2025年山东省济南市中考数学模拟试题

2025年济南中考模拟试题 一．选择题（共10小题） 1．的相反数是（　　） A．2 B． C．或 D．﹣2 2．杆秤是中国最古老也是现今人们仍然使用的衡量工具，由秤杆、秤砣、秤盘三个部分组成．秤砣、秤杆分别叫做“权”和“衡”，指的是做任何事都要权衡轻重．如图是常见的一种秤砣，则它的主视图是（　　） A． B． C． D． 3．《康熙字典》是中国古代汉字字数最多的字典，共收录汉字47000余个．将47000用科学记数法表示应为（　　） A．0.47×105 B．4.7×104 C．4.7×103 D．47×103 4．如果一个正多边形的每个外角都等于40°，那么它是（　　）边形． A．七 B．八 C．九 D．十 5．如图，已知△ABC≌△CDA，∠B＝120°，∠CAD＝35°，则∠BAC的度数为（　　） A．25° B．30° C．35° D．40° 6．下列运算正确的是（　　） A．（ab）2＝a2b2 B．a3+a2＝a5 C．a3•a2＝a6 D．2（a﹣b）＝2a﹣b 7．若关于x的一元二次方程kx2﹣6x+9＝0有实数根，则k的取值范围是（　　） A．k＜1 B．k≤1 C．k＜1且k≠0 D．k≤1且k≠0 8．中国古代的“四书”是指《论语》《孟子》《大学》《中庸》，它是儒家思想的核心著作，是中国传统文化的重要组成部分．若从这四部著作中随机抽取两本（先随机抽取一本，不放回，再随机抽取另一本），则抽取的两本恰好是《论语》和《大学》的概率是（　　） A． B． C． D． 9．已知在正方形ABCD中，AB长为6，分别以A，B为圆心，以大于AB长度的一半为半径作弧，两弧交于M、N两点，作直线MN，交CD于点E，再分别以A，E为圆心，以大于AE长的一半为半径作弧，两弧交于P、Q两点，作直线PQ，分别与AD，BC交于点F、G，那么四边形AFGB的面积为（　　） A．18 B． C． D． 10．如图1，四边形ABCD是平行四边形，连接BD，动点P从点A出发沿折线AB→BD→DA匀速运动，回到点A后停止．设点P运动的路程为x，线段AP的长为y，图2是y与x的函数关系的大致图象，下列结论中不正确的是（　　） A．BD＝10 B．AD＝12 C．平行四边形ABCD的周长为44 D．当x＝15时，△APD的面积为20 二．填空题（共5小题） 11．当分式的值为零时，x的值为 　 　． 12．如图，在边长为2的正方形内有一边长为1的小正方形，一只青蛙在该图案内任意跳动，则这只青蛙跳入阴影部分的概率是 　 　． 13．如图，直线m∥n，一块∠B＝60°的直角三角板ABC按如图所示放置，若∠1＝70°，则∠2的度数为 　 　． 14．中国人逢山开路，遇水架桥，靠自己勤劳的双手创造了世界奇迹．雅西高速是连接雅安和西昌的高速公路，被国内外专家学者公认为全世界自然环境最恶劣、工程难度最大、科技含量最高的山区高速公路之一，全长240km．一辆货车和一辆轿车先后从西昌出发驶向雅安，如图，线段OM表示货车离西昌距离y1（km）与时间x（h）之间的函数关系，线段AN表示轿车离西昌距离y2（km）与时间x（h）之间的函数关系，则货车出发 　 　小时后与轿车相遇． 15．如图，在矩形ABCD中的CD边上取一点E，将△BCE沿BE翻折，使得C恰好落在AD边上点F处，在AF上取一点G，使得AG＝DF，连接BG并延长交直线EF于点H，当△BHE为等腰三角形时，则的值为 　 　． 三．解答题（共10小题） 16．计算：． 17．解不等式组：，并写出它的所有正整数解． 18．如图，在菱形ABCD中，E是CD的中点，连接AE并延长，交BC的延长线于点F． （1）求证：BC＝CF； （2）连接AC，若AB＝2，AE⊥AB，求AC的长． 19．