福建省莆田市第十五中学2024-2025学年高二上学期期末考试数学试题

( ) ( 学校 __________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 密 ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 封 ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 线 ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ ) ( ) 2024-2025学年度上学期期末考 高二数学答题卡 ( 一、 单项 选择题（每小题5分，共 4 0分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、 多项选择题 （每小题 6 分，共 18 分） 9 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 三、 填空 题（每小题 5 分，共 15 分） 12 ． ___________________ (5分) 13 ． ___________________ (5分) 14 ． ___________________ (5分) 四 、解答题（共7 7 分， 解答应写出文字说明 、 证明过程或演算步骤 ） 15．（13分） ) ( 16．（15分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 17．（15分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 18．（17分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 19．（17分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 此 区 域 请 勿 作 答 ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$2024~2025学年上学期高二数学期末考试卷 (考试范围:选择性必修一 考试时间:120分钟 试卷满分:150分) 注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡指定位置上; 2.选择题答案用2B铅笔在答题卡对应题号上填涂,非选择题答案用黑色水笔填在答题卡指定位置上。 一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求. 1. 在等差数列中,,则( ) A. 70 B. 60 C. 50 D. 40 2.若O为坐标原点,P为直线x-y+2=0上的动点,则的最小值为( ) A. B. C. D.2 3. 已知三点,,在同一条直线上,则的值为( ) A. B. C. D. 4.某同学有同样的画册本,同样的集邮册本,从中取出本赠送给4位朋友,每位朋友本,则不同的赠送方法共有 ( ) A.种 B.种 C.种 D.种 5.已知圆与圆,若圆与圆有且仅有一个公共点,则实数等于( ) A. B. C.或 D.或 6. 的展开式中的系数为( ) A.9 B.15 C.21 D.24 7.已知椭圆的中心在原点,两焦点为,,过作轴的垂线交椭圆于点.若直线的斜率为,则该椭圆的标准方程为( ) A. B. C. D. 8.如图,已知分别是双曲线的左、右焦点,现以为圆心作一个通过双曲线中心的圆并且交双曲线于两点.若直线是圆的切线,则该双曲线的离心率为( ) A. B. C. D. 二、多项选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 9.现有4名男生和3名女生并坐一排,下列说法正确的是( ) A.男生必须排在一起的坐法有576种 B.女生互不相邻的坐法有1440种 C.男女生相间的坐法有72种 D.男生相邻、女生也相邻的坐法有288种 10. 已知数列满足,则下列说法正确的有( ) A. 若,则 B. 数列为等比数列 C. 若,则数列的前n项和为 D. 若,则数列单调递减 11.设拋物线的焦点为F,M为上一动点,为定点,则下列结论 正确的是( ) A.准线的方程是 B.的最小值为4 C.的最大值为5 D.以线段MF为直径的圆与轴相切 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分. 12.已知甲袋子中装有个红球和个白球,乙袋子中装有个红球和个白球, 若从甲、乙两个袋子中各取出个球,则取出的个球中恰有个红球的不同取法共有 种。 13.若点为圆上的一个动点,则点到直线距离的最大值为_. 14. 若双曲线=1(a>0,b>0)的离心率为2,则此双曲线的渐近线方程为 . 四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)已知等差数列的前项和为,且. (1)求数列的通项公式; (2)设数列满足,求的前项和. 16. (15分) (1).求 的展开式中常数项; (2)求的展开式中,二项式系数最大的项; (3)已知,求的值. 17.(15分) 设是等差数列,,且,,成等比数列. (1)求数列的通项公式; (2)记的前n项和为,求当n为何值时,取得最小值. (3)求数列{}的前20项和的值. 18.(17分)已知半径为5的圆的圆心在x轴上,圆心的横坐标是整数,且与直线相切. (1)求圆的方程; (2)设直线与该圆相交于两点,求实数a的取值范围; (3)在(2)的条件下,是否存在实数a,使得过点的直线l垂直平分弦?若存在,求出实数a的值;若不存在,请说明理由. 19.