专题1.5 乘法公式（6大知识点4大考点19类题型）（知识梳理与题型分类讲解）-2024-2025学年七年级数学下册基础知识专项突破讲与练（北师大版）

专题1.5 乘法公式（6大知识点4大考点19类题型）（知识梳理与题型分类讲解） 第一部分【知识点归纳】 【知识点1】平方差公式 （1）平方差公式的推导： （a＋b）（a－b）＝a2－ab＋ab－b2＝a2－b2， （a＋b）（a－b）＝a2－b2. （2）语言叙述： 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差． （3）公式的特点： ①公式中的a和b可以是实数，也可以是单项式或多项式； ②公式的左边是两个数（式）的和与这两个数（式）的差的积，公式的右边是这两个数（式）的平方差（先平方后作差）． 【特别提示】平方差公式的特征　利用平方差公式进行乘法计算时，要看清题目是否符合公式的特点，不符合平方差公式特点的，不能用平方差公式．对于符合平方差公式的，结果要用相同项的平方减去相反项的平方，千万不要颠倒了． 【知识点2】完全平方公式 （1）两数和的完全平方公式：（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2； 两数差的完全平方公式：（a－b）2＝a2－2ab＋b2. （2）语言叙述：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加（或减）它们的积的2倍． （3） 公式的特点：两个公式左边都是一个二项式的完全平方，二者仅差一个“符号”不同，右边都是二次三项式，其中有两项是公式左边二项式中每一项的平方，中间一项是左边二项式中两项乘积的2倍，二者也仅差一个“符号”不同． （4）完全平方公式的特征：　完全平方公式总结口诀为：首平方，尾平方，首尾二倍积，加减在中央． 【知识点3】添括号法则 法则：添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号． 【特别提示】添括号法则的易错点　添括号时，如果括号前面是负号，括到括号里面的各项都改变符号，不可只改变部分项的符号，如：a－b＋c＝a－（b＋c），这样添括号时只是改变了第一项的符号，而第二项的符号没有改变，所以这样添括号是错误的． 【知识点4】平方差公式、完全平方公式的推导 从“数”和“形”两个方面都可以推导出平方差公式． （1）“数”方面：平方差公式可以用整式的乘法，用一个多项式的每一项去乘另一个多项式的每一项，合并后即可推导出平方差公式． （2）“形”方面：可以运用某个图形形状变化前后的面积不变，但面积的表达式不同来推导平方差公式． 【知识点5】添括号法则与平方差公式、完全平方公式的综合运用 添括号法则可以把某些项放到一个括号内成为一个整体，这样就能使式子变形为符合公式的形式，然后运用乘法公式再进行计算，这样使比较复杂的运算变得简单． 【知识点6】运用乘法公式解探索规律题 解决探索规律型问题，一定要认真审清题意，观察式子左右两边的变化特点，纵向、横向来寻找规律． 这类题目的解题步骤一般有：先根据给出的问题情境探究其变化规律，并用实例检验其规律的正确性，然后应用规律来解决问题，体会学以致用． 知识点与题型目录 【考点一】平方差公式 【题型1】平方差公式的辨析...................................................3; 【题型2】运用平方差公式进行运算.............................................4; 【题型3】运用平方差公式进行化简求值.........................................5; 【题型4】运用平方差公式进行有理数简便运算...................................6; 【题型5】平方差公式的逆运算.................................................8; 【题型6】平方差公式与规律问题...............................................9; 【题型7】平方差公式与几何图形..............................................11; 【考点二】完全平方公式 【题型8】完全平方公式的辨析................................................14; 【题型9】运用完全平方公式进行运算..........................................15; 【题型10】运用完全平方公式变形进行求值.....................................16; 【题型11】运用完全平方公式进行有理数的简便运算.............................18; 【题型12】求完全平方公式的字母系数.........................................19; 【题型13】运用完全平方公式进行化简求值.....................................21; 【题型14】完全平方公式与规律问题...........................................22; 【题型15】完全平方公式与几何问题...........................................24; 【考点三】平方差公式和完全平方公式综合与拓展 【题型16】平方差公式和完全平方公式综合运算.................................26; 【题型17】利用完全平方公式配方求最值.......................................28; 【考点四】中考链接与拓展延伸 【题型18】中考链接.........................................................30; 【题型19】拓展延伸.........................................................31. 