江西省吉安市2024-2025学年高三上学期期末教学质量检测数学试题

吉安市高三上学期期末教学质量检测 2025.1 数学试题参考答案 题号 1 2 6 故该圆台形石墩的体积约为V-号x(r:+r?十 答案 B A B 0 A A 1 题号 7 8 9 10 11 r)h=- x(4+2+1D×2=华≈14(m,故该圆 3 答案 C B BD AD BD 台石墩的质量约为14×2.4×103=33.6×103=3.36 1.【答案】B ×10'(kg). 【解析】由题意可得B=(yly=2025}=(yly> 7.【答案C 0},.A∩B=(1,+∞)，故CR(A∩B)=(-∞，1]. 【解析】当a=0时，f(x)=cos2wx. 2.【答案】A 又函数对称轴为x=x十牙(k∈D, 【锦折1题意可得：==得牛 =1 则函数周期T= =2x则=∴fx)=0sx,对 +i,故=1-i,故|1+|=2-i川= √2+(-1)F=√5. 称轴为x=x,k∈乙，不满是∫(2kx+2一x 3.【答案】B ∫(x)(k∈)，与题干不符，舍去： 【解析】由题意，{a}是以1为首项，4为公比的等比 当a≠0时，f(x)=asin2ar十cos2r=√a+1· 数列，】 2:=4-4“1 1-4 3 sin(2ax+g),其中tanp=, a 4.【答案】D 【解析】：(a一b)⊥a,故a·(a-b)=a2-a·b= 得f(x)的最小正周期T==2x,u= 2w 2 |a|2-|a·b|·cos(a,b)=0, .f(x)=asin x十cosx, 由于|b|=2|a|,∴.|a|2-|a|·2|a|·cos(a, 由f2kx+2-x）=∫(x)(k∈z),令x=0,得 b》=0,cos(a,b〉= ，由于0≤(a,b)≤元，∴(a,b) 1 (kx+受)-ok∈)，即am(2kx+受)十 cos(2kx+）=1k∈D,得a=1,∴f(x)=sinz 5.【答案】A 【解析】由题意可得该组数据的平均数为 +osr=反mk+)f(图)=En受- 50+49+51+48+52=50. 5 -√2. 方差为号×[(50-50)2+(49-50)2+(51-50)2+ 8.【答案】B 【解析】由已知得A(1,0),F(2,0),在第一象限的渐 (48-50)2+(52-50)2]=2. 近线方程为y=3x,设P(xo,W3x)(x。>0),则 6.【答案】A 【解析】由题意可得r1=1,r2=2,l=√5，因此该圆 n-:∠APp=∠P 台石嫩的高为h=√-(r2一r1)7=√5-I=2, ∠PAF,∴.tan∠APF=tan(∠PFx-∠PAF)= 吉安市高三上学期期末教学质量检测数学试题参考答案第1页共5页 kPF一kPA= √3xo √5 ∴f(3)=2k+1.k≥3，.f(k)≥f(3),即3≥2k 1+A·m4+2-3x。4十名-3 +1→k≤1，这与k≥3矛盾..∫(1)=k(k≥3且为 ∈N)不成立.∴f(1)=2,∴f(f(1)=3,f(2)= S-V3 当且仅当=2，即，= 4√2-3 乞时等号成 3,选项B正确； 令n=2,f(f(2))=5,f(3)=5,选项C错误： 立，点P的横坐标为. 令n=3,f(f(3)=7,∴.∫(5)=7.又∫(n)为正整 9.【答案】BD 数，且单调递增，∴∫(4)=6，∴.选项D正确. 【解析】由题意可设函数f(x)=2x3+3.x2+b,由题 12.【答案】2 意可转化为(x)有三个零点，且f'(x)=6.x2十6x 【解析】广x)=1+京设切点横坐标为x,故曲 =6x(x+1),由f'(x)=6x(x+1)>0,可得x>0 或x<-1,由f'(x)=6x(x+1)<0,可得-1<x 里y=x二在x。处的切线方程为【：y <0..∫(x)在x=一1处取到极大值，在x=0处 取到极小值，若∫(x)有三个零点，则 (一)=（+)-)，将x=0y=-2 f(-1)=1+b>0, 解得一1<b<0. 代人得-2-（一）-（+)-.解得 f(0)=b<0, 10.【答案】AD =1=1+=2 【解析】，随机变量X~N(1,9),且P(X≤a)= P(X≥b),由正态曲线的对称性，可得a十b=2,对 13.【答案】- 于选项A,:a>0,b>0可得a+b≥2√ab,可得 cos2a十cos23=1, 【解析】由题意可得 两式平方 2√ab≤2，∴.0<ab≤1，当且仅当a=b=1时，等 sin 2a+sin 28=0, 号成立，.正确： 相加得cos(2a一29)=-号 对于选项B,由岩十 ≥2 4a b 47=1 ab :受<a-gK<2a-29<2, :0<a6≤1.4√≥4，当且仅当a=b=1时， sin(2a-28)=-V1-cos(2a-28=- 2 等号成立，错误： 对于选项C,令a=号b=是，可知错误， 16【答案号 对于选项D,,0<ab≤1且a+b=2,.a2+b2一 【解析】：P(BIA)=PCAB) P(B) ab=(a+b)2-2ab-ab=4-3ab≥1，.正确. PAB)=PB1APA=8×g=号 11.【答案】BD P(A)=P(B)P(AIB)+P(B)P(AIB)= 【懈析】若f(1)=1,则f(f(1)=3,∴.f(1)=3, 矛盾，选项A错误： P(B). P(AB)-P(B)]P(AIB). P(B) :f()为正整数，且单调递增，，f(1)=2或f(1) =k(k≥3且k∈N). ∴音-日+品1-P(B],每得PCB)- 4 若f(1)=k(k≥3且k∈N),令n=1,则f(f(1) 15.解：(1)，b3+c3=(b+c)a2,.(b+c)(b2-bc+ =3→∫(k)=3:再令n=k,则∫（∫(k)=2k+1, c2)=(b+c)a2, 吉安市高三上学期期末教学质量检测数学试题参考答案第2页共5页 :.b2-bc+c2=a*,.'.cos A= b2+c2-a21 设PB与平面PCD的夹角为0， 2bc 则sin0=|cos(m,P)|= n·PB 又A∈(0，x),A= 3 ……6分 2-nA=×56× 1 =53,b=4. 3 2 ……14分 -+1+1×5 a2=b+c2-2 ccos A=16+25-2×4X5X2 21,.a=√21. 故cos0=V-im0=S.…15分 由正弦定理可得sinB=sinA 十③ 、2 2W7 21 7 …]3分 16.(1)证明：，平面PAD⊥平面ABCD,且平面PAD ∩平面ABCD=AD, 且AB⊥AD,AB平面ABCD,AB⊥平 17.解：(1)由题可设直线l:y=kx+3,A(x1,y1), 面PAD. B(江2y2，…1分 PDC平面PAD,∴.AB⊥PD.…2分 y2 又PD⊥PA,且PA∩AB=A,PA,ABC平面 =1 联立 124 消去y,得(1+3k2)x2+18kx PAB,.PD⊥平面PAB.…4分 y=kx+3, :PDC平面PCD,故平面PCD⊥平面PAB.· 十15=0.…3分 …………6分 当4=4(36-15)>0，即2>是时：有+z (2)解：取AD中点为O,连接CO,PO. .PA=PD,.POLAD,..AO=PO=1. -18k 15 1+3k212=1+3…5分 ,CD=AC=√5，.CO⊥AD.则CO= :1十2=，二9k,1=k×十+3= √AC2-OA7=W5-I=2. 2 1+3k2· 2 2 以0为坐标原点，分别以OC,OA,OP所在直线为 中3博Q(斤器+3 3 ，…7分 x轴，y轴，之轴建立如图的空间直角坐标系Oxy, 流心k·ko=一 可得k0=一 …8分 则P(0,0,1),B(1,1,0),D(0,-1,0).C(2,00), (2)由(1)可知|AB|=√1+kF·|x1-x2|= 则P3=(1,1,-1),PD=(0,-1,-1),P心=(2， 1+k2)[(x,+x2)2-4x1x2] = 0,-1),CD=(-2,-1,0). 2√1+k·√36k2-15 设n=(x,y,x)为平面PCD的一个法向量，… 3k2+1 …10分 ………10分 又点O到直线1的距离d=一 +△0AB的 3 fn·PD=0 则由 得厂y=0 令x=1,则n= n.P元=0,2.x-x=0, 面积S△AB= 2d·1AB1=3V36k2-15 3k2+1 (2-1.小12分 …12分 吉安市高三上学期期末教学质量检测数学试题参考答案第3页共5页 3t 设√36k2-15=t,则S△M= 36 2,9 ………12分 12 4 ≥2 27 当x∈（受-）时，hx)<0,当x∈ 1>0,1+ =6√5，S△0AB= 36 ≤36=23， (x-0）时，hr)>0. 1+2763 当r(x-受)时x+>0x<0 当且仅当1=33，即k=士 厘时等号成立，“ h(x)<0,则g'(x)<0,函数g(x)单调递减；… 6 *……14分 …14分 ∴.△OAB的面积最大值为23.…15分 当x∈（。-0）时x+2>0,inx<0,h(x) 18解：f)-心十≥0x)单调道增 >0,则g(x)>0,函数g(x)单调递增.…16分 ……………………3分 六函数gx)在区间(。-）)上单测递减， 当x→0时，f(x)-→-∞，：∫(1)=an1-1,又1 在区间。一分.0上单调递增.…17分 >≥am1>an=1f1)>0.…6分 19.解：(1)易知PA,+PA=APA(0<A<2), 3,（0)使fx)=0fx)有且仅有 同理：PA+PA=入PA,…,PA+PA= 一个零点. …7分 入PA,PA。+PA=APA (2)g'(x)=inx+(r+）os 将上面n个等式相加，得2(PA,+PA,+…十 +》中 PA)=λ(PA+PA2十…十PA。).…3分 ≠2，PA+PA+…+PA=2PA,=0. ………5分 (2)①，正n边形的”个顶点共圆，圆心为点P,记 该圆为⊙P -+引+引中 又点A:,A+1,A+2∈抛物线T,则⊙P与抛物线 的交点至少有3个 8分 不妨以抛物线顶点A+:为原点，以抛物线对称轴 为y轴建立平面直角坐标系。…7分 设抛物线T:y=ax(a>0),由对称性知点P也在 象向左平移受个单位长度，得函数h(x)的图象 y轴上（由于抛物线厂过点A+:两个相邻顶点） 不妨设⊙P:x2+(y-r)2=r2,r=|PA,|(i=1, ………9分 2…,n). 由(1)知，f(x)=tanx- ,当x∈(0)时， 1x2+(y-r)2=r2, 联立 得a2x-(2ar-1)x2= (y=ax2, fx)<0,当xe(,）时fx)>0. 0(>0)，…… ……9分 吉安市高三上学期期末教学质量检测 数学试题参考答案第4页共5页 令t=x2得关于t的方程a2,2-(2ar-1)l=0有 2个解：h1=0,12=2ar-1 a2. .C.-nlAA11 tn ·n· a a cos- 原方程有3个实数解x1=0,x,=2ar三 元 a sin- x·sin ,令函数f(x)= ≥3。… √2ar-1 cos2 a ∴.⊙P与抛物线下至多有3个交点，即抛物线与 13分 正n边形A:A2…A。只有三个交点.…11分 (r)= x OA COs x 2红+1sin π3π ②在第①问中，正n边形A1A2…A。中，中心角 2x 2 sin -cOs 2π ∠Aa+1PA+2=2, COs x ∴.在等腰三角形A+:PA+2中，∠PA+1A+2= T二T 2 m t 1 直线A+1A+倾斜角为行 则f(x)= 方程为y=tan 设g()= co+日m-寻ueo引 y=tan- 联立 得ax2-tan ·x=0,解得 g'e)-cos1-片1-子<0.g)< n y=ax:, g(0)=0..f'(x)<0. tan ∴了(x)是减函数，即∫(n)>f(n十1)，C.>Cw+1, x1=0,x2= …12分 a .数列{C。}单调递减.…………17分 故A+: tan tan? .A+A+g| a tan tan 1+tam2 acos 吉安市高三上学期期末教学质量检测数学试题参考答案第5页共5页吉安市高三上学期期末教学质量检测 2025.1 数学试题 (测试时间：120分钟卷面总分：150分) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷 上无效， 3.考试结束后，将答题卡交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的。 1.已知集合A={x|x>1},B={yly=2025),则CR(A∩B)= A.[-1,1] B.（-∞，1] C.[-1,+∞) D.(1,+∞) 么.已知x-3二则1+到= 3-i A.√5 B.2 C.1 D.5 3.已知数列(a}是以1为首项，4为公比的等比数列，则2a:= A.45-1 3 B4二1 C.433-1 D.432+1 3 4.已知|b|=2|a|,(a-b)⊥a,则(a,b)= A.2 B. 5.为响应教育部推出的“德智体美劳全面发展以及五育并举”的相关政策，某高中成立了钢琴 兴趣社团，5名同学为一小组，若某次钢琴专业知识测试中某小组的5名成员测试成绩分别 为50,49,51,48,52，则该组数据的平均数和方差分别为 A.50,2 B.50,10 C.51,2 D.51,1 6.某小区大门口前有一圆台形状的人工喷泉石墩，经测量该石墩的上下底面半径和母线长分 别为r1=1,r2=2,l=√5（单位：m),且该石墩所用材料混凝土的密度约为2.4×103kg/m3, 则该圆台石墩的质量约为（π取3） A.3.36×10kg B.1.28×10kg C.1.68×10kg D.1.96×10kg 吉安市高三上学期期末教学质量检测数学试题第1页共4页 7.已知函数f(x)=asin2awx十cos2wx(w>0)的最小正周期为2π，且满足 2x+- f(x)(k∈Z),则 八4 A.1 B.2 C.-2 D.0 8.已知双曲线C:x-号=1的右顶点为A,右焦点为F,点P为其渐近线在第一象限上的动 点，则当tan∠APF取得最大值时，点P的横坐标为 A.2 a号 C.2 D.25 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分， 9.若方程2x3十3x2+b=0有三个实根，则b的可能取值为 A.-1 B.、 3 C.0 D.- √2 2 10.已知X~N(1,9),且P(X≤a)=P(X≥b)(a,b均为正数)，则 A.0<ab≤1 B0+<4 C.la-1l>16-11 D.a2+b2-ab≥1 11.现定义：定义域和值域均为正整数的单调增函数f(x)称为“正直函数”，已知正直函数f(x) 满足f(f(n)=2n+1,n∈N°，则 A.f(1)=1 B.f(2)=3 C.f(3)=4 D.f(4)=6 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12过点0一2)作曲线y=x一士的切线的斜率为 13.已知2<a-K,且cos2a+cos29=1,sin2a+sin2g=0,则sin(2a-2p)= 1.若PA)=号，P(B1A)=PA1E)=0则P(B)= 8 四、解答题：本题共5小题，共77分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤， 15.(本小题满分13分) 在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知b3+c3=(b十c)a2,△ABC的面积 S=53. (1)求A; (2)若c=5,求sinB. 吉安市高三上学期期末教学质量检测数学试题第2页共4页 16.(本小题满分15分) 如图，四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD,△PDA是以P为顶点，腰长为√2的 等腰直角三角形，AB⊥AD,AB=1,AC=CD=√5. (1)求证：平面PCD⊥平面PAB; (2)求直线PB与平面PCD所成角的余弦值. 17.(本小题满分15分) 0为原点的平面直角坐标系中，过点P(0,3)且斜率存在的直线1与椭圆C 1交于A,B两点，设AB的中点为Q. (1)求直线1与OQ的斜率之积： (2)求△OAB面积的最大值， 吉安市高三上学期期末教学质量检测数学试题第3页共4页 18.(本小题满分17分) 函数x)=anx-子，0Kx<受 (1)求证：函数f(x)有且仅有一个零点； (2讨论函数gx)-（e+爱》nx在区间（-受，0小上的单调性 19.(本小题满分17分) 设正n边形A1A2…A。的外接圆圆心为P,n∈N·且n≥3. (1)求证：2PA,=0: (2)若正n边形A1A2…A。的顶点A+1为定抛物线T的顶点，且两相邻顶点A,A+2也在 此抛物线上，记正n边形A:A2…A。周长为C. ①求证：抛物线T与正n边形A1A:…A。只有三个交点； ②讨论并证明数列{C.}的单调性， 吉安市高三上学期期末教学质量检测数学试题第4页共4页