江苏省南京市玄武区科利华中学2024-2025学年七年级上学期第二次月考数学试卷（12月份）

2024-2025学年江苏省南京市玄武区科利华中学七年级（上）第二次月考数学试卷（12月份） 一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列方程中是一元一次方程的是(    ) A. B. C. D. 2.下列等式变形正确的是(    ) A. 如果，那么 B. 如果，那么 C. 如果，那么 D. 如果，那么 3.如图所示，下列说法不正确的是(    ) A. 点A在直线BD外 B. 点A到点C的距离是线段AC的长度 C. 射线AC与射线BC是同一条 D. 直线AC和直线BD相交于点B 4.能将图，，中的纸片沿虚线折叠成三棱锥的是(    ) A. B. C. D. 5.如图，点C是线段AB的中点，点D是线段CB的中点，下列说法错误的是(    ) A. B. C. D. 6.甲、乙两人给一片花园浇水，甲单独做需要4小时完成浇水任务，乙单独做需要6小时完成浇水任务。现由甲、乙两人合作，完成浇水任务需要(    ) A. 小时 B. 小时 C. 5小时 D. 10小时 7.如图是一副特制的三角板，仅用这副特制的三角板不能画出的角度是(    ) A. B. C. D. 8.直三棱柱的表面展开图如图所示，，四边形AMNB是正方形，将其折叠成直三棱柱后，下列各点中，与点C距离最大的是(    ) A. 点M B. 点N C. 点P D. 点Q 二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分。 9.已知是关于x的方程的解，则a的值是______. 10.如图，A、B是河l两侧的两个村庄，现要在河l上修建一个抽水站，使它到A、B两村庄的距离之和最小．数学老师说：连接AB，则线段AB与l的交点C即为抽水站的位置．其理由是：______. 11.一个角的余角比这个角小，则这个角的度数为______. 12.如图，，点B，O，D在同一直线上，若，则的度数为______. 13.比较大小：______填“>”“<”或“=” 14.如图，将三个同样的正方形的一个顶点重合放置，如果，时，那么的度数是______ 15.如图，两个直角和有公共顶点O，下列结论：①；②；③OC平分，则OB平分；④的平分线与的平分线是同一射线，其中正确的是______填序号 16.在矩形ABCD中放入六个长、宽都相同的小长方形，所标尺寸如图所示，则小长方形的宽______ 17.如图，B、D在线段AC上，，线段AB、CD的中点E、F之间距离是10cm，则______ 18.如图，若，，，射线OB绕点O以每秒的速度逆时针旋转，射线OC绕点O以每秒的速度顺时针旋转，射线OD绕点O以每秒的速度顺时针旋转，三条射线同时旋转，当一条到射线与直线OA重合时，三条射线同时停止运动.则经过______秒后，其中一条射线是另外两条射线夹角的平分线. 三、解答题：本题共9小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 19.本小题8分 解方程： ； 20.本小题6分 如图是正方体纸盒的表面展开图，纸盒中相对两个面上的数互为倒数. 填空：______，______； 先化简，再求值： 21.本小题6分 如图，C为线段AB上一点，点D为BC的中点，且， 图中共有______条线段； 求AC的长； 若点E在直线AB上，且，求BE的长． 22.本小题6分 新“龟兔赛跑”故事 兔子和乌龟从同一起点同时出发，匀速奔向终点. 兔子的速度是乌龟速度的50倍 ，一段时间后，兔子到达途中某处，睡了，醒来后，它保持原速奔跑，恰好和乌龟同时到达终点. 设乌龟的速度为，其奔跑的时间为tmin，则由虚线框内的文字可知兔子的速度是______，由题中的两个“同时”可知兔子奔跑的时间为______ 求中t的值. 23.本小题6分 一套仪器由两个A部件和三个B部件构成.用钢材可做40个A部件或240个B部件.现要用钢材制作这种仪器，应用多少钢材做A部件，多少钢材做B部件，恰好配成这种仪器多少套？ 24.本小题8分 已知，利用尺规作图作一个角，使它等于已知角的2倍. 已知，利用尺规作图作一个角，使它等于 25.本小题8分 如图，O是直线AB上的一点，是直角，OE平分 若，求的度数； 若，直接写出的度数用含的代数式表示； 在的条件下，的内部有一射线OG，射线OG将分为1：4两部分，求的度数． 26.本小题8分 学校举办体育文化艺术节活动，准备单色圆珠笔、双色圆珠笔、三色圆珠笔三种圆珠笔共1000支作奖励每种圆珠笔都要有，其中双色圆珠笔的单价比单色圆珠笔的单价贵元，买5支双色圆珠笔和8支单色圆珠笔共需要元. 双色圆珠笔和单色圆珠笔的单价分别是多少元？ 若某超市的三色圆珠笔根据球珠直径有两个级别，学校只能从中选择一个级别，价格如下表： 三色圆珠笔级别 球珠直径 球珠直径 单价 1元 元 现在学校用880元去购买这三种圆珠笔，且单色圆珠笔和三色圆珠笔的数量是相同的，应该选样哪种级别的三色圆珠笔比较合适？购买方案是什么？请说明理由. 若购买三色圆珠笔的数量是单色圆珠笔的一半，单色圆珠笔和双色圆珠笔单价不变，其中三色圆珠笔单价为a元，在总数量不变的前提之下：无论这三种圆珠笔的数量如何分配，总费用始终不变，则______，总费用=______. 27.本小题8分 直线l上有三个点A、B，C，，，点M从点A已发，沿直线l以每秒6cm的速度向点C运动，到达点C后立即原速返回到点A；点N从点B出发，沿直线l以每秒2cm的速度向点C运动，到达点C后停止，若运动过程中某一时刻满足且为正整数，则称此时是点M、N的一次“n时刻”.点M，N同时出发，直到点M返回点A运动结束，设运动时间为 当时，点M，N到达“______分时刻； 当t为何值时，点M，N到达”3分时刻”？ 当______时，点 M、N到达“8分时刻”？ 进一步探究发现点M、N到达“n分时刻”的次数随着n的变化而变化，请直接写出对于n的每一个值点M、N到达“n分时刻”的次数. 答案和解析 1.【答案】D  【解析】解：，含有两个未知数，不是一元一次方程，不符合题意； B.，未知数的次数为2，不是一元一次方程，不符合题意； C.，分母含有未知数，是分式方程，不是一元一次方程，不符合题意； D.，含有一个未知数，且未知数的次数为1，为整式方程，符合题意． 故选： 由一元一次方程的概念可知：①含有一个未知数，②未知数的次数为1，③整式方程，据此进行判断即可． 本题考查了一元一次方程的判断，熟练掌握一元一次方程的定义是解题的关键． 2.【答案】D  【解析】解：A、如果，那么，原变形错误，故此选项不符合题意； B、如果，那么，原变形错误，故此选项不符合题意； C、如果，那么，原变形错误，故此选项不符合题意； D、如果，那么，原变形正确，故此选项符合题意． 故选： 根据等式的性质和绝对值的性质解答即可． 此题主要考查了等式的性质，解答此题的关键是熟练掌握等式的性质：等式两边加或减同一个数或式子，结果仍得等式．等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式． 3.【答案】C  【解析】解：选项点A在直线BD外，正确，故不符合题意； 选项点A到点C的距离是线段AC的长度，正确，故不符合题意； 选项射线AC与射线BC不是同一条，不正确，故符合题意； 选项直线AC和直线BD相交于点B，正确，故不符合题意； 故选： 根据直线、射线与线段的定义，结合图形解答． 本题考查了直线、射线、线段．解题的关键是掌握直线、射线、线段的定义，要注意：直线没有端点． 4.【答案】B  【解析】解：如图，上面每一组图形都由四个等边三角形组成，其中可以折叠成三棱锥的是图， 故选： 根据三棱锥的特征，即可解答． 本题考查了展开图折叠成几何体，熟练掌握三棱锥的特征是解题的关键． 5.【答案】D  【解析】解：点C三线段AB的中点，点D是线段CB的中点， ，， A、，正确，不符合题意； B、，正确，不符合题意； C、，正确，不符合题意； D、，不正确，符合题意． 故选： 因为点C、D分别是线段AB、CB的中点，所以线段间存在长度相当，通过替换等检验选项是否正确． 此题考查线段中点定义，以及等式的转化等． 6.【答案】A  【解析】解：设完成浇水任务需要x小时， 依题意：， 解得：， 故完成浇水任务需要小时， 故选：A。 设完成浇水任务需要x小时，等量关系为：甲完成的工作量+乙完成的工作量，依此列出方程计算即可求解。 本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程。 7.【答案】B  【解析】解：A、，则角能画出，故A不符合题意； B、不能写成，，，，的和或差的形式，则角不能画出，故B符合题意； C、，则角能画出，故C不符合题意； D、，则角能画出，故D不符合题意； 故选： 利用角的和差关系，进行计算逐一判断即可解答． 本题考查了角的计算，准确熟练地进行计算是解题的关键． 8.【答案】B  【解析】解：，四边形AMNB是正方形，立方体是直三棱柱， ，，， 与点C距离最大的是点 故选： 根据直三棱柱的特征即可求解． 本题考查了展开图折叠成几何体，关键是求出各线段的距离． 9.【答案】2  【解析】解：将代入方程得：， 故答案为： 将代入方程得到关于a的方程，解方程即可． 本题考查了方程的解的定义，得到a的方程是解题的关键． 10.【答案】两点之间，线段最短．  【解析】解：连接AB，则线段AB与l的交点C即为抽水站的位置．其理由是：两点之间，线段最短． 故答案为：两点之间，线段最短． 根据线段的性质，可得答案． 本题考查了线段的性质，利用线段的性质是解题关键． 11.【答案】  【解析】解：设这个角为x，则余角为， 由题意得，， 解得：， 故答案为： 设这个角为x，表示出余角，然后列方程求解即可． 本题考查了余角的和补角的知识，注意掌握互余两角之和为，互补两角之和为 12.【答案】  【解析】解：，， ， ， 故答案为： 由图示可得，与互余，结合已知可求，又因为与互补，即可求出的度数． 此题考查了余角和补角的知识，属于基础题，关键是掌握互余的两角之和为，互补的两角之和为 13.【答案】>  【解析】解：， ， ， ， 故答案为： 根据度分秒的进制进行计算，即可解答． 本题考查了度分秒的换算，准确熟练地进行计算是解题的关键． 14.【答案】15  【解析】解：根据题意得，， ， ， 故答案为： 利用正方形的性质得到，，，则利用互余得到，然后利用可计算出的度数． 本题考查了角的计算，掌握正方形的性质和互余的定义是解决问题的关键． 15.【答案】①③④  【解析】解：①和都是直角， ， ， ， 故结论①正确； ②假设， ， ， ， ， 根据已知条件无法判定， 故结论②不正确， ③平分，， ， 又， ， ， 平分， 故结论③正确； ④设OE平分，如图所示： ， ， ， ， 平分， 即的平分线与的平分线是同一射线， 故结论④正确， 综上所述：结论正确的是①③④． 故答案为：①③④． ①依题意得，则，由此可对该结论进行判断； ②假设，则，进而得，根据已知条件无法判定，由此可对该结论进行判断； ③根据OC平分得，则，进而得，然后根据角平分线的定义可对该结论进行判断； ④设OE平分，则，再根据得，则CE平分，由此可对该结论进行判断；综上所述即可得出答案． 此题主要考查了角的计算，角平分线的定义，理解角平分线的定义，熟练掌握角的计算是解决问题的关键． 16.【答案】2  【解析】解：设小长方形的宽为x cm， 由图可知：大长方形的长等于小长方形的长加上三个小长方形的宽， 小长方形的长为， 又大长方形的宽等于小长方形的长加上小长方形的宽， ， 解得：； 故答案为： 根据图形可知，大长方形的长等于小长方形的长加上三个小长方形的宽，大长方形的宽等于小长方形的长加上小长方形的宽，列出代数式进行计算即可． 本题考查了列代数式，正确的识图，找准等量关系，正确的列出代数式是解题的关键． 17.【答案】12  【解析】解：设，则，， 点E、点F分别为AB、CD的中点，， ，，解得： 故答案为： 先设，由题意得，，，再根据中点的定义，用含x的式子表示出AE和CF，再根据，且E、F之间距离是10cm，所以，解方程求得x的值，即可求AB，CD的长． 本题主要考查了两点间的距离和中点的定义，注意运用数形结合思想和方程思想． 18.【答案】或或8  【解析】解：设经过的时间为x秒， ，， 在旋转过程中，， ， ， 分别令，， 可得， 可见当时，三条射线停止运动． ①如图，当OC为OB、OD夹角的角平分线时， ， 解得， 此时，不合题意； ②当OD为OC、OB夹角的角平分线时， ， 解得； ③当OB为OC、OD夹角的角平分线时， ， 解得； ④当OC为OD、OB夹角的角平分线时， ， 解得； 答：经过秒、秒、4秒时，其中一条射线是另两条射线夹角的平分线． 故答案为：或或 依据题意，根据，，分四种情况说明一条射线是另外两条射线夹角的角平分线． 本题主要考查了一元一次方程的应用、角的计算、角平分线的定义，解决本题的关键是分情况讨论一条射线是另外两条射线夹角的角平分线． 19.【答案】解：去括号，可得：， 移项，可得：， 合并同类项，可得：， 系数化为1，可得： 去分母，可得：， 去括号，可得：， 移项，可得：， 合并同类项，可得：  【解析】去括号、移项、合并同类项、系数化为1，据此求出方程的解是多少即可． 去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，据此求出方程的解是多少即可． 此题主要考查了解一元一次方程的方法，要熟练掌握，解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为 20.【答案】    【解析】解：由正方体的展开图可知； a的对面是，b的对面是， 相对两个面上的数互为倒数， ，， 故答案为：，； ， ，， 原式 先根据正方体的展开图可知a的对面是，b的对面是，c的对面是2，再根据倒数的定义即可求解； 根据去括号法则和合并同类项法则进行化简即可求解． 本题主要考查了倒数和整式的化简求值，以及正方体的展开图，掌握去倒数的定义以及括号法则和合并同类项法则是解题的关键． 21.【答案】  ； 由点D为BC的中点，得 ， 由线段的和差，得 ，即， 解得， ； ①当点E在线段AB上时，由线段的和差，得 ， ②当点E在线段BA的延长线上，由线段的和差，得 综上所述：BE的长为16cm或  【解析】解：图中有四个点，线段有 故答案为：6； 见答案；见答案； 根据直线上线段的条数公式：直线上有n个点，线段的条数是，可得答案； 根据线段中点的性质，可用CD表示BC，根据线段的和差，可得关于CD的方程，根据解方程，可得CD的长，AC的长； 分类讨论：点E在线段AB上，点E在线段BA的延长线上，根据线段的和差，可得答案． 本题考查了两点间的距离，利用了直线上线段的条数公式：直线上有n个点，线段的条数是；利用了线段中点的性质，线段的和差；分类讨论是解题关键． 22.【答案】50x    【解析】解：设乌龟的速度为，其奔跑的时间为，则由虚线框内的文字可知兔子的速度是， 由题中的两个“同时”可知兔子奔跑的时间为 故答案为：50x，； 根据题意得：， 即， 解得： 答：中t的值为 由兔子的速度是乌龟速度的50倍，可得出兔子的速度是，利用兔子奔跑的时间=乌龟奔跑的时间，即可用含t的代数式表示出兔子奔跑的时间； 利用路程=速度时间，结合乌龟、兔子奔跑的路程相等，可列出关于t的一元一次方程，解之即可得出结论． 本题考查了一元一次方程的应用以及列代数式，解题的关键是：根据各数量之间的关系，用含代数式表示出兔子的速度兔子奔跑的时间；找准等量关系，正确列出一元一次方程． 23.【答案】解：设应用钢材做A部件，钢材做B部件， 根据题意得，， 解得， ， 套 答：应用钢材做A部件，钢材做B部件，恰好配成这种仪器96套．  