贵州省黔西南州金成实验学校2024-2025学年高二上学期期末检测数学试题

( ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( 密封线内不准答题 ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ………………○……………… 金 ………………○……………… 成 ………………○……………… 学 ………………○……………… 校 ………………○……………… … 学号 ： ______________ 姓名： _____________ 班级： _______________ 考号： ___________________ _ 座位号 ： __ ) 秘密★启用前 2024—2025学年度第一学期0116期末质量检测试题 高二年级 数学 答卷注意事项： 答卷注意事项： 1、 学生必须用黑色（或蓝色）钢笔、圆珠笔或签字笔在试卷上答题。 2、 填涂答题卡必须使用2B铅笔填涂。 3、 答题时字迹要清楚、工整 4、 本卷共19小题，总分为150分。 一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.设点M(1,1,1),A(2,1,-1),O(0,0,0).若,则点B的坐标为 (　　) A.(1,0,-2) B.(3,2,0) C.(1,0,2) D.(3,-2,0) 2．如图，在四面体OABC中，，，．点M在OA上，且，N为BC中点，则等于（    ）． A． B． C． D． 3．求直线被圆截得的弦的长为（ ）． A. B. C. D. 4．中国明代商人程大位对文学和数学颇感兴趣，他于60岁时完成杰作《直指算法统宗》．这是一本风行东亚的数学名著，该书第五卷有问题云：“今有白米一百八十石，令三人从上及和减率分之，只云甲多丙米三十六石，问：各该若干？”翻译成现代文为：今有白米一百八十石，甲、乙、丙三个人来分，他们分得的米数构成等差数列，只知道甲比丙多分三十六石，那么三人各分得多少石米？请你计算甲应该分得(　　) A．78石 B．76石 C．75石 D．74石 5．已知函数在处有极大值，则c的值为（ ）． A. 2 B. 6 C. 2或6 D. -2 6．在抛物线上求一点，使得点到直线的距离最短是（ ）． A. 1 B. C. D.2 7．设曲线在点处的切线与直线垂直．求a的值( )． A. B . C. D. 8. 19世纪法国著名数学家加斯帕尔·蒙日,创立了画法几何学,推动了空间几何学的独立发展.提出了著名的蒙日圆定理:椭圆的两条切线互相垂直,则切线的交点位于一个与椭圆同心的圆上,称为蒙日圆,且该圆的半径等于椭圆长半轴长与短半轴长的平方和的算术平方根.若圆上有且只有一个点在椭圆的蒙日圆上,则b的值为(　　) A.±1 B.±5 C.± D.±2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．如图是导数y＝f ′(x)的图象，下列说法正确的是(　　) A．(－1,3)为函数y＝f(x)的单调递增区间 B．(3,5)为函数y＝f(x)的单调递减区间 C．函数y＝f(x)在x＝0处取得极大值 D．函数y＝f(x)在x＝5处取得极小值 10.对于函数f(x)=,下列说法正确的有(　　) A.f(x)在x=e处取得极大值 B.f(x)有两个不同的零点 C.f(2)<f(π)<f(3) D.若f(x)<k-在(0,+∞)上恒成立,则k>1 11.某同学在研究教材中一例问题“设点A(-5,0),B(5,0),直线AM,BM相交于点M,且它们的斜率之积为-,求点M的轨迹方程”时,将其中已知条件“斜率之积为-”拓展为“斜率之积为常数k(k≠0)”之后,进行了探究. 则下列结论正确的有(　　) A.k<0时,点M的轨迹为椭圆(不含与x轴的交点) B.-1<k<0时,点M的轨迹为焦点在x轴上的椭圆(不含与x轴的交点) C.k<-1时,点M的轨迹为焦点在y轴上的椭圆(不含与x轴的交点) D.k>0时,点M的轨迹为焦点在x轴上的双曲线(不含与x轴的交点) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知双曲线的一条渐近线方程为y=2x,则双曲线的方程可以为　　　　　　　　(写出一个正确答案即可);此时,你所写的方程对应的双曲线的离心率为　　　　　.  