精品解析：山西省实验中学2024-2025学年高一上学期12月第三次月考数学试题（卷）

山西省实验中学 2024-2025学年第一学期第三次月考试题（卷） 高一年级 数学 卷面总分值150分 出题人：吕蓉 霍雨枢 校对人：高一数学备课组 第Ⅰ卷（客观题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 命题“，都有”的否定为（ ） A. ，使得 B. ，使得 C. ，都有 D. ，都有 【答案】A 【解析】 【分析】根据全称命题的否定知识即可求解. 【详解】由“，使得”的否定为“，使得”，故A正确. 故选：A. 2. 角是（ ） A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角 【答案】C 【解析】 【分析】分析可知的终边与的终边相同，结合象限角的定义分析判断. 【详解】因为，可知的终边与的终边相同， 且为第三象限角，所以角是第三象限角. 故选：C. 3. 若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用二次函数的对称轴及函数的单调性列出不等式求解. 【详解】因为函数在区间上单调递减， 所以，解得. 故选：D 4. 已知，，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用乘1法即得. 【详解】因为， 所以， 当且仅当时，即取等号， 所以的最小值为. 故选：A. 5. 已知，，，则的大小顺序为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知条件及指数运算性质，结合指数函数和幂函数的单调性即可求解. 【详解】由题意可知，， 因为在上是单调递增，且， 所以，即， 由题意可知，， 因为在上是单调递增，且， 所以，即， 所以. 故选: B. 6. “为第二象限角”是“是第一象限角”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】利用特殊值得出象限角结合充分、必要条件的定义即可判断． 【详解】由为第二象限角，当，得是第三象限角，不满足充分性， 当时，，不满足必要性， 则“为第二象限角”是“是第一象限角”的既不充分也不必要条件． 故选：D． 7. f(x)是定义在(0，＋∞)上的单调增函数，满足f(xy)＝f(x)＋f(y)，f(3)＝1，当f(x)＋f(x－8)≤2时，x的取值范围是(　　) A. (8，＋∞) B. (8，9] C. [8，9] D. (0，8) 【答案】B 【解析】 【分析】令x=y=3，利用f（3）=1即可求得f（9）=2，由f（x）+f（x﹣8）≤2得f[x（x﹣8）]≤f（9），再由单调性得到不等式组，解之即可． 【详解】∵f（3）=1， ∴f（9）=f（3×3）=f（3）+f（3）=2； ∵函数f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数， f（xy）=f（x）+f（y），f（9）=2， ∴f（x）+f（x﹣8）≤2⇔f[x（x﹣8）]≤f（9）， ∴， 解得：8＜x≤9． ∴原不等式的解集为：（8，9]． 故选B． 【点睛】本题考查抽象函数及其应用，着重考查赋值法与函数单调性的应用，考查解不等式组的能力，属于中档题． 8. 当时，关于的不等式的解集是，则取得最值的充分条件是（ ） A. 有最大值， B. 有最小值， C. 有最大值， D. 有最小值， 【答案】C 【解析】 【分析】 计算得到，，计算，根据充分条件的定义得到答案. 【详解】不等式的解集是，故，. ， 当，即时等号成立，根据充分条件的定义知满足. 故选：. 【点睛】本题考查了充分条件，不等式的解，均值不等式，意在考查学生的计算能力和综合应用能力. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 已知幂函数的图象经过点，则下列说法正确的是（ ） A. 函数是偶函数 B. 函数是增函数 C. 的解集为 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据点的坐标确定，函数为奇函数得到A错误，函数为增函数得到B正确，计算得到CD正确，得到答案. 【详解】设幂函数，函数过点，即，解得，即， 对选项A：函数定义域为，，函数为奇函数，错误； 对选项B：函数是增函数，正确； 对选项C：，解得，正确； 对选项D：，正确； 故选：BCD. 10. 下列命题中正确的有（ ） A. 函数的图象一定过定点 B. 函数的定义域是，则函数的定义域为 C. 若，则的取值范围是 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用指数函数图象过定点可判断A选项的正误；利用抽象函数定义域的求解原则可判断B选项的正误；分、两种情况讨论，利用对数函数的单调性解不等式，可判断C选项的正误；利用函数的单调性可判断D选项的正误． 【详解】解：对于A选项，，令，可得，，所以，函数的图象过定点； 对于B选项，对于函数，，则，所以，函数的定义域为，B选项错误； 对于C选项，当时，由，可得，此时； 当时，由，可得，此时． 综上所述，实数的取值范围是，C选项正确； 对于D选项，当，时，由，可得， 构造函数，则， 由于函数、在上均为减函数， 所以，函数在上为减函数，则，即，D选项正确． 故选：ACD． 11. 下列关于函数的说法正确的是（ ） A. 若函数有三个零点，1，，且，则 B. 当时，函数为奇函数 C. 若函数的图象关于中心对称且，则只有一个零点，且 D. 当函数为奇函数时，有三个零点 【答案】AC 【解析】 【分析】A将已知零点代入求得，进而得即可判断；B令，结合奇函数的性质判断；C由得，进而有，根据图象判断；D由奇函数性质可得，有，分析情况下的零点情况即可. 【详解】A：由题设，又，， 所以，对； B：由，若，则，而， 此时不为奇函数，错； C：由题设，且， 所以，可得， 所以，令， 由图象如下， 由图知：，对. D：由题设， 所以，可得， 所以，显然时只有一个零点，错. 故选：AC 第II卷（主观题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 用“二分法”求方程在区间内的实根，取区间中点为，那么下一个有根区间是_____ 【答案】 【解析】 【分析】 设，计算、、的值，利用零点存在定理可得出结论. 【详解】根据题意，令，则，，， ，所以，下一个有根的区间为. 故答案为：. 13. 设函数在上满足，在上对任意实数都有成立，又，则的解是___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据已知条件判断函数的奇偶性与单调性作出函数的草图，等价于或，根据函数图像解不等式. 【详解】由函数定义域及，可知函数为奇函数， 在上对任意实数都有成立， 函数在上为增函数， 又函数为奇函数，函数在为增函数， 又，则， 作出函数草图如图所示： 或， 根据的图像可知的解为：. 故答案为： 14. 设函数，若方程有个不同的实数解，则实数的取值范围为________. 【答案】 【解析】 【分析】画出草图，根据已知，令，数形结合判断的零点分布区间，再由二次函数性质列不等式组求参数范围． 【详解】由题设，函数的图象如下图示， 令，要使原方程有个不同的实数解，则有两个不同实根，且， 故由图知：，即的两个零点在区间内， 而开口向上，故，可得． 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 计算： （1）； （2）若，求的值. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）利用对数的运算性质直接求解即可； （2）对已知的式子两边平方化简可求得结果. 【小问1详解】 原式 . 【小问2详解】 将等式两边同时平方得， 则. 16. 已知集合，. （1）当时，求； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）化简集合，利用集合的运算性质计算即可； （2）由得到，分和两种情况讨论即可. 【小问1详解】 由题意：，则或， 当时，， 所以. 【小问2详解】 若时，则. 当时，则①，解得； 当时，则②解得. 综上所述：的取值范围是. 17. 已知函数为奇函数 （1）求实数的值及函数的值域； （2）若不等式对任意都成立，求实数的取值范围. 【答案】（1），值域为 （2） 【解析】 【分析】（1）先利用奇函数求出，分离常数项，可得函数的值域； （2）分离参数，利用换元法，结合基本不等式可得结果. 【小问1详解】 函数为奇函数，定义域为， 则，所以，经检验知符合题意； 因为，则 所以函数的值域为. 【小问2详解】 由题知：当恒成立； 则； 令， 所以； 又，当且仅当时等号成立， 而，所以， 则. 18. 随着经济的发展，越来越多的家庭开始关注到家庭成员的关系，一个以“从心定义家庭关系”为主题的应用心理学的学习平台，从建立起，得到了很多人的关注，也有越来越多的人成为平台的会员，主动在平台上进行学习，已知前年平台会员的个数如下表所示（其中第4年为预估人数，仅供参考）： 建立平台第年 会员个数（千人） （1）依据表中数据，从下列三种模型中选择一个恰当的模型估算建立平台年后平台会员人数（千人），并求出你选择模型的解析式：①，②，③； （2）根据第（1）问选择的函数模型，预计平台建立多少年后会员个数将超过千人?参考数据：，，． 【答案】（1）选择③；， （2）预计平台建立年后会员数超过千人 【解析】 【分析】（1）根据表格中的数据以及函数的增长速度可知，选择模型③较为合适，然后将表格中前三组数据代入函数解析式，解出、、的值，可得出函数解析式； （2）根据（1）中的函数解析式，解不等式，可得结果. 【小问1详解】 解：从表格数据可以得知，函数是一个增函数，故不可能是①， 又因为数据增长的速度越来越快，②函数增长速度越来越慢 所以，选择③， 代入表格中的前三个点可得：，解得：， 所以，函数解析式为，． 【小问2详解】 解：由（1）可知：，则． 所以，，则． 所以，预计平台建立年后会员数超过千人. 19. 若函数在上的最大值记为，最小值记为，且满足，则称函数是在上的“美好函数”． （1）函数①；②；③，其中函数　　是在上的“美好函数”；（填序号） （2）已知函数． ①函数是在上的“美好函数”，求的值； ②当时，函数是在上的“美好函数”，请直接写出的值； （3）已知函数，若函数是在（为整数）上的“美好函数”，且存在整数，使得，求的值． 