【解析】设应用钢材做A部件，钢材做B部件，再利用一套仪器由两个A部件和三个B部件构成建立方程求解即可． 本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 24.【答案】解：如图，即为所求； 如图，即为所求．   【解析】根据要求作出图形； 作，再作的角平分线FM，给即为所求． 本题考查作图-基本作图，解题的关键是熟练掌握五种基本作图． 25.【答案】解：是直角，， ， ， 平分， ， 是直角，， ， ， 平分， ， ①当射线OG位于DC之间时，如图1所示 ，射线OG将分为1：4两部分， ，， 由知：， ②当射线OG位于DB之间时，如图2所示 ，射线OG将分为1：4两部分， ，， 由知：，   【解析】求出，求出，根据角平分线求出，代入求出即可． 由第问的求法，可以直接写出的度数； 的内部有一射线OG，射线OG将分为1：4两部分，题目没有明确射线OG位于DC中间或DB中间，所以在两种情况下分别求出的度数即可． 本题考查了角平分线的定义，是基础题，难度不大，掌握各角之间的关系是解题的关键． 26.【答案】1  600  【解析】解：设双色圆珠笔的单价为x元，则单色圆珠笔的单价为元， 根据题意得：， 解得：， ， 双色圆珠笔的单价为元，单色圆珠笔的单价为元； 设购买单色圆珠笔，三色圆珠笔的数量都是m支，则购买双色圆珠笔数量为支， 若购买球珠直径的三色笔，则， 解得， 这种情况不符合题意； 若购买球珠直径的三色笔，则， 解得， ， 应该选择球珠直径的三色圆珠笔比较合适，购买方案是购买单色圆珠笔，三色圆珠笔的数量都是400支，购买双色圆珠笔数量为200支； 设购买三色圆珠笔n支，则购买单色圆珠笔2n支，购买双色圆珠笔支， 根据题意知，购买这三种圆珠笔的费用为， 无论这三种圆珠笔的数量如何分配，总费用始终不变， 的值与n无关， ， ， 此时总费用为600元； 故答案为：1， 设双色圆珠笔的单价为x元，根据买5支双色圆珠笔和8支单色圆珠笔共需要元得：，解出x的值可得答案； 设购买单色圆珠笔，三色圆珠笔的数量都是m支，分两种情况：若购买球珠直径的三色笔，则，若购买球珠直径的三色笔，则，解方程并检验可得答案； 设购买三色圆珠笔n支，可知购买这三种圆珠笔的费用为，根据无论这三种圆珠笔的数量如何分配，总费用始终不变，得，即可解得答案． 本题主要考查了一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 27.【答案】2 或或或  【解析】解：当时，，，如图： ， ， 点M，N到达“2分时刻”． 故答案为：2； 当时，； 当时，； 当时，； 当M、N两点重合时，或， 解得或， 点M，N到达”3分时刻”， ①当 时， ， ， 解得 ； ②当时， ， ， 解得 ，不合题意，舍去； ③当 时， ， ， 解得 ，不合题意，舍去； ④当时， ， ， 解得 ； ⑤当时， ， ， 解得 舍去； 综上所述，当t为或时，点M、N达到“3分时刻”； 当时，； 当时，； 当时，； 若时，则， 当M、N两点重合时，或， 解得或， ①当 时， ， ， 解得 ； ②当时， ， ， 解得 ； ③当 时， ， ， 解得 ； ④当时， ， ， 解得 ； ⑤当时， ， ， 解得 舍去； 综上所述，当t为或或或时，点M、N达到“8分时刻”； 故答案为：或或或； 同的方法可知，当时，有2个对应的t； 当时，有3个对应的t； 当时，有4个对应的 当时，，，可得，从而，进而可以判断得解； 根据M和N的运动时间进行分类讨论，然后用含t的式子表示出MN的长度，再根据题意可知，建立方程求解即可； 同方法； 同上述方法可知当时，有2个对应的t；当时，有3个对应的t；当时，有4个对应的 本题主要考查一元一次方程的应用，解题的关键是分类讨论思想的应用． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$