(17分)已知椭圆的左、右焦点分别为、,上顶点为, 长轴长为,若为正三角形. (1)求椭圆的标准方程; (2)过点,斜率为的直线与椭圆相交,两点,求的长; (3)过点的直线与椭圆相交于,两点,且满足,求直线的方程. 学科网(北京)股份有限公司 $$ 2024~2025学年上学期高二数学期末考试卷解析 1．【解析】根据等差数列的性质，可得， 因为，即，可得．故选：D. 2．【解析】由已知得原点O到直线x-y+2=0的距离d=,故|OP|的最小值为. 故选：B. 3．【解析】因为，，三点共线，所以，即， 解得．故选B． 4．【解析】分两类：（1）取出画册2本，集邮册2本，赠送给4位朋友有种不同的赠送方法；（2）取出画册1本，集邮册3本，赠送给4位朋友有种不同的赠送方法．由分类加法计数原理可得，共有种不同的赠送方法．故选B． 5．【解析】由圆得，解得． 圆的标准方程为，圆心，半径； 圆的标准方程为，圆心，半径． 因为圆与圆有且仅有一个公共点，所以两圆外切或内切． ①若两圆内切，则，解得，符合， ②若两圆外切，则，解得，符合． 综合①②得实数或．故选C． 6．【解析】二项式的展开式的通项公式为. 所以含的项为．故选：A． 7．【解析】设椭圆的方程为，其中． 依题意，有，所以，．又，所以， 所以，所以椭圆的标准方程为．故选B． 8．【解析】因为直线是圆的切线，所以， 由双曲线定义可得， 所以双曲线的离心率. 故选：A 9．【解析】对于A：由题意，可以把四名男生作为一个元素，和3名女生共有四个元素全排列， 再排4个男生的内部顺序，共有种结果，故A正确； 对于B：由题意，可以先将男生全排列，再用插空法排女生， 共有种结果，故B正确； 对于C：男女生相间，则必定为男、女、男、女、男、女、男的顺序，故共有种排法，故C错误； 对于D：由题意，可以将四名男生作为一个元素，三名女生作为一个元素，两个元素的排列共有种， 再排他们内部的顺序，有种结果，根据分步计数原理，共有种结果，故D正确． 故选：ABD. 10．【解析】：对于A选项，当时，由得，所以数列为等比数列，， 故A选项正确； 对于B选项，当时，，此时数列不是等比数列，故B选项错误； 对于C选项，当时，由得，所以数列为等比数列， 所以，数列的前n项和为，故C选项正确； 对于D选项，当时，由得，所以数列为等比数列， 所以，，所以数列单调递减，故D选项正确． 故选：ACD 11．【解析】由抛物线，则其焦点为，准线为，A错，如下图示， 其中准线于，则，故， 当且仅当共线时最小，为到准线距离4，B对； 由，当共线时取等号，其最大值为，C错； 由，则中点坐标为，而，故， 所以，以线段MF为直径的圆与轴相切，D对. 故选：BD. 12．【解析】． 13．【解析】圆的圆心，半径， 点C到直线的距离， 所以圆C上点P到直线l距离的最大值为. 故答案为：7 14．【解析】由已知得e==2,即c=2a.又a2+b2=c2=4a2, 所以b2=3a2,所以.故此双曲线的渐近线方程为y=±x. 15．【解析】（1）设的公差为，由可得， 解得，所以 ..............................6分 （2）由（1）可知 .............................8分 易知是公比为4的等比数列， ............................10分 所以可得 .............................13分 16．【解析】（1）的展开式的通项为Tr+1=(x2)6-rx12-3r2r, 令12-3r=0,得r=4.故常数项为T5=24=240. ...........5分 (2) 根据二项式系数的性质,当n为偶数时,只有中间一项的二项式系数最大, 故(1+2x)4的展开式中,二项式系数最大的项为第3项,T3=(2x)2=24x2. ..........10分 （3）在中， 令，得; 令，得， 所以 ...........15分 17．【解析】（1）设的公差为d，∵，，成等比数列 即：解得： ， 故数列的通项公式为 ...........6分 （2） ∴或时，取得最小值..的最小值为-30; ...........11分 (3)- =2d=4, ∴是以=-8为首项,4为公差的等差数列. ∴==600 ...........15分 18．【解析】（1）设圆心为M（m，0）（m∈Z）．由于圆与直线4x+3y﹣29＝0相切，且半径为5， 所以 ，即|4m﹣29|＝25．因为m为整数，故m＝1． 故所求圆的方程为（x﹣1）2+y2＝25． ...........5分 （2）把直线ax﹣y+5＝0，即y＝ax+5，代入圆的方程，消去y， 整理得（a2+1）x2+2（5a﹣1）x+1＝0， 由于直线ax﹣y+5＝0交圆于A，B两点，故△＝4（5a﹣1）2﹣4（a2+1）＞0， 即12a2﹣5a＞0，由于a＞0，解得a，所以实数a的取值范围是（）． ...........11分 （3）设符合条件的实数a存在，则直线l的斜率为， l的方程为，即x+ay+2﹣4a＝0， 由于l垂直平分弦AB，故圆心M（1，0）必在l上， 所以1+0+2﹣4a＝0，解得．由于， 故存在实数，使得过点P（﹣2，4）的直线l垂直平分弦AB. ...........17分 19．【解析】（1）依题意可得，解得，所以， 所以椭圆的标准方程为 ...................5分 （2）由（1）知，，故该直线为， 由，消去可得， .................7分 故，所以 ................10分    （3）显然的斜率存在（否则轴，根据对称性，，与题设矛盾）， ................11分 设，，直线为， 由，消去得，显然， 由韦达定理可得：①，， .................13分 又，则，故②， 由①②得，，故， 即，化简可得，解得 .....................16分 故直线的方程为 .........................17分    学科网（北京）股份有限公司 $$