第二部分【题型展示与方法点拨】 【知识点一】平方差公式 【题型1】平方差公式的辨析 【例1】（24-25九年级上·吉林长春·期末）下列算式能用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平方差公式，可以用平方差公式计算的式子的特点是：两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数． 解：A、不符合平方差公式的形式，故不符合题意； B、原式，不符合平方差公式的形式，故不符合题意； C、原式，符合平方差公式的形式，故符合题意； D、原式，不符合平方差公式的形式，故不符合题意． 故选：C． 【变式1】为了运用平方差公式计算，下列变形正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．原式利用平方差公式的结构特征变形即可． 解： 故选：B． 【变式2】（24-25八年级上·湖北黄冈·阶段练习）下列各式不能用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查平方差公式：，根据平方差公式逐项分析即可． 解：A、，故能够用平方差公式计算； B、不符合平方差公式的结构，故不能够用平方差公式计算； C、，故能够用平方差公式计算； D、，故能够用平方差公式计算； 故选：B． 【题型2】运用平方差公式进行运算 【例2】（24-25七年级上·全国·假期作业）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了平方差公式． （1）利用平方差公式进行计算，然后合并同类项即可； （2）利用平方差公式计算即可． 解：（1）解： ； （2）解： ． 【变式1】（22-23八年级上·湖北黄冈·期末）若，则（    ） A．3 B．6 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平方差公式，把看成整体，利用平方差公式求解即可． 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：B． 【变式2】（24-25七年级上·上海闵行·阶段练习）计算： ． 【答案】/ 【分析】本题考查了平方差公式，熟练运用平方差公式是解题关键．根据平方差公式进行计算即可求解． 解： 故答案为：． 【题型3】运用平方差公式进行化简求值 【例3】（24-25九年级上·北京海淀·期末）已知，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了代数式求值、平方差公式、单项式乘以多项式，熟练掌握乘法公式和整式的运算法则是解题关键．先根据已知等式可得，再利用平方差公式、单项式乘以多项式计算，代入求值即可得． 解：由得：， 则 ． 【变式1】（24-25八年级上·河南驻马店·期中）已知，则代数式的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查代数式的运算，先化简所求的式子，再将变形得，最后整体代入求值即可． 解： ， ∵， ∴， ∴原式， 故答案为：． 【变式2】（24-25八年级上·吉林长春·期末）已知，则的值为（   ） A．17 B．13 C．5 D．1 【答案】B 【分析】本题考查了平方差公式和代数式求值，熟练掌握整体思想是解题关键． 先利用平方差公式求出，再代入计算即可． 解：∵， ∴， ∴， 故选：B． 【题型4】运用平方差公式进行有理数简便运算 【例4】（24-25八年级上·河南周口·阶段练习）简便方法计算： （1） （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了两个有理数的乘法运算，含乘方的有理数混合运算，平方差公式等知识点，运用平方差公式简化运算是解题的关键． （1）将写成，然后利用平方差公式进行计算即可； （2）先提取公因数，将原式写成，然后对括号内的部分使用平方差公式即可． 解：（1）解： ； （2）解： ． 【变式1】（24-25八年级上·江西上饶·阶段练习）计算：（    ） A．1992 B．1993 C．1 D． 【答案】C 【分析】本题考查有理数的混合计算，平方差公式，利用平方差公式计算是解题关键．将原式变形为，再结合平方差公式计算即可． 解： ． 故选：C． 【变式2】（2025七年级下·全国·专题练习）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查有理数混合运算，涉及平方差公式，根据平方差公式将恒等变形求解即可得到答案，熟记平方差公式是解决问题的关键． 解： ， 故答案为：． 【题型5】平方差公式的逆运算 【例5】（24-25八年级上·福建泉州·阶段练习）若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平方差公式，已知式子的值求代数式的值，先整理原式为，结合，则得，再去括号合并同类项，即可作答． 解：∵， ∴ ， 故选：D． 【变式1】（2024八年级上·全国·专题练习）已知，则等于（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了平方差公式，根据平方差公式即可得出答案． 解：∵， ∴原式， 故选：C． 【变式2】（24-25九年级上·山东淄博·阶段练习）若，则代数式的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平方差公式，求代数式的值．解题的关键是根据平方差公式将原式化为，再整体代入化简． 解：∵， ∴ ， ∴代数式的值为． 故选：B． 【题型6】平方差公式与规律问题 【例6】（21-22八年级上·福建厦门·期中）已知下列等式：①，②，③，…根据以上式子的规律，写出第个式子， ． 【答案】 【分析】由题意得①；②；③；则可得第个式子是：． 解：①； ②； ③； ∴第个式子是：， 故答案为：． 【点拨】本题主要考查了平方差公式的应用，解题的关键在于能够准确找到式子所蕴含的规律． 【变式1】（22-23七年级下·浙江宁波·期末）观察：， ． ， 据此规律，求的个位数字是（    ） A．5 B．6 C．1 D．3 【答案】A 【分析】本题主要考查了平方差公式，根据材料找出规律是解答本题的关键．根据题目规律得出计算结果为，然后确定个位数字的规律解答即可． 解：根据题意可得规律：， ∴， ∵的个位数字是； 的个位数字是； 的个位数字是； 的个位数字是； 的个位数字是； 的个位数字是； 而 ∴的个位数字是； 故选：A． 【变式2】（23-24七年级下·湖南永州·期中）观察下列各式： ……… 这些等式反映出多项式乘法的某种运算规律．请你猜想： ． 【答案】 【分析】本题考查了平方差公式、数字的变化类，根据所列式子所反映的规律得出答案即可，发现规律是解此题的关键． 解： ……… ， 故答案为：． 【题型7】平方差公式与几何图形 【例7】（24-25八年级上·福建漳州·期中）从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． （1）上述操作能验证的等式是 （请选择正确的一个） A． B． C． （2）应用你从（1）选出的等式，完成下列各题： ①已知，，求的值． ②计算： 【答案】（1）B；（2）①3；② 【分析】本题考查平方差公式的几何背景，熟练掌握平方差公式是解题的关键： （1）利用两种方法表示出面积，即可得出结论； （2）①利用（1）中结论进行求解即可；②利用（1）中的结论进行求解即可． 解：（1）解：由图可知，阴影部分的面积可以表示为和， 故； 故选B． （2）①由（1）知：， ∵，， ∴； ② ． 【变式1】（24-25八年级上·全国·期末）如图，在边长为的正方形上裁去边长为的正方形． （1）图，阴影面积是 ； （2）图是将图中的阴影部分裁开，重新拼成梯形，根据图形可以得到乘法公式 ； （3）运用得到的公式，计算： ． 【答案】 / 【分析】（）利用大正方形的面积减小正方形的面积即可求得； （）根据图阴影面积和图面积相等即可直接填空； （）根据平方差公式计算即可； 本题考查了平方差公式的证明和应用，理解平方差公式的结构特征是解题的关键． 解：（）阴影面积是， 故答案为：； （）图面积为：， ∴根据图形可以得到乘法公式， 故答案为：； （） ， 故答案为：． 【变式2】（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图所示，在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形，将余下的部分拼成一个长方形，此过程可以验证（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平方差公式的几何背景，分别表示两个图形中阴影部分的面积即可得出答案． 解：第1个图中阴影部分的面积为：， 第2个图中阴影部分的面积为， 因此有， 故选：D． 【知识点二】完全平方公式 【题型8】完全平方公式的辨析 【例8】（22-23八年级上·广西钦州·阶段练习）下列各式不能用乘法公式进行计算的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平方差公式和完全平方公式解答即可． 解：A、中与互为相反数，与相等，故能进行平方差公式计算，故此选项不符合题意； B、中与互为相反数，与相等，故能进行平方差公式计算，故此选项不符合题意； C、中与互为相反数，与互为相反数，故不能进行平方差公式计算，但是可以变形为，这样就可以运用完全平方公式计算，故此选项不符合题意； D、中与不是相反数，与不相等，故不能用乘法公式计算，故此选项符合题意； 故选：D． 【点拨】此题主要考查了平方差公式和完全平方公式的运用．解题的关键是熟记平方差公式，根据组成平方差公式的前提是两式必须一项相同，另一项互为相反数． 【变式】（24-25七年级上·上海·阶段练习）下列算式能用完全平方公式计算的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平方差公式、完全平方公式，熟练掌握平方差公式、完全平方公式的特征是解题的关键． 根据平方差公式、完全平方公式的特征，逐项判断即可求解． 解：A、中各项不相同，不能用完全平方公式计算，不符合题意； B、，能用完全平方公式计算，符合题意； C、中既含有相同项，也含有相反项，能用平方差公式计算，不能用完全平方公式计算，不符合题意； D、中既含有相同项，也含有相反项，能用平方差公式计算，不能用完全平方公式计算，不符合题意； 故选：B． 【题型9】运用完全平方公式进行运算 【例9】（2024八年级上·全国·专题练习）计算下列各式： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】此题考查了完全平方公式，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）首先利用完全平方公式计算，然后合并即可求解； （2）先分组，再按照完全平方公式计算． 解：（1） ； （2） ． 【变式1】（2024八年级上·黑龙江·专题练习）的计算结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查完全平方公式，熟记完全平方公式是解答的关键．根据完全平方公式展开求解即可． 解： ， 故选：B． 【变式2】（24-25八年级上·河南南阳·期中）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了平方差公式和完全平方公式的应用，熟记平方差公式是正确解题的关键．平方差公式．完全平方和公式，完全平方差公式． 解：． 故答案为： ． 【题型10】运用完全平方公式变形进行求值 【例10】（24-25八年级上·四川泸州·阶段练习）已知，，求： （1）的值； （2）的值． 【答案】（1）26；（2）36 【分析】（1）把变形为，再把，代入计算； （2）把变形为，再把，代入计算． 本题考查了完全平方公式的变形求值，熟练掌握完全平方公式是解答本题的关键． 解：（1）解：，， ； （2）解：，， ． 【变式1】（24-25七年级上·黑龙江大庆·期中）用乘法公式计算． （1）已知，，求的值． （2）已知，求的值． 【答案】（1）53；（2）14 【分析】（1）根据，，求和解答即可． （2）根据完全平方公式解答即可． 本题考查了完全平方公式的变形计算，求代数式的值，熟练掌握公式是解题的关键． 解：（1）解：∵，， ∴， ∵，， ∴． （2）解：∵， ∴， ∴， ∴． 【变式2】（24-25七年级上·上海嘉定·期中）已知，，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式的变形求值，多形式与多项式的乘法计算，先根据完全平方公式求出，，然后根据多相式的乘法法则把化简后代入计算即可． 解：当，时 原式 ． 【题型11】运用完全平方公式进行有理数的简便运算 【例11】（2025七年级下·全国·专题练习）计算． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，完全平方公式的应用．设，将原式转换成，再利用完全平方公式计算即可求解． 解：设， 则原式 ． 【变式1】（19-20八年级上·湖北十堰·期中）简便计算：等于（  ） A．1 B．0 C．-1 D．以上都不对 【答案】A 【分析】根据有理数的混合运算，构造平方差公式即可求解． 解：原式=100002-（10-1）×（10+1）×101×10001 =100002-（100-1）×（100+1）×10001 =100002-（10000-1）×（10000+1） =100002-100002+1 =1 故选A． 【点拨】本题考查了有理数的混合运算，构造平方差公式进行计算是解题的关键． 【变式2】（24-25七年级上·上海·期中）利用完全平方公式和平方差公式都能对进行简便计算，请你写出相应的计算过程： ；（运用完全平方公式） ．（运用平方差公式） 【答案】 【分析】本题考查了整式的乘法公式，掌握平方差公式和完全平方公式是解题的关键． （）根据完全平方公式即可求解； （）根据平方差公式即可求解． 解：； ； 故答案为：；． 【题型12】求完全平方公式的字母系数 【例12】（21-22七年级下·江苏泰州·阶段练习）如果是个完全平方式，那么的值是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了完全平方公式的运用，掌握完全平方公式的变形计算是解题的关键． 根据完全平方公式是解题的关键． 解：∵是个完全平方式， ∴， ∴或， 解得，或， 故答案为：或 ． 【变式1】（24-25八年级上·海南海口·期末）如果二次三项式是一个完全平方式，那么m的值是（   ） A． B．16 C．4 D． 【答案】A 【分析】本题考查了求完全平方式中的字母系数，熟练掌握完全平方式的结构特征是解题的关键． 根据完全平方式的结构特征即可得出答案． 解：二次三项式是一个完全平方式， ∴， ∴， 故选：A． 【变式2】（22-23七年级下·江苏盐城·期中）已知多项式． （1）化简多项式A； （2）若是一个完全平方式，求A的值． 【答案】（1）；（2）3或27 【分析】（1）先根据完全平方公式与平方差公式计算，再合并即可； （2）先根据完全平方式的定义求出的值，再代入计算即可． 解：（1）解： ； （2）是一个完全平方式， ， ． 当时，； 当时，． 故所求的值为3或27． 【点拨】本题考查了整式的加减，完全平方公式，平方差公式，完全平方式，掌握运算法则是解题的关键． 【题型13】运用完全平方公式进行化简求值 【例13】（24-25八年级上·四川乐山·期末）先化简，再求值：，其中，． 【答案】，5 【分析】本题考查了整式的混合运算，熟记相关运算法则即可． 解：原式 ． 当，时， ． 【变式1】（24-25八年级上·湖南长沙·期末）先化简，再求值：，其中，． 【答案】 【分析】此题考查了整式的化简求值，涉及的知识有：完全平方公式，平方差公式，去括号法则，以及合并同类项法则，原式第一项利用完全平方公式展开，第二项利用平方差公式化简，去括号合并得到最简结果，将x与y的值代入计算，即可求出值． 解：原式 ． 当，时，原式． 【变式2】（24-25八年级上·北京大兴·期末）已知，求代数式的值． 【答案】1 【分析】本题考查了整式的化简求值，熟练掌握整式的混合运算法则是解题的关键．先用乘法公式计算，然后根据整式的加减运算化简，然后将代入求解即可． 解： ∵， ∴原式 ． 【题型14】完全平方公式与规律问题 【例14】（23-24八年级下·安徽宿州·期末）观察下列等式，并回答问题． ，，，，…． （1）将2024写成两整数平方差的形式：______． （2）用含有字母a（a为正整数）的等式表示这一规律，并用已学的知识验证这一规律． 【答案】（1）；（2），验证见分析 【分析】本题考查了找规律，用代数式表示，整式的运算，解题的关键是整理题目给出的规律． （1）利用题意得到，根据进行整理，即可解题； （2）根据题中等式进行归纳即可表示出该规律，再利用整式的运算法则即可验证． 解：（1）解：由题中等式可知，（为正整数）， ， ． 故答案为：． （2）解：由题中等式可知，这一规律为， 右边 ． 即左边右边， 这一规律成立． 【变式1】（22-23七年级下·安徽宿州·期末）观察下列算式：①；②；③；…结合你观察到的规律判断的计算结果的末位数字为（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】C 【分析】根据已知式子的特点得出规律，求出式子的结果，再求出的个位数字，最后即可得出答案. 解：由题意，得 ． 因为，，，，，， 所以2的乘方运算，其末位数字分别为2，4，8，6，每4个为一组，依次循环． 因为，所以的末位数字为6，所以的末位数字为5， 即的计算结果的末位数字为5． 【点拨】本题考查了整式的混合运算和求值的运用，主要考查学生阅读理解能力，题目比较好，但有一定的难度. 【变式2】（23-24九年级下·山东聊城·期中）如图，图中数字是从1开始按箭头方向排列的有序数阵，从3开始，把位于同一列且在拐角处的两个数字提取出来组成有序数对：；；；；…如果单把每个数对中的第一个或第二个数字按顺序排列起来研究，就会发现其中的规律，请写出第个数对： ． 【答案】 【分析】本题考查了数字的变化规律，利用拐弯处数字的差的规律求得结果是解题的关键．根据题意把每一个数对中的第一个数字和第二个数字按顺序排列起来，可发现第个数对的第一个数为，第二个数为，于是得到结论． 解：每个数对的第一个数分别为，，，，，， 即，，，，，， 则第个数对的第一个数为， 每个数对的第二个数分别为，，，，，， 即，，，，， 则第个数对的第二个数为， ∴第个数对为， 故答案为：． 【题型15】完全平方公式与几何问题 【例15】（2024·河北邯郸·二模）已知有若干张如图所示的正方形卡片和长方形卡片，其中型卡片是边长为的正方形，型卡片是边长为的正方形，型卡片是长为，宽为的长方形．   （1）若嘉嘉要用这三种卡片紧密拼接成一个长为，宽为的长方形，求嘉嘉需要，，各多少张？ （2）若嘉嘉要用这三种卡片紧密拼接成一个正方形，先取型卡片4张，再取型卡片1张，还需取型卡片多少张，并求所拼正方形的边长？ （3）若嘉嘉用这三种卡片紧密拼接成一个面积为的长方形，则满足条件的的整数值_________个． 【答案】（1）需要卡片张，卡片张，卡片张；（2）要用这三种卡片紧密拼接成一个正方形，还需取型卡片张；（3） 【分析】本题主要考查了多项式乘法在几何图形中的应用，完全平方式： （1）根据多项式乘以多项式结合长方形面积求出长为，宽为的长方形的面积即可得到答案； （2）设还需取C型卡片m张，则所取卡片的面积之和为，则多项式是一个完全平方式，据此求解即可； （3）根据题意，，可得，将因式分解，即可求解． 解：（1）解：∵长方形的面积为：． ∴嘉嘉需要A卡片6张，B卡片1张，C卡片5张； （2）解：设还需取C型卡片m张，则所取卡片的面积之和为， ∵所有卡片可以紧密拼成一个正方形， ∴多项式是一个完全平方式， ∴， ∴或（舍去） ∴要用这三种卡片紧密拼接成一个正方形，还需取C型卡片4张； （3）解：依题意，设长方形的边长为， ∴ 依题意， ∵， ∴或或． 故答案为：． 【变式1】（22-23八年级上·山西阳泉·期末）如图，从边长为的正方形纸片中剪去一个边长为的正方形，剩余部分沿虚线剪下，拼成一个长方形（不重叠无缝隙），则此长方形的面积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据剩余部分面积等于长方形的面积即可求． 解：根据题意得剩余部分面积为： 则长方形的面积为． 故选：A． 【点拨】本题考查了图形剪拼问题中的列代数式，整式乘法的混合运算，完全平方公式，关键明确剩余部分面积等于长方形面积． 【变式2】（23-24八年级上·四川资阳·期中）长方形的周长为14，一组邻边的长、满足，则这个长方形的面积为 ． 【答案】12 【分析】本题主要考查了完全平方公式在几何图形中的应用，根据长方形周长公式得到，再由完全平方公式的变形得到，据此代值计算即可． 解：∵长方形的周长为14，x、y为该长方形的一组邻边长， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴这个长方形的面积为12， 故答案为：12． 【知识点三】平方差公式和完全平方公式综合与拓展 【题型16】平方差公式和完全平方公式综合运算 【例16】（24-25七年级上·上海徐汇·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了整式的乘法，涉及多项式乘多项式，完全平方公式及平方差公式等知识，正确计算是解题的关键；先用平方差公式、多项式乘多项式展开，再用完全平方公式展开，最后合并同类项即可． 解： ． 【变式1】（24-25八年级上·四川南充·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了整式的混合运算—化简求值，先根据整式的混合运算法则进行化简，再根据非负数的性质求出，，代入计算即可得解． 解： ， ∵，，， ∴，， ∴，， ∴原式． 【变式2】（24-25七年级上·上海松江·期中）计算：； 【答案】 【分析】本题主要考查了平方差公式和完全平方公式，先把原式变形为，再利用完全平方公式和平方差公式进行求解即可． 解： ． 【题型17】利用完全平方公式配方求最值 【例17】（24-25八年级上·甘肃白银·期中）阅读材料，回答下列问题 利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决代数式最小值、最大值问题． 【初步思考】观察下列式子： （1）    ∴代数式的最小值为－2； 【尝试应用】阅读上述材料并完成下列问题： （1）求的最小值 【拓展提高】（2）求的最大值 【答案】（1）；（2）5． 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用、不等式的性质等． （1）依据题意，由，又对于任意的都有，故，进而可以判断得解； （2）根据题意得到，又对于任意的都有，进而可以得解． 解：（1）解：由题意得，， 又对于任意的都有， ． 代数式的最小值为． 故答案为：； （2）解： ， 又对于任意的都有， ∴ ∴． ∴的最大值为5． 【变式1】（2024·江苏南通·一模）已知实数m，n满足，则的最大值为（    ） A．24 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了完全平方公式、平方差公式的应用，不等式的性质．先将所求式子化简为，然后根据及求出，进而可得答案． 解： ； ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的最大值为， 故选：B． 【变式2】（2024·山东·模拟预测）若实数m、n满足，则代数式的最大值为 ． 【答案】48 【分析】本题考查完全平方公式的应用，注意偶次方的非负性的应用．把变形为，进而得到，根据偶次方的非负性解答即可． 解：， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：48． 第二部分【中考链接与拓展延伸】 【中考链接与拓展延伸】 【题型18】中考链接 【例1】（2024·山东泰安·中考真题）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据合并同类项法则、单项式除以单项式法则、平方差公式、积的乘方进行判断即可求解． 解：A、与不是同类项，不能合并同类项，故不符合题意； B、，故不符合题意； C、，故不符合题意； D、，故符合题意； 故选：D． 【点拨】本题考查合并同类项法则、单项式除以单项式法则、平方差公式、积的乘方，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 【例2】．（2024·山东济宁·中考真题）先化简，再求值： ，其中，． 【答案】 【分析】先将原式利用多项式乘以多项式，以及平方差公式化简，去括号合并同类项得到最简结果，再把x与y的值代入计算即可求出结果． 