陕西省西安市某校2024-2025学年高一上学期阶段性检测数学试卷（一）

2024—2025学年度上学期高一年级阶段性检测（一） 数学试题 全卷共 4页，满分 120分，考试时间 120分钟 （试卷由 8道单选题，3道多选题，3道填空题，5道解答题组成，共 19道题） 一、选择题：本题共 8小题.每小题 4分，共 32分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的. 1. 下列选项错误的是（ ） A. {1} ⊆ {0,1,2} B.    1, 3 3,1   C.    0,1, 2 1, 0, 2 D.  0 【答案】D 【解析】因为集合 1 中的元素在集合 0,1, 2 中，因此这两个集合是包含关系，，因此选项 A正确； 因为集合 1, 3 与集合 3,1 中的元素相同，所以这两个集合相等，因此选项 B正确； 因为集合 0,1, 2 中的元素都在集合  1, 0, 2 中，因此   0,1, 2 1, 0, 2 正确，故选项 C正确； 因为集合 0 中的元素不是空集，所以  0 不正确，因此选项 D不正确， 2.设集合  0 4M x x   ，则 1 5 3 N x x         ，则 M N 等于（ ） A. 1 0 3 x x        B. 1 4 3 x x        C.  4 5x x  D.  0 5x x  【答案】B 【详解】集合 ,M N 在数轴上表示如图所示： 由图可得 1 4 3 M N x x          . 3.设实数 a ， b 满足 0 1b a   ，则下列不等式一定成立的是（ ） A. a b B. 2ab b C. 1 1 a a b b    D. 1a b ab   【答案】D 【详解】对于 A， 0 1b a   ，得 a b ，A错误； 对于 B，因为 0 1b a   ，所以 2 ( ) 0ab b a b b    ，得 2ab b ，B错误； 对于 C，因为 0 1b a   ，所以 1 ( 1) ( 1) 0 1 ( 1) ( 1) a a a b b a a b b b b b b b             ，所以 1 1 a a b b    ，C错误； 对于 D，因为 0 1b a   ，所以 1 1 0b a    ，所以        1 1 1 0ab a b a b       ， 所以 1a b ab   ，D正确. 4.已知数集 A B、 满足：  2, 3A B  ，  1, 2, 3, 4A B  ，若1 A ，则一定有：（ ） A. 1 B B. 1 B C. 4 B D. 4 A 【答案】A 【详解】因为 A ∩ B = {2,3}，  1, 2, 3, 4A B  ，且1 A ， 所以必有1 B ，可能 4 B 且 4 A ，也可能 4 A 且 4 B ， 故 A正确，B、C、D错误. 5. “ 3x  ”是“ 3 1 x  ”成立的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】当 3x  时， 3 1 x  ；而当 3 1 x  时， 0x  或 3x  ，所以“ 3x  ”是“ 3 1 x  ”成立的充分不必要 条件. 6.已知条件 p:x2 + 2x−3 > 0，条件 :q x a ，且 p 是 q 的充分不必要条件，则 a 的取值范围是（ ） A. 1a  B. 1a  C. 1a   D. 3a   【答案】B 【详解】由条件 : 1 2p x   ，解得 3x   或 1x  ； 因为 p 是 q 的充分不必要条件，所以 q 是 p 的充分不必要条件， 故  A x x a  是  3B x x   或x>1}的真子集，则 a 的取值范围是 1a  ， 7.已知正数 ,a b满足 1 1 8 a b   ，则 9a b 的最小值为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】   1 1 1 1 9 1 9 9 9 10 2 10 2 8 8 8 b a b a a b a b a b a b a b                           ，当且仅当 1 2 a  ， 1 6 b  时取等号． 8.已知 x R ，不等式    2 2 1 4 2 0 2 m x m x m       恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A. {m|2≤m≤6} B. {m|2≤m<6或m=−2} C. {m|m=2} D. {m|2≤m<6} 【答案】D 【详解】因为 x R ，不等式(m2−4)x2−(m−2)x + 1 m+2 > 0恒成立， 所以当 2 4 0m   时，若 2m  不等式 1 0 4  恒成立，若 2m   无意义； 当 2 4 0m   时，即 2m  或 2m   ，则   2 2 1 Δ ( 2) 4 ( 4) 0 2 m m m          ， 解得 2 6m  综上：实数m 的取值范围是  2, 6 ， 二、选择题：本题共 3小题.