【答案】（1）① （2）①或；②或 （3） 【解析】 【分析】（1）根据“美好函数”的定义逐个分析判断即可； （2）①分和两种情况求出二次函数在给定范围上的最值，然后利用列方程可求出的值；②求出二次函数的对称轴，然后分，，和四种情况求函数在给定范围上的最值，然后利用列方程可求出的值； （3）由二次函数的性质可知当时，随的增大而增大，从而可求出，，然后由为整数可求出，再由列方程可求出. 【小问1详解】 对于①， 当时，，当时，， ∴，符合题意； 对于②， 当时，，当时，， ∴，不符合题意； 对于③， 当时，，当时，， ∴，不符合题意； 故答案为：①； 【小问2详解】 ①二次函数对称轴为直线， 当时，，当时，， 当时，则当时，随的增大而增大， ， ， 当时，则当时，随的增大而减小， ， ， 综上所述，或； ②二次函数为，对称轴为直线， 当，， 当时，， 当时，． 若，则，解得（舍去）； 若，则，解得（舍去），； 若，则，解得，（舍去）； 若，则，解得（舍去）． 综上所述，或； 【小问3详解】 由（2）可知，二次函数对称轴为直线， 又， ， ， 当时，随的增大而增大， 当时取得最大值，时取得最小值， ∴ ，为整数，且， ，即的值为5， 又∵， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山西省实验中学 2024-2025学年第一学期第三次月考试题（卷） 高一年级 数学 卷面总分值150分 出题人：吕蓉 霍雨枢 校对人：高一数学备课组 第Ⅰ卷（客观题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 命题“，都有”的否定为（ ） A. ，使得 B. ，使得 C. ，都有 D. ，都有 2. 角是（ ） A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角 3. 若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 已知，，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 5. 已知，，，则的大小顺序为（ ） A. B. C. D. 6. “为第二象限角”是“是第一象限角”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. f(x)是定义在(0，＋∞)上的单调增函数，满足f(xy)＝f(x)＋f(y)，f(3)＝1，当f(x)＋f(x－8)≤2时，x的取值范围是(　　) A. (8，＋∞) B. (8，9] C. [8，9] D. (0，8) 8. 当时，关于的不等式的解集是，则取得最值的充分条件是（ ） A. 有最大值， B. 有最小值， C. 有最大值， D. 有最小值， 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 已知幂函数的图象经过点，则下列说法正确的是（ ） A. 函数是偶函数 B. 函数是增函数 C. 的解集为 D. 10. 下列命题中正确的有（ ） A. 函数的图象一定过定点 B. 函数的定义域是，则函数的定义域为 C. 若，则的取值范围是 D. 若，则 11. 下列关于函数的说法正确的是（ ） A. 若函数有三个零点，1，，且，则 B. 当时，函数为奇函数 C. 若函数的图象关于中心对称且，则只有一个零点，且 D. 当函数为奇函数时，有三个零点 第II卷（主观题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 用“二分法”求方程在区间内的实根，取区间中点为，那么下一个有根区间是_____ 13. 设函数在上满足，在上对任意实数都有成立，又，则的解是___________. 14. 设函数，若方程有个不同的实数解，则实数的取值范围为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 计算： （1）； （2）若，求的值. 16. 已知集合，. （1）当时，求； （2）若，求实数的取值范围. 17. 已知函数为奇函数 （1）求实数的值及函数的值域； （2）若不等式对任意都成立，求实数的取值范围. 18. 随着经济的发展，越来越多的家庭开始关注到家庭成员的关系，一个以“从心定义家庭关系”为主题的应用心理学的学习平台，从建立起，得到了很多人的关注，也有越来越多的人成为平台的会员，主动在平台上进行学习，已知前年平台会员的个数如下表所示（其中第4年为预估人数，仅供参考）： 建立平台第年 会员个数（千人） （1）依据表中数据，从下列三种模型中选择一个恰当的模型估算建立平台年后平台会员人数（千人），并求出你选择模型的解析式：①，②，③； （2）根据第（1）问选择的函数模型，预计平台建立多少年后会员个数将超过千人?参考数据：，，． 19. 若函数在上的最大值记为，最小值记为，且满足，则称函数是在上的“美好函数”． （1）函数①；②；③，其中函数　　是在上的“美好函数”；（填序号） （2）已知函数． ①函数是在上的“美好函数”，求的值； ②当时，函数是在上的“美好函数”，请直接写出的值； （3）已知函数，若函数是在（为整数）上的“美好函数”，且存在整数，使得，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $