陕西省西安市某校2024-2025学年高一上学期阶段性检测数学试卷（二）

2024—2025学年度上学期高一年级阶段性检测（二） 数学试题答案 全卷共4页，满分120分，考试时间120分钟 （试卷由8道单选题，3道多选题，3道填空题，5道解答题组成，共19道题） 一、选择题：本题共8小题.每小题4分，共32分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 一、单选题 1．已知幂函数，且的图象在第一象限内单调递增，则实数 （   ） A．0 B． C．3 D．3或 解析C 【分析】根据幂函数的定义及性质得到，解得即可. 【详解】因为幂函数，且的图象在第一象限内单调递增， 所以，解得. 故选：C 2．已知，化简：（   ） A． B． C． D． 解析D 【分析】化为分数指数幂，再计算即可． 【详解】， 故选：D. 3．若，，，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 解析B 【分析】利用指数函数、对数函数的单调性结合中间值法可得出、、的大小关系 【详解】，，， 故. 故选：B 4．下列命题正确的是（   ） A．第二象限的角都是钝角 B．小于的角是锐角 C．是第三象限的角 D．角的终边在第一象限，那么角的终边在第二象限 解析C 【分析】举反例可判断AB；利用终边相同的角可判断C；根据象限角的定义可判断D. 【详解】对于A，是第二象限的角，但不是钝角，故A错误； 对于B，小于，但不是锐角，故B错误； 对于C，，因为是第三象限的角， 所以是第三象限的角，故C正确； 对于D，因为角的终边在第一象限，所以， 所以，即， 当时，，角的终边在第一象限，故D错误. 故选：C. 5．函数的值域为（   ） A． B． C． D． 解析B 【分析】利用指数函数单调性，结合二次函数值域求出值域. 【详解】依题意，，当且仅当时取等号，而函数在R上单调递减， 则，所以函数的值域为. 故选：B 6．函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 解析B 【分析】先求的定义域，再判断奇偶性，最后取特殊值判断即可. 【详解】的定义域为，定义域关于原点对称， 因为，所以是奇函数， 其图象关于原点对称，排除A选项； 取，则，排除C、D选项； 故选：B. 7．函数的单调递增区间是 A． B． C． D． 解析D 【分析】首先考虑对数的真数取值大于；其次将函数拆成外层函数和内层函数，根据求复合函数单调性的法则：同增异减，判断出单调增区间；最后即可求得的单调增区间. 【详解】由可得或 ∵在单调递增，而是增函数， 由复合函数的同增异减的法则可得，函数的单调递增区间是， 故选D. 8．对实数和，定义运算“”： 设函数 若函数的图象与轴恰有两个公共点，则实数的取值范围是 A． B． C． D． 解析B 【分析】根据定义化简函数的解析式，绘制函数图象，将问题转化为函数的图象与的图象有2个交点，结合图象求得结果即可. 【详解】令，解得， ， 作出函数的图象如图所示： 函数的图象与轴恰有两个公共点，即函数与的图象有2个交点， 由函数图象可得或； 故选B. 二、选择题：本题共3小题.每小题6分，共18分.在每个小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．将下列角度与弧度进行互化正确的是（   ） A． B． C． D． 解析BCD 【分析】利用角度与弧度的换算公式计算即可一一判断. 【详解】对于A，因，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D正确. 故选：BCD. 10．下列说法正确的是（   ） A．若函数的定义域为，则函数的定义域为 B．函数（且）的图象恒过定点 C．的最大值为 D．函数的单调递增区间为， 解析BD 【分析】由抽象函数的定义域可得A错误；由对数函数的性质可得B正确；由指数函数的性质可得C错误；由分段函数的性质结合二次函数可得D正确； 【详解】对于A，若函数的定义域为，则函数的定义域应满足， 解得，所以函数的定义域为，故A错误； 对于B，由对数函数图象的性质可得当时，， 所以图象恒过定点，故B正确； 对于C，， 令，则， 所以由指数函数的性质可知无最大值，故C错误； 对于D，当时，， 由二次函数的性质可知，开口向上，对称轴为，此时递增区间为； 当时，， 由二次函数的性质可知，开口向上，对称轴为，此时递增区间为；故D正确； 故选：BD. 11．下列说法正确的是（   ） A．函数（且）的图象恒过点 B．在定义域上是单调递增函数 C．，且，则 D．函数的单增区间是 解析AC 【分析】对于A：根据指数函数定点即可判断；对于B：举反例说明即可；对于C：先将指数式化为对数式，结合对数的运算求解；对于D：结合函数定义域分析判断. 【详解】对于选项A：令，可得，， 所以函数的图象恒过点，故A正确； 对于选项B：当时，；当时，； 所以在定义域上不是单调递增函数，故B错误； 对于选项C：因为，所以，则，， 可得， 则，且，，所以，故C正确； 对于选项D：令，解得， 可知函数的定义域为， 可知函数的单调递增区间不可能为，故D错误； 故选：AC. 三、填空题（本大题共3小题，每小题4分，共12分） 12、函数的定义域为 . 解析． 【分析】根据根式的定义及分式的定义即可得到不等式组，即可求解. 【详解】解：由题可得，解得，，且； 的定义域为：． 故答案为：. 13、若存在，使不等式成立，则实数取值范围是 . 解析．. 【解析】对不等式进行参变量分离得到，然后令，， 即可以得到的取值范围. 【详解】由题意，可知：，可得： 令，. 在上单调减，在上单调增，而，. . 根据题意 故答案为:. 14．下列命题： ①奇函数必满足； ②是偶函数； ③函数与的值域相同； ④在上是减函数. 其中真命题的序号是 (把你认为正确的命题的序号都填上). 解析② 【分析】①中，根据函数的奇偶性的定义和性质，可判定①错误；②中，根据函数的奇偶性的定义，可判定②正确；③中，根据幂函数与指数函数的性质，可得③错误；④，根据的性质，可得判定④错误. 【详解】对于①中，奇函数关于原点对称，只有在原点有定义时，则，所以①错误； 对于②中，函数， 因为，可得函数是偶函数，所以②正确； 对于③中，函数的值域为R，函数的值域为，所以③错误； 对于④，函数在上单调递减，所以④错误. 故答案为：② 四、解答题：本题共5小题，共58分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15、（本题8分）化简计算 （1）计算；(2) 解析（1）） （2） . 16．（本题8分）已知函数. (1)判断并用定义法证明函数的单调性； (2)是否存在实数使函数为奇函数？ 解析（1）函数的定义域为，而为增函数， 则为减函数，故是增函数. 证明如下：任取，且， 则 因为，所以，则,， 所以，即， 所以在上为增函数. （2）假设存在实数a，使为奇函数，则， 所以，解得， 当时，，其定义域为， 所以，则为奇函数， 故存在实数，满足题意. 17、（本题10分）已知幂函数在上单调递减． (1)求的解析式； (2)若，，求a的取值范围． 解析(1) (2) 【分析】(1)根据幂函数的定义和单调性列式求解即可； (2)根据题意分离变量得到在恒成立，利用函数的单调性即可求解. 【详解】（1）因为幂函数在上单调递减，所以， 解得，所以的解析式为． （2）由，可得，则， 因为在上单调递增， 所以在上单调递增，所以当时，取得最小值1． 所以a的取值范围为． 18、（本题12分）6．已知函数为奇函数，且. (1)求实数，的值； (2)判断在定义域内的单调性，并说明理由（不需要证明）； (3)解不等式. 解析、(1) (2)单调递增，理由见解析 (3) 【分析】（1）根据奇函数的性质以及函数定义域可知，再结合，运算求解即可； （2）根据题意结合复合函数单调性分析判断. （3）根据奇函数可得，再结合单调性列式求解即可. 【详解】（1）由，奇函数定义域关于原点对称，故， 由，得，， 此时的定义域为，且，故为奇函数， 所以. （2）因为的定义域为， 设，则， 因为在单调递增，在单调递增， 故在单调递增. （3）因为为奇函数且在单调递增， 若，则， 可得，解得， 所以不等式的解集为. 19、已知定义在上的函数满足且，. (1)求的解析式； (2)若不等式恒成立，求实数取值范围； 解析(1) (2) 解析（1）根据列方程，求解即可； （2）根据函数的单调性化简不等式，分离参数，利用基本不等式求最值即可； （3）由题意得，先根据函数的单调性求得，再求解使得成立的实数取值范围即可. 【详解】（1）由题意知，， 即，所以， 故 （2）由（1）知，， 所以在R上单调递增， 所以不等式恒成立等价于恒成立， 即恒成立. 设，则，，当且仅当，即时，等号成立，所以， 故实数的取值范围是 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024—2025学年度上学期高一年级阶段性检测（二） 数学试题 全卷共4页，满分120分，考试时间120分钟 （试卷由8道单选题，3道多选题，3道填空题，5道解答题组成，共19道题） 一、选择题：本题共8小题.每小题4分，共32分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 一、单选题 1．已知幂函数，且的图象在第一象限内单调递增，则实数 （   ） A．0 B． C．3 D．3或 2．已知，化简：（   ） A． B． C． D． 3．若，，，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 4．下列命题正确的是（   ） A．第二象限的角都是钝角 B．小于的角是锐角 C．是第三象限的角 D．角的终边在第一象限，那么角的终边在第二象限 5．函数的值域为（   ） A． B． C． D． 6．函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 7．函数的单调递增区间是 A． B． C． D． 8．对实数和，定义运算“”： 设函数 若函数的图象与轴恰有两个公共点，则实数的取值范围是 A． B． 二、选择题：本题共3小题.每小题6分，共18分.在每个小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．将下列角度与弧度进行互化正确的是（   ） A． B． C． D． 10．下列说法正确的是（   ） A．若函数的定义域为，则函数的定义域为 B．函数（且）的图象恒过定点 C．的最大值为 D．函数的单调递增区间为， 11．下列说法正确的是（   ） A．函数（且）的图象恒过点 B．在定义域上是单调递增函数 C．，且，则 D．函数的单增区间是 三、填空题（本大题共3小题，每小题4分，共12分） 12、函数的定义域为 . 13、若存在，使不等式成立，则实数取值范围是 . 14．下列命题： ①奇函数必满足； ②是偶函数； ③函数与的值域相同； ④在上是减函数. 其中真命题的序号是 (把你认为正确的命题的序号都填上). 四、解答题：本题共5小题，共58分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15、（本题8分）化简计算 （1）计算；(2) 16．（本题8分）已知函数. (1)判断并用定义法证明函数的单调性； (2)是否存在实数使函数为奇函数？ 17、（本题10分）已知幂函数在上单调递减． (1)求的解析式； (2)若，，求a的取值范围． 18、（本题12分）6．已知函数为奇函数，且. (1)求实数，的值； (2)判断在定义域内的单调性，并说明理由（不需要证明）； (3)解不等式. 19、已知定义在上的函数满足且，. (1)求的解析式； (2)若不等式恒成立，求实数取值范围； 第1页，共2页 第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$