每小题 6分，共 18分.在每个小题给出的四个选项中，有多项符 合题目要求.全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分. 9.下列说法正确的是（    ） A．命题： Rx  ， 2 1x   的否定是：∃x ∈ R，x2 ≤ −1. B．命题：存在 x ∈ {x|x>−2}，x2 ≤ 4，的否定是：任意 x ∈ {x|x>−2}， 2 4x  . C． x y 是 2 2x y 的充分不必要条件. D．已知集合 M = {x|−1<x<1}，N = {x|0≤x≤2}，则 M ∪ N = 1 2x x   【答案】ABD 【详解】A：根据全称量词命题的否定为存在量词命题，原命题的否定为 0 Rx  ， 2 0 1x   ，对； B：根据存在量词命题的否定为全称量词命题，原命题的否定为  2,x    ， 2 4x  ，对； C：若 x y ，假设 1, 2x y   ，此时 2 2x y 不成立，故充分性不成立，错； D：集合 M = {x|−1<x<1}，N = {x|0≤x≤2}， 把集合范围表示在数轴上，如图， 所以 M ∪ N = {x|−1<x≤2}.D对. 故选：ABD 10.关于 x 的不等式 2 0ax bx c   的解集为 1 4x x x  或 ，下列说法正确的是（    ） A． 0a  B．不等式 2 0cx bx a   的解集为 1 1 4 x x         C． 3 c b  的最大值为 4 D．a−b + c = 0 【答案】ACD 【详解】不等式 2 0ax bx c   的解集为 1x x   或x≥4}，故 1x   和 4x  是方程 2 0ax bx c   的两个 根，所以 0 1 4 1 4 a b a c a              ，解得 3 , 4b a c a    ，故 A正确， 对于 B， 2 0cx bx a   可变为 2 24 3 0 4 3 1 0ax ax a x x        ，解得 1x  或 1 4 x   ，故 B错误， 对于 C，   3 1 1 4 4 4 4 3 a a a a a a               ，当且仅当 1 4a a  ，即 1 2 a  时等号成立，所以 3 c b  的最 大值为 4 ，C正确， 对于 D，x = −1是对应方程的根，故 D正确， 故选：ACD 11.已知 a，b为正实数，且 1, 1, ( 1)( 1) 1a b a b     ，则（ ） A. ab的最大值为 4 B. 2a + b的最小值为 3 + 2 2 C. a + b的最小值为 3−2 2 D. 1 a−1 + 1 b−1 的最小值为 2 【答案】BD 【详解】对于 A， ( 1)( 1) 1,a b ab a b     Q ， 因为 ab = a + b ≥ 2 ab, ab ≥ 2,ab ≥ 4（当且仅当 a = b = 2时取“=”）， 所以 ab的最小值为 4，A错误； 对于 B，由 ab = a + b，得 1 1 1 1 2 1, (2 ) 3 3 2 2 a b a b a b a b b a              （当且仅当 a = 1 + 22 ,b = 1 + 2时取“=”），B正确； 对于 C，(a + b)(1a+1b) = 2 + ba + ab ≥ 4（当且仅当 a = b = 2时，取“=”），C错误； 对于 D，∵ (a−1)(b−1) = 1, ∴ 1 a−1 + 1 b−1 ≥ 2 1 (a−1)(b−1) = 2（当且仅当 a = b = 2时，取“=”），D 正确． 三、填空题（本大题共 3小题，每小题 4分，共 12分） 12.. 定义集合 A ， B 的一种运算“ * ”，  * , ,A B p p xy x A y B    ，若  1, 2, 3A  ，  1, 2B  ， 则集合 *A B 的所有元素的和____________. 【答案】16 【详解】∵  * , ,A B p p xy x A y B    ，  1, 2, 3A  ，  1, 2B  ∴ {1, 2, 3, 4, 6}A B  ，∴所有元素之和1 2 3 4 6 16     . 13. 若 3x  ，求 4 3 x x   的最小值为 . 【答案】7 【解析】由题 4 3 x x      4 4 3 3 2 3 3 7 3 3 x x x x           . 当且仅当 4 3 3 x x    ，即 5x  时取等号； 14.设关于 x 的不等式，ax2 + 8(a+1)x + 7a + 16 ≥ 0(a∈Z)只有有限个整数解，且 0是其中一个解，则 a 的取值是 ． 【答案】-2或-1 【详解】 四、解答题：本题共 5小题，共 58分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（本题 10分）设全集  N 0 6U x x    ，   2 6 5 0A x x x    Z ， 2 0 6 x B x x        Z . （1）求(∁UA) ∩ (∁UB)； （2）写出集合 A 所有的真子集. 【解析】（1）由题意可得    N 0 6 1, 2, 3, 4, 5, 6U x x     ， 由       2 6 5 0 1 5 2, 3, 4A x x x x x         Z Z ，则∁UA = {1,5,6}，        2 0 2 6 0 3, 4, 5 6 x B x x x x x              Z Z ，则∁UB = {1,2,6}， 所以(∁UA) ∩ (∁UB) = {1,6}. 【小问 2详解】 由  2, 3, 4A  ，则集合 A 所有的真子集为：            , 2 , 3 , 4 , 2, 3 , 2, 4 , 3, 4 . 16.（本题 10分）已知命题：“ 0x R ，使得 2 0 0 2 4 3 0x mx m    ”为真命题． (1)求实数m的取值的集合 A； (2)设不等式 ( ) ( 3) 0x a x a    的解集为 B，若 x A 是 x B 的必要不充分条件，求实数 a的取值范围． 【答案】(1)  1A m m  或 3m  ；(2) ( , 2] [3, )    ． 【解析】（1）命题“ 0x R ，使得 2 0 0 2 4 3 0x mx m    ”为真命题， 所以 2 ( 2 ) 4(4 3) 0m m      ，即 2 4 3 0m m   ，解之得 1m ≤ 或 3m  ， 所以实数m的取值的集合  1A m m  或 3m  ；； （2）不等式 ( ) ( 3) 0x a x a    的解集为  3B x a x a    ，因为 x A 是 x B 的必要不充分条件， 所以 B （非空）是 A 的真子集，则 3a  或 3 1a   ，所以 3a  或 2a   ， 故实数 a的取值范围为 ( , 2] [3, )    ． 17.（本题 12分）解下列关于 x的不等式 （1） 1 2 3 2 x x    ． （2）－2x 2 ＋x－6＜0 （3） 2 10 9 0x x   【详解】由 1 2 3 2 x x    ，得 1 6 4 0 3 2 x x x      ， 即 5 5 0 3 2 x x    ， 所以 (5 5 )(3 2) 0 3 2 0 x x x       ，解得 2 1 3 x  ， 所以不等式的解集为 2 ,1 3      . (2)原不等式可化为 2x 2 －x＋6＞0. 对于方程 2x 2 －x＋6＝0，因为Δ＝(－1)2－4×2×6＜0， 所以二次函数 y＝2x 2 －x＋6的图象开口向上，与 x轴无交点， 如图 1所示．结合图象可得，原不等式的解集为 R. （3）有    1 9 0x x   ， 解得 1x  或 9x  ， 所以不等式   0f x  的解集为 1x x  或 9x  ． 18.（本题 12分）近几年来，“盲盒文化”广为流行，这种文化已经在中国落地生根，并发展处具有中国特 色的盲盒经济，某盲盒生产及销售公司今年初用 98万购进一批盲盒生产线，每年可有 50万的总收入，已 知生产此盲盒 x 年（ x 为正整数）所用的各种费用总计为 22 10x x 万元. （1）该公司第几年首次盈利（总收入超过总支出，今年为第一年）？ （2）该公司第几年年平均利润最大，最大 多少？ 【解析】【小问 1详解】 设利润为 y ，则     2 2 50 98 2 10 2 40 98y x x x x x x         N ， 由 22 40 98 0x x    整理得 2 20 49 0x x   ， 解得10 51 10 51x    ，由于 x N ， 所以   * N | 3 17x x x    ，所以第 3年首次盈利. 【小问 2详解】 首先   * N | 3 17x x x    ， 由（1）得平均利润 y x = −2(x+49x ) + 40 ≤ −2×2 x·49x + 40 = 12万元， 当且仅当 49 x x  ， 7x  万元时等号成立，综上，第 7年，平均利润最大，为 12万元. 19.（本题 14分）设集合        2 2 2 3 2 0 , 2 1 5 0A x x x B x x a x a          ； （1）若  2A B  ，求实数 a 的值； （2）若 B 集合中有两个元素 1 2,x x ，求 1 2x x ；（用含有 a 的式子表示） （3）若 ,U B A  R ，求实数 a 的取值范围； 【小问 1详解】 由题意得     2 3 2 0 1, 2A x x x     ，因为  2A B  ，所以 2 B ， 所以 2 2 2 4( 1) 5 0a a     即 24 4 4 5 0a a     ， 化简得 2 4 3 0a a   ，即 ( 3)( 1) 0a a   ，解得 3a   或 1a   ， 检验：当 3a   时，     2 4 4 0 2B x x x     ，满足  2A B  ， 当 1a   时，     2 4 0 2, 2B x x     ，满足  2A B  ，所以 3a   或 1a   . 【小问 2详解】 因为 B 集合中有两个元素 1 2,x x ，所以方程     2 2 2 1 5 0x a x a     有两个根， 所以   2 2 Δ 4( 1) 4 5 8 24 0a a a       且 1 2 2( 1)x x a    ， 2 1 2 5x x a  ， 所以   2 2 2 1 2 1 2 1 2 ( ) 4 4( 1) 4 5 8 24x x x x x x a a a          . 小问 3详解】 因为  1, 2A  ，且 ,U B A  R ， 当 B 时，  2 2Δ 4( 1) 4 5 8 24 0a a a       ，解得 3a   ，符合题意； 当  1B  时，则         2 2 2 2 Δ 4 1 4 5 8 24 0 1 2 1 5 0 a a a a a               ，无解； 当  2B  时，则       2 2 2 2 Δ 4 1 4 5 8 24 0 2 4 1 5 0 a a a a a               ，所以 3a   ； 当  1, 2B  时，则       2 2 2 Δ 4 1 4 5 8 24 0 1 2 2 1 2 5 a a a a a                 ，无解； 综上， 3a   . 2024—2025学年度上学期高一年级阶段性检测（一） 数学试题 全卷共4页，满分120分，考试时间120分钟 （试卷由8道单选题，3道多选题，3道填空题，5道解答题组成，共19道题） 一、选择题：本题共8小题.每小题4分，共32分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列选项错误的是（ ） A. B. C. D. 2.设集合，则，则等于（ ） A. B. C. D. 3.设实数，满足，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 4.已知数集满足：，，若，则一定有：（ ） A. B. C. D. 5. “”是“”成立的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6.已知条件，条件，且是的充分不必要条件，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7.已知正数满足，则的最小值为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 8.已知，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题.每小题6分，共18分.在每个小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.下列说法正确的是（    ） A．命题：，的否定是：. B．命题：，的否定是：，. C．是的充分不必要条件. D．已知集合，，则 10.关于的不等式的解集为，下列说法正确的是（    ） A． B．不等式的解集为 C．的最大值为 D． 11.已知a，b为正实数，且，则（ ） A. ab的最大值为4 B. 的最小值为 C. 的最小值为 D. 的最小值为2 三、填空题（本大题共3小题，每小题4分，共12分） 12.. 定义集合，的一种运算“”，，若，，则集合的所有元素的和____________. 13. 若，求的最小值为 . 14. 设关于的不等式，只有有限个整数解，且0是其中一个解，则的取值是 　　 ． 四、解答题：本题共5小题，共58分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（本题10分）设全集，，. （1）求； （2）写出集合所有的真子集. 16.（本题10分）已知命题：“，使得”为真命题． (1)求实数m的取值的集合A； (2)设不等式的解集为B，若是的必要不充分条件，求实数a的取值范围． 17.（本题12分） 解下列关于x的不等式 （1）． （2）－2x2＋x－6＜0 （3） 18.（本题12分）近几年来，“盲盒文化”广为流行，这种文化已经在中国落地生根，并发展处具有中国特色的盲盒经济，某盲盒生产及销售公司今年初用98万购进一批盲盒生产线，每年可有50万的总收入，已知生产此盲盒年（为正整数）所用的各种费用总计为万元. （1）该公司第几年首次盈利（总收入超过总支出，今年为第一年）？ （2）该公司第几年年平均利润最大，最大多少？ 19.（本题14分）设集合； （1）若，求实数的值； （2）若集合中有两个元素，求；（用含有的式子表示） （3）若，求实数的取值范围； 第 1 页 共 3 页 学科网（北京）股份有限公司 $$