此题考查了整式的混合运算及化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 解： ， 当，时， 原式． 【题型19】拓展延伸 【例1】（24-25七年级上·上海·期中）式子，此时，叫做以为底的对数，记为（即）．一般地，若（且，），则叫做以为底的对数，记为（即）．如，则叫做以为底的对数，记为，则，同理，．由此可以得到下列式子：，根据以上的信息及运算关系，若，则 【答案】/ 【分析】本题考查新定义，同底数幂的乘法，设，，，则，，，再根据同底数幂的乘法及新定义得到，和的关系，求解即可．正确理解新定义是解题的关键． 解：设，，， ∴，，，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 解得：． 故答案为：． 【例2】（2024·内蒙古·中考真题）某研究人员对分别种植在两块试验田中的“丰收1号”和“丰收2号”两种小麦进行研究，两块试验田共产粮，种植“丰收1号”小麦的试验田产粮量比种植“丰收2号”小麦的试验田产粮量的1.2倍少，其中“丰收1号”小麦种植在边长为的正方形去掉一个边长为的正方形蓄水池后余下的试验田中，“丰收2号”小麦种植在边长为的正方形试验田中． （1）请分别求出种植“丰收1号”小麦和“丰收2号”小麦两块试验田的产粮量； （2）哪种小麦的单位面积产量高？高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？ 【答案】（1）种植“丰收1号”小麦试验田的产粮量为，种植“丰收2号”小麦试验田的产粮量为 （2）“丰收2号”小麦试验田的单位面积产量高；倍 【分析】本题考查了一元一次方程的应用、不等式的性质、分式除法的应用，正确建立方程和熟练掌握分式除法的应用是解题关键． （1）设种植“丰收1号”小麦试验田的产粮量为，则种植“丰收2号”小麦试验田的产粮量为，根据题意建立一元一次方程，解方程即可得； （2）先分别求出两块试验田的面积，再求出单位面积产量，然后根据不等式的性质和分式的除法求解即可得． 解：（1）解：设种植“丰收1号”小麦试验田的产粮量为，则种植“丰收2号”小麦试验田的产粮量为， 由题意得：， 解得， 则， 答：种植“丰收1号”小麦试验田的产粮量为，种植“丰收2号”小麦试验田的产粮量为． （2）解：由题意得：“丰收1号”小麦试验田的面积为，“丰收2号”小麦试验田的面积为， 则“丰收1号”小麦试验田的单位面积产量为，“丰收2号”小麦试验田的单位面积产量为， ∵， ∴， ∴， ∴， 所以“丰收2号”小麦试验田的单位面积产量高． ， 所以高的单位面积产量是低的单位面积产量的倍． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.5 乘法公式（6大知识点4大考点19类题型）（知识梳理与题型分类讲解） 第一部分【知识点归纳】 【知识点1】平方差公式 （1）平方差公式的推导： （a＋b）（a－b）＝a2－ab＋ab－b2＝a2－b2， （a＋b）（a－b）＝a2－b2. （2）语言叙述： 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差． （3）公式的特点： ①公式中的a和b可以是实数，也可以是单项式或多项式； ②公式的左边是两个数（式）的和与这两个数（式）的差的积，公式的右边是这两个数（式）的平方差（先平方后作差）． 【特别提示】平方差公式的特征　利用平方差公式进行乘法计算时，要看清题目是否符合公式的特点，不符合平方差公式特点的，不能用平方差公式．对于符合平方差公式的，结果要用相同项的平方减去相反项的平方，千万不要颠倒了． 【知识点2】完全平方公式 （1）两数和的完全平方公式：（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2； 两数差的完全平方公式：（a－b）2＝a2－2ab＋b2. （2）语言叙述：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加（或减）它们的积的2倍． （3） 公式的特点：两个公式左边都是一个二项式的完全平方，二者仅差一个“符号”不同，右边都是二次三项式，其中有两项是公式左边二项式中每一项的平方，中间一项是左边二项式中两项乘积的2倍，二者也仅差一个“符号”不同． （4）完全平方公式的特征：　完全平方公式总结口诀为：首平方，尾平方，首尾二倍积，加减在中央． 【知识点3】添括号法则 法则：添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号． 【特别提示】添括号法则的易错点　添括号时，如果括号前面是负号，括到括号里面的各项都改变符号，不可只改变部分项的符号，如：a－b＋c＝a－（b＋c），这样添括号时只是改变了第一项的符号，而第二项的符号没有改变，所以这样添括号是错误的． 【知识点4】平方差公式、完全平方公式的推导 从“数”和“形”两个方面都可以推导出平方差公式． （1）“数”方面：平方差公式可以用整式的乘法，用一个多项式的每一项去乘另一个多项式的每一项，合并后即可推导出平方差公式． （2）“形”方面：可以运用某个图形形状变化前后的面积不变，但面积的表达式不同来推导平方差公式． 【知识点5】添括号法则与平方差公式、完全平方公式的综合运用 添括号法则可以把某些项放到一个括号内成为一个整体，这样就能使式子变形为符合公式的形式，然后运用乘法公式再进行计算，这样使比较复杂的运算变得简单． 【知识点6】运用乘法公式解探索规律题 解决探索规律型问题，一定要认真审清题意，观察式子左右两边的变化特点，纵向、横向来寻找规律． 这类题目的解题步骤一般有：先根据给出的问题情境探究其变化规律，并用实例检验其规律的正确性，然后应用规律来解决问题，体会学以致用． 知识点与题型目录 【考点一】平方差公式 【题型1】平方差公式的辨析...................................................3; 【题型2】运用平方差公式进行运算.............................................3; 【题型3】运用平方差公式进行化简求值.........................................3; 【题型4】运用平方差公式进行有理数简便运算...................................4; 【题型5】平方差公式的逆运算.................................................4; 【题型6】平方差公式与规律问题...............................................4; 【题型7】平方差公式与几何图形...............................................5; 【考点二】完全平方公式 【题型8】完全平方公式的辨析.................................................6; 【题型9】运用完全平方公式进行运算...........................................6; 【题型10】运用完全平方公式变形进行求值......................................7; 【题型11】运用完全平方公式进行有理数的简便运算..............................7; 【题型12】求完全平方公式的字母系数..........................................7; 【题型13】运用完全平方公式进行化简求值......................................7; 【题型14】完全平方公式与规律问题............................................8; 【题型15】完全平方公式与几何问题............................................8; 【考点三】平方差公式和完全平方公式综合与拓展 【题型16】平方差公式和完全平方公式综合运算..................................9; 【题型17】利用完全平方公式配方求最值.......................................10; 【考点四】中考链接与拓展延伸 【题型18】中考链接.........................................................10; 【题型19】拓展延伸.........................................................11. 第二部分【题型展示与方法点拨】 【知识点一】平方差公式 【题型1】平方差公式的辨析 【例1】（24-25九年级上·吉林长春·期末）下列算式能用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】为了运用平方差公式计算，下列变形正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级上·湖北黄冈·阶段练习）下列各式不能用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 【题型2】运用平方差公式进行运算 【例2】（24-25七年级上·全国·假期作业）计算： （1）； （2）． 【变式1】（22-23八年级上·湖北黄冈·期末）若，则（    ） A．3 B．6 C． D． 【变式2】（24-25七年级上·上海闵行·阶段练习）计算： ． 【题型3】运用平方差公式进行化简求值 【例3】（24-25九年级上·北京海淀·期末）已知，求的值． 【变式1】（24-25八年级上·河南驻马店·期中）已知，则代数式的值为 ． 【变式2】（24-25八年级上·吉林长春·期末）已知，则的值为（   ） A．17 B．13 C．5 D．1 【题型4】运用平方差公式进行有理数简便运算 【例4】（24-25八年级上·河南周口·阶段练习）简便方法计算： （1） （2）． 【变式1】（24-25八年级上·江西上饶·阶段练习）计算：（    ） A．1992 B．1993 C．1 D． 【变式2】（2025七年级下·全国·专题练习）计算： ． 【题型5】平方差公式的逆运算 【例5】（24-25八年级上·福建泉州·阶段练习）若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（2024八年级上·全国·专题练习）已知，则等于（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2】（24-25九年级上·山东淄博·阶段练习）若，则代数式的值为（    ） A． B． C． D． 【题型6】平方差公式与规律问题 【例6】（21-22八年级上·福建厦门·期中）已知下列等式：①，②，③，…根据以上式子的规律，写出第个式子， ． 【变式1】（22-23七年级下·浙江宁波·期末）观察：， ． ， 据此规律，求的个位数字是（    ） A．5 B．6 C．1 D．3 【变式2】（23-24七年级下·湖南永州·期中）观察下列各式： ……… 这些等式反映出多项式乘法的某种运算规律．请你猜想： ． 【题型7】平方差公式与几何图形 【例7】（24-25八年级上·福建漳州·期中）从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． （1）上述操作能验证的等式是 （请选择正确的一个） A． B． C． （2）应用你从（1）选出的等式，完成下列各题： ①已知，，求的值． ②计算： 【变式1】（24-25八年级上·全国·期末）如图，在边长为的正方形上裁去边长为的正方形． （1）图，阴影面积是 ； （2）图是将图中的阴影部分裁开，重新拼成梯形，根据图形可以得到乘法公式 ； （3）运用得到的公式，计算： ． 【变式2】（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图所示，在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形，将余下的部分拼成一个长方形，此过程可以验证（   ） A． B． C． D． 【知识点二】完全平方公式 【题型8】完全平方公式的辨析 【例8】（22-23八年级上·广西钦州·阶段练习）下列各式不能用乘法公式进行计算的是（　　） A． B． C． D． 