13．已知函数f (x)的导函数为f ' (x),且满足f (x)=2xf ' (1)+ln x,则f ' (1)=______________． 14.已知数列的前n项和为，若，求______________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分13分)已知函数f(x)=ex-2x. (1)求曲线y=f(x)在点(0,1)处的切线方程; (2)求函数f(x)在[0,2]上的最大值与最小值. 16.(本小题满分15分)证明不等式： （1）， （2）； 17．(本小题满分15分)已知等差数列的前n项和为，且，． （1）求数列的通项公式； （2）若，令，求数列的前n项和． 18．(本小题满分17分)如图，在四棱锥中，底面为棱上一点． （1）求证：无论点在棱的任何位置，都有成立； （2）若为中点，求二面角的余弦值； （3）在棱上是否存在一点，使平面？若存在，说明点的位置，若不存在，说明理由． 19．(本小题满分17分)已知双曲线C：的左右焦点分别为，，右顶点为，点，，． (1)求双曲线的方程； (2)直线经过点，且与双曲线相交于，两点，若的面积为，求直线的方程. ( 第 2 页 ) ( 第 1 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高二数学参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 B B A A B B A C ABD ACD BCD 一、单选题 1.设点M(1,1,1),A(2,1,-1),O(0,0,0).若,则点B的坐标为 (　　) A.(1,0,-2) B.(3,2,0) C.(1,0,2) D.(3,-2,0) 答案：.B　 设B(x,y,z),则=(x-2,y-1,z+1).因为=(1,1,1),所以(1,1,1)=(x-2,y-1,z+1), 所以x=3,y=2,z=0,即点B为(3,2,0). 2．如图，在四面体OABC中，，，．点M在OA上，且，N为BC中点，则等于（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据题意，由，N为BC中点， 得 . 故选：B. 3．求直线被圆截得的弦的长为（ ）． A. B. C. D. 【答案】 【详解】解：将圆的方程化为标准式，可得， 所以圆心坐标为，半径为， 所以利用点到直线的距离可以求得弦心距为， 所以根据几何法得弦长为． 所以弦的长为 4．中国明代商人程大位对文学和数学颇感兴趣，他于60岁时完成杰作《直指算法统宗》．这是一本风行东亚的数学名著，该书第五卷有问题云：“今有白米一百八十石，令三人从上及和减率分之，只云甲多丙米三十六石，问：各该若干？”翻译成现代文为：今有白米一百八十石，甲、乙、丙三个人来分，他们分得的米数构成等差数列，只知道甲比丙多分三十六石，那么三人各分得多少石米？请你计算甲应该分得(　　) A．78石 B．76石 C．75石 D．74石 答案　A 解析　今有白米一百八十石，甲、乙、丙三个人来分，设他们分得的米数构成等差数列{an}，只知道甲比丙多分三十六石，因此公差d＝＝＝－18，则前3项和S3＝3a1＋×(－18)＝180，解得a1＝78.所以甲应该分得78石． 5．已知函数在处有极大值，则c的值为（ ）． A. 2 B. 6 C. 2或6 D. -2 【答案】6 【详解】解：，且函数在处有极大值， (2)，即，解得或2． 经检验时，函数在处取得极小值，不符合题意，应舍去． 故． 故答案为：6． 6．在抛物线上求一点，使得点到直线的距离最短是（ ）． A. 1 B. C. D.2 【答案】当距离最短为 【详解】解：根据题意设， 所以点到直线的距离为： 当且仅当时等号成立，此时 所以当时，点到直线的距离最短，为 7．设曲线在点处的切线与直线垂直．求a的值( )． A. B . C. D. 【答案】 【详解】解：， ， 所以在点（0,1）处的切线斜率为， 又因为切线与直线垂直，，. 8.19世纪法国著名数学家加斯帕尔·蒙日,创立了画法几何学,推动了空间几何学的独立发展.提出了著名的蒙日圆定理:椭圆的两条切线互相垂直,则切线的交点位于一个与椭圆同心的圆上,称为蒙日圆,且该圆的半径等于椭圆长半轴长与短半轴长的平方和的算术平方根.若圆(x-2)2+(y-b)2=9上有且只有一个点在椭圆+y2=1的蒙日圆上,则b的值为(　　) A.±1 B.±5 C.± D.±2 答案.C　 由椭圆的定义知,+y2=1的蒙日圆r2==2, 所以蒙日圆为x2+y2=4.蒙日圆的半径r1=2. 因为圆(x-2)2+(y-b)2=9上有且只有一个点在蒙日圆上,所以两圆相切. 由已知r2=3, 所以=r1+r2=5, 解得b=±. 9．如图是导数y＝f′(x)的图象，下列说法正确的是(　　) A．(－1,3)为函数y＝f(x)的单调递增区间 B．(3,5)为函数y＝f(x)的单调递减区间 C．函数y＝f(x)在x＝0处取得极大值 D．函数y＝f(x)在x＝5处取得极小值 答案　ABD 解析　由题图，可知当x<－1或3<x<5时，f′(x)<0；当x>5或－1<x<3时，f′(x)>0，所以函数y＝f(x)的单调递减区间为(－∞，－1)，(3,5)，单调递增区间为(－1,3)，(5，＋∞)，所以函数y＝f(x)在x＝－1，x＝5处取得极小值，在x＝3处取得极大值，故选项C说法错误，A，B，D正确． 10.对于函数f(x)=,下列说法正确的有(　　) A.f(x)在x=e处取得极大值 B.f(x)有两个不同的零点 C.f(2)<f(π)<f(3) D.若f(x)<k-在(0,+∞)上恒成立,则k>1 答案：.ACD　 函数的导数为f'(x)=(x>0), 令f'(x)=0得x=e,当0<x<e时,f'(x)>0,函数单调递增,当x>e时,f'(x)<0,函数f(x)单调递减, 则当x=e时,函数取得极大值,极大值为f(e)=,故A正确; 当x→0时,f(x)→-∞,当x→+∞时,f(x)→0, 则f(x)的大致图象如图. 由f(x)=0,得ln x=0,解得x=1,即函数f(x)只有一个零点,故B错误; 因为f(4)==f(2),f(3)>f(π)>f(4),所以f(2)<f(π)<f(3)成立,故C正确; 若f(x)<k-在(0,+∞)上恒成立, 则k>,设h(x)=(x>0), 则h'(x)=-,当0<x<1时,h'(x)>0,当x>1时,h'(x)<0,即当x=1时,函数h(x)取得极大值同时也是最大值,最大值为h(1)=1,故k>1成立,故D正确. 故选ACD. 11.某同学在研究教材中一例问题“设点A(-5,0),B(5,0),直线AM,BM相交于点M,且它们的斜率之积为-,求点M的轨迹方程”时,将其中已知条件“斜率之积为-”拓展为“斜率之积为常数k(k≠0)”之后,进行了探究. 则下列结论正确的有(　　) A.k<0时,点M的轨迹为椭圆(不含与x轴的交点) B.-1<k<0时,点M的轨迹为焦点在x轴上的椭圆(不含与x轴的交点) C.k<-1时,点M的轨迹为焦点在y轴上的椭圆(不含与x轴的交点) D.k>0时,点M的轨迹为焦点在x轴上的双曲线(不含与x轴的交点) 答案：.BCD　 设M(x,y),则kAM=,kMB=, 由题意可得,=k, 故y2=k(x2-25). 若k=-1,方程化为y2+x2=25,点M的轨迹为以原点为圆心,5为半径的圆(不含与x轴的交点); 若-1<k<0,方程化为=1,点M的轨迹为焦点在x轴的椭圆(不含与x轴的交点); 若k<-1,方程化为=1,表示焦点在y轴,以A,B为短轴端点的椭圆(不含与x轴的交点); 若k>0,方程化为=1,点M的轨迹为焦点在x轴的双曲线(不含与x轴的交点). 综上可知,BCD正确. 故选BCD. 题号 12 13 14 参考答案 x2-=1、 (答案不唯一) -1 二、填空题 12.已知双曲线的一条渐近线方程为y=2x,则双曲线的方程可以为　　　　　　　　(写出一个正确答案即可);此时,你所写的方程对应的双曲线的离心率为　　　　　.  答案：.x2-=1　 (答案不唯一)　 因为双曲线的渐近线为y=2x, 所以双曲线的方程为x2-=λ(λ≠0), 故可取λ=1,可得双曲线的方程为x2-=1, 所以c=. 此时其离心率e=. 13．已知函数f (x)的导函数为f ' (x),且满足f (x)=2xf ' (1)+ln x,则f ' (1)=______________． 答案：-1 ∵f(x)=2xf'(1)+ln x,∴f'(x)=2f'(1)+,令x=1,得f'(1)=2f'(1)+1,∴f'(1)=-1. 14.已知数列的前n项和为，若，求． 答案． 【分析】利用公式化简即可得出数列为等比数列.即可求出答案. 【详解】当时：, 当时： . 所以数列为以为首项，2为公比等比数列. 所以. 三、解答题 15.(本小题满分12分)已知函数f(x)=ex-2x. (1)求曲线y=f(x)在点(0,1)处的切线方程; (2)求函数f(x)在[0,2]上的最大值与最小值. .解(1)函数f(x)=ex-2x的导数为f'(x)=ex-2, 可得y=f(x)在点(0,1)处的切线的斜率为1-2=-1, 则曲线y=f(x)在点(0,1)处的切线方程为y+x-1=0. (2)令f'(x)=ex-2=0,得x=ln 2, 则当0<x<ln 2时,f'(x)<0,f(x)单调递减; 当ln 2<x<2时,f'(x)>0,f(x)单调递增. 因此x=ln 2为f(x)的极小值点,也是最小值点, 又f(0)=1,f(2)=e2-4,f(ln 2)=2-2ln 2, 所以f(x)在[0,2]上的最小值为2-2ln 2,最大值为e2-4. 16.证明不等式： （1）， （2）； 【分析】（1）【分析】构造，利用导数研究在上单调性并确定最小值，即可证明结论. (2)构造，利用导数研究的单调性并确定最小值，即可证，然后画出、的图象； 【答案】证明见解析 【来源】人教A版（2019） 选择性必修第二册 新高考名师导学 第五章 5.3 导数在研究函数中的应用 【详解】(1)由题设，要证只需证即可， 令，则，而， ∴当时，，单调递减；当时，，单调递增； 故，即在上恒成立， ∴，得证. （2）由题意，等价于，令， ∴，而， ∴时，，单调递减；时，，单调递增； 故在上恒成立，即， ∴得证.   17．已知等差数列的前n项和为，且，． （1）求数列的通项公式； （2）若，令，求数列的前n项和． 【答案】（1）（2） 【来源】人教A版（2019） 选择性必修第二册 新高考名师导学 第四章 复习参考题4 【分析】（1）利用等差数列的前项和公式与通项公式，即可解出,则可写出其通项公式. （2）利用错位相减，化简解可得出答案. 解：（1）由题意知：， 即：化简得. 所以数列的通项公式. （2）因为 所以 化简得：. 18．如图，在四棱锥中，底面为棱上一点． （1）求证：无论点在棱的任何位置，都有成立； （2）若为中点，求二面角的余弦值； （3）在棱上是否存在一点，使平面？若存在，说明点的位置，若不存在，说明理由． 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）答案见解析． 【分析】 （1）根据已知条件证明，结合可证明平面，再由平面即可求证； （2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量为，平面的法向量为，由空间向量的夹角公式计算即可求解； （3）由可得，只需，即可得，由线面平行的判定定理即可证明. 解：（1）因为底面底面， 所以． 又， 故平面． 又，平面， 所以无论点在棱的任何位置，都有成立． （2）如图建立空间直角坐标系 设平面的法向量为 则，令，得，所以， 又因为， 所以平面 所以平面的法向量为 ， 经观察二面角的平面角为钝角，所以二面角的余弦值为 （3）当时，平面AEC． 证明如下：设， 因为，且， 所以，所以 又平面，平面 所以平面． 所以，当时，平面． 19．已知双曲线C：的左右焦点分别为，，右顶点为，点，，． (1)求双曲线的方程； (2)直线经过点，且与双曲线相交于，两点，若的面积为，求直线的方程. 19．(1) (2)或. 【分析】（1）由题意可得：，，，解得，，，即可得出双曲线的方程． （2），设直线的方程为，，，联立直线的方程与双曲线的方程化为关于的一元二次方程，利用根与系数的关系可得，利用的面积，解得，即可得出直线的方程． 解：（1）由题意可得：，，， 解得，，， 所以双曲线的方程为. （2）：由题意可知，直线的斜率不为0， 设：，设，， 联立，消，得， 由，解得，则. 所以， 所以的面积， 由，整理得， 解得，， 所以直线的方程为或. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$