实验是培养学生的创新能力的重要途径之一．如图是小红同学安装的化学实验装置，安装要求为试管略向下倾斜，试管夹应固定在距试管口的三分之一处．已知试管，AB＝30cm，BEAB，试管倾斜角α为10°． （1）求酒精灯与铁架台的水平距离CD的长度； （2）实验时，当导气管紧贴水槽MN，延长BM交CN的延长线于点F，且MN⊥CF（点C，D，N，F在一条直线上），经测得：DE＝21.7cm，MN＝8cm，∠ABM＝145°，求线段DN的长度． （参考数据：sin10°≈0.17，cos10°≈0.98，tan10°≈0.18） 20．如图，AB是⊙O的直径，点C，E在⊙O上，∠CAB＝2∠EAB，点F在线段AB的延长线上，且∠AFE＝∠ABC． （1）求证：EF与⊙O相切； （2）若BF，sin∠AFE，求BC的长． 21．学校为调查学生对疫情防控知识的了解情况，从全校学生中随机抽取部分学生进行测试，将测试成绩整理后分成五组，并绘制成如图的频数分布直方图和扇形统计图，其中“80～90”这组的数据如下：81，83，84，85，85，86，86，87，88，88，88，89 请根据图中信息解答下列问题： （1）补全频数分布直方图； （2）在扇形统计图中，“70～80”这组的圆心角为 　 　； （3）抽取的样本中学生成绩的中位数为 　 　分； （4）成绩在“80～100”的为优秀等次，估计全校1000名学生中，为优秀等次的约有多少人？ 22．为响应传统文化进校园的号召，某校决定从网店购买《论语》和《弟子规》两种图书以供学生课外阅读．已知两种图书的购买信息如表： 《论语》数量/本 《弟子规》数量/本 总费用（元） 40 30 1250 50 20 1300 （1）《论语》和《弟子规》每本的价格分别是多少元？ （2）若学校计划购买《论语》和《弟子规》两种图书共100本，《弟子规》的数量不超过《论语》数量的2倍．请设计出最省钱的购买方案，并求出此方案的总费用． 23．如图1，反比例函数与一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象交于点A（1，3），点B（n，1），一次函数y＝kx+b（k≠0）与y轴相交于点C． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）连接OA，OB，求△OAB的面积； （3）如图2，点E是反比例函数图象上A点右侧一点，连接AE，把线段AE绕点A顺时针旋转90°，点E的对应点F恰好也落在这个反比例函数的图象上，求点E的坐标． 24．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+bx﹣1（a、b为常数，a＞0）．（1）若抛物线与x轴交于A（﹣1，0）、B（4，0）两点，求抛物线对应的函数表达式； （2）如图，当b＝1时，过点C（﹣1，a）、分别作y轴的平行线，交抛物线于点M、N，连接MN、MD．求证：MD平分∠CMN； （3）当a＝1，b≤﹣2时，过直线y＝x﹣1（1≤x≤3）上一点G作y轴的平行线，交抛物线于点H．若GH的最大值为4，求b的值． 25．平行线是研究三角形相似的基本工具． 【初步尝试】 （1）如图①，在△ABC中，点D在BC边上，，在AB边上求作点E，使．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出必要文字说明．） 【深入研究】 （2）如图②，在△ABC和△A′B′C′中，D，D′分别边BC，B′C′上一点，∠BAD＝∠B'A'D'，∠CAD＝∠C′A′D′，，求证△ABC∽△A′B′C′． 【应用拓展】 （3）如图③，已知△ABC，直线l1∥l2∥l3． ①在图③中，求作△A′B′C′，使点A′，B′，C′分别在l1，l2，l3上，且△A′B′C′∽△ABC．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出必要文字说明．） ②设在①中所作的△A'B'C'的边A'C'与l2交于点D′，发现随着△ABC形状的变化，B′D′的长度也随之变化．若∠ABC＝120°，l1，l2之间的距离为2，l2，l3之间的距离为4，则B′D′的最小值是 　 　． 2025年济南中考模拟试题 参考答案与试题解析 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B． A B C A A D B B D 一．选择题（共10小题） 1．【解答】解：的相反数是． 故选：B． 2．【解答】解：从正面看，可得它的主视图是． 故选：A． 3．【解答】解：47000＝4.7×104． 故选：B． 4．【解答】解：设这个正多边形的边数为n，由题意得： 40n＝360， 解得：n＝9， 故选：C． 5．【解答】解：∵△ABC≌△CDA，∠CAD＝35° ∴∠ACB＝∠CAD＝35° ∵∠B＝120° ∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠ACB＝25°． 故选：A． 6．【解答】解：∵（ab）2＝a2b2， 选项A符合题意； ∵a3+a2≠a5， 选项B不符合题意； ∵a3•a2＝a5≠a6， 选项C不符合题意； ∵2（a﹣b）＝2a﹣2b≠2a﹣b， 选项D不符合题意； 故选：A． 7．【解答】解：∵一元二次方程kx2﹣6x+9＝0有实数根， ∴（﹣6）2﹣4×9k≥0，且k≠0， 解得k≤1且k≠0， 故选：D． 8．【解答】解：记《论语》《孟子》《大学》《中庸》分别为A，B，C，D，画树状图如下： 一共有12种等可能的结果，其中抽取的两本恰好是《论语》（即A）和《大学》（即C）的可能结果有2种可能， ∴P（抽取的两本恰好是《论语》和《大学》的可能结果）， 故选：B． 9．【解答】解：如图，过点F作FH⊥BC于点H．则四边形CDFH是矩形，设AE交BF于点J． ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝AD＝CD＝BC＝6，∠ADE＝90°， 由作图可知MN垂直平分AB，FG垂直平分线段AE， ∴MN是正方形ABCD的对称轴， ∴DE＝EC＝3， 在Rt△ADE中，AE3， ∴AJ＝JE， ∵cos∠DAE， ∴， ∴AF， ∵∠DAE+∠AFJ＝90°，∠HFG+∠AFJ＝90°， ∴∠DAE＝∠HFG， ∵∠ADE＝∠FHG＝90°，FH＝CD＝AD， ∴△ADE≌△FHG（ASA）， ∴DE＝GH＝3， ∵AF＝BH， ∴BG＝BH＝GH3， ∴四边形AFGB的面积（）×6． 故选：B． 10．【解答】解：当点P运动到点B处时，x＝10，即AB＝10，故A正确，不符合题意； 当点P运动到点D处时，y＝12，即AD＝12，故B正确，不符合题意； ∴平行四边形ABCD的周长为2（10+12）＝44，故C正确，不符合题意； 当x＝15时，点P在BD中点处，如图， 此时y＝S△ADP＝S△ABD， 作BH⊥AD， ∵AB＝BD＝10， ∴AH＝DH＝6， ∴BH8， ∴S△ABD12×8＝48， ∴y48＝24，故D错误，符合题意． 故选：D． 二．填空题（共5小题） 11．【解答】解：由题可知， x+2＝0且x﹣1≠0， 解得x＝﹣2． 故答案为：﹣2． 12．【解答】解：这只青蛙跳入阴影部分的概率． 故答案为：． 13．【解答】解：如图： ∵m∥n， ∴∠3＝∠1＝70°， ∴∠4＝180°﹣∠3＝110°， ∴∠5＝180°﹣∠A﹣∠4＝180°﹣30°﹣110°＝40°， ∴∠2＝∠5＝40°． 14．【解答】解：设线段OM的函数关系式为y1＝k1x（k1为常数，且k1≠0）． 将坐标M（4，240）代入y1＝k1x， 得4k1＝240， 解得k1＝60， ∴y1＝60x（0≤x≤4）； 设线段AN的函数关系式为y2＝k2x+b（k2、b为常数，且k2、b≠0）． 将坐标B（1.5，75）和N（3，240）代入y2＝k2x+b， 得， 解得， ∴y2＝110x﹣90， 当y2＝0时，得110x﹣90＝0，解得x， ∴线段AN的函数关系式为y2＝110x﹣90（x≤3）． 当两车相遇时，y1＝y2，得60x＝110x﹣90，解得x＝1.8， ∴货车出发1.8小时后与轿车相遇． 故答案为：1.8． 15．【解答】解：分三种情况讨论： ①若△BHE为等腰三角形，且BE＝BH时，如图1， ∵△BEF是由△BEC折叠得到， ∴∠BFE＝∠BCD＝90°，∠CBE＝∠FBE， ∵BE＝BH， ∴∠HBE＝∠FBE， ∴∠CBE＝∠FBE＝∠HBE， 连接CF， 则，CF⊥BE， ∴∠DCF+∠BCF＝∠CBE+∠BCF＝90°， ∴∠DCF＝∠CBE， 又∵AG＝DF，AB＝CD，∠A＝∠D， ∴△ABG≌△CDF（SAS）， ∴∠CBE＝∠FBE＝∠HBE＝∠ABH90°＝22.5°， ∴∠GFM＝∠FBC＝2×22.5°＝45°， 过点G作GM⊥BF于点M， ∵∠EBH＝∠ABH，∠A＝90°， ∴GM＝AG， 又∵AG＝DF， 设AG＝DF＝GM＝a，GF＝b， 在RT△GMF中，∠GFM＝45°， ∴GFGM， 即ba， ∴AD＝AG+GF+FD＝a+b+a＝2aa＝（2）a， ∴； ②若△BHE为等腰三角形，且HB＝HE时，如图2， ∵HB＝HE， ∴∠HBE＝∠HEB， ∵△BEF是由△BEC折叠得到， ∴∠HEB＝∠CEB， ∴∠HBE＝∠CEB， ∴BG∥CD， 与题意不符， ∴此种情况不可能； ③若△BHE为等腰三角形，且EB＝EH时，如图3， ∵EB＝EH， ∴∠H＝∠HBE， ∵△BEF是由△BEC折叠得到， ∴∠BFE＝∠BCD＝90°，BC＝BF， ∴∠H+∠HBF＝90°， 又∵∠ABC＝90°， ∴∠HBE+∠ABG+∠CBE＝90°， ∴∠HBF＝∠ABG+∠CBE， 连接FC， 由①知∠FCD＝∠CBE＝∠ABG＝∠FBE， 设∠FCD＝∠CBE＝∠ABG＝∠FBE＝α， ∴∠HBF＝∠ABG+∠CBE＝2α， ∴∠ABG+∠HBF+∠FBE+∠CBE＝α+2α+α+α＝5α＝90°， ∴α＝18°， ∴∠HBF＝2α＝36°， ∵AD∥BC， ∴∠GFB＝∠FBC＝2α＝36°， ∴∠HBF＝∠GFB＝36°， ∴△GBF是黄金三角形， ∴， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD＝BC＝BF， ∴， 故答案为：或． 三．解答题（共10小题） 16．【解答】解：原式 ＝11． 17．【解答】解：， 由①得，x≥﹣2， 由②得，x＜3， ∴不等式组的解集为﹣2≤x＜3， 所有正整数解有：1、2． 18．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴BC＝DA，BC∥DA， ∴∠F＝∠DAE， ∵E是CD的中点， ∴CE＝DE， 在△FCE和△ADE中， ， ∴△FCE≌△ADE（AAS）， ∴CF＝DA， ∴BC＝CF． （2）解：∵AE⊥AB， ∴∠BAF＝90°， ∵BC＝CF＝AB＝2， ∴AC＝BCBF＝2， ∴AC的长为2． 19．【解答】解：（1）过点E作EG⊥AC于点G， ∵AB＝30cm，BEAB， ∴BE＝10cm，AE＝20cm， ∵∠AEG＝α＝10°， ∴GE＝AE•cosα＝20×cos10°≈19.6（cm）， ∴CD＝GE＝19.6cm， 答：酒精灯与铁架台的水平距离CD的长度为19.6cm； （2）过点B作BH⊥CF于点H，BP⊥DE于点P，过点M作MQ⊥BH于点Q， 则BP＝BE•cosα＝10×cos10°≈9.8（cm）， EP＝BE•sinα＝10×sin10°≈1.7（cm）， ∵DE＝21.7cm， ∴PD＝DE﹣EP＝21.7﹣1.7＝20（cm）， ∴BH＝20cm， ∵MN＝8cm， ∴QH＝8cm， ∴BQ＝BH﹣QH＝20﹣8＝12（cm）， ∵∠ABM＝145°， ∴∠QBM＝∠ABM﹣α﹣90°＝145°﹣10﹣90°＝45°， ∴QM＝BQ＝12cm， ∴DN＝DH+HN＝BP+QM＝9.8+12＝21.8（cm）， 答：线段DN的长度为21.8cm． 20．【解答】（1）证明：如图，连接OE， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∵OA＝OE， ∴∠OAE＝∠OEA， ∴∠FOE＝∠OAE+∠OEA＝2∠OAE， ∵∠CAB＝2∠EAB， ∴∠CAB＝∠FOE， 又∵∠AFE＝∠ABC， ∴∠CAB+∠ABC＝∠FOE+∠AFE， ∴∠OEF＝∠ACB＝90°， 即OE⊥EF， ∵OE是半径， ∴EF是⊙O的切线； （2）解：设半径为r，即OE＝OB＝r，则OF＝r， 在Rt△EOF中， ∵sin∠AFE， ∴r＝4， ∴AB＝2r＝8， 在Rt△ABC中，sin∠ABCsin∠AFE，AB＝8， ∴AC8， ∴BC． 21．【解答】解：（1）8÷16%＝50（人）， 50﹣3﹣8﹣9﹣12＝18（人）， 补全频数分布直方图如图所示： （2）“70～80”这组的圆心角为： 64.8°． 故答案为：64.8°； （3）将50个数据从小到大排列后，处在第25、26位的两个数的平均数为：85.5（分）， 因此中位数是85.5分． 故答案为：85.5； （4）1000600（人）， 答：估计全校1000名学生中，为优秀等次的约有600人． 22．【解答】解：（1）设每本《论语》的价格为x元，每本《弟子规》的价格为y元， 依题意得：， 解得：． 答：每本《论语》的价格为20元，每本《弟子规》的价格为15元． （2）设购买《论语》m本，则购买《弟子规》（100﹣m）本， 依题意得：100﹣m≤2m， 解得：m． 设学校购买《论语》和《弟子规》的总费用为w元，则w＝20m+15（100﹣m）＝5m+1500． ∵5＞0， ∴w随m的增大而增大， 又∵m且m为正整数， ∴当m＝34时，w取得最小值，最小值＝5×34+1500＝1670，此时100﹣m＝100﹣34＝66． 答：当购买《论语》34本，《弟子规》66本时，总费用最少，最少总费用为1670元． 23．【解答】解：（1）∵点A（1，3），点B（n，1）在反比例函数上， ∴m＝1×3＝n×1， ∴m＝3，n＝3， ∴反比例函数为y，点B（3，1）， 把A、B的坐标代入y＝kx+b得， 解得， ∴一次函数为：y＝﹣x+4； （2）令x＝0，则y＝﹣x+4＝4， ∴C（0，4）， ∴S△AOB＝S△BOC﹣S△AOC4； （3）如图2，过A点作x轴的平行线CD，作FC⊥CD于C，ED⊥CD于D， 设E（a，）（a＞1）， ∵A（1，3）， ∴AD＝a﹣1，DE＝3， ∵把线段AE绕点A顺时针旋转90°，点E的对应点为F，恰好也落在这个反比例函数的图象上， ∴∠EAF＝90°，AE＝AF， ∴∠EAD+∠CAF＝90°， ∵∠EAD+∠AED＝90°， ∴∠CAF＝∠AED， 在△ACF和△EDA中， ， ∴△ACF≌△EDA（AAS）， ∴CF＝AD＝a﹣1，AC＝DE＝3， ∴F（2，4﹣a）， ∵F恰好也落在这个反比例函数的图象上， ∴（2）（4﹣a）＝3， 解得a＝6或a＝1（舍去）， ∴E（6，）． 24．【解答】（1）解：∵抛物线与x轴交于A（﹣1，0）、B（4，0）两点， ∴分别将 A（﹣1，0），B（4，0）代入y＝ax2+bx﹣1中， 得， 解得， ∴抛物线对应的函数表达式为． （2）证明：连接CN，如图， ∵b＝1， ∴y＝ax2+x﹣1， 当x＝﹣1时，y＝a﹣2， ∴M（﹣1，a﹣2）， 当x＝1时，y＝a， ∴N（1，a）， ∵C（﹣1，a），N（1，a）， ∴CN＝2，CM＝a﹣（a﹣2）＝2，CM⊥CN， 在Rt△CMN中，CM＝2，CN＝2， ∴， ∵， ∴DN＝MN， ∴∠NDM＝∠NMD， ∵DN∥CM， ∴∠NDM＝∠CMD， ∴∠NMD＝∠CMD， ∴MD平分∠CMN． （3）解：设G（m，m﹣1），则H（m，m2+bm﹣1），1≤m≤3， 当a＝1时，y＝x2+bx﹣1， ∵过直线y＝x﹣1（1≤x≤3）上一点G作y轴的平行线， 令x2+bx﹣1＝x﹣1， 解得x1＝0，x2＝1﹣b． ∵b≤﹣2， ∴x2＝1﹣b≥3， 点G在H的上方，如图， 设GH＝t，则t＝﹣m2+（1﹣b）m， 其对称轴为，且， ①当时，即﹣5≤b≤﹣2， 由图可知， 当时，t取得最大值， 解得b＝﹣3或b＝5（舍去）， ②当时，得b＜﹣5， 由图可知， 当m＝3时，t取得最大值﹣9+3﹣3b＝4， 解得（舍去）， 综上所述，b的值为﹣3． 25．【解答】（1）解：如图，作∠BDE＝∠C，与AB交于点E，点E即为所求． （2）证明：如图，过点D作DE∥AC交AB于点E，过点D′作D′E∥A′C′交A′B′于点E′． ∵DE∥AC，D′E′∥A′C′， ∴∠CAD＝∠ADE，∠C′A′D′＝∠A′D′E′， ∵∠CAD＝∠C′A′D′， ∴∠ADE＝∠A′D′E， 又∵∠BAD＝∠B′A′D′， ∴△ADE∽△A′D′E′， ∴， ∵， ∴， ∵DE∥AC，D′E∥A′C′， ∴，， ∴， 即， ∵DE∥AC，D′E′∥A′C′， ∴△BDE∽△BCA，△B′D′E′∽△B′C′A′， ∴，， ∴， 即， ∴， 又∵∠BAD＝∠B′A′D′，∠CAD＝∠C′A′D′， ∴∠BAD+∠CAD＝∠B'A'D'+∠C'A'D'， 即∠BAC＝∠B'A'C'， ∴△ABC∽△A'B'C'． （3）解：①如图，△A′B′C′即为所求； 作法：第1步：作直线l分别交l1，l2，l3于点M，N，P； 第2步：过点A作一条射线l′，在l′上截取AE＝MN，EF＝PN； 第3步：连接CF，过点E作 EQ∥FC交AC于点Q，连接BQ； 第4步：在l2任取一点B′，作∠D′B′A′＝∠QBA交l1于点A′； 第5步：作∠D′B′C′＝∠QBC交l3于点C′，则△A′B′C即为求． ②如①右图，延长A′B′交l3于点Q，则∠C′B′Q＝60°， ∵l2∥l3， ∴△A′D′B′∽△A′C′Q， ∴， ∴B′D′C′Q， ∴求出C′Qmin即可求得B′D′min， 当△B′C′Q为等边三角形时，C′Q取得最小值， 过点B′作B′H⊥C′Q于点H， ∵l2，l3之间的距离为4， ∴B′H＝4， ∴C′Qmin， ∴B′D′min， 故答案为：． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/1/20 10:30:43；用户：董胜；邮箱：13589049333；学号：41397305 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$