第06讲 分式方程（讲练）-【上好课】2025年中考数学一轮复习讲练测（浙江专用）

第二章 方程与不等式 第06讲 分式方程及其应用（3~6分） （思维导图+2考点+2命题点10种题型） 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 01考情透视·目标导航 02知识导图·思维引航 03考点突破·考法探究 考点一 解分式方程 考点二 分式方程的应用 04题型精研·考向洞悉 命题点一 解分式方程 ►题型01 分式方程的定义 ►题型02 分式方程的一般解法 ►题型03 分式方程的特殊解法 ►题型04 分式方程的错解问题 ►题型05 根绝分式方程解的情况求参数 ►题型06 根据分式方程无解求参数 ►题型07 已知分式方程有增根求参数 ►题型08 新定义的分式方程 命题点二 分式方程的应用 ►题型01 列分式方程 ►题型02 用分式方程解决实际问题 05分层训练·巩固提升 基础巩固 能力提升 考点要求 新课标要求 考查频率 命题预测 解分式方程 能解可化为一元一次方程的分式方程 ⭐⭐⭐⭐ 中考中本考点考查内容以分式方程解法、分式方程含参问题、分式方程的应用题为主，既有单独考查，也有和一次函数、二次函数结合考察，年年考查，分值为10分左右，预计2025年浙江中考还将继续考查分式方程解法、分式方程含参问题（较难）、分式方程的应用题，为避免丢分，学生应扎实掌握． 分式方程的应用 能根据具体问题的实际意义，检验方程解的合理性 ⭐⭐⭐⭐ 考点一 解分式方程 1.分式方程：只含分式或分式和整式，并且分母里含有未知数的方程叫做分式方程 2.分式方程的解法步骤： ①分式方程两边同乘各分母的最简公分母，将分式方程转化为整式方程 ②解出对应的整式方程 ③验根 3.分式方程的增根：使分式方程分母=0的未知数的值； 1. 分式方程与整式方程的根本区别：分母中含有未知数，也是判断分式方程的依据. 2. 去分母时要把方程两边的式子作为一个整体，记得不要漏乘整式项. 3. 分式方程的结果还要代回方程的最简公分母中，只有最简公分母不是零的解才是原方程的解． 4. 分式方程的增根是去分母后的整式方程的根，也是使分式方程的公分母为0的根，它不是原分式方程的根． 5. 解分式方程可能产生使分式方程无意义的根，检验是解分式方程的必要步骤. 6. 分式方程有增根与无解并非是同一个概念．分式方程无解，需分类讨论：可能是解为增根，也可能是去分母后的整式方程无解. 1．（2024·浙江·中考真题）若，则 【答案】 【分析】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】解：去分母得：， 移项合并得：， 解得：， 经检验，是分式方程的解， 故答案为： 2．（2023·浙江绍兴·中考真题）方程的解是 ． 【答案】 【分析】先去分母，左右两边同时乘以，再根据解一元一次方程的方法和步骤进行解答，最后进行检验即可． 【详解】解：去分母，得：， 化系数为1，得：． 检验：当时，， ∴是原分式方程的解． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了解分式方程，解题的关键是掌握解分式方程的方法和步骤，正确找出最简公分母，注意解分式方程要进行检验． 3．（2022·浙江宁波·中考真题）定义一种新运算：对于任意的非零实数a，b，．若，则x的值为 ． 【答案】/ 【分析】根据新定义可得，由此建立方程解方程即可． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵即， ∴， 解得， 经检验是方程的解， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了新定义下的实数运算，解分式方程，正确理解题意得到关于x的方程是解题的关键． 4．（2022·浙江嘉兴·中考真题）（1）计算： （2）解方程：． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）先计算零次幂与算术平方根，再合并即可； （2）先去分母，化为整式方程，再解整式方程并检验即可． 【详解】解：（1） （2）， 去分母： 整理得： 经检验：是原方程的根， 所以原方程的根为： 【点睛】本题考查的是零次幂的含义，求解一个数的算术平方根，分式方程的解法，掌握“以上基础运算”是解本题的关键． 5．（2023·浙江嘉兴·中考真题）小丁和小迪分别解方程过程如下： 小丁： 解：去分母，得 去括号，得 合并同类项，得 解得 ∴原方程的解是 小迪： 解：去分母，得 去括号得 合并同类项得 解得 经检验，是方程的增根，原方程无解 你认为小丁和小迪的解法是否正确？若正确，请在框内打“√”；若错误，请在框内打“×”，并写出你的解答过程． 【答案】都错误，见解析 【分析】根据解分式方程的步骤判断小丁和小迪的解法是否正确，再正确解方程即可． 【详解】小丁和小迪的解法都错误； 解：去分母，得， 去括号，得， 解得，， 经检验：是方程的解． 【点睛】本题考查分式方程的解法，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键． 考点二 分式方程的应用 1.用分式方程解决实际问题的步骤： 审：理解并找出实际问题中的等量关系; 设：用代数式表示实际问题中的基础数据; 列：找到所列代数式中的等量关系，以此为依据列出方程; 解：求解方程; 验：考虑求出的解是否具有实际意义; 1）检验所求的解是否是所列分式方程的解. 2）检验所求的解是否符合实际意义. 答：实际问题的答案. 1．（2022·浙江丽水·中考真题）某校购买了一批篮球和足球．已知购买足球的数量是篮球的2倍，购买足球用了5000元，购买篮球用了4000元，篮球单价比足球贵30元．根据题意可列方程，则方程中x表示（    ） A．足球的单价 B．篮球的单价 C．足球的数量 D．篮球的数量 【答案】D 【分析】由的含义表示的是篮球单价比足球贵30元，从而可以确定x的含义． 【详解】解：由可得： 由表示的是足球的单价，而表示的是篮球的单价， 表示的是购买篮球的数量， 故选D 【点睛】本题考查的是分式方程的应用，理解题意，理解方程中代数式的含义是解本题的关键． 2．（2021·浙江嘉兴·中考真题）为迎接建党一百周年，某校举行歌唱比赛．901班啦啦队买了两种价格的加油棒助威，其中荧光棒共花费40元，缤纷棒共花费30元，缤纷棒比荧光棒少20根，缤纷棒单价是荧光棒的1.5倍．若设荧光棒的单价为元（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】若设荧光棒的单价为元，根据等量关系“缤纷棒比荧光棒少20根”可列方程求解． 【详解】解：设荧光棒的单价为元，则缤纷棒单价是元，由题意可得： 故选：B． 【点睛】考查了由实际问题抽象出分式方程，应用题中一般有三个量，求一个量，明显的有一个量，一定是根据另一量来列等量关系的．本题分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键． 3．（2023·浙江台州·中考真题）3月12日植树节期间，某校环保小卫士组织植树活动．第一组植树12棵；第二组比第一组多6人，植树36棵；结果两组平均每人植树的棵数相等，则第一组有 人． 【答案】3 【分析】审题确定等量关系：第一组平均每人植树棵数＝第二组平均每人植树棵数，列方程求解，注意检验． 【详解】设第一组有x人，则第二组有人，根据题意，得 去分母，得 解得， 经检验，是原方程的根． 故答案为：3 【点睛】本题考查分式方程的应用，审题明确等量关系是解题的关键，注意分式方程的验根． 4．（2020·浙江舟山·中考真题）数学家斐波那契编写的《算经》中有如下问题：一组人平分10元钱，每人分得若干；若再加上6人，平分40元钱，则第二次每人所得与第一次相同，求第一次分钱的人数．设第一次分钱的人数为x人，则可列方程 ． 【答案】 【分析】根据“第二次每人所得与第一次相同，”列分式方程即可得到结论． 【详解】解：根据题意得，， 故答案为： 【点睛】本题主要考查分式方程的实际应用，找出等量关系，列出分式方程，是解题的关键． 5．（2020·浙江温州·中考真题）某经销商3月份用18000元购进一批T恤衫售完后，4月份用39000元购进单批相同的T恤衫，数量是3月份的2倍，但每件进价涨了10元． （1）4月份进了这批T恤衫多少件？ （2）4月份，经销商将这批T恤衫平均分给甲、乙两家分店销售，每件标价180元．甲店按标价卖出a件以后，剩余的按标价八折全部售出；乙店同样按标价卖出a件，然后将b件按标价九折售出，再将剩余的按标价七折全部售出，结果利润与甲店相同． ①用含a的代数式表示b； ②已知乙店按标价售出的数量不超过九折售出的数量，请你求出乙店利润的最大值． 【答案】（1）300件；（2）①；②3900元； 【分析】（1）设3月份购进T恤x件，则该单价为元，4月份购进T恤2x件，根据等量关系，4月份数量是3月份的2倍可得方程，解得方程即可求得； （2）①甲乙两家各150件T恤，甲店总收入为，乙店总收入为，甲乙利润相等，根据等量关系可求得ab关系式；②根据题意可列出乙店利润关于a的函数式，由以及①中的关系式可得到a的取值范围，进而可求得最大利润. 【详解】（1）设3月份购进T恤x件， 由题意得：，解得x=150， 经检验x=150是分式方程的解，符合题意， ∵4月份是3月份数量的2倍， ∴4月份购进T恤300件； （2）①由题意得，甲店总收入为， 乙店总收入为， ∵甲乙两店利润相等，成本相等， ∴总收入也相等， ∴=， 化简可得， ∴用含a的代数式表示b为：； ②乙店利润函数式为， 结合①可得， 因为，， ∴，∴=3900， 即最大利润为3900元. 【点睛】本题考查分式方程、一元一次不等式的应用，关键是根据数量作出等量关系列出方程，根据利润得出函数式，根据未知数范围进行求解． 命题点一 解分式方程 ►题型01 分式方程的定义 1．（2024·广西贺州·三模）下列式子是分式方程的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了分式方程，分母中含有未知数的有理方程是分式方程，据此进行判断即可． 【详解】解：A．是一元一次方程，故选项不符合题意； B．不是方程，故选项不符合题意； C．是分式方程，故选项符合题意； D．是一元一次方程，故选项符合题意． 故选：C． 2．（21-22八年级上·北京昌平·期中）下列关于的方程，是分式方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分式方程的定义：分母里含有字母的方程叫做分式方程进行判断． 【详解】解：．方程分母中不含未知数，故不是分式方程，不符合题意； ．方程分母中不含未知数，故不是分式方程，不符合题意； ．方程分母中不含表示未知数的字母，是常数，故不是分式方程，不符合题意； ．方程分母中含未知数，故是分式方程，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了分式方程的定义，解题的关键是掌握判断一个方程是否为分式方程，主要是依据分式方程的定义，也就是看分母中是否含有未知数（注意：仅仅是字母不行，必须是表示未知数的字母）． ►题型02 分式方程的一般解法 1．（2023·浙江杭州·模拟预测）方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查解分式方程，解题步骤为：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论解出方程．解题的关键是一定注意要验根． 【详解】解：， 方程两边同乘，得， ， 解得， 检验：当时，， 则是分式方程的解， 故答案为：2． 2．（2022·浙江衢州·二模）解分式方程： 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，先化为整式方程，再解一元一次方程，然后对所求的方程的解进行检验即可得． 【详解】 去分母得， 解得 检验：将代入 ∴原方程的解为． 3．（2024·浙江台州·二模）解方程：． 【答案】 【分析】本题考查分式方程的解法．先去分母，两边同时乘，化为整式方程后解整式方程，最后检验即可． 【详解】解：两边同时乘，得： ， 解得：， 经检验，是原分式方程的解． 解分式方程方法：先通过方程两边同乘最简公分母将分式方程化为整式方程，再解整式方程，最后需要检验整式方程的解是不是分式方程的解. ►题型03 分式方程的特殊解法 1．（2023·浙江宁波·一模）解方程： ． 【答案】 【分析】原分式方程可整理为，即说明，解出x的值，再检验即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ∴， 解得：． 经检验是原分式方程的解， ∴原方程的解为． 【点睛】本题考查解分式方程．掌握解分式方程的步骤是解题关键． 2．（18-19八年级·全国·单元测试）解方程：. 【答案】. 【分析】原方程变形为，再去分母求解方程进行检验即可. 【详解】原方程可化为， 即， ， ， ， ， ， . 经检验，是原方程的根. ∴原方程的解是. 【点睛】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解，解分式方程一定要注意验根. 3．（22-23八年级下·广东广州·开学考试）类比推理是一种推理方法，即根据两种事物在某些特征上的相似，作出它们在其他特征上也可能相似的结论．触类旁通，即用类比的方法提出问题及寻求解决问题中的途径和方法． 观察下列计算过程： 这就是解稍复杂的计算中常用到的裂项相消法，即把每项恰当拆分，使得其中部分分数相互抵消，简化计算． 阅读下面一道例题的解答过程： 因式分解： 解：我们可以将拆成和 即原式 在因式分解中，我们有时需要对多项式的某一项拆成两项或多项，其目的是使多项式能进行因式分解，像这样的方法称为拆项法． 请用类比的方法，解决以下问题： (1)①已知，则依据此规律____； ②请你利用拆项法进行因式分解：_____； (2)若满足，求的值； (3)受此启发，解方程． 【答案】(1)①；②； (2)； (3)． 【分析】（1）①类比题材即可得解，②类比题材即可因式分解； （2）根据绝对值和偶次方的非负性得，，然后代入所求式子利用裂项相消法即可求解； （3）利用拆项法因式分解后再利用裂项相消法化简方程，解化简后的分式方程即可． 【详解】（1）解：①∵ ∴类比得， 故答案为：； ②， 故答案为：； （2）解：∵满足，即 ∴，， 解得，， ∴， ； （3）解：， ， ， ， ， ， ， 经检验，是原方程的解， ∴原方程的解为． 【点睛】本题考查了有理数的混合运算、因式分解与解分式方程，解题的关键是明确题意，理解裂项相消法的应用以及熟练求解分式方程． 4．（18-19八年级上·山东·课后作业）解方程 (1) (2) 【答案】（1）1；（2）2. 【分析】（1）此方程如果直接去分母，得一元三次方程，不易解答．通过化简，观察此方程分子有相同的部分，可采用特殊的方法来解． （2）此方程不能直接去分母，由，可化简方程左边的式子，观察方程可得分子是相同的，即可得分母相等，转化成整式方程，求解即可得出答案． 【详解】（1）解：方程化简，得： ， ， ， ， 当x=1时，等式成立； 当x≠1时，转化为整式方程为：4（4x-3）（4x-5）=（8x-9）（8x-7）， 整理方程，得：64x2-128x+60=64x2-128x+63，等式不成立． 经检验，x=1是方程的解． （2）方程化简，得： ， ， ， （x+1）（x+2002）=3x+6006， x2+2003x+2002=3x+6006， 解得：x=-2002或x=2， 经检验，x=-2002是增根，x=2是原方程的根． 【点睛】此题考查了解分式方程，在解分母含有连续数字或具有特殊间隔规律数字的分式方程时，若直接去分母，运算量很大．若先移项，然后将方程两边分别通分，则出现相同的分子，可以使得解分式方程的过程大大简化．在解分式方程时，要采用灵活的方式把分式方程转化为整式方式，在求出整式方程的解之后，一定要注意检验． ►题型04 分式方程的错解问题 1．（2024·浙江金华·模拟预测）小华化简分式出现了错误，解答过程如下：   解：去分母得：①   去括号得：② 移项得：③ 合并同类项得：④ 系数化为1得：⑤ 经检验，是原分式方程的解． 请指出错误步骤（一步即可），并写出正确的解答过程． 【答案】从① 步开始出错，正确的解析过程见详解 【分析】本题主要考查解分式方程，根据去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的方法即可求解，掌握解分式的性质，解分式方程的方法是解题的关键． 【详解】解：去分母时，等式两边的各项都要乘以公分母， ∴在去分母时应为：，故从①步开始出错； 正确的解析过程如下， 方程两边同时乘以，去分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得， 检验，当时，原分式方程的分母不为0，有意义， ∴是原分式方程的解． 2．（2024·浙江杭州·模拟预测）小王同学解分式方程的过程，请指出他解答过程中最先出现的错误步骤的序号，并写出正确的解答过程． 解：去分母得：① 去括号得：② 移项得：③ 合并同类项得：④ 系数化为1得：⑤ 是原分式方程的解⑥ 【答案】错误的步骤是①、②，正确解答见解析 【分析】本题考查了解分式方程，观察阅读材料中的解方程过程，找出错误的步骤，修改解答过程即可． 【详解】解：错误的步骤是①、②，正确解答如下： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 解得：， 检验：当时，， 所以分式方程的解为． 3．（2024·浙江温州·一模）小丁和小迪分别解方程过程如下： 小丁： 解：去分母，得 去括号，得 合并同类项，得 解得 ∴原方程的解是 小迪 解：去分母，得 去括号得 合并同类项得 解得 经检验，是方程的增根，原方程无解 老师批改时说小丁和小迪的解题过程有错误，请你把小丁和小迪开始错误的步骤划上横线，然后写出正确的解答过程． 【答案】小丁和小迪的解法都是第一步错误；见解析 【分析】本题考查分式方程的解法，根据解分式方程的步骤进行计算并判断和解答即可． 【详解】解：小丁和小迪的解法都是第一步错误． 正确解法如下： 去分母得：， 移项，合并同类项得： 解得： 检验：将代入中可得：， 故原分式方程的解是． ►题型05 根据分式方程解的情况求参数 1．（11-12九年级下·浙江·期末）关于x的分式方程的解为正数，则m的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【分析】先去分母，用含m的代数式表示出x，根据解为正数求出m的范围即可． 【详解】解：两边都乘以x-1，得：m-1=2（x-1）， 解得：x=， 因为分式方程的解为正数， 所以>0，且≠1， 解得：m＞-1且m≠1， 故选：C． 【点睛】本题考查了分式方程的解法和分式方程的解以及一元一次不等式．确定m的取值范围时，容易忽略x不等于1的条件． 2．（11-12八年级下·广东清远·期中）若方程的根是正数，则的取值范围是(    ) A． B． C．且 D． 【答案】A 【分析】先求出分式方程的解，得出，求出的范围，再根据分式方程有解得出，，求出，，即可得出答案． 【详解】解：方程两边都乘以得：， ， ， ， 方程的根为正数， ， 解得：， 又∵，， ∴，， 即的取值范围是， 故选A． 【点睛】本题考查了分式方程解的应用，关键是求出和得出，，题目比较好，是一道比较容易出错的题目． 3．（2024·浙江嘉兴·模拟预测）关于x的方程的根满足，则m的值是 ． 【答案】6 【分析】此题考查了分式方程和一元二次方程含参数问题， 首先求出分式方程的解为，然后根据有意义的条件得到，，然后求出一元二次方程的解为或，然后根据题意得到或，进而求解即可． 【详解】 去分母得， 解得 ∴ ∴， ∴或 解得或 ∵关于x的方程的根满足， ∴或 解得（舍去），． 故答案为：6． 4．（2020·浙江杭州·一模）若关于x的分式方程＝1的解为x＝2，求m的值． 【答案】m＝4． 【分析】方程两边都乘以x﹣1得到整式方程，解之求得x＝m﹣2，结合x＝2求解可得． 【详解】解：方程两边都乘以x﹣1，得：m﹣3＝x﹣1， 解得x＝m﹣2， ∵x＝2， ∴m﹣2＝2， 解得m＝4． 【点睛】本题考查分式方程的解、一元一次方程的解法等知识，是重要考点，难度较易掌握相关知识是解题关键． ►题型06 根据分式方程无解求参数 1．（2022·浙江温州·模拟预测）设a，b为实数，关于的方程无实数根，求代数式8a+4b+|8a+4b-5|的值． 【答案】5 【分析】先将分式方程通分去分母化成整式方程，再根据方程无实数解得出关于含a、b的整式的取值范围，再据此作答即可求解． 【详解】将化简得：， ∵原分式方程无实数根， ∴，即， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了将分式方程化为一元二次方程以及根据一元二次方程根的情况得到方程判别式的符号以此来求解代数式值的知识，注重整体代入是解答本题的关键． 2．（21-22九年级上·黑龙江鸡西·期末）若关于的分式方程无解，则的值为（       ） A．－2 B．1 C．－2或1 D．1或0 【答案】C 【分析】去分母得出方程（a＋2）x＝3，分两种情况：（1）当方程无解时得a＋2＝0,进而求a的值；（2）当方程的根是增根时得出x＝1或x＝0,再分别代入（a＋2）x＝3，进而求得a的值． 【详解】解：将原方程去分母整理得，（a＋2）x＝3 当a＋2＝0时，该整式方程无解，此时a＝﹣2 当a＋2≠0时，要使分式方程无解，则方程的根为增根，即x＝0或x＝1 把x＝0代入（a＋2）x＝3，此时无解； 把x＝1代入（a＋2）x＝3，解得a＝1 综上所述，a的值为1或﹣2 故选：C 【点睛】本题主要考查分式方程无解的两个条件：（1）化成整式方程无解，所以原方程无解；（2）求出x的值是分式方程化成整式方程的解，但这个解是最简公分母的值为0，即为增根．掌握这两种情况是解题的关键． 3．（2021·浙江·模拟预测）已知关于x的方程无解，则m的值为（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】分式方程去掉分母化为整式方程，整式方程的解就是方程的增根，即x=3，据此即可求解． 【详解】解：去分母得：x-1=m， 解得：x=m+1， 根据题意得：m+1=3， 解得：m=2， 故选：C． 【点睛】本题考查了分式方程无解的条件，是需要识记的内容． 4．（18-19八年级上·湖北武汉·期末）如果关于x的方程2无解，则a的值为 ． 【答案】1或2． 【分析】分式方程无解的条件是：去分母后所得整式方程无解，或解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于0． 【详解】去分母得：ax﹣1=2(x﹣1) ax﹣2x=﹣1， (a﹣2)x=﹣1， 当a﹣2=0时，∴a=2， 此时方程无解，满足题意， 当a﹣2≠0时，∴x， 将x代入x﹣1=0， 解得：a=1， 综上所述：a=1或a=2． 故答案为：1或2． 【点睛】本题考查分式方程的解法，解题的关键是熟练运用分式方程的解法，本题属于基础题型． 分式方程会无解的几种情况 ①解出的x的值是增根，须舍去，无解 ②解出的x的表达式中含参数，而表达式无意义，无解 ③同时满足①和②，无解 ►题型07 已知分式方程有增根求参数 1．（20-21七年级下·浙江温州·期末）若关于x的方程有增根，则a的值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】D 【分析】首先把所给的分式方程化为整式方程，然后根据分式方程有增根，得到，据此求出x的值，代入整式方程求出a的值即可． 【详解】解：去分母，得：， 由分式方程有增根，得到，即， 把代入整式方程，可得：． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了分式方程的增根，解答此题的关键是要明确：（1）化分式方程为整式方程；（2）把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． 2．（22-23八年级上·上海青浦·期末）解关于的方程有增根，则的值为 【答案】/ 【分析】根据分式方程增根的产生，即使其最简公分母为0，但适合其转化为的整式方程进行求解． 【详解】解：根据题意，得 该分式方程的增根是， 该分式方程转化为整式方程，得， 把代入，得． 故答案为：． 【点睛】此题考查了分式方程的增根，即适合分式方程转化为整式方程，但却使分式方程的最简公分母为0． 3．（2020·浙江杭州·模拟预测）若关于的方程有增根，则 ． 【答案】6或0 【分析】根据分母等于0求出x的值，然后把原方程去分母后把求得的x的值代入计算即可． 【详解】解：由题意得 x2-9=0， 解得 x=±3， ， 去分母得 m-(x+3)=0， 当x=3时， m-(3+3)=0， ∴m=6； 当x=-3时， m-(-3+3)=0， ∴m=0； ∴m=6或0时，分式方程有增根． 故答案为：6或0． 【点睛】此题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． 4．（2020·浙江杭州·模拟预测）关于x的方程有增根，则m的值为 ． 【答案】 【分析】先把分式方程去分母化成整式方程，再代入增根即可. 【详解】分式方程两边同时乘以得： ∵分式方程有增根 ∴增根为 把代入得： 故答案为 【点睛】本题考查分式方程的增根。分式方程的增根是整式方程的解但是使分式方程分母为0，熟记增根特点是解题的关键. 求有增根分式方程中参数字母的值的一般步骤： ①让最简公分母为 0 确定增根； ②去分母，将分式方程转化为整式方程； ③将增根带入（当有多个增根时，注意分类，不要漏解）； ④解含参数字母的方程的解。 ►题型08新定义的分式方程 1．新定义：如果两个实数使得关于的分式方程的解是成立，那么我们就把实数组成的数对称为关于的分式方程的一个“关联数对”． 例如：使得关于的分式方程的解是成立，所以数对就是关于的分式方程的一个“关联数对”． (1)判断下列数对是否为关于的分式方程的“关联数对”，若是，请在括号内打“√”. 若不是，打“×”． ①（   ）；②（   ）； ③（   ）； ④（   ）； (2)若数对是关于的分式方程的“关联数对”，求的值； (3)若数对（且，）是关于的分式方程的“关联数对”，且关于的方程有整数解，求整数的值． 【答案】(1)①；②；③；④ (2) (3) 【分析】本题考查了新定义，分式方程的解，学生的理解能力以及知识的迁移能力等知识，理解“关联数对”的定义是解题的关键． （1）根据“关联数对”定义分别判断即可； （2）根据“关联数对”定义计算即可； （3）根据“关联数对”定义，结合方程的解为整数，计算即可． 【详解】（1）解：当，时，分式方程为，， ∵， ∴①不是关于的分式方程的“关联数对”； 当，时，分式方程为， 解得：， ， ②不是关于的分式方程的“关联数对”； 当，时，分式方程为， 解得， ， ③是关于的分式方程的“关联数对”； 当，时，分式方程为， 此方程无解， ④是关于的分式方程的“关联数对”； 故答案为：①；②；③；④． （2）解：数对是关于的分式方程的“关联数对”， ， 解得：， ， 解得； （3）解：数对，且，是关于的分式方程的“关联数对”， ，， ， 解得， ∵可化为， ∴， 解得：， 方程有整数解， 整数，即， 又，， ． 2．给出定义：如果两个实数m，n使得关于的分式方程的解是成立，那么我们就把实数m，n组成的数对称为关于x的分式方程的一个“梦想数对”． 例如：当，时，使得关于的分式方程的解是成立，所以数对称为关于的分式方程的一个“梦想数对”． (1)在数对①；②；③中，_________（只填号）是关于x的分式方程的“梦想数对”． (2)若数对是关于的分式方程的一个“梦想数对”求a的值． (3)若数对且是关于的分式方程的一个“梦想数对”，且关于的方程有整数解，直接写出整数c的值． 【答案】(1)①③ (2) (3)或 【分析】（1）根据定义，计算判断即可． （2）根据定义，分式方程的解为，代入方程求a的值即可． （3）根据数对且是关于的分式方程的一个“梦想数对”， 得关于的分式方程的解是，回代方程，得，结合关于的方程的解为，且方程有整数解，解答即可． 本题考查了分式的新定义，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】（1）解：当，时，使得关于的分式方程的解是成立，所以数对是关于的分式方程的一个“梦想数对” 故①正确； 当，时，使得关于的分式方程的解是，不是 成立，所以数对不是关于的分式方程的一个“梦想数对” 故②错误； 当，时，使得关于的分式方程的解是成立，所以数对是关于的分式方程的一个“梦想数对” 故③正确； 故答案为：①③． （2）解：根据定义，分式方程的解为， 故． 解得． （3）解：根据数对且是关于的分式方程的一个“梦想数对”， 得关于的分式方程的解是，回代方程，得， 整理，得， ∴， ∵且， ∴， ∴， ∵方程的解为， ∴， ∵方程有整数解， ∴ 当时，，（舍去）； 当时，，（舍去）； 故或． 3．我们把形如（，不为零），且两个解分别为，的方程称为“十字分式方程”． 例如为十字分式方程，可化为，∴，； 再如为十字分式方程，可化为，∴，． 应用上面的结论解答下列问题： (1)若为十字分式方程，则________，________． (2)若十字分式方程的两个解分别为，，求的值． (3)若关于的十字分式方程的两个解分别为，，求的值． 【答案】(1)3；1 (2) (3)2024 【分析】本题考查了新定义运算，利用完全平方公式求值、因式分解的应用等知识点，理解十字分式方程的定义是解题关键． （1）将方程改写成，再根据“十字分式方程”的定义作答即可； （2）先根据十字分式方程的定义求出，，再化简得，最后代入计算求解即可； （3）先根据十字分式方程的定义以及、、的取值范围求出，，即，，然后代入求解即可． 【详解】（1）解：∵方程是十字分式方程，可化为， ∴， 故答案为：3，1． （2）解：十字分式方程的两个解分别为，， ∴，， ∴ ． （3）解：方程是十字分式方程，可化为， ∴，， ∵，， ∴，， 即，， ∴． 命题点二 分式方程的应用 ►题型01 列分式方程 1．（2024·浙江温州·二模）某地发生地震后，受灾地区急需大量物资．某帐篷生产企业接到任务后，加大生产投入，提高效率，实际每天生产帐篷比原计划多100顶．已知现在生产2000顶帐篷所用的时间与原计划生产1500顶的时间相同，设该企业现在每天生产帐篷x顶，可列出方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了列分式方程，设该企业现在每天生产帐篷x顶，则原计划每天生产顶，根据题意列出方程，即可求解． 【详解】解：设该企业现在每天生产帐篷x顶，则原计划每天生产顶，根据题意得， 故选：D． 2．（2024·浙江杭州·二模）某工程需要在规定时间内完成，如果甲工程队单独做，恰好如期完成；如果乙工程队单独做，则多用3天，现在甲、乙两队合做2天，剩下的由乙队单独做，恰好如期完成，求规定时间．如果设规定日期为x天，下面所列方程中正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式方程的运用，根据题目数量关系列式求解即可，掌握分式方程的运用是解题的关键． 【详解】解：设规定日期为x天，甲工程队单独做，恰好如期完成；如果乙工程队单独做，则多用3天， ∴乙完成的天数是天， ∴甲的工作效率为，乙的工作效率为， 现在甲、乙两队合做2天， ∴剩下的工作量为， 剩下的由乙队单独做，恰好如期完成， ∴， 整理得，， 故选：C ． 3．（2024·浙江台州·一模）某校组织七年级学生赴劳动实践基地开展劳动实践活动，全程36千米．因堵车大巴车晚到，推迟了10分钟出发，途中大巴车平均每小时比原计划多走，结果正好按原计划到达目的地．设大巴车原计划平均速度为x千米/时，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据大巴车原计划的速度与实际速度间的关系，可得出大巴车实际的平均速度为千米时，利用时间路程速度，结合实际比原计划少用10分钟，即可列出关于的分式方程，此题得解．本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 【详解】解：途中大巴车平均每小时比原计划多走，且大巴车原计划的平均速度为千米时， 大巴车实际的平均速度为千米时． 根据题意得：． 故选：D． 4．（2024·浙江台州·二模）我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，请人去买几株椽．每 株脚钱三文足，无钱准与一株椽．其大意：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的 价钱，试问6210文能买多少株椽？若设这批椽的数量为x株，则可列分式方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程．由这批椽的数量，可得出每株椽的价钱为文，结合单价总价数量，即可列出关于的分式方程，此题得解． 【详解】解：少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，且这批椽的数量为株， 每株椽的价钱为文． 根据题意得：． 故选：B． ►题型02 用分式方程解决实际问题 1．（23-24七年级上·上海闵行·期末）2023年第十九届亚运会在杭州圆满落幕，参加女子1500米自由泳的运动员在教练员的指导下努力训练提高竞技水平，在经过指导后，甲运动员的速度是原来的倍，时间缩短了50秒，那么经过指导后，甲运动员现在的速度是多少？ 【答案】米/秒 【分析】本题考查了分式方程的应用，设甲运动员原来的速度是x米/秒，则经过指导后的速度是米/秒，利用时间路程速度，结合经过指导后时间缩短了50秒，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后可得出甲运动员原来的速度，再将其代入中即可求出甲运动员现在的速度． 【详解】解：设甲运动员原来的速度是x米/秒，则经过指导后的速度是米/秒， 依题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴． 答：经过指导后，甲运动员现在的速度是米/秒． 2．（24-25八年级上·河北邯郸·期末）小明和同学相约到离家2400米的电影院看电影，到电影院后，发现电影票忘带了，此时离电影开始还有25分钟，于是他跑步回家，拿到票后立刻找到一辆“共享单车”原路赶回电影院，已知小明骑车的时间比跑步的时间少用了4分钟，骑车的平均速度是跑步的平均速度的1.5倍． (1)求小明跑步的平均速度； (2)如果小明在家取票和寻找“共享单车”共用了6分钟，直接写出他能否在电影开始前赶到电影院？ 【答案】(1)小明跑步的平均速度为200米／分钟 (2)小明不能在电影开始前赶到电影院 【分析】本题考查了分式方程的应用，这样的问题中，一般有两个等量关系，一个等量关系用来确定题中的两个未知数之间的关系，一个等量关系用来列方程求解．注意解分式方程的应用题一定要检验求得的解是否是原分式方程的解且是否符合题意． （1）设小明跑步的平均速度为米／分钟，用含的式子表示骑车的时间和跑步的时间，根据骑车的时间比跑步的时间少用了4分钟列方程求解即可； （2）计算出骑车的时间，跑步的时间及找票的时间的和，与25分钟作比较即可解答． 【详解】（1）解：设小明跑步的平均速度为米／分钟，则骑车的平均速度为米／分钟， 依题意得， 解得：， 经检验，是原方程的根， 答：小明跑步的平均速度为200米／分钟． （2）解：跑步的时间：分钟， 骑车的时间：分钟， ， ∴小明不能在电影开始前赶到电影院． 3．（24-25八年级上·湖南长沙·期末）某市为治理污水，保护环境，需铺设一段全长为4800米的污水排放管道，为了减少施工对城市交通所造成的影响，实际施工时每天的工效比原计划增加，结果提前20天完成铺设任务． (1)求原计划与实际每天铺设管道各多少米？ (2)负责该工程的施工单位，按原计划对工人的工资进行了初步的预算，工人每天人均工资为300元，所有工人的工资总金额不超过36万元．该公司原计划最多应安排多少名工人施工？ 【答案】(1)原计划与实际每天铺设管道各为40米，48米 (2)该公司原计划最多应安排10名工人施工 【分析】此题考查了分式方程的应用，以及一元一次不等式的应用，弄清题意是解本题的关键． （1）设原计划每天铺设管道米，则实际施工每天铺设管道，根据原计划的时间实际的时间，列出方程，求出方程的解即可得到结果； （2）设该公司原计划应安排名工人施工，根据工作时间工作总量工作效率计算出原计划的工作天数，进而表示出所有工人的工作总额，由所有工人的工资总金额不超过36万元列出不等式，求出不等式的解集，找出解集中的最大整数解即可． 【详解】（1）解：设原计划每天铺设管道米，则实际施工每天铺设管道米， 根据题意得：， 解得：， 经检验是分式方程的解，且符合题意， ， 则原计划与实际每天铺设管道各为40米，48米； （2）解：设该公司原计划应安排名工人施工，（天）， 根据题意得：， 解得：， ∴不等式的最大整数解为10， 则该公司原计划最多应安排10名工人施工． 4．（24-25八年级上·天津河西·期末）某县为了落实中央的“强基惠民工程”，计划将某村的居民自来水管道进行改造．该工程若由甲队单独施工恰好在规定时间内完成；若乙队单独施工，则完成工程所需天数是规定天数的3倍．如果由甲、乙两队先合做15天，那么余下的工程由甲队单独完成还需10天． (1)这项工程的规定时间是多少天？ (2)为了缩短工期以减少对居民用水的影响，工程指挥部最终决定该工程由甲、乙辆队合作共同完成．则该工程施工需要多少天？ 【答案】(1)这项工程的规定时间是天 (2)该工程施工需要天 【分析】本题主要考查了分式方程的应用以及一元一次方程的应用， 设这项工程的规定时间是天，则甲队单独施工需要天完成，乙队单独施工需要天完成，根据由甲、乙两队先合做天，那么余下的工程由甲队单独完成还需天，列出分式方程，解方程即可； 设该工程施工需要天，根据该工程由甲、乙两队合作共同完成，列出一元一次方程，解方程即可. 找准等量关系，正确列出分式方程和一元一次方程是解决此题的关键． 【详解】（1）解：设这项工程的规定时间是天，则甲队单独施工需要天完成，乙队单独施工需要天完成， 根据题意得：, 解得：, 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， 答：这项工程的规定时间是天； （2）解：由可知，, 设该工程施工需要天， 由题意得：, 解得：, 答：该工程施工需要天. 基础巩固 1．下列各式中，是分式方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分式方程的识别，解题的关键是掌握分式方程的定义：分母里含有未知数的方程叫做分式方程，注意：仅仅是字母不行，必须是表示未知数的字母．据此解答即可 【详解】解：A．是一元一次方程，故此选项不符合题意； B．是分式方程，故此选项符合题意； C．是一元一次方程，故此选项不符合题意； D．是代数式，故此选项不符合题意． 故选：B． 2．解分式方程时，去分母后变形正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解分式方程，掌握去分母的方法，等式的性质是解题的关键． 根据题意，等式两边同时乘以去分母即可，注意不能漏乘项． 【详解】解：分式方程去分母后变形， 故选：A ． 3．若关于的分式方程有增根，则的值为（   ） A． B． C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了解分式方程，理解增根的概念，掌握解分式方程的方法是解题的关键． 先根据解分式方程的方法得到分式方程的解，再根据增根的概念“使分式方程分母为0的未知数的值”得到，代入计算即可求解． 【详解】解：， 等式左边同分母分式相减得，， 去分母得，， 去括号得，， 移项得，， 合并同类项得，， 系数化为1得，， ∵分式方程有增根，即， ∴， ∴， 解得，， 故选：B ． 4．关于的方程的解为正数，则的取值范围是（　　） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】本题考查解分式方程，分式方程的解、解一元一次不等式组，解分式方程是解答的关键，注意不能产生增根，所以要使．先求出分式方程的解，再根据解为正数，确定解的取值范围，解不等式组，即可得到结论． 【详解】解：， 去分母，得：， 去括号，得：， 移项、合并，得：， 解得：， ∵关于的方程的解为正数， ∴， 解得：且， 故选：D． 5．若关于的方程无解，则 （   ） A． B．或 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式方程的解法，根据分式方程的解法，方程无解的两种情况，分式方程有增根或的系数为，即可解得此题，解题的关键是掌握分式方程无解的两种情况． 【详解】解：方程可化为， 方程两边同乘，得， 整理得， 当时，， ∵关于的方程无解， ∴或， ∴或， 故选：． 6．我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“七贯二百钱，倩人去买几株椽，每株脚钱四文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人去代买一批椽，这批椽的价钱为文，如果每株椽的运费是文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问文能买多少株橡？设这批椽的数量为株，则符合题意的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了列分式方程，设这批椽的数量为株，根据“这批椽的价钱为文”、“每株椽的运费为文，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱”列出分式方程，即可求解． 【详解】解：设这批椽的数量为株，根据题意得，， 故选A. 7．《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到里远的城市，所需时间比规定时间多天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少天，已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间，设规定时间为天，则可列出正确的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式方程的应用，设规定时间为天，根据题意列出方程即可，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：设规定时间为天， 由题意得，， 故选：． 8．对于两个不相等的实数a、b，我们规定符号表示a、b中的较小的值，如，按照这个规定．方程的解为（   ） A．0 B．0或2 C．无解 D．不确定 【答案】A 【分析】本题考查的是解分式方程，实数的大小比较，利用分类讨论的思想解决问题是关键．分两种情况求解：当时和当时，分别得到分式方程，求解并检验即可得到答案． 【详解】解：当时，即，， ， ， 整理得：， 解得：，不符合题意，舍去； 当时，即，， ， ， 解得：， 经检验，是分式方程的解， 故选：A． 9．分式方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，去分母，化分式方程为整式方程，最后检验，即可求解． 【详解】解： ∴ 解得： 经检验，是原方程的解， 故答案为：． 10．已知关于的分式方程的解是非负数．则的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查分式方程的解、解一元一次不等式，掌握用含的式子表示方程的解，根据方程的解为非负数，列不等式组是解题关键． 先求出分式方程的解，根据方程的解的情况结合分式有意义，得到关于的不等式组，进行求解即可． 【详解】解：， 得：， ∵方程的解为非负数，且，即， ， 且； 故答案为：且 11．若关于x的方程有增根，则a的值为 ． 【答案】1 【分析】先化分式方程为整式方程，把分母为零的x值代入整式方程，计算即可． 本题考查的是含参数分式方程有增根的问题，掌握分式的增根的意义是解题的关键． 【详解】解：将方程去分母得到： ， 整理，得， ∵分式有增根， ∴ 解得， 当时，， 解得； 故答案为：1． 12．兰陵县蔬菜畅销全国各地，一运送蔬菜车开往距出发地 600 千米的目的地，由于接到新的订 单，每小时比原计划的速度提高，比原计划提前 40 分钟到达．设原计划速度为 x 千米/小时，则方程可列为 ． 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，正确找出等量关系，列出分式方程是解题的关键．设原计划速度为千米小时，根据“运送蔬菜车开往距离出发地600千米的目的地”，则原计划的时间为：，根据“每小时比原计划的速度提高”，则实际的时间为：，根据“实际比原计划提前40分钟到达目的地”，列出关于的分式方程，即可得到答案． 【详解】解：设原计划速度为千米小时， 根据题意得： 原计划的时间为：， 实际的时间为：， 实际比原计划提前40分钟到达目的地， ， 故答案为：． 13．甲、乙、丙三名工人共承担装搭一批零件．已知甲乙丙丁四人聊天时的对话信息如表，如果每小时只安排1名工人，那么按照甲、乙、丙的轮流顺序至完成工作任务，共需 小时． 甲说：我单独完成任务所需时间比乙单独完成任务所需时间多5小时； 乙说：我3小时完成的工作量与甲4小时完成的工作量相等； 丙说：我工作效率不高，我的工作效率是乙的工作效率的； 丁说：我没参加此项工作，但我可以计算你们的工作效率，知道工程问题三者关系是：工作效率×工作时间=工作总量． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．设乙单独完成任务所需时间为小时，根据“乙3小时完成的工作量与甲4小时完成的工作量相等”列分式方程，得到甲、乙、丙三人的工作效率，即可求解． 【详解】解：设乙单独完成任务所需时间为小时，则甲单独完成任务所需时间为小时， 由题意得：， 解得：， 经检验，是分式方程的解， 甲的工作效率为，乙的工作效率为， 丙的工作效率是乙的工作效率的， 丙的工作效率是， 甲、乙、丙工作一轮的工作量为， 甲、乙、丙工作六轮的工作量为， 工作六轮后剩余工作量为， ，即甲工作1小时候剩余工作量为， 乙的工作时间为， 完成工作任务，共需小时， 故答案为：． 14．解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键． 首先去分母，两边都乘以，将分式方程化为整式方程求解，然后检验即可． 【详解】解：， 去分母，两边都乘以，得： ， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为，得：， 检验：当时，， ∴是原分式方程的解． 15．已知关于的方程． (1)若，解这个分式方程； (2)若分式方程无解，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查解分式方程，掌握解分式方程的方法，理解分式方程无解的含义是解题的关键． （1）把代入分式方程，将分式方程转换为整式方程计算即可求解，注意要检验根是否符合题意； （2）根据原分式方程无解“原分式方程的分母为零；原分式方程化成整式方程后，整式方程无解”由此即可求解． 【详解】（1）解：， 把代入分式方程，得， 方程两边乘，得， 整理得，， 解得，， 检验：把代入， 是原分式方程的解． （2）解：， 当时，， 方程两边都乘最简公分母，得， 整理，得， 原分式方程无解， ， 解得，， 把代入， 当时，， 解得，； 当时， 解得，； 综上所述，． 16．阅读下列材料： 关于的分式方程的解是，；的解是，；的解是，． 请观察上述方程与解的特征，解决下列问题： (1)直接写出关于的方程（）的解为______； (2)直接写出关于的方程的解为______． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了分式方程的相关拓展，正确理解阅读材料中的方法、恰当变形是解题的关键． （1）根据阅读材料中方程与解的特征可直接得出答案； （2）先将原方程变形为：，再根据（2）的猜想可得或，进而可得结果． 【详解】（1）解：由题意可猜想：关于的方程的解是，； 故答案为：，； （2）解：方程可变形为：， 即， 则由（1）的猜想可得：方程的解为：或， 解得：，， 经检验，，都是原方程的解， 所以，． 17．嘉淇准备完成题目：解分式方程：，发现数字印刷不清楚． (1)他把“”猜成，请你解方程：； (2)他妈妈说：“你猜错了，我看到该题目的正确答案是此分式方程无解．”通过计算说明原题中“”是几？ 【答案】(1) (2)3 【分析】本题主要考查了解分式方程、方程无解等知识点，掌握解分式方程的方法和步骤是解题的关键． （1）分式方程变形后，去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，然后再检验即可解答； （2）设原题中“◆”是a，分式方程变形后去分母转化为整式方程，由分式方程无解得到，代入整式方程计算即可求出a的值即可． 【详解】（1）解：方程整理得：， 去分母得：， 解得：， 检验：把代入得：， 分式方程的解为． （2）解：设原题中“”是， 方程变形得：， 去分母得：， 由分式方程无解，得到， 把代入整式方程得：． 答：原题中“”是． 18．一艘船在河中逆流而上，路过桥A时船上的救生圈被水冲走，继续向前行驶了发现救生圈遗失，立即返回，在距桥的地方追到了救生圈．求水流速度． 【答案】水流速度为 【分析】本题考查了分式方程的应用，设水流的速度为，船在静水中的速度为，根据题意列出分式方程，求解即可，理解题意，找准等量关系，正确列出分式方程是解此题的关键． 【详解】解：， 设水流的速度为，船在静水中的速度为， 由题意可得： ， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， 故水流速度为． 19．如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为a米（）的正方形去掉一个边长为1米的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为米的正方形，两块试验田的小麦都收获了． (1)①“丰收1号”单位面积产量为______，“丰收2号”单位面积产量为______（以上结果均用含a的式子表示）； ②通过计算可知，______（填“1号”或“2号”）小麦单位面积产量高； (2)若高的单位面积产量比低的单位面积产量的多，求a的值； (3)某农户试种“丰收1号”、“丰收2号”两种小麦种子，两种小麦试种的单位面积产量与实验田一致，“丰收1号”小麦种植面积为n平方米（n为整数），“丰收2号”小麦种植面积比“丰收1号”少45平方米，若两种小麦种植后，收获的产量相同，当且a为整数时，符合条件的n值为______（直接写出结果）． 【答案】(1)①，；② (2) (3)，， 【分析】本题考查分式方程的应用，不等式的应用．理解分式的基本性质，不等式的基本性质，根据题意列出方程是解题关键． （1）①用“总产量面积”列式求得单位面积的产量；②根据，并利用不等式的性质作出比较； （2）根据题意可以列出相应的方程，从而可以求得的值； （3）根据题意列出方程，并结合，列不等式求解． 【详解】（1）解：①由题意，“丰收号”小麦的试验田的面积为， ∴“丰收号”单位面积产量为； 由题意，“丰收号”单位面积为， ∴“丰收号”单位面积产量为． ②∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， 即“丰收号”小麦的单位面积产量高． 故答案为：号． （2）解：根据题意，得： ， 解得：， 经检验：是原方程的解且符合题意． ∴的值是． （3）解：根据题意，得： ， 整理，可得：， ∴， 当且a为整数（）， 解得：， 又∵为正整数，且满足， 当时，， 当时，， 当时，， ∴符合条件的的值为，，． 能力提升 20．下列说法：①是分式方程：②x=1或x=-1是分式方程=0的解；③分式方程转化成一元一次方程时，方程两边需要同乘x(x+4)；④解分式方程时一定会出现增根，其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】利用分式方程的定义，分式方程的解，以及分式方程根的判断即可解决． 【详解】①是分式方程，故正确； ②时，，即分母为0，故不是分式方程的解 ，错误； ③分式方程转化成一元一次方程时，方程两边需要同乘，故正确； ④解分式方程时不一定会出现增根，错误． 所以正确的有2个 故选：B 【点睛】本题考查了分式方程的定义、分式方程根的检验、分式方程的增根等知识． 21．对于非零实数，规定：．若，则的值为（   ） A． B． C． D．不存在 【答案】C 【分析】本题考查了解分式方程，根据新定义将所求式子化为普通方程，求出方程的解即可得到x的值． 【详解】解：根据题意得：， 解得：， 经检验是分式方程的解． 故选：C． 22．关于x的分式方程的解是负数，则a的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【分析】本题考查分式方程的解．去分母，方程两边同时乘以，得，则，再根据该方程的解是负数得，然后根据是该方程的增根得出，，据此可得a的取值范围． 【详解】解：， 去分母，方程两边同时乘以，得：， 解得：， ∵该方程的解是负数， ∴， 解得：， ∵是该方程的增根， ∴时，，解得：， 当时，，解得：， 综上所述：a的取值范围是：且． 故选：C． 23．2024年11月6日8时许，今年首批大约300多只进城的红嘴鸥“先遣部队”飞临翠湖公园，随后，陆续抵达昆明过冬的红嘴鸥将逐渐增多．为保护好这些远道而来的小精灵，小红、小丽两名同学动手折纸红嘴鸥，准备周末到翠湖公园送给游客，并倡导大家“爱鸥护鸥，文明观赏”．已知小红每小时比小丽多折6只红嘴鸥，小红折90只红嘴鸥所用时间与小丽折60只所用时间相等，求小红、小丽每小时各折红嘴鸥多少只？如果设小丽每小时折只红嘴鸥，那么列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是明确题意，找到等量关系，列出相应的分式方程． 根据“小红折90只红嘴鸥所用时间与小丽折60只所用时间相等”可以列出方程 ，本题得以解决． 【详解】解：设小丽每小时折只红嘴鸥，则小红每小时折只红嘴鸥 又小红折90只红嘴鸥所用时间与小丽折60只所用时间相等 ∴ 故选：D 24．使得关于的分式方程有正整数解，且关于的不等式组至少有2个整数解，那么符合条件的所有整数的和为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查含参数的分式方程和一元一次不等式组的综合，熟练掌握分式方程和一元一次不等式组的解法，是解题的关键，特别注意，要检验分式方程的增根． 根据分式方程求出a的范围, 然后再根据不等式组求出a的范围，从而确定a满足条件的所有整数值，求和即可． 【详解】解不等式组，得， 不等式组至少有2个整数解， ， ， 解分式方程，得， 为正整数，， 或或， 时，，原分式方程无解， 故将舍去， 符合条件的所有整数的和是． 故选：B． 25．观察下列式子的变形规律： ①，②，③，④，…… 请尝试回答下面问题： 若，则的值为（   ） A．1000 B．998 C．1 D．2 【答案】B 【分析】此题考查了解分式方程，以及规律型：数字的变化类，已知等式左边利用裂项求和变形，然后解方程求出的值． 【详解】解：已知等式整理得： ， ∴ 去分母得： 解得： 经检验：是分式方程的解. 故选: B． 26．已知，则= ． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程，完全平方公式的运用，以及因式分解法，熟练掌握各知识点并灵活运用是解决本题的关键． 先对进行配凑处理，变形为，再利用整体的思想求出的值，最后尤其需要注意检验． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 因式分解，得 ， ∴或， ∴或， 当时，化简得：， 此时，该方程无实数根，故舍去， 而 时，化简得：， 此时，该方程有解，符合题意． 故答案为：． 27．关于的方程的解为正整数，整数的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了分式方程的解，先解方程可得，再结合关于的方程的解为正整数，再进一步求解并检验即可． 【详解】解：， 去分母得：， ∴， 移项合并得：， 当时， 解得：， 由方程的解是正整数，得到为正整数， 即或或， 解得：或或． ∵，， ∴， ∴或， 故答案为：或． 28．数学的美无处不在，数学家们研究发现：弹拨琴弦发出声音的音调高低取决于琴弦的长度，如三根琴弦长度之比为，用同样的力度弹拨琴弦，它们就能发出很和谐的乐音，因此我们称15，12，10这三个数为一组调和数．现有三个数：5，3，x，若要组成一组调和数，则x的值为 ． 【答案】15或或 【分析】本题考查分式方程，根据题意分3种情况讨论，然后分别列出方程求解即可． 【详解】解：分三种情况： 当时，x，5，3这三个数为一组调和数， ， 解得， 经检验，是原方程的根； 当时，5，x，3这三个数为一组调和数， ， 解得， 经检验，是原方程的根； 当时，5，3，x这三个数为一组调和数， ， 解得， 经检验，是原方程的根； 综上所述，或或， 故答案为：15或或． 29．有下列说法：①不论k取何实数，多项式x2﹣ky2总能分解能两个一次因式积的形式；②关于x的分式方程无解，则m＝1；③关于x、y的方程组，将此方程组的两个方程左右两边分别对应相加，得到一个新的方程，其中，当a每取一个值时，就有一个方程，而这些方程有一个公共解，则这个公共解为，其中正确的是 ．（填序号） 【答案】②③ 【分析】分别运用因式分解的公式法、分式方程的解法及解二元一次方程组的方法，可作出判断． 【详解】解：①当k为负值时，多项式x2﹣ky2不能分解能两个一次因式积的形式，故①不正确； ②将关于x的分式方程两边同时乘以（x﹣2）得 3﹣x﹣m＝x﹣2 ∴x＝， ∵原分式方程无解， ∴x＝2， ∴＝2， 解得m＝1， 故②正确； ③将所给方程组的两个方程左右两边分别对应相加，得 （a﹣1）x+（a+2）y＝2a﹣5， （x+y）a+2y﹣x＝2a﹣5， ∴， 解得： 则当a每取一个值时，就有一个方程，而这些方程有一个公共解，则这个公共解为， 故③正确． 综上，正确答案为：②③． 【点睛】本题考查了因式分解、分式方程的解、二元一次方程组的解，解题关键是理解题意，遵循题意按照相应的解题方法准确进行计算． 30．解分式方程： (1) (2) 【答案】(1)； (2)分式方程无解． 【分析】（）先将分式方程两边同时乘以化为一元一次方程，再解一元一次方程，最后检验即可求解； （）先将分式方程两边同时乘以化为一元一次方程，再解一元一次方程，最后检验即可求解； 本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程是解题的关键． 【详解】（1）解：， ，解得：， 检验：当时，， ∴分式方程的解为：； （2）解：， ，解得：， 当时，， ∴分式方程无解． 31．已知关于x的分式方程． (1)当，时，求分式方程的解； (2)当时，求b为何值时分式方程无解； (3)若，且a，b为正整数，当分式方程的解为非负整数时，求b的值． 【答案】(1) (2)或时，分式方程无解； (3)满足条件的b可取1或4或5这三个数． 【分析】（1）将a和b的值代入分式方程，解分式方程即可； （2）把a的值代入分式方程，分式方程去分母后化为整式方程，分类讨论b的值，使分式方程无解即可； （3）将代入方程，分式方程去分母化为整式方程，表示出整式方程的解，由解为整数和b为正整数确定b的取值． 【详解】（1）解：把，代入原分式方程中， 得：， 方程两边同时乘以， 得：， 解得：， 检验：把代入， ∴原分式方程的解为：； （2）解：把代入原分式方程中， 得：， 方程两边同时乘以， 得：， 去括号，得：， 移项、合并同类项，得：， ①当即时，原分式方程无解； ②当时，得， Ⅰ.时，原分式方程无解， 即，此时b不存在； Ⅱ.时，原分式方程无解， 即时， 此时； 综上所述，或时，分式方程无解； （3）解：把代入分式方程中， 得：， 方程两边同时乘以， 得：， 整理得， 解得：， ∵b为正整数，x为非负整数， ∴必为40的因数，， ∴或或或， 对应地，方程的解或2或12或32， 又为分式方程的增根，故应舍去， 对应地，b只可以取1或4或5， ∴满足条件的b可取1或4或5这三个数． 【点睛】本题主要考查分式方程的计算，难度较大，涉及知识点较多．熟练掌握解分式方程的步骤是解决这三道小题的前提条件；其次，分式方程无解的两种情况要熟知，一是分式方程去分母后的整式方程无解，而是分式方程去分母后的整式方程的解是原分式方程的增根．总之，解分式方程的步骤要重点掌握． 32．（1）观察下列算式： ，，，由此推断：_______； （2）请用含字母（为正整数）的等式表示（1）中的一般规律； （3）解方程：． 【答案】1）；（2）．（3）原分式方程无解 【分析】本题考查了数字类规律探索，解分式方程． （1）根据题干所给式子即可得解； （2）根据（1）中的式子得出规律即可； （3）根据规律得出，再解分式方程即可得解． 【详解】解：（1）由题意可得：； （2）由（1）可得：； （3）∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， 经检验，时原分式方程的增根， ∴原分式方程无解． 33．猕猴桃被誉为“维C之王”，超市里红心猕猴桃与黄心猕猴桃两种水果很受欢迎，红心猕猴桃售价为每千克8元，黄心猕猴桃售价为每千克12元，若第一周红心猕猴桃的销量比黄心猕猴桃的销量多100千克，两种水果的总销售额为6800元． (1)求第一周销售红心猕猴桃和黄心猕猴桃分别多少千克？ (2)该超市第二周继续销售这两种水果，第二周购进了1600元的红心猕猴桃和2800元的黄心猕猴桃，红心猕猴桃进价比黄心猕猴桃进价少3元，它们购进的数量相同，求第二周购进的黄心猕猴桃的进价是每千克多少元？ 【答案】(1)第一周销售红心猕猴桃千克和黄心猕猴桃千克 (2)第二周购进的黄心猕猴桃的进价是每千克元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，分式方程的应用； （1）等量关系式：红心猕猴桃的销售额黄心猕猴桃的销售额元，红心猕猴桃的销量黄心猕猴桃的销量千克，据此列方程组，即可求解； （2）等量关系式：1600元购买的红心猕猴桃的数量元购买的黄心猕猴桃的数量，据此列出分式方程，即可求解． 找出等量关系式是解题的关键． 【详解】（1）解：设第一周销售红心猕猴桃千克和黄心猕猴桃千克，由题意得 ， 解得：， 答：第一周销售红心猕猴桃千克和黄心猕猴桃千克； （2）解：设第二周购进的黄心猕猴桃的进价是每千克元，则红心猕猴桃进价进价为（）元，由题意得 ， 解得：， 经检验：是所列方程的根，且符合实际意义； 答：第二周购进的黄心猕猴桃的进价是每千克元． 34．某电脑商城准备购进两种型号的电脑，已知每台电脑的进价型比型多元，用万元购进型电脑和用万购进型电脑的数量相同． (1)两种型号电脑每台进价各是多少？ (2)随着技术的更新，型号电脑升级为型号，该商城计划一次性购进两种型号电脑共台，型号电脑的每台售价元．经市场调研发现，销售型号电脑所获利润(万元)与销售量台()，如图所示，为线段，为抛物线一部分()．若这两种电脑全部售出，则该商城如何进货利润最大？(利润销售总价总进价) 【答案】(1)型电脑每台进价元，型电脑每台进价元 (2)型电脑总共购进台，型电脑总共购进台 【分析】（）设型电脑每台进价元，则型电脑每台进价元，根据题意列出方程即可求解； （）由题意可得型电脑购进台 ，型电脑购进台，即得型电脑的利润为万元， 再根据函数图象可得，设总利润为万 元，可分别求出时，时，进而即可求解； 本题考查了分式方程的应用，一次函数和二次函数的应用，根据题意正确列出分式方程和函数解析式是解题的关键． 【详解】（1）解：设型电脑每台进价元，则型电脑每台进价元， 根据题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，符合题意， ∴， 答：型电脑每台进价元，型电脑每台进价元； （2）解：∵销售量台， ∴型电脑购进台 ， ∴型电脑购进台， ∴型电脑的利润为万元， 由图象可知，当时，与的函数解析式为， 把代入得，， ∴， ∴， 把代入得，， 解得， ∴， ∴， 设总利润为万 元， 当时，总利润， ∵， ∴随的增大而增大， ∴当时，有最大值，(万元)； 当时，总利润， ∵，对称轴为直线， ∴当时，有最大值，(万元)； ∵， ∴型电脑总共购进台，型电脑总共购进台时，利润最大． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二章 方程与不等式 第06讲 分式方程及其应用（3~6分） （思维导图+2考点+2命题点10种题型） 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 01考情透视·目标导航 02知识导图·思维引航 03考点突破·考法探究 考点一 解分式方程 考点二 分式方程的应用 04题型精研·考向洞悉 命题点一 解分式方程 ►题型01 分式方程的定义 ►题型02 分式方程的一般解法 ►题型03 分式方程的特殊解法 ►题型04 分式方程的错解问题 ►题型05 根绝分式方程解的情况求参数 ►题型06 根据分式方程无解求参数 ►题型07 已知分式方程有增根求参数 ►题型08 新定义的分式方程 命题点二 分式方程的应用 ►题型01 列分式方程 ►题型02 用分式方程解决实际问题 05分层训练·巩固提升 基础巩固 能力提升 考点要求 新课标要求 考查频率 命题预测 解分式方程 能解可化为一元一次方程的分式方程 ⭐⭐⭐⭐ 中考中本考点考查内容以分式方程解法、分式方程含参问题、分式方程的应用题为主，既有单独考查，也有和一次函数、二次函数结合考察，年年考查，分值为10分左右，预计2025年浙江中考还将继续考查分式方程解法、分式方程含参问题（较难）、分式方程的应用题，为避免丢分，学生应扎实掌握． 分式方程的应用 能根据具体问题的实际意义，检验方程解的合理性 ⭐⭐⭐⭐ 考点一 解分式方程 1.分式方程：只含分式或分式和整式，并且分母里含有未知数的方程叫做分式方程 2.分式方程的解法步骤： ①分式方程两边同乘各分母的最简公分母，将分式方程转化为整式方程 ②解出对应的整式方程 ③验根 3.分式方程的增根：使分式方程分母=0的未知数的值； 1. 分式方程与整式方程的根本区别：分母中含有未知数，也是判断分式方程的依据. 2. 去分母时要把方程两边的式子作为一个整体，记得不要漏乘整式项. 3. 分式方程的结果还要代回方程的最简公分母中，只有最简公分母不是零的解才是原方程的解． 4. 分式方程的增根是去分母后的整式方程的根，也是使分式方程的公分母为0的根，它不是原分式方程的根． 5. 解分式方程可能产生使分式方程无意义的根，检验是解分式方程的必要步骤. 6. 分式方程有增根与无解并非是同一个概念．分式方程无解，需分类讨论：可能是解为增根，也可能是去分母后的整式方程无解. 1．（2024·浙江·中考真题）若，则 2．（2023·浙江绍兴·中考真题）方程的解是 ． 3．（2022·浙江宁波·中考真题）定义一种新运算：对于任意的非零实数a，b，．若，则x的值为 ． 4．（2022·浙江嘉兴·中考真题）（1）计算： （2）解方程：． 5．（2023·浙江嘉兴·中考真题）小丁和小迪分别解方程过程如下： 小丁： 解：去分母，得 去括号，得 合并同类项，得 解得 ∴原方程的解是 小迪： 解：去分母，得 去括号得 合并同类项得 解得 经检验，是方程的增根，原方程无解 你认为小丁和小迪的解法是否正确？若正确，请在框内打“√”；若错误，请在框内打“×”，并写出你的解答过程． 考点二 分式方程的应用 1.用分式方程解决实际问题的步骤： 审：理解并找出实际问题中的等量关系; 设：用代数式表示实际问题中的基础数据; 列：找到所列代数式中的等量关系，以此为依据列出方程; 解：求解方程; 验：考虑求出的解是否具有实际意义; 1）检验所求的解是否是所列分式方程的解. 2）检验所求的解是否符合实际意义. 答：实际问题的答案. 1．（2022·浙江丽水·中考真题）某校购买了一批篮球和足球．已知购买足球的数量是篮球的2倍，购买足球用了5000元，购买篮球用了4000元，篮球单价比足球贵30元．根据题意可列方程，则方程中x表示（    ） A．足球的单价 B．篮球的单价 C．足球的数量 D．篮球的数量 2．（2021·浙江嘉兴·中考真题）为迎接建党一百周年，某校举行歌唱比赛．901班啦啦队买了两种价格的加油棒助威，其中荧光棒共花费40元，缤纷棒共花费30元，缤纷棒比荧光棒少20根，缤纷棒单价是荧光棒的1.5倍．若设荧光棒的单价为元（      ） A． B． C． D． 3．（2023·浙江台州·中考真题）3月12日植树节期间，某校环保小卫士组织植树活动．第一组植树12棵；第二组比第一组多6人，植树36棵；结果两组平均每人植树的棵数相等，则第一组有 人． 4．（2020·浙江舟山·中考真题）数学家斐波那契编写的《算经》中有如下问题：一组人平分10元钱，每人分得若干；若再加上6人，平分40元钱，则第二次每人所得与第一次相同，求第一次分钱的人数．设第一次分钱的人数为x人，则可列方程 ． 5．（2020·浙江温州·中考真题）某经销商3月份用18000元购进一批T恤衫售完后，4月份用39000元购进单批相同的T恤衫，数量是3月份的2倍，但每件进价涨了10元． （1）4月份进了这批T恤衫多少件？ （2）4月份，经销商将这批T恤衫平均分给甲、乙两家分店销售，每件标价180元．甲店按标价卖出a件以后，剩余的按标价八折全部售出；乙店同样按标价卖出a件，然后将b件按标价九折售出，再将剩余的按标价七折全部售出，结果利润与甲店相同． ①用含a的代数式表示b； ②已知乙店按标价售出的数量不超过九折售出的数量，请你求出乙店利润的最大值． 命题点一 解分式方程 ►题型01 分式方程的定义 1．（2024·广西贺州·三模）下列式子是分式方程的是（  ） A． B． C． D． 2．（21-22八年级上·北京昌平·期中）下列关于的方程，是分式方程的是（   ） A． B． C． D． ►题型02 分式方程的一般解法 1．（2023·浙江杭州·模拟预测）方程的解为 ． 2．（2022·浙江衢州·二模）解分式方程： 3．（2024·浙江台州·二模）解方程：． 解分式方程方法：先通过方程两边同乘最简公分母将分式方程化为整式方程，再解整式方程，最后需要检验整式方程的解是不是分式方程的解. ►题型03 分式方程的特殊解法 1．（2023·浙江宁波·一模）解方程： ． 2．（18-19八年级·全国·单元测试）解方程：. 3．（22-23八年级下·广东广州·开学考试）类比推理是一种推理方法，即根据两种事物在某些特征上的相似，作出它们在其他特征上也可能相似的结论．触类旁通，即用类比的方法提出问题及寻求解决问题中的途径和方法． 观察下列计算过程： 这就是解稍复杂的计算中常用到的裂项相消法，即把每项恰当拆分，使得其中部分分数相互抵消，简化计算． 阅读下面一道例题的解答过程： 因式分解： 解：我们可以将拆成和 即原式 在因式分解中，我们有时需要对多项式的某一项拆成两项或多项，其目的是使多项式能进行因式分解，像这样的方法称为拆项法． 请用类比的方法，解决以下问题： (1)①已知，则依据此规律____； ②请你利用拆项法进行因式分解：_____； (2)若满足，求的值； (3)受此启发，解方程． 4．（18-19八年级上·山东·课后作业）解方程 (1) (2) ►题型04 分式方程的错解问题 1．（2024·浙江金华·模拟预测）小华化简分式出现了错误，解答过程如下：   解：去分母得：①   去括号得：② 移项得：③ 合并同类项得：④ 系数化为1得：⑤ 经检验，是原分式方程的解． 请指出错误步骤（一步即可），并写出正确的解答过程． 2．（2024·浙江杭州·模拟预测）小王同学解分式方程的过程，请指出他解答过程中最先出现的错误步骤的序号，并写出正确的解答过程． 解：去分母得：① 去括号得：② 移项得：③ 合并同类项得：④ 系数化为1得：⑤ 是原分式方程的解⑥ 3．（2024·浙江温州·一模）小丁和小迪分别解方程过程如下： 小丁： 解：去分母，得 去括号，得 合并同类项，得 解得 ∴原方程的解是 小迪 解：去分母，得 去括号得 合并同类项得 解得 经检验，是方程的增根，原方程无解 老师批改时说小丁和小迪的解题过程有错误，请你把小丁和小迪开始错误的步骤划上横线，然后写出正确的解答过程． ►题型05 根据分式方程解的情况求参数 1．（11-12九年级下·浙江·期末）关于x的分式方程的解为正数，则m的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 2．（11-12八年级下·广东清远·期中）若方程的根是正数，则的取值范围是(    ) A． B． C．且 D． 3．（2024·浙江嘉兴·模拟预测）关于x的方程的根满足，则m的值是 ． 4．（2020·浙江杭州·一模）若关于x的分式方程＝1的解为x＝2，求m的值． ►题型06 根据分式方程无解求参数 1．（2022·浙江温州·模拟预测）设a，b为实数，关于的方程无实数根，求代数式8a+4b+|8a+4b-5|的值． 2．（21-22九年级上·黑龙江鸡西·期末）若关于的分式方程无解，则的值为（       ） A．－2 B．1 C．－2或1 D．1或0 3．（2021·浙江·模拟预测）已知关于x的方程无解，则m的值为（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 4．（18-19八年级上·湖北武汉·期末）如果关于x的方程2无解，则a的值为 ． 分式方程会无解的几种情况 ①解出的x的值是增根，须舍去，无解 ②解出的x的表达式中含参数，而表达式无意义，无解 ③同时满足①和②，无解 ►题型07 已知分式方程有增根求参数 1．（20-21七年级下·浙江温州·期末）若关于x的方程有增根，则a的值为（    ） A． B． C． D．1 2．（22-23八年级上·上海青浦·期末）解关于的方程有增根，则的值为 3．（2020·浙江杭州·模拟预测）若关于的方程有增根，则 ． 4．（2020·浙江杭州·模拟预测）关于x的方程有增根，则m的值为 ． 求有增根分式方程中参数字母的值的一般步骤： ①让最简公分母为 0 确定增根； ②去分母，将分式方程转化为整式方程； ③将增根带入（当有多个增根时，注意分类，不要漏解）； ④解含参数字母的方程的解。 ►题型08新定义的分式方程 1．新定义：如果两个实数使得关于的分式方程的解是成立，那么我们就把实数组成的数对称为关于的分式方程的一个“关联数对”． 例如：使得关于的分式方程的解是成立，所以数对就是关于的分式方程的一个“关联数对”． (1)判断下列数对是否为关于的分式方程的“关联数对”，若是，请在括号内打“√”. 若不是，打“×”． ①（   ）；②（   ）； ③（   ）； ④（   ）； (2)若数对是关于的分式方程的“关联数对”，求的值； (3)若数对（且，）是关于的分式方程的“关联数对”，且关于的方程有整数解，求整数的值． 2．给出定义：如果两个实数m，n使得关于的分式方程的解是成立，那么我们就把实数m，n组成的数对称为关于x的分式方程的一个“梦想数对”． 例如：当，时，使得关于的分式方程的解是成立，所以数对称为关于的分式方程的一个“梦想数对”． (1)在数对①；②；③中，_________（只填号）是关于x的分式方程的“梦想数对”． (2)若数对是关于的分式方程的一个“梦想数对”求a的值． (3)若数对且是关于的分式方程的一个“梦想数对”，且关于的方程有整数解，直接写出整数c的值． 3．我们把形如（，不为零），且两个解分别为，的方程称为“十字分式方程”． 例如为十字分式方程，可化为，∴，； 再如为十字分式方程，可化为，∴，． 应用上面的结论解答下列问题： (1)若为十字分式方程，则________，________． (2)若十字分式方程的两个解分别为，，求的值． (3)若关于的十字分式方程的两个解分别为，，求的值． 命题点二 分式方程的应用 ►题型01 列分式方程 1．（2024·浙江温州·二模）某地发生地震后，受灾地区急需大量物资．某帐篷生产企业接到任务后，加大生产投入，提高效率，实际每天生产帐篷比原计划多100顶．已知现在生产2000顶帐篷所用的时间与原计划生产1500顶的时间相同，设该企业现在每天生产帐篷x顶，可列出方程为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·浙江杭州·二模）某工程需要在规定时间内完成，如果甲工程队单独做，恰好如期完成；如果乙工程队单独做，则多用3天，现在甲、乙两队合做2天，剩下的由乙队单独做，恰好如期完成，求规定时间．如果设规定日期为x天，下面所列方程中正确的是（　　） A． B． C． D． 3．（2024·浙江台州·一模）某校组织七年级学生赴劳动实践基地开展劳动实践活动，全程36千米．因堵车大巴车晚到，推迟了10分钟出发，途中大巴车平均每小时比原计划多走，结果正好按原计划到达目的地．设大巴车原计划平均速度为x千米/时，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 4．（2024·浙江台州·二模）我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，请人去买几株椽．每 株脚钱三文足，无钱准与一株椽．其大意：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的 价钱，试问6210文能买多少株椽？若设这批椽的数量为x株，则可列分式方程为（     ） A． B． C． D． ►题型02 用分式方程解决实际问题 1．（23-24七年级上·上海闵行·期末）2023年第十九届亚运会在杭州圆满落幕，参加女子1500米自由泳的运动员在教练员的指导下努力训练提高竞技水平，在经过指导后，甲运动员的速度是原来的倍，时间缩短了50秒，那么经过指导后，甲运动员现在的速度是多少？ 2．（24-25八年级上·河北邯郸·期末）小明和同学相约到离家2400米的电影院看电影，到电影院后，发现电影票忘带了，此时离电影开始还有25分钟，于是他跑步回家，拿到票后立刻找到一辆“共享单车”原路赶回电影院，已知小明骑车的时间比跑步的时间少用了4分钟，骑车的平均速度是跑步的平均速度的1.5倍． (1)求小明跑步的平均速度； (2)如果小明在家取票和寻找“共享单车”共用了6分钟，直接写出他能否在电影开始前赶到电影院？ 3．（24-25八年级上·湖南长沙·期末）某市为治理污水，保护环境，需铺设一段全长为4800米的污水排放管道，为了减少施工对城市交通所造成的影响，实际施工时每天的工效比原计划增加，结果提前20天完成铺设任务． (1)求原计划与实际每天铺设管道各多少米？ (2)负责该工程的施工单位，按原计划对工人的工资进行了初步的预算，工人每天人均工资为300元，所有工人的工资总金额不超过36万元．该公司原计划最多应安排多少名工人施工？ 4．（24-25八年级上·天津河西·期末）某县为了落实中央的“强基惠民工程”，计划将某村的居民自来水管道进行改造．该工程若由甲队单独施工恰好在规定时间内完成；若乙队单独施工，则完成工程所需天数是规定天数的3倍．如果由甲、乙两队先合做15天，那么余下的工程由甲队单独完成还需10天． (1)这项工程的规定时间是多少天？ (2)为了缩短工期以减少对居民用水的影响，工程指挥部最终决定该工程由甲、乙辆队合作共同完成．则该工程施工需要多少天？ 基础巩固 1．下列各式中，是分式方程的是（   ） A． B． C． D． 2．解分式方程时，去分母后变形正确的是（   ） A． B． C． D． 3．若关于的分式方程有增根，则的值为（   ） A． B． C．3 D．4 4．关于的方程的解为正数，则的取值范围是（　　） A． B． C．且 D．且 5．若关于的方程无解，则 （   ） A． B．或 C． D． 6．我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“七贯二百钱，倩人去买几株椽，每株脚钱四文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人去代买一批椽，这批椽的价钱为文，如果每株椽的运费是文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问文能买多少株橡？设这批椽的数量为株，则符合题意的方程是（   ） A． B． C． D． 7．《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到里远的城市，所需时间比规定时间多天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少天，已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间，设规定时间为天，则可列出正确的方程为（   ） A． B． C． D． 8．对于两个不相等的实数a、b，我们规定符号表示a、b中的较小的值，如，按照这个规定．方程的解为（   ） A．0 B．0或2 C．无解 D．不确定 9．分式方程的解是 ． 10．已知关于的分式方程的解是非负数．则的取值范围是 ． 11．若关于x的方程有增根，则a的值为 ． 12．兰陵县蔬菜畅销全国各地，一运送蔬菜车开往距出发地 600 千米的目的地，由于接到新的订 单，每小时比原计划的速度提高，比原计划提前 40 分钟到达．设原计划速度为 x 千米/小时，则方程可列为 ． 13．甲、乙、丙三名工人共承担装搭一批零件．已知甲乙丙丁四人聊天时的对话信息如表，如果每小时只安排1名工人，那么按照甲、乙、丙的轮流顺序至完成工作任务，共需 小时． 甲说：我单独完成任务所需时间比乙单独完成任务所需时间多5小时； 乙说：我3小时完成的工作量与甲4小时完成的工作量相等； 丙说：我工作效率不高，我的工作效率是乙的工作效率的； 丁说：我没参加此项工作，但我可以计算你们的工作效率，知道工程问题三者关系是：工作效率×工作时间=工作总量． 14．解方程：． 15．已知关于的方程． (1)若，解这个分式方程； (2)若分式方程无解，求的值． 16．阅读下列材料： 关于的分式方程的解是，；的解是，；的解是，． 请观察上述方程与解的特征，解决下列问题： (1)直接写出关于的方程（）的解为______； (2)直接写出关于的方程的解为______． 17．嘉淇准备完成题目：解分式方程：，发现数字印刷不清楚． (1)他把“”猜成，请你解方程：； (2)他妈妈说：“你猜错了，我看到该题目的正确答案是此分式方程无解．”通过计算说明原题中“”是几？ 18．一艘船在河中逆流而上，路过桥A时船上的救生圈被水冲走，继续向前行驶了发现救生圈遗失，立即返回，在距桥的地方追到了救生圈．求水流速度． 19．如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为a米（）的正方形去掉一个边长为1米的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为米的正方形，两块试验田的小麦都收获了． (1)①“丰收1号”单位面积产量为______，“丰收2号”单位面积产量为______（以上结果均用含a的式子表示）； ②通过计算可知，______（填“1号”或“2号”）小麦单位面积产量高； (2)若高的单位面积产量比低的单位面积产量的多，求a的值； (3)某农户试种“丰收1号”、“丰收2号”两种小麦种子，两种小麦试种的单位面积产量与实验田一致，“丰收1号”小麦种植面积为n平方米（n为整数），“丰收2号”小麦种植面积比“丰收1号”少45平方米，若两种小麦种植后，收获的产量相同，当且a为整数时，符合条件的n值为______（直接写出结果）． 能力提升 20．下列说法：①是分式方程：②x=1或x=-1是分式方程=0的解；③分式方程转化成一元一次方程时，方程两边需要同乘x(x+4)；④解分式方程时一定会出现增根，其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 21．对于非零实数，规定：．若，则的值为（   ） A． B． C． D．不存在 22．关于x的分式方程的解是负数，则a的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 23．2024年11月6日8时许，今年首批大约300多只进城的红嘴鸥“先遣部队”飞临翠湖公园，随后，陆续抵达昆明过冬的红嘴鸥将逐渐增多．为保护好这些远道而来的小精灵，小红、小丽两名同学动手折纸红嘴鸥，准备周末到翠湖公园送给游客，并倡导大家“爱鸥护鸥，文明观赏”．已知小红每小时比小丽多折6只红嘴鸥，小红折90只红嘴鸥所用时间与小丽折60只所用时间相等，求小红、小丽每小时各折红嘴鸥多少只？如果设小丽每小时折只红嘴鸥，那么列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 24．使得关于的分式方程有正整数解，且关于的不等式组至少有2个整数解，那么符合条件的所有整数的和为（   ） A． B． C． D． 25．观察下列式子的变形规律： ①，②，③，④，…… 请尝试回答下面问题： 若，则的值为（   ） A．1000 B．998 C．1 D．2 26．已知，则= ． 27．关于的方程的解为正整数，整数的值为 ． 28．数学的美无处不在，数学家们研究发现：弹拨琴弦发出声音的音调高低取决于琴弦的长度，如三根琴弦长度之比为，用同样的力度弹拨琴弦，它们就能发出很和谐的乐音，因此我们称15，12，10这三个数为一组调和数．现有三个数：5，3，x，若要组成一组调和数，则x的值为 ． 29．有下列说法：①不论k取何实数，多项式x2﹣ky2总能分解能两个一次因式积的形式；②关于x的分式方程无解，则m＝1；③关于x、y的方程组，将此方程组的两个方程左右两边分别对应相加，得到一个新的方程，其中，当a每取一个值时，就有一个方程，而这些方程有一个公共解，则这个公共解为，其中正确的是 ．（填序号） 30．解分式方程： (1) (2) 31．已知关于x的分式方程． (1)当，时，求分式方程的解； (2)当时，求b为何值时分式方程无解； (3)若，且a，b为正整数，当分式方程的解为非负整数时，求b的值． 32．（1）观察下列算式： ，，，由此推断：_______； （2）请用含字母（为正整数）的等式表示（1）中的一般规律； （3）解方程：． 33．猕猴桃被誉为“维C之王”，超市里红心猕猴桃与黄心猕猴桃两种水果很受欢迎，红心猕猴桃售价为每千克8元，黄心猕猴桃售价为每千克12元，若第一周红心猕猴桃的销量比黄心猕猴桃的销量多100千克，两种水果的总销售额为6800元． (1)求第一周销售红心猕猴桃和黄心猕猴桃分别多少千克？ (2)该超市第二周继续销售这两种水果，第二周购进了1600元的红心猕猴桃和2800元的黄心猕猴桃，红心猕猴桃进价比黄心猕猴桃进价少3元，它们购进的数量相同，求第二周购进的黄心猕猴桃的进价是每千克多少元？ 34．某电脑商城准备购进两种型号的电脑，已知每台电脑的进价型比型多元，用万元购进型电脑和用万购进型电脑的数量相同． (1)两种型号电脑每台进价各是多少？ (2)随着技术的更新，型号电脑升级为型号，该商城计划一次性购进两种型号电脑共台，型号电脑的每台售价元．经市场调研发现，销售型号电脑所获利润(万元)与销售量台()，如图所示，为线段，为抛物线一部分()．若这两种电脑全部售出，则该商城如何进货利润最大？(利润销售总价总进价) 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$