【变式】（24-25七年级上·上海·阶段练习）下列算式能用完全平方公式计算的是（   ） A． B． C． D． 【题型9】运用完全平方公式进行运算 【例9】（2024八年级上·全国·专题练习）计算下列各式： （1）； （2）． 【变式1】（2024八年级上·黑龙江·专题练习）的计算结果为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级上·河南南阳·期中）计算： ． 【题型10】运用完全平方公式变形进行求值 【例10】（24-25八年级上·四川泸州·阶段练习）已知，，求： （1）的值； （2）的值． 【变式1】（24-25七年级上·黑龙江大庆·期中）用乘法公式计算． （1）已知，，求的值． （2）已知，求的值． 【变式2】（24-25七年级上·上海嘉定·期中）已知，，求代数式的值． 【题型11】运用完全平方公式进行有理数的简便运算 【例11】（2025七年级下·全国·专题练习）计算． 【变式1】（19-20八年级上·湖北十堰·期中）简便计算：等于（  ） A．1 B．0 C．-1 D．以上都不对 【变式2】（24-25七年级上·上海·期中）利用完全平方公式和平方差公式都能对进行简便计算，请你写出相应的计算过程： ；（运用完全平方公式） ．（运用平方差公式） 【题型12】求完全平方公式的字母系数 【例12】（21-22七年级下·江苏泰州·阶段练习）如果是个完全平方式，那么的值是 ． 【变式1】（24-25八年级上·海南海口·期末）如果二次三项式是一个完全平方式，那么m的值是（   ） A． B．16 C．4 D． 【变式2】（22-23七年级下·江苏盐城·期中）已知多项式． （1）化简多项式A； （2）若是一个完全平方式，求A的值． 【题型13】运用完全平方公式进行化简求值 【例13】（24-25八年级上·四川乐山·期末）先化简，再求值：，其中，． 【变式1】（24-25八年级上·湖南长沙·期末）先化简，再求值：，其中，． 【变式2】（24-25八年级上·北京大兴·期末）已知，求代数式的值． 【题型14】完全平方公式与规律问题 【例14】（23-24八年级下·安徽宿州·期末）观察下列等式，并回答问题． ，，，，…． （1）将2024写成两整数平方差的形式：______． （2）用含有字母a（a为正整数）的等式表示这一规律，并用已学的知识验证这一规律． 【变式1】（22-23七年级下·安徽宿州·期末）观察下列算式：①；②；③；…结合你观察到的规律判断的计算结果的末位数字为（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 【变式2】（23-24九年级下·山东聊城·期中）如图，图中数字是从1开始按箭头方向排列的有序数阵，从3开始，把位于同一列且在拐角处的两个数字提取出来组成有序数对：；；；；…如果单把每个数对中的第一个或第二个数字按顺序排列起来研究，就会发现其中的规律，请写出第个数对： ． 【题型15】完全平方公式与几何问题 【例15】（2024·河北邯郸·二模）已知有若干张如图所示的正方形卡片和长方形卡片，其中型卡片是边长为的正方形，型卡片是边长为的正方形，型卡片是长为，宽为的长方形．   （1）若嘉嘉要用这三种卡片紧密拼接成一个长为，宽为的长方形，求嘉嘉需要，，各多少张？ （2）若嘉嘉要用这三种卡片紧密拼接成一个正方形，先取型卡片4张，再取型卡片1张，还需取型卡片多少张，并求所拼正方形的边长？ （3）若嘉嘉用这三种卡片紧密拼接成一个面积为的长方形，则满足条件的的整数值_________个． 【变式1】（22-23八年级上·山西阳泉·期末）如图，从边长为的正方形纸片中剪去一个边长为的正方形，剩余部分沿虚线剪下，拼成一个长方形（不重叠无缝隙），则此长方形的面积为（    ）    A． B． C． D． 【变式2】（23-24八年级上·四川资阳·期中）长方形的周长为14，一组邻边的长、满足，则这个长方形的面积为 ． 【知识点三】平方差公式和完全平方公式综合与拓展 【题型16】平方差公式和完全平方公式综合运算 【例16】（24-25七年级上·上海徐汇·期中）计算：． 【变式1】（24-25八年级上·四川南充·期中）先化简，再求值：，其中． 【变式2】（24-25七年级上·上海松江·期中）计算：； ． 【题型17】利用完全平方公式配方求最值 【例17】（24-25八年级上·甘肃白银·期中）阅读材料，回答下列问题 利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决代数式最小值、最大值问题． 【初步思考】观察下列式子： （1）    ∴代数式的最小值为－2； 【尝试应用】阅读上述材料并完成下列问题： （1）求的最小值 【拓展提高】（2）求的最大值 【变式1】（2024·江苏南通·一模）已知实数m，n满足，则的最大值为（    ） A．24 B． C． D． 【变式2】（2024·山东·模拟预测）若实数m、n满足，则代数式的最大值为 ． 第二部分【中考链接与拓展延伸】 【中考链接与拓展延伸】 【题型18】中考链接 【例1】（2024·山东泰安·中考真题）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【例2】．（2024·山东济宁·中考真题）先化简，再求值： ，其中，． 【题型19】拓展延伸 【例1】（24-25七年级上·上海·期中）式子，此时，叫做以为底的对数，记为（即）．一般地，若（且，），则叫做以为底的对数，记为（即）．如，则叫做以为底的对数，记为，则，同理，．由此可以得到下列式子：，根据以上的信息及运算关系，若，则 【例2】（2024·内蒙古·中考真题）某研究人员对分别种植在两块试验田中的“丰收1号”和“丰收2号”两种小麦进行研究，两块试验田共产粮，种植“丰收1号”小麦的试验田产粮量比种植“丰收2号”小麦的试验田产粮量的1.2倍少，其中“丰收1号”小麦种植在边长为的正方形去掉一个边长为的正方形蓄水池后余下的试验田中，“丰收2号”小麦种植在边长为的正方形试验田中． （1）请分别求出种植“丰收1号”小麦和“丰收2号”小麦两块试验田的产粮量； （2）哪种小麦的单位面积产量高？高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $$