第1课时 一次函数与二元一次方程组-【绿卡初中创新题】2024-2025学年八年级下册数学同步课件(华东师大版)

17.5 实践与探索 第1课时 一次函数与二元一次方程组 情境导入 知识讲解 随堂练习 当堂检测 课堂小结 例题精讲 学 习 目 标 1.了解一次函数与二元一次方程组、一元一次不等式的关系.（重点） 2.会用图象法解二元一次方程组和一元一次不等式.（难点） 3.运用一次函数的交点解决简单实际问题.（重点） 情 境 导 入 复 习 回 顾 (1)一次函数y＝2x－4的图像是一条 , 它与x 轴的交点坐标是( ， )，与y 轴的交点坐标是( ， ) . (3)一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图像经过点（1 , 3)和点（－1 , 7），则该一次函数的解析式为 . 直线 2 -4 y =-2x+5 0 0 (2)正比例函数y＝kx (k≠0)的图像经过点（ -3，9），则该正比例函数的解析式为 . y =-3x 问题1 （1）乙复印社的每月承包费是多少？ （2）当每月复印多少页时，两复印社实际收费相同？ （3）如果每月复印页数在1 200页左右，那么应选择哪个复印社？ 学校每个月都有一批复印任务，原来由甲复印社承接，按每100页40元计费．现乙复印社表示：若学校先按月付给一定数额的承包费，则可按每100页15元收费．两复印社每月收费情况如图所示. 1. “乙复印社的每月承包费”在图象上怎样反映出来？ “乙复印社的每月承包费”指当x＝0时，y的值，从图中可以看出乙复印社的每月承包费是200元． 2.“收费相同”在图象上怎样反映出来？ “收费相同”是指当x取相同的值时，y 相等，即两条射线的交点．我们看到，两个一次函数图象的交点处，自变量和对应的函数值同时满足两个函数的关系式．而两个一次函数的关系式就是方程组中的两个方程，所以交点的坐标就是方程组的解．据此，我们可以利用图象来求某些方程组的解． 合作探究 合作探究 3.如何在图象上看出复印费的多少？ 作一条x轴的垂线，如下图，此时x的值相同，它与哪一条射线的交点较高，就表示对应函数值较大，收费就较高；反之，它与另一条射线的交点较低，就表示对应函数值较小，收费就较低．从图中可以看出，如果每月复印页数在1 200页左右，那么应选择乙复印社收费较低． 3.从图象中可知当x_________时, y1＞y2的？ 从图象中可知当x_________时, y1＜y2的？ 4.如果每月复印页数在1 000页左右，那么应选择哪个复印社？800页呢？500页呢？ · ＞ 800 ＜ 800 y= 0.4x y= 0.15x+200 2、根据图象可看出方程组 的解吗？ y= 0.4x y= 0.15x+200 y1= 0.4x y2= 0.15x+200 1.写出甲复印社的每月收费y1(元)、乙复印社的每月承包费y2(元)分别与学校每月的复印数量x(页)之间的函数关系式是多少？ 根据上面讨论和图象回答下列问题: 每月复印1 000页，选乙复印社. 800页，甲、乙都可以. 500页，选甲. （1）分别写出小张和小王的存款数y与月份数x的函数关系式. （2）在同一平面直角坐标系中分别画出小张和小王存款数和月份之间的函数图象； （3）在图上找一找几个月以后小王的存款和小张的一样多？至少几个月后小王的存款能超过小张？ 做一做 小张和小王计划存钱.小张说：“我现在已存有50元，从现在起每个月存12元.”小王说：“以前我没有存过零用钱，我也从现在起每个月存22元.” 解：（1）小张的存款数为：y=12x+50 (x≥0)； 小王的存款数为：y=22x (x≥0) . （2）画出的图象如图所示. （3）从图像上可以看出，5个月后小王的存款和小张的一样多；至少5个月后小王的存款能超过小张. 2.观察两直线交点坐标与这个方程组的解有什么关系? 归纳:我们看到，两个一次函数图象的交点处，自变量和对应的函数值同时满足两个函数的关系式．而两个一次函数的关系式就是方程组中的两个方程，所以交点的坐标就是方程组的解．据此，我们可以利用图象来求某些方程组的解． 思考 知 识 讲 解 知识点1 一次函数与二元一次方程组的关系 在一次函数 y=3-x的图象上 点(m , n ) x = m y = n 方程 x+y=3 的解 直线: 直线: 交点 解 两一次函数的图象的交点坐标就是这两个函数表达式组成的方程组的解. 直角坐标系中两直线的交点的坐标可以看作是一个二元一次方程组的解. 二元一次方程 x+y=3 可改写成一次函数y=3-x. 以方程 x+y=3 的解为坐标的所有点组成的图象就是一次函数 y=3-x 的图象. 例 1 例 题 精 讲 分析：方程组中第一个 方程已经是一次函数的形式，第二个方程可变形为一次函数的形式：y= （-4，1） y=x+5 解：在直角坐标系中画出两条直线，如图所示， 两条直线的交点坐标是（-4，1） 利用一次函数的图象，求二元一次方程组 的解. y= -4 1 2 3 4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 -2 -3 -4 -1 5 所以方程组的解为 随 堂 练 习 1.某图书馆开展两种方式的租书业务：一种是使用会员卡，另一种是使用租书卡，使用这两种卡租书，租书金额y（元）与租书时间x（天）之间的关系如下图所示. 50 20 O 100 y/元 x/天 租书卡 会员卡 （1）分别写出用租书卡和会员卡租书金额y（元）与租书时间x（天）之间的关系式. （2）租多少天，两种租书方式收费一样？ 租书卡租书金额y与租书时间x的解析式为y=x. 会员卡租书金额y与租书时间x的解析式为y=x+20 由图象可知，租100天两种租书方式收费一样. 1 2 3 4 2 3 4 1 -1 0 -1 l1 l2 y x 所以，右图中的两直线l1 ，l2 的交点坐标 可以看作方程组 的解. 2.如图所示,直线y=2x+1与直线y=-x+4的交点坐标为多少? （1，3） 问题2 画出函数y= （1）x取什么值时，函数值y等于零？ （2）x取什么值时，函数值y大于零？ y= -4 1 2 3 4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 -2 -3 -4 -1 5 解：（1）当函数图象与x轴相交时，函数值y等于0，此时x=-2. （2）由图象知，当x>-2时，函数值y大于0. 　　不等式ax+b＞c的解集就是使函数y = ax+b 的函数值大于c的对应的自变量取值范围； 　　不等式ax+b＜c的解集就是使函数y = ax+b 的函数值小于 c 的对应的自变量取值范围． 3 2 1 2 1 -2 O x y -1 -1 3 y =3x+2 y =2 y =-1 知 识 讲 解 知识点2 一次函数与一元一次不等式的关系 随 堂 练 习 1. 画出函数y = -3x+6的图象，结合图象求： （1）不等式-3x+6>0 和-3x+6<0的解集； （2）当x取何值时，y<3? 解：作出函数y = -3x+6的图象，如图所示，图象与 x 轴交于点B(2，0). x O B(2,0) A(0,6) y 解：（1）由图象可知，不等式 -3x+6>0 的解集是图象位于 x 轴上方的 x 的取值范围，即x<2；不等式 -3x+6<0的解集是图象位于 x 轴下方的 x 的取值范围，即x>2； x O B(2,0) A(0,6) 3 1 (1,3) y （2）由图象可知，当x>1时，y<3. （1）不等式-3x+6>0 和-3x+6<0的解集; （2）当x取何值时，y<3? 当 堂 检 测 1．一次函数y = kx+3的图象如图所示，则方程kx+3 = 0的解为 . −3 y = kx+3 O y x 3 x = -3 2．若方程组 的解为 则一次函数y = 2x+1与y = 3x-1的图象交点坐标为______. (2，5) 3.如图，已知直线y = kx+b与 x 轴交于点(-4，0)，则当y>0时，x 的取值范围是（ ） A.x>-4 B. x>0 C. x<-4 D. x<0 C （1）请分别求出表示轮船和快艇行驶过程的函数解析式(不要求写出自变量的取值范围)； 4.下图表示一艘轮船和一艘快艇沿相同路线从甲港出发到乙港行驶过程中路程随时间变化的图象（分别是正比例函数图象和一次函数图象).根据图象解答下列问题： 解: （1）设轮船解析式为y=kx，由图象知，当x=8时，y=160.∴8k=160，解得k=20. ∴轮船行驶解析式为y＝20x. 设快艇解析式为y=ax＋b 由图象知，x=2时，y=0；x=6时，y=160. ∴0＝2a＋b， 160＝6a＋b， 解得a=40，b=-80. ∴快艇解析式为y=40x-80. （2）轮船和快艇在途中(不包括起点和终点)行驶的速度分别是多少？ 4.下图表示一艘轮船和一艘快艇沿相同路线从甲港出发到乙港行驶过程中路程随时间变化的图象（分别是正比例函数图象和一次函数图象).根据图象解答下列问题： （2）由图象可知，轮船在8小时内行驶了160千米，快艇在4小时内行驶了160千米，所以轮船的速度是160÷8=20(千米/时)，快艇的速度是 160÷4=40(千米/时). （3）根据图象可得，快艇出发2小时就能赶上轮船． （3）问快艇出发多长时间赶上轮船？ 课 堂 小 结 一次函数与方程、不等式 解一元一次方程 对应一次函数的值为0时，求相应的自变量的值，即一次函数与x轴交点的横坐标. 解一元一次不等式 对应一次函数的函数值大（小）于0时，求自变量的取值范围，即在x轴上方(或下方)的图象所对应的x取值范围 . 解二元一次方程组 求对应两条直线交点的坐标 . 课 后 作 业 1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题. 绿卡图书—走向成功的通行证 $$