辽宁省七校协作体2024-2025学年高二上学期12月月考数学试卷

2024-2025学年度（上）七校协作体12月高二联考 数学试题 考试时间：120分钟 满分：150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知双曲线的离心率为2，则双曲线的渐近线方程是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，在三棱锥中，，是线段的中点，则（ ） A. B. C. D. 3. 某学习小组有男、女生共8人，现从男生中选2人，女生中选1人分别去做3种不同的工作，共有90种不同的选法，则男、女生人数分别为（ ） A. 3，5 B. 2，5 C. 5，3 D. 6，2 4. 在长方体中，已知，为的中点，则直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 5. 6名大学生分配到4所学校实习，每名大学生只分配到一所学校，每所学校至少分配1名大学生，则不同的分配方案共有（ ） A. 65 B. 1560 C. 2640 D. 4560 6. 如图，点在正方体的面对角线上运动（点异于，点），则下列结论不正确的是（     ） A. 异面直线与所成角为60° B. 平面 C. 三棱锥的体积不变 D. 直线与平面所成角正弦值的取值范围为 7. 已知动点满足，则动点轨迹是（ ） A. 圆 B. 椭圆 C. 抛物线 D. 双曲线 8. 已知抛物线的焦点为F，点P在抛物线上运动，点Q在圆上运动，则的最小值为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 直线的倾斜角的取值范围为 B. 直线恒过定点 C. 圆与圆的公共弦所在直线方程为： D. 圆上有且仅有1个点到直线的距离等于1 10. 关于空间向量，下列说法正确的是（ ） A. 若共线，则 B. 已知，，若，则 C. 若对空间中任意一点，有，则四点共面 D. 若向量能构成空间的一个基底，则也能构成空间的一个基底 11. 如图，造型为“”的曲线称为双纽线，其对称中心为坐标原点，且曲线上的点满足：到点和的距离之积为定值.若点在曲线上，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 面积的最大值为2 D. 周长的最小值为6 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 将8个相同的小球放入5个编号为1，2，3，4，5的盒子，每个盒子都不空的方法数为______，恰有一个空盒子的方法数为______． 13. 已知圆，点在抛物线上运动，过点作圆的切线，切点分别为，则的最小值为__________. 14. 已知棱长为1的正四面体的顶点都在球O上，过的平面截球O所得图形面积的最小值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分，写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 部队是青年学生成长成才的大学校，是砥砺品格、增强意志的好课堂，是施展才华、成就事业的大舞台，国防和军队现代化建设迫切需要一大批有责任、敢担当的有志青年携笔从戎、报效祖国．为响应征兵号召，某高等院校7名男生和5名女生报名参军，经过逐层筛选，有5人通过入伍审核． （1）若学生甲和乙都接到了入伍通知，其余入伍人员尚未接到通知，求所有可能结果有多少种？ （2）若至少有2名女生通过入伍审核，但入伍人员尚未接到通知，求所有可能结果有多少种？ （3）若通过入伍审核的5人恰好是海军、空军、陆军、火箭军、武警各1人，且入伍陆军的是女生，入伍火箭军的是男生，求所有可能结果有多少种？ 16. 如图，在四棱锥中，四边形是矩形，是正三角形，且平面平面，，为棱的中点，． （1）若为棱的中点，求证：平面； （2）在棱上是否存在点，使得平面与平面所成锐二面角的余弦值为？若存在，指出点的位置并给以证明；若不存在，请说明理由. 17. 已知椭圆的右焦点到左顶点的距离为3. （1）求椭圆的方程； （2）设为坐标原点，过点的直线与椭圆交于两点（不在轴上），若，延长交椭圆于点，求四边形的面积的最大值. 18. 如图所示，等腰梯形中，，，，E为中点，与交于点O，将沿折起，使点D到达点P的位置（平面）. （1）证明：平面； （2）若，试判断线段上是否存在一点Q（不含端点），使得直线 与平面所成角的正弦值为，若存在，求三棱锥的体积，若不存在，说明理由. 19. 已知椭圆，点为椭圆短轴的上端点，为椭圆上异于点的任一点，若点到点距离的最大值仅在点为短轴的另一端点时取到，则称此椭圆为“圆椭圆”，已知． （1）若，判断椭圆是否为“圆椭圆”； （2）若椭圆是“圆椭圆”，求的取值范围； （3）若椭圆是“圆椭圆”，且取最大值，为关于原点的对称点，也异于点，直线、分别与轴交于、两点，试问以线段为直径的圆是否过定点？证明你的结论． 2024-2025学年度（上）七校协作体12月高二联考 数学试题 考试时间：120分钟 满分：150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 【1题答案】 【答案】A 【2题答案】 【答案】D 【3题答案】 【答案】A 【4题答案】 【答案】C 【5题答案】 【答案】B 【6题答案】 【答案】D 【7题答案】 【答案】C 【8题答案】 【答案】A 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分. 【9题答案】 【答案】BC 【10题答案】 【答案】BCD 【11题答案】 【答案】ABC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 【12题答案】 【答案】 ①. 35 ②. 175 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】 四、解答题：本题共5小题，共77分，写出文字说明、证明过程或演算步骤. 【15题答案】 【答案】（1） （2） （3） 【16题答案】 【答案】（1） 取中点，连接， 分别为的中点，且 ∵底面四边形是矩形，为棱的中点， 且．且，故四边形是平行四边形， ． 又平面，平面， 平面 （2）存在点，位于棱上靠近点的三等分点处，理由如下： 假设在棱上存在点满足题意， 在等边中，为的中点，所以， 又平面平面，平面平面，平面， 平面， 以点为原点，，的方向分别为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，， 故，，． 设，． 设平面的一个法向量为， 则 ， 取得，， 则． 易知平面的一个法向量为，， ，. 故存在点，位于棱上靠近点的三等分点处满足题意. 【17题答案】 【答案】（1） （2） 【18题答案】 【答案】（1） 在原图中，连接，由于，， 所以四边形是平行四边形，由于，所以四边形是菱形， 所以， 由于，，所以四边形是平行四边形， 所以，所以， 在翻折过程中，，保持不变， 即，保持不变， 由于，，平面， 所以平面； （2）存在，，理由如下： 由上述分析可知，在原图中，，所以， 所以， 折叠后，若，则， 所以， 由于，，，平面， 所以平面， 由于，平面，所以，， 所以，，两两相互垂直， 由此以为原点建立如图所示空间直角坐标系， ， ，，，， 设，，， ，， 设平面的法向量为， 则，故可设， 设直线与平面所成角为， 则， ，，，， 所以，即是的中点， 由于轴与平面垂直，所以到平面的距离为， 所以. 【19题答案】 【答案】（1）是 （2） （3） 法—：由（2）可得，则椭圆方程为， 由题意：设且， 则，则直线：，则， 则直线，则， 若为直径的圆过定点，由对称性知在轴上，∴设则，且, ∴，， 则，解得， 所以得定点． 法二：椭圆方程：，设， 则， 所以，， 若为直径的圆过定点，由对称性知在轴上， ∴设，则，又，， 所以， ∵，解得， 所以得定点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $