2024年宁夏回族自治区石嘴山市第九中学中考数学一模试卷

2024年宁夏石嘴山九中中考数学一模试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：今有两数若其意义相反，则分别叫做正数与负数.如果表示向东走40m，那么表示(    ) A. 向东走60m B. 向西走60m C. 向东走100m D. 向西走100m 2.如图是由4个相同的小正方体组成的几何体，它的主视图是(    ) A. B. C. D. 3.中国航天科工集团公司的技师们可以运用数控微雕这项技术，在一个直径只有一角硬币大小的金属片上打孔，这个孔的直径是一根头发丝的三分之一.若一根头发丝的直径大约为，且，则金属片上这个孔的直径用科学记数法表示为(    ) A. B. C. D. 4.下列运算结果正确的是(    ) A. B. C. D. 5.某班级计划举办手抄报展览，确定了“5G时代”、“北斗卫星”、“高铁速度”三个主题，若小明和小亮每人随机选择其中一个主题，则他们恰好选择同一个主题的概率是(    ) A. B. C. D. 6.如图，BC是的切线，点B是切点，连接CO交于点D，延长CO交于点A，连接AB，若，，则AB的长为(    ) A. B. C. D. 7.图1是变量y与变量x的函数关系的图象，图2是变量z与变量y的函数关系的图象，则z与x的函数关系的图象可能是(    ) A. B. C. D. 8.已知三个实数a，b，c满足，，则关于x的一元二次方程的根的情况判断正确的是(    ) A. 没有实数根 B. 有一个或两个实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 有两个不相等的实数根 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 9.分解因式：______. 10.不等式的解集为______. 11.计算：______. 12.我市的北武当庙距今900多年的历史，史有“西夏名兰，山林古刹”的美誉.多宝塔是其标志性建筑之一.如图，某课外兴趣小组在距离该塔塔底A点22米的C处，用测角仪测得塔顶部B的仰角为，则可估算出多宝塔AB的高度为______米结果保留整数，参考数据：，， 13.一个不透明的袋中装有除颜色外均相同的9个红球，3个白球，若干个绿球，每次摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，经过大量重复实验后，发现摸到绿球的频率稳定在，则袋中约有绿球______个． 14.为方便市民绿色出行，我市推出了共享单车服务、图1是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图2是其示意图，其中AB、CD都与地面l平行，，，当______时， 15.如图所示，AB是半圆O的直径，将直径BA绕点B顺时针旋转得对应线段BC，若，则图中阴影部分的面积是______. 16.如图，矩形ABCD中，，，点E为DC上一个动点，把沿AE折叠，当点D的对应点落在的角平分线上时，DE的长为______. 三、解答题：本题共10小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题6分 如图是的正方形网格，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图只保留作图痕迹 在图1中作锐角，使点C在格点上； 在图2中的线段AB上作点Q，使PQ最短； 在图3中的线段AB上画出点M，使的值最小. 18.本小题6分 先化简：，并在，，0，1，2这5个数中选择一个你喜欢的数作为x的值，求出该代数式的值. 19.本小题6分 双曲线的图象与一次函数的图象交于，两点. 求反比例函数的解析式； 观察图象，直接写出不等式的解集； 设直线AB与x轴交于点C，若P为x轴正半轴上一点，当的面积为3时，求点P的坐标. 20.本小题6分 学习了平行四边形后，小虹进行了拓展性研究.她发现，如果作平行四边形一条对角线的垂直平分线，那么这个平行四边形的一组对边截垂直平分线所得的线段被垂足平分.她的解决思路是通过证明对应线段所在的两个三角形全等得出结论.请根据她的思路完成以下作图与填空： 用直尺和圆规，作AC的垂直平分线交DC于点E，交AB于点F，垂足为点只保留作图痕迹 已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，AC是对角线，EF垂直平分AC，垂足为点求证： 证明：四边形ABCD是平行四边形， ______. 