质，平角的定义，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键． 解：过点C作， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 9．（24-25七年级上·吉林长春·期末）如图，直线、被直线、所截，若，则的大小是 度． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键． 由，根据“同位角相等，两直线平行”，得出，根据“两直线平行，内错角相等”，得出，根据补角的和为，则计算得出答案即可． 解：如图，标记， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 10．（24-25七年级上·湖北武汉·阶段练习）已知与，若，，若的补角比的余角的2倍大，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查平行线的性质，和余角与补角的概念，掌握余角与补角的概念是解题的关键．根据，，得出，再设，则，根据题意列式得求解即可． 解：如图，，， ， ∴， 且， ∴， 设， 则， 则的补角为， 的余角为， ∴， 解得， 的度数为， 故答案为：． 11．（19-20七年级下·湖北襄阳·期末）已知直线，将一块含角的直角三角板按如图所示方式放置（），并且顶点，分别落在直线，上，若，则的度数是 °． 【答案】38 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，两直线平行，内错角相等．作，根据平行线的性质求得，，再结合三角板的角的度数即可求得答案． 解：作， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：38． 12．（24-25八年级上·湖北·阶段练习）某兴趣小组利用几何图形画出螳螂的简笔画，如图，已知，则 ． 【答案】30 【分析】本题主要考查平行线的性质和三角形的外角的性质，熟练掌握以上性质是解题的关键；由平行线的性质可得，由外角的性质可得，即可求得答案． 解：如图所示，延长交于点F，取直线上一点N，点N位于点A右侧， ， ， ， ， ， 故答案为：30． 三、解答题 13．（21-22七年级上·河南开封·期末）如图所示，已知，，平分，可以判断吗？为什么？ 【答案】，理由见分析 【分析】本题主要考查了平行线的判定方法，也考查了角平分线定义．先由角平分线定义得出，那么，根据内错角相等，两直线平行即可证明． 解：可以判断，理由如下： ∵，平分， ∴． ∵， ∴， ∴． 14．（24-25七年级上·江苏南京·期末）如图，，，则．请你将下列说明过程补充完整． 理由如下： 因为， 所以______（______）． 又因为， 所以______． 所以．（______）· 【答案】；两直线平行，内错角相等；；同旁内角互补，两直线平行 【分析】本题考查的是平行线的性质与判定．先证明，再证明，从而可得结论． 解：证明：∵（已知）， ∴（两直线平行，内错角相等）． ∵（已知）， ∴（等量代换）． ∴（同旁内角互补，两直线平行）． 故答案为：；两直线平行，内错角相等；；同旁内角互补，两直线平行． 15．（24-25八年级上·新疆·期中）已知：如图所示，，平分，交于M，，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线的性质、角平分线定义及邻补角定义．由于，根据两直线平行，同旁内角互补，可知；而平分，由角平分线定义，可知；又根据邻补角定义，可知；而由，根据两直线平行，同位角相等，得出． 解：，（已知） ．（两直线平行，同位角相等） ，（已知） ．（等量代换） 是直线，（已知） ．（邻补角定义） ．（等式性质） 平分，（已知） ．（角平分线定义） ，（已知） ．（两直线平行，同旁内角互补） ．（等式性质） 答：． 16．（24-25八年级上·湖南岳阳·期中）平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系． （1）如图1，，点在、内部，，则　　　　； （2）如图2，，点在、外部（的下方），则之间的数量关系为　　　　； （3）如图3，直接写出之间的数量关系为　　　　，并证明． 【答案】（1） （2） （3），证明见分析 【分析】本题主要考查平行线的性质、三角形的内角和定理、三角形外角的性质，掌握相关知识并结合题意正确做出辅助线是解题的关键． （1）延长交于点，根据平行线的性质、三角形外角的性质即可求解； （2）根据，得，再由三角形外角的性质即可求证； （3）连接，由，，即可求解． 解：（1）解：延长交于点，   ，， ， ， ， 故答案为；； （2）解： ， ， ， ； （3）证明：，证明： 连接并延长，   ，， ， ． 第二部分：链接中考 一、单选题 1．（2024·江苏南京·中考真题）如图，，若，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行线的性质以及对顶角相等的运用，解决问题的关键是掌握：两直线平行，同旁内角互补． 根据两直线平行，同旁内角互补和对顶角相等解答． 解：， ， ， ， 故选：D． 2．（2024·山东淄博·中考真题）如图，已知，平分．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查的是平行线的性质及角平分线的定义，解题时要熟练掌握并能灵活运用平行线的性质是关键．依据题意，根据平行线及角平分线的性质求解即可． 解：， ，； 平分， ． ． 故选：C 3．（2023·湖南·中考真题）如图，直线被直线所截，已知，则的大小为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据两直线平行，同位角相等，对顶角相等，计算即可． 解：如图，∵，    ∴， ∵， ∴， 故选B． 【点拨】本题考查了平行线的性质，对顶角的性质，熟练掌握这些基本性质是解题的关键． 4．（2024·海南·中考真题）如图，直线，把一块含角的直角三角板按如图所示的方式放置，点B在直线n上，，若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质求角的度数．如图，过点C作直线平行于直线m，易得，根据平行线的性质可得，由可求出的度数，再由平行线的性质可得的度数． 解：如图，过点C作直线平行于直线m， ∵直线， ∴， ∴，， 由题意可得， ∴， ∴， 故选：D． 5．（2024·山东潍坊·中考真题）一种路灯的示意图如图所示，其底部支架与吊线平行，灯杆与底部支架所成锐角．顶部支架与灯杆所成锐角，则与所成锐角的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线性质，平行公理的推论，过点作，可得，即得，，根据求出即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 解：过点作， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴与所成锐角的度数为为， 故选：． 6．（2024·江苏常州·中考真题）如图，推动水桶，以点O为支点，使其向右倾斜．若在点A处分别施加推力、，则的力臂大于的力臂．这一判断过程体现的数学依据是（    ） A．垂线段最短 B．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．两点确定一条直线 D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 【答案】A 【分析】本题考查了力臂，平行公理，垂直的性质，直线特点，垂线段最短，根据图形分析得到过点有，进而利用垂线段最短得到即可解题． 解：过点有， ， 即得到的力臂大于的力臂， 其体现的数学依据是垂线段最短， 故选：A． 7．（2023·甘肃武威·中考真题）如图1，汉代初期的《淮南万毕术》是中国古代有关物理、化学的重要文献，书中记载了我国古代学者在科学领域做过的一些探索及成就．其中所记载的“取大镜高悬，置水盆于其下，则见四邻矣”，是古人利用光的反射定律改变光路的方法，即“反射光线与入射光线、法线在同一平面上；反射光线和入射光线位于法线的两侧；反射角等于入射角”．为了探清一口深井的底部情况，运用此原理，如图在井口放置一面平面镜可改变光路，当太阳光线与地面所成夹角时，要使太阳光线经反射后刚好垂直于地面射入深井底部，则需要调整平面镜与地面的夹角（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如图，过作平面镜，可得，，而，再建立方程，可得，从而可得答案． 解：如图，过作平面镜，    ∴，， 而， ∴， ∴， ∴， 故选B． 【点拨】本题考查的是垂直的定义，角的和差运算，角平分线的含义，属于跨学科题，熟记基础概念是解本题的关键． 二、填空题 8．（2024·广东广州·中考真题）如图，直线分别与直线，相交，，若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是平行线的性质，邻补角的含义，先证明，再利用邻补角的含义可得答案． 解：如图， ∵，， ∴， ∴； 故答案为： 9．（2023·江苏镇江·中考真题）如图，一条公路经两次转弯后，方向未变．第一次的拐角是，第二次的拐角是 °．    【答案】 【分析】根据两次转弯后方向不变得到，即可得到． 解：∵一条公路经两次转弯后，方向未变， ∴转弯前后两条道路平行，即， ∴． 故答案为：． 【点拨】此题考查了平行线的性质，由题意得到是解题的关键． 10．（2023·辽宁阜新·中考真题）将一个三角尺按如图所示的位置摆放，直线，若，则的度数是 ．    【答案】/50度 【分析】根据三角形的外角定理求出的度数，再根据两直线平行，内错角相等，即可解答． 解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【点拨】本题主要考查了三角形的外角定理，平行线的性质，解题的关键是掌握三角形的一个外角等于与它不相邻两个内角之和；两直线平行，内错角相等． 11．（2023·山东·中考真题）某些灯具的设计原理与抛物线有关．如图，从点照射到抛物线上的光线，等反射后都沿着与平行的方向射出．若，，则 ．    【答案】 【分析】可求，由，即可求解． 解：，， ， ， ， ， 故答案：． 【点拨】本题考查了平行线的性质，掌握性质是解题的关键． 12．（2023·内蒙古通辽·中考真题）将一副三角尺如图所示放置，其中，则 度．    【答案】105 【分析】根据平行线的性质可得，根据平角的定义即可求得． 解：∵， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：105． 【点拨】本题考查了三角板中角度计算，平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 13．（2019·广东广州·中考真题）如图，点A，B，C在直线l上，PB⊥l，PA=6cm，PB=5cm，PC=7cm，则点P到直线l的距离是 cm.    【答案】5 【分析】根据点到直线的距离是直线外的点到这条直线的垂线段的长度，可得答案． 解：∵PB⊥l，PB=5cm， ∴P到l的距离是垂线段PB的长度5cm， 故答案为：5． 【点拨】本题考查了点到直线的距离的定义，熟练掌握是解题的关键. 14．（2019·山东菏泽·中考真题）如图，，，则的度数是 ． 【答案】 【分析】直接作出，再利用平行线的性质分析得出答案． 解：作， ∵， ∴， ∴，，， ∴，， ∴， 故答案为． 【点拨】本题考查了平行线的判定与性质，正确得出，是解题关键． 三、解答题 15．（2022·湖北武汉·中考真题）如图，在四边形中，，． （1）求的度数； （2）平分交于点，．求证：． 【答案】（1）；（2）详见分析 【分析】（1）根据两直线平行，同旁内角互补，即可求解； （2）根据平分，可得．再由，可得．即可求证． 解：（1）解：∵， ∴， ∵， ∴． （2）证明：∵平分， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． 【点拨】本题主要考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质定理是解题的关键 16．（2020·湖北武汉·中考真题）如图，直线分别与直线，交于点，．平分，平分，且∥．求证：∥． 【答案】证明见分析． 【分析】先根据角平分线的定义可得，再根据平行线的性质可得，从而可得，然后根据平行线的判定即可得证． 解：平分，平分 ，即 ． 【点拨】本题考查了平行线的判定与性质、角平分线的定义等知识点，熟记平行线的判定与性质是解题关键． 17．（2021·湖北武汉·中考真题）如图，，，直线与，的延长线分别交于点，．求证：． 【答案】见分析 【分析】根据已知条件，，得到，从而得到，即可证明． 解：证明：∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． 【点拨】本题考查平行线的性质和判定．平行线的性质：两直线平行，内错角相等．平行线的判定：同位角相等，两直线平行． 第三部分：培优拓展 一、单选题 1．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，点在的延长线上，下列条件中不能判断的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查平行线的判定，掌握平行线的判定方法是解题的关键．根据平行线的判定方法，逐一进行判定即可． 解：A、， （内错角相等，两直线平行），不能判断，符合题意； B、， （内错角相等，两直线平行），能判断，不符合题意； C、， （同旁内角互补，两直线平行），能判断，不符合题意； D、， （内错角相等，两直线平行），能判断，不符合题意； 故选：A． 2．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，直线，将含有角的三角板的直角顶点放在直线上，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行线的性质，解题的关键在于熟练掌握两直线平行内错角相等以及过拐角作平行的技巧． 过点作，根据平行线的性质即可推出，，从而求得的度数． 解：过点向左作， 直线， ， ，， 又， ， ， 故选：D． 3．（24-25八年级上·陕西·期末）如图，，连接，平分交于点，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线定义和平行线性质的应用，解题的关键是掌握：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补． 根据平行线性质求出的度数，根据角平分线求出的度数，根据平行线性质求出的度数即可． 解：， ， ， ， 平分， ， ， ， ， 故选D． 4．（23-24七年级下·重庆巴南·阶段练习）一辆汽车在公路上行驶，两次拐弯后，在与原方向的垂直方向上前进，那么两次拐弯的角度可能是（    ） A．第一次左拐，第二次右拐 B．第一次左拐，第二次左拐 C．第一次右拐，第二次左拐 D．第一次右拐，第二次右拐 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质，能根据平行线的性质找到两次拐弯后的方向逐项判断即可． 解：A、两次拐弯后方向与原方向相同，故不符合题意； B、两次拐弯后方向与原方向相反，故不符合题意； C、两次拐弯后，相当于在原方向向左拐，方向与原方向垂直，故符合题意； D、两次拐弯后，相当于在原方向向右拐，方向与原方向的反方向夹角，故不符合题意， 故选：C． 5．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，下列选项中，判定错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】此题考查了平行线的判定与性质，根据平行线的判定与性质判断求解即可． 解：A、若，则，故A正确，不符合题意； B、若，则，故B正确，不符合题意； C、若，则，故C正确，不符合题意； D、若，则，故D错误，符合题意． 故选：D． 6．（24-25七年级上·四川遂宁·期末）将一副三角板按如图放置，，，，则：①；②；③如果，则有；④如果，则有．上述结论中正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了几何图中角度的计算、平行线的判定，由即可判断①；由即可判断②；求出即可判断③；求出即可判断④． 解：∵， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴，故②正确； 如果，则，故，故③正确； 如果，则，故，故④正确； 综上所述，正确的有①②③④，共4个， 故选：D． 二、填空题 7．（24-25七年级上·四川乐山·期末）如图，，点E在上，连接，若平分，，则的度数为 ． 【答案】23 【分析】本题主要考查了角平分线的定义、平行线的性质等知识点，掌握平行线的性质成为解题的关键。 先根据平行线的性质求出，再根据角平分线的定义求解即可． 解：∵，， ∴． ∵平分， ∴． 故答案为：23． 8．（24-25七年级下·全国·期末）如图，已知，平分，在上，平分．若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查平行线的性质，角平分线定义，关键是由平行线的性质推出，由角平分线定义得到，，由平行线的性质推出，由角平分线定义得到，，因此． 解：， ． 平分，平分， ，． ， ． 故答案为：． 9．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，已知，则三者之间的数量关系是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查平行线的性质，掌握其性质的运用是解题的关键． 根据平行线的性质得，，再由，即可解答． 解：， ，， ， ， ， ． 10．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，，平分，，，将以每秒的速度绕着点顺时针旋转，旋转到边落到射线上停止，若的边与或平行时，则旋转的时间可以是 秒．    【答案】2或8或11 【分析】本题主要考查了平行线的性质，分类思想，先分别求出，，再利用垂直的定义以及角平分线的定义求出，再分类讨论，当时，当时，当时，根据内错角相等求出旋转的角度，再根据旋转的角度除以旋转的速度即可求出对应的时间． 解：∵，， ∴， ∴， 当时，如下图：    ， ∵，平分， ∴， ∴此时， 此时旋转了， 则旋转的时间为：（秒）； 当时，如下图： ， 此时旋转了， 则旋转的时间为：（秒）； 当时，如下图：    此时， 此时旋转了， 则旋转的时间为：（秒）， 综上，满足条件的旋转时间可以是2秒或8秒或11秒． 故答案为：2或8或11． 11．（2024七年级上·全国·专题练习）社会发展情境·公路建设如图，在、两地之间要修一条笔直的公路，从地测得公路走向是北偏东，公司要求、两地同时开工，并保证若干天后公路准确接通．若公路长12千米，另一条公路长6千米，且的走向是北偏西，地到公路的距离是 千米． 【答案】12 【分析】本题主要考查了平行线的性质、点到直线的距离，熟练掌握平行线的性质是解题关键．如图（见分析），先根据平行线的性质可得，再根据平角的定义可得，即，由此即可得． 解：如图，由题意可知，，， ∴， ∴，即， 地到公路的距离是线段的长度，即为12千米． 故答案为：12． 12．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）健康骑行越来越受到老百姓的喜欢，某品牌的自行车的平面示意图如图，自行车的前轴与后轴所在直线与地面平行，车架与地面平行，自行车的中轴处与座位处在一条直线上，若，，则的度数是 ． 【答案】/105度 【分析】本题考查了平行线的性质，角度和差，三角形的内角和定理，由得，即，由得，则有，又，最后用角度和差即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 解：∵， ∴，即， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题 13．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，．在横线上补充过程，并在括号内写出理由． 解：因为， 所以______（______）， 所以（______）， 所以______（______）． 又因为， 所以， 所以____________（____________）． 【答案】；同角的补角相等；同位角相等，两直线平行；；两直线平行，内错角相等；；；同位角相等，两直线平行 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，根据平行线的判定与性质进行推理论证即可． 解：证明：∵，， ∴（同角的补角相等）， ∴（同位角相等，两直线平行）， ∴（两直线平行，内错角相等）， 又∵， ∴， ∴（同位角相等，两直线平行）． 故答案为：；同角的补角相等；同位角相等，两直线平行；；两直线平行，内错角相等；；；同位角相等，两直线平行． 14．（24-25七年级上·江苏苏州·期末）如图，，与交于点P．   （1）若，求的度数； （2）若，，求证：． 【答案】（1）；（2）见分析 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质，解题的关键是熟练掌握平行线的判定和性质． （1）根据平行线的判定得出，再根据平行线的性质得出，即可得出答案； （2）根据平行线的性质得出，根据，得出，求出，根据平行线的性质得出，即可证明结论． 解：（1）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴． （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（1）可知，， ∴， ∴．    15．（21-22七年级下·河北保定·期中）如图，已知． （1），求的度数； （2）猜想三者之间的关系并加以说明． 【答案】（1）30度；（2），见分析 【分析】本题考查的是平行线的性质，一元一次方程的应用； （1）由可得，由可得，再进一步解答即可； （2）由（1）可得，即，再整理即可． 解：（1）解： ， ． ， ． ， ， ． （2）解：． 理由如下： 由（1）可知，， 即， ， 整理，得． 16．（2024七年级上·全国·专题练习）已知，与的角平分线相交于点F． （1）如图①，若分别是和的角平分线，且，求的度数； （2）如图②，若，求的度数； （3）若，请直接写出与之间的数量关系． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题主要考查了平行线的性质和角平分线的计算，关键在于掌握两直线平行同位角相等，内错角相等，同旁内角互补的性质． （1）首先作，，，利用平行线的性质可得，再利用角平分线的定义得到，从而得到的度数，再根据角平分线的定义可求的度数； （2）先由已知得到，，由（1）得，，等量代换即可求解； （3）由（2）的方法可得到． 解：（1）解：作，，，如图所示． ， ， ， ， ． ， ． 和的角平分线相交于点F， ， ． 分别是和的角平分线， ，， ， ． （2），， ，． 与两个角的角平分线相交于点F， ，， ． ， ， ． （3）． 由（2）结论可得， ， 则． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题7.4 平行线的性质与判定（分层专项练习） 第一部分：夯实基础.............................................................................................................1 第二部分：链接中考.............................................................................................................4 第三部分：培优拓展.............................................................................................................9 第一部分：夯实基础 一、单选题 1．（24-25七年级上·江苏南京·期末）如图，下列选项不能得到的是（   ） A． B． C． D． 2．（2024七年级上·全国·专题练习）若将一副三角板按如图所示的方式放置，则下列结论不正确的是（   ） A． B．若，则有 C．若，则有 D．若，必有 3．（24-25八年级上·湖南长沙·期末）如图，已知，与交于点，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 4．（2024·广东·模拟预测）如图，已知，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·河北保定·期末）如图，在四边形中，，，求证：．证明过程如下，则“…”处补充的过程为（    ） 证明：∵，，…，∴． A．∴，∴ B．∴，∴ C．∴ D．∴ 6．（24-25七年级上·四川眉山·期中）如图，两平行线间有一个三角形和一个平行四边形，它们的底分别为a和b．当（    ）时，三角形的面积大于平行四边形的面积． A． B． C． D． 二、填空题 7．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，直线l分别与直线a，b相交，若．则当为 时，． 8．（24-25八年级上·甘肃庆阳·期末）如图，在五边形中，，，，是五边形的外角，则的度数为 ． 9．（24-25七年级上·吉林长春·期末）如图，直线、被直线、所截，若，则的大小是 度． 10．（24-25七年级上·湖北武汉·阶段练习）已知与，若，，若的补角比的余角的2倍大，则的度数为 ． 11．（19-20七年级下·湖北襄阳·期末）已知直线，将一块含角的直角三角板按如图所示方式放置（），并且顶点，分别落在直线，上，若，则的度数是 °． 12．（24-25八年级上·湖北·阶段练习）某兴趣小组利用几何图形画出螳螂的简笔画，如图，已知，则 ． 三、解答题 13．（21-22七年级上·河南开封·期末）如图所示，已知，，平分，可以判断吗？为什么？ 14．（24-25七年级上·江苏南京·期末）如图，，，则．请你将下列说明过程补充完整． 理由如下： 因为， 所以______（______）． 又因为， 所以______． 所以．（______）· 15．（24-25八年级上·新疆·期中）已知：如图所示，，平分，交于M，，求的度数． 16．（24-25八年级上·湖南岳阳·期中）平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系． （1）如图1，，点在、内部，，则　　　　； （2）如图2，，点在、外部（的下方），则之间的数量关系为　　　　； （3）如图3，直接写出之间的数量关系为　　　　，并证明． 第二部分：链接中考 一、单选题 1．（2024·江苏南京·中考真题）如图，，若，则的度数是（　　） A． B． C． D． 2．（2024·山东淄博·中考真题）如图，已知，平分．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 3．（2023·湖南·中考真题）如图，直线被直线所截，已知，则的大小为（    ）    A． B． C． D． 4．（2024·海南·中考真题）如图，直线，把一块含角的直角三角板按如图所示的方式放置，点B在直线n上，，若，则等于（    ） A． B． C． D． 5．（2024·山东潍坊·中考真题）一种路灯的示意图如图所示，其底部支架与吊线平行，灯杆与底部支架所成锐角．顶部支架与灯杆所成锐角，则与所成锐角的度数为（    ） A． B． C． D． 6．（2024·江苏常州·中考真题）如图，推动水桶，以点O为支点，使其向右倾斜．若在点A处分别施加推力、，则的力臂大于的力臂．这一判断过程体现的数学依据是（    ） A．垂线段最短 B．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．两点确定一条直线 D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 7．（2023·甘肃武威·中考真题）如图1，汉代初期的《淮南万毕术》是中国古代有关物理、化学的重要文献，书中记载了我国古代学者在科学领域做过的一些探索及成就．其中所记载的“取大镜高悬，置水盆于其下，则见四邻矣”，是古人利用光的反射定律改变光路的方法，即“反射光线与入射光线、法线在同一平面上；反射光线和入射光线位于法线的两侧；反射角等于入射角”．为了探清一口深井的底部情况，运用此原理，如图在井口放置一面平面镜可改变光路，当太阳光线与地面所成夹角时，要使太阳光线经反射后刚好垂直于地面射入深井底部，则需要调整平面镜与地面的夹角（    ）    A． B． C． D． 二、填空题 8．（2024·广东广州·中考真题）如图，直线分别与直线，相交，，若，则的度数为 ． 9．（2023·江苏镇江·中考真题）如图，一条公路经两次转弯后，方向未变．第一次的拐角是，第二次的拐角是 °．    10．（2023·辽宁阜新·中考真题）将一个三角尺按如图所示的位置摆放，直线，若，则的度数是 ．    11．（2023·山东·中考真题）某些灯具的设计原理与抛物线有关．如图，从点照射到抛物线上的光线，等反射后都沿着与平行的方向射出．若，，则 ．    12．（2023·内蒙古通辽·中考真题）将一副三角尺如图所示放置，其中，则 度．    13．（2019·广东广州·中考真题）如图，点A，B，C在直线l上，PB⊥l，PA=6cm，PB=5cm，PC=7cm，则点P到直线l的距离是 cm.    14．（2019·山东菏泽·中考真题）如图，，，则的度数是 ． 三、解答题 15．（2022·湖北武汉·中考真题）如图，在四边形中，，． （1）求的度数； （2）平分交于点，．求证：． 16．（2020·湖北武汉·中考真题）如图，直线分别与直线，交于点，．平分，平分，且∥．求证：∥． 17．（2021·湖北武汉·中考真题）如图，，，直线与，的延长线分别交于点，．求证：． 第三部分：培优拓展 一、单选题 1．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，点在的延长线上，下列条件中不能判断的是（   ） A． B． C． D． 2．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，直线，将含有角的三角板的直角顶点放在直线上，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·陕西·期末）如图，，连接，平分交于点，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 4．（23-24七年级下·重庆巴南·阶段练习）一辆汽车在公路上行驶，两次拐弯后，在与原方向的垂直方向上前进，那么两次拐弯的角度可能是（    ） A．第一次左拐，第二次右拐 B．第一次左拐，第二次左拐 C．第一次右拐，第二次左拐 D．第一次右拐，第二次右拐 5．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，下列选项中，判定错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 6．（24-25七年级上·四川遂宁·期末）将一副三角板按如图放置，，，，则：①；②；③如果，则有；④如果，则有．上述结论中正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 7．（24-25七年级上·四川乐山·期末）如图，，点E在上，连接，若平分，，则的度数为 ． 8．（24-25七年级下·全国·期末）如图，已知，平分，在上，平分．若，则的度数为 ． 9．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，已知，则三者之间的数量关系是 ． 10．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，，平分，，，将以每秒的速度绕着点顺时针旋转，旋转到边落到射线上停止，若的边与或平行时，则旋转的时间可以是 秒．    11．（2024七年级上·全国·专题练习）社会发展情境·公路建设如图，在、两地之间要修一条笔直的公路，从地测得公路走向是北偏东，公司要求、两地同时开工，并保证若干天后公路准确接通．若公路长12千米，另一条公路长6千米，且的走向是北偏西，地到公路的距离是 千米． 12．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）健康骑行越来越受到老百姓的喜欢，某品牌的自行车的平面示意图如图，自行车的前轴与后轴所在直线与地面平行，车架与地面平行，自行车的中轴处与座位处在一条直线上，若，，则的度数是 ． 三、解答题 13．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，．在横线上补充过程，并在括号内写出理由． 解：因为， 所以______（______）， 所以（______）， 所以______（______）． 又因为， 所以， 所以____________（____________）． 14．（24-25七年级上·江苏苏州·期末）如图，，与交于点P．   （1）若，求的度数； （2）若，，求证：． 15．（21-22七年级下·河北保定·期中）如图，已知． （1），求的度数； （2）猜想三者之间的关系并加以说明． 16．（2024七年级上·全国·专题练习）已知，与的角平分线相交于点F． （1）如图①，若分别是和的角平分线，且，求的度数； （2）如图②，若，求的度数； （3）若，请直接写出与之间的数量关系． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$