垂直平分AC， ______. 又______， ≌ 小虹再进一步研究发现，过平行四边形对角线AC中点的直线与平行四边形一组对边相交形成的线段均有此特征.请你依照题意完成下面命题： 过平行四边形对角线中点的直线______. 21.本小题6分 某地旅游部门为了促进本地生态特色城镇和新农村建设，将甲、乙、丙三家民宿的相关资料放到某网络平台上进行推广宣传，该平台邀请部分曾在这三家民宿体验过的游客参与调查，得到了这三家民宿的“综合满意度”评分，评分越高表明游客体验越好，现从这三家民宿“综合满意度”的评分中各随机抽取10个评分数据，并对所得数据进行整理，描述和分析，下面给出了部分信息. 甲、乙两家民宿“综合满意度”评分的折线图： 丙家民宿“综合满意度”评分：，，，，，，，，，； 甲、乙、丙三家民宿“综合满意度”评分的平均数、中位数： 甲 乙 丙 平均数 m 中位数 n 根据以上信息，回答下列问题： 表中m的值是______， n的值是______； 设甲、乙、丙三家民宿“综合满意度”评分的方差分别是，，，直接写出，，之间的大小关系； 根据“综合满意度”的评分情况，该平台打算将甲、乙、丙三家民宿中的一家置顶推荐，你认为该平台会将这三家民宿中的哪家置顶推荐？说明理由至少从两个方面说明 22.本小题6分 2024年龙年春晚吉祥物形象“龙辰辰”正式发布亮相，作为中华民族重要的精神象征和文化符号，千百年来，龙的形象贯穿文学、艺术、民俗、服饰、绘画等各个领域，也呈现了吉祥如意、平安幸福的美好寓意.吉祥物“龙辰辰”受到众人的热捧.某工厂计划加急生产一批该吉祥物，决定选择使用A、B两种材料生产吉祥物.已知使用B材料的吉祥物比A材料每个贵50元，用3000元购买用A材料生产吉祥物的数量是用1500元购买B材料生产吉祥物数量的4倍. 求售卖一个A材料、一个B材料的吉祥物各需多少元？ 一所中学为了激励学生奋发向上，准备用不超过3000元购买A、B两种材料的吉祥物共50个，来奖励学生.恰逢工厂对两种材料吉祥物的价格进行了调整：使用A材料的吉祥物的价格按售价的九折出售，使用B材料的吉祥物比售价提高了，那么该学校此次最多可购买多少个用B材料的吉祥物？ 23.本小题8分 如图，AB为的直径，C为上一点，D为的中点，交AC的延长线于点 求证：直线DE为的切线； 延长AB，ED交于点若，，求AC的长. 24.本小题8分 如图1是一款重型订书机，其结构示意图如图2所示.其主体部分为矩形EFGH，由支撑杆CD垂直固定于底座AB上，且可以绕点D旋转.压杆MN与伸缩片PG连接，点M在HG上，MN可绕点M旋转，，，不使用时，，G是PF中点，且点D在NM的延长线上，则MG为______ cm；使用时如图3，按压MN使得，此时点F落在AB上，若，求压杆MN到底座AB的距离. 25.本小题10分 【项目式学习】 【项目主题】自动旋转式洒水喷头灌溉蔬菜 【项目背景】寻找生活中的数学，九班分四个小组，开展数学项目式实践活动，获取所有数据共享，对蔬菜喷水管建立数学模型.菜地装有1个自动旋转式洒水喷头灌溉蔬菜，如图1所示，观察喷头可顺、逆时针往返喷洒. 【项目素材】 素材一：甲小组在图2中建立合适的直角坐标系，喷水口中心O有一喷水管OA，从A点向外喷水，喷出的水柱最外层的形状为抛物线，以水平方向为x轴，点O为原点建立平面直角坐标系，点喷水口在y轴上，x轴上的点D为水柱的最外落水点. 素材二：乙小组测得种植农民的身高为米，他常常往返于菜地之间. 素材三：丙小组了解到需要给蔬菜大鹏里拉一层塑料薄膜用来保温保湿，以便蔬菜更好地生长. 【项目任务】 任务一：丁小组测量得喷水口中心点O到水柱的最外落水点D水平距离为米，其中喷出的水的最高点正好经过一个直立木杆EF的顶部F处，木杆高米，距离喷水口米，求出水柱所在抛物线的函数解析式. 任务二：乙小组发现这位农民在与喷水口水平距离是P米时，不会被水淋到，求P的取值范围. 任务三：丙小组测量发现薄膜所在平面和地面的夹角是，截面如图3，求薄膜与地面接触点与喷水口的水平距离是多少米时，喷出的水与薄膜的距离至少是10厘米？精确到米 26.本小题10分 【综合与实践】 【问题背景】 在四边形ABCD中，E是CD边上一点，延长BC至点F使得，连接DF，延长BE交DF于点 【特例感知】 如图1，若四边形ABCD是正方形时， ①求证：≌； ②当G是DF中点时，______度； 【深入探究】 如图2，若四边形ABCD是菱形，，当G为DF的中点时，求CE的长； 【拓展提升】 如图3，若四边形ABCD是矩形，，，点H在BE的延长线上，且满足，当是直角三角形时，请直接写出CE的长. 答案和解析 1.【答案】D  【解析】解：表示向西走100m； 故选： 根据题意及相反意义的量可进行求解． 本题主要考查相反意义的量，解题的关键是理解题意． 2.【答案】D  【解析】解：从正面看共有两层，底层两个正方形，上层右边是一个正方形． 故选： 找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中． 本题考查简单组合体的三视图，理解视图的定义，掌握简单几何体三视图的画法是正确判断的前提． 3.【答案】C  【解析】解：， 故选： 绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 4.【答案】D  【解析】解：，故选项A错误，不符合题意； ，故选项B错误，不符合题意； ，故选项C错误，不符合题意； ，故选项D正确，符合题意； 故选： 根据合并同类项的方法可以判断A；根据单项式的乘法可以判断B；根据多项式除以单项式的方法可以判断C；根据平方差公式可以判断 本题考查整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 5.【答案】C  【解析】【分析】 本题考查了用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 画树状图，共有9种等可能的结果，其中小明和小亮恰好选择同一个主题的结果有3种，再由概率公式求解即可． 【解答】 解：把“5G时代”、“北斗卫星”、“高铁速度”三个主题分别记为A、B、C， 画树状图如下： 共有9种等可能的结果，其中小明和小亮恰好选择同一个主题的结果有3种， 小明和小亮恰好选择同一个主题的概率为， 故选 6.【答案】C  【解析】解：连接OB、DB，则， 是的直径， ，， 与相切于点B， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， 故选： 连接OB、DB，由AD是的直径，得，，由切线的性质得，而，则，所以是等边三角形，则，所以，于是得到问题的答案． 此题重点考查切线的性质定理、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 7.【答案】C  【解析】解：由图1可设为常数，且，，由图2可设为常数，， 将代入，得：， 与x的函数关系为一次函数关系， ，，， ，， 与x的函数图象过一、二、四象限． 故选： 由图1可设为常数，且，，由图2可设为常数，，将代入，得，再根据一次函数图象与系数之间的关系即可判断． 本题主要考查函数的图象，一次函数的图象与性质，根据图象正确设出函数解析式，学会利用整体思想解决问题是解题关键． 8.【答案】D  【解析】解：，， ，， ，， ，即原方程有两个不相等的实数根． 故选： 利用已知条件得到，，再计算根的判别式的值得到，则根据根的判别式的意义可判断方程根的情况． 本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 9.【答案】  【解析】解：原式 故答案为： 先根据平方差公式进行因式分解，再提公因式即可． 本题考查提公因式法，公式法分解因式，掌握平方差公式的结构特征是正确解答的关键． 10.【答案】  【解析】解：， ， ， ， ， ， 故答案为： 根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项，合并同类项，系数化为1可得． 本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变． 11.【答案】  【解析】解：原式 ， 故答案为： 利用特殊锐角三角函数值，算术平方根的定义，绝对值的性质，负整数指数幂计算即可． 本题考查实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 12.【答案】20  【解析】解：由题意得：米，， ， ， ， 解得：米， 故答案为： 由题意判断出米，，那么，利用的正切值列出方程，可得AB的长． 本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，熟练掌握正切函数的定义是解决问题的关键． 13.【答案】3  【解析】解：设绿球的个数为x， 根据题意，得：， 解得：， 经检验是原分式方程的解， 即袋中有绿球3个， 故答案为：3 直接利用绿球个数总数，进而得出答案． 此题主要考查了利用频率估计概率，正确掌握频率求法是解题关键． 14.【答案】70  【解析】解：，， ， ， ， ， ， 故答案为： 根据得出，根据三角形内角和定理得出，进而根据平行线的性质即可求解． 本题考查了三角形内角和定理的应用，平行线的性质，掌握三角形内角和定理是解题的关键． 15.【答案】  【解析】解：连接由旋转的性质得：， ， ， ， ，，， 阴影部分的面积 故答案为： 根据旋转的性质以及圆周角定理求得，然后根据阴影部分的面积求得即可． 本题考查了扇形面积的计算、旋转的性质以及圆周角定理，明确阴影部分的面积是解题的关键． 16.【答案】或  【解析】【分析】 本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，折叠问题，解题的关键是明确掌握折叠以后有哪些线段是对应相等的．连接，过作，交AB于点M，CD于点N，作交BC于点P，先利用勾股定理求出，再分两种情况利用勾股定理求出 【解答】 解：如图，连接，过作，交AB于点M，CD于点N，作交BC于点P 点D的对应点落在的角平分线上， ， 设，则， ， 又折叠图形可得， ，解得或4， 即或 在中，设， ①当时，，，， ， 解得，即， ②当时，，，， ， 解得，即 故答案为：或 17.【答案】解：如图1中，即为所求答案不唯一； 如图2中，线段PQ即为所求； 如图3中，点M即为所求．  【解析】根据锐角三角形的定义画出图形答案不唯一； 取格点T，连接PT，延长PT交AB一点Q，线段PQ即为所求； 作点N关于AB的对称点，连接交AB一点M，连接MN，点M即为所求． 本题考查作图-应用与设计作图，勾股定理，轴对称最短问题等知识，解题的关键是理解题意，正确作出图形． 18.【答案】解： ， 当，，2时，原分式无意义， 可以是0或1， 当时，原式  【解析】先通分括号内的式子，同时将括号外除法转化为乘法，然后约分，再从，，0，1，2这5个数中选择一个使得原分式有意义的值代入化简后的式子计算即可． 本题考查分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 19.【答案】解：一次函数的图象经过，两点， ， 解得， ， ， 将代入， 解得 反比例函数的解析式为； ，， 由图可得，不等式的解集是或； 设直线AB交x轴于C，交y轴于D， 当时，， ， 当时，解得， ， 设点P的坐标为 ，， 的面积为3， ，解得，   【解析】直接把A，B两点的坐标代入一次函数求出m，n的值，进而得出A点坐标，代入双曲线求出k的值即可； 直接根据函数图象可得出结论； 设直线AB交x轴于C，交y轴于D，求出C，D点的坐标，设点P的坐标为，根据得出a的值，进而得出P点坐标． 本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，能根据函数图象求出不等式的解集是解题的关键． 20.【答案】      平分  【解析】证明：四边形ABCD是平行四边形， 垂直平分AC， 又， ≌ ； 过平行四边形对角线中点的直线平分， 故答案为：；；；平分． 根据平行四边形的性质和全等三角形的判定和性质解答即可． 此题考查命题与定理，关键是根据平行四边形的性质和全等三角形的判定和性质解答． 21.【答案】    【解析】解：甲民宿的评分的平均数为分，即， 将样本中丙民宿评分从小到大排列后，处在中间位置的两个数的平均数为分，因此中位数是分，即， 故答案为：，； ， ， ， ； 推荐甲民宿，理由：甲民宿的满意度评分的方差较小，说明甲民宿的评分比较稳定，波动不大，甲民宿满意度评分的平均分是分，比丙民宿的高． 根据平均数的计算方法，中位数的定义进行计算即可； 根据方差的计算方法求出三个民宿的方差即可， 从方差，平均数两个方面进行分析得出结论． 本题考查中位数、平均数，方差以及折线统计图，掌握平均数、中位数以及方差的计算方法是正确解答的关键． 22.【答案】解：设使用A材料生产的吉祥物的单价为x元/个，则使用B材料生产的吉祥物的单价为元/个， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， 元/个 答：使用A材料生产的吉祥物的单价为50元/个，使用B材料生产的吉祥物的单价为100元/个； 设该学校此次购买y个使用B材料生产的吉祥物，则购买个使用A材料生产的吉祥物， 根据题意得：， 解得： 答：该学校此次最多可购买10个使用B材料生产的吉祥物．  【解析】设使用A材料生产的吉祥物的单价为x元/个，则使用B材料生产的吉祥物的单价为元/个，利用数量=总价单价，结合用3000元购买用A材料生产吉祥物的数量是用1500元购买B材料生产吉祥物数量的4倍，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出使用A材料生产的吉祥物的单价，再将其代入中，即可求出使用B材料生产的吉祥物的单价； 设该学校此次购买y个使用B材料生产的吉祥物，则购买个使用A材料生产的吉祥物，利用总价=单价数量，结合总价不超过3000元，可列出关于y的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论． 本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． 23.【答案】证明：连接OD，连接BC， 是的直径， ， ， ， ， 点D是的中点， ， ， 又为的半径， 是的切线； 解：如图，连接BC，OD， 由知，，， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ，   【解析】连接OD，连接BC交OD于点F，证明，由垂径定理得出，得出，由切线的判定可得出答案； 连接BC，OD，根据锐角三角函数求出，，根据平行线的性质得出，根据锐角三角函数求解即可． 此题考查了切线的判定与性质、解直角三角形，熟练掌握切线的判定与性质、解直角三角形是解题的关键． 24.【答案】4  【解析】解：如图2，延长NM，则NM过点D， 四边形EFGH是矩形， ，即， 是PF中点， 是的中位线， ， 如图3，过点P作于K， ， ，， ， ， ， 在中，， ， ，即， ， 解得， ， ，， ∽， ，即， 解得， 压杆MN到底座AB的距离为， 故答案为： 如图2，延长NM，则NM过点D，根据矩形的性质得到，即，根据三角形中位线定理得到，如图3，过点P作于K，根据勾股定理得到，解直角三角形得到，求得，根据相似三角形的性质得到结论． 本题考查了矩形的性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，勾股定理，正确作出辅助线构造直角三角形是解题关键． 25.【答案】解：任务一、最高点， 设水柱所在抛物线的函数解析式为： 由题意得：抛物线经过点D的坐标为 解得， 水柱所在抛物线的函数解析式为：； 任务二、当时， 解得：， 任务三、 薄膜所在平面可看成是一条直线 薄膜所在平面和地面的夹角是， 薄膜所在平面的直线解析式为： 当薄膜所在直线与水柱所在抛物线相切时， ， 只有一个交点， 直线与x轴的交点为 过点于点M，且，过点F作，交x轴于点 由题意得：， 米 米 答：薄膜与地面接触点与喷水口的水平距离为米．  【解析】抛物线经过最高点，点D的坐标为，设抛物线的解析式为把点D的坐标代入抛物线，求得a的值，即可得到水柱所在抛物线的函数解析式； 取农民的身高，求得x的值即为这位农民与喷水口的水平距离，即可求得p的取值范围； 薄膜所在平面可看成是一条直线，解析式可设为：，求得此直线与抛物线相切时b的值，进而把直线向右平移米，得到新的直线解析式，取，即可求得薄膜与地面接触点与喷水口的水平距离． 本题考查二次函数的应用．用到的知识点为：直线与x轴轴的夹角为，直线解析式的比例系数的绝对值等于1；二次函数左右平移，不改变二次项的系数，只改变自变量的值，左加右减． 26.【答案】  【解析】①证明：四边形ABCD为正方形， ， 在和中， ， ≌； ②解：连接BD，如图， ≌， ， ，， ， 是DF中点， 为DF的垂直平分线， ， 四边形ABCD为正方形， ， 故答案为：； 过点G作，交DC于点H，如图， ，G为DF的中点， 为的中位线， ， 设，则， ， ∽， ， ， 负数不合题意，舍去， 的长为或或理由： 四边形ABCD是矩形，，， ，， ， ， ， ， ①当时，如图， 设，则， ， ，， ∽， ， ， 解得：或 或 ②当时，过点H作，交BC的延长线于点M，如图， ，， ， ∽， ， ， ， ，， ，， ， ， ， ， 综上，CE的长为或或 ①利用正方形的性质和全等三角形的判定定理解答即可； ②利用全等三角形的性质和三角形的内角和定理得到，再利用垂直平分线的性质得到，，再利用正方形的性质和三角形的内角和定理解答即可； 过点G作，交DC于点H，利用三角形的中位线定理得到，；设，则，再利用相似三角形的判定与性质解答即可； 利用分类讨论的思想方法分两种情况讨论解答：①当时，设，则，，利用相似三角形的判定与性质解答即可；当时，过点H作，交BC的延长线于点M，利用矩形的性质，相似三角形的判定与性质求得，再利用等腰直角三角形的性质解答即可． 本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，线段的垂直平分线的性质，三角形的内角和定理，三角形的中位线，相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，利用分类讨论的思想方法解答是解题的关键． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$