精品解析：浙江省杭州市江干区杭州四中吴山校区2024-2025学年高二上学期期中数学试题

杭州四中（吴山）2024学年第一学期高二年级期中考试 数学试题卷 考生须知： 1.本试卷分试题卷和答题卷，满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，在答题卷上填写班级、姓名、考场号、座位号，并填涂卡号. 3.所有答案必须写在答题卷上，写在试题卷上无效. 4.考试结束，只上交答题卷. 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 若直线的倾斜角为，则（ ） A. 0 B. C. D. 不存在 2. 点关于直线的对称点坐标为（ ） A. B. C. D. 3. 在空间直角坐标系中，点，点关于轴对称的点为，点关于平面对称的点为，则向量的坐标为（ ） A. B. C. D. 4. 已知A，B两点的坐标分别是，直线AM、BM相交于点M，且直线AM的斜率是直线BM的斜率的2倍，则点M的轨迹方程是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在平行六面体中，，，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 6. 已知向量，，，则下列列结论正确的是（ ） A. 与垂直 B. 与共线 C. 与所成角为钝角 D. 在上的投影向量为 7. 在本学期空间向量与立体几何的学习中，有同学发现：数轴上，方程可以表示数轴上的点；平面直角坐标系xOy中，方程（A、B不同时为0）可以表示坐标平面内的直线；空间直角坐标系中，方程（A、B、C不同时为0）可以表示坐标空间内的平面.过点且一个法向量为的平面的方程可表示为.根据上述材料，解决下面问题：已知平面的方程为，直线l是两平面与的交线，则直线l与平面所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知直线与直线的交点为P，则点P到直线距离的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 直线：在y轴上的截距为2 B. 直线的方向向量为 C. 经过点，且在x，y轴上截距相等的直线方程为 D. 已知直线过点，且与x，y轴正半轴交于点A、B两点，则面积的最小值为4 10. 已知圆及点，则下列说法正确的是（ ） A. 圆心的坐标为 B. 若点在圆上，则直线的斜率为 C. 点在圆外 D. 若是圆上任一点，则的取值范围为． 11. 已知椭圆C：的左右焦点分别为，长轴长为4，点在椭圆内部，点Q在椭圆上，则以下说法正确的是（ ） A. 离心率的取值范围为 B. 当离心率为时，的最大值为 C. 不存在点Q，使得 D. 的最小值为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 两条平行直线与间的距离是________. 13. 一个圆经过椭圆的三个顶点，且圆心在y的正半轴上，则该圆的标准方程为_________. 14. 正四面体的边长为6，其外接球球心为点O，P为CD边的中点，点Q在内部及边上运动，则取值范围为________. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知. （1）求AB的中垂线方程； （2）求经过A、B两点的椭圆的标准方程. 16. 在正四面体中，E，F，G，H分别是OA，AB，BC，OC的中点.设. （1）用表示； （2）求证：FH与GE相交； （3）求证：四边形EFGH为矩形. 17. 在长方体中，，点M为棱上的动点（含端点）. （1）求二面角的余弦值； （2）当的长度为何值时，直线与平面所成角的正弦值最小，并求出最小值. 18. 已知直线和圆，过直线上的一点作两条直线PA，PB与圆C相切于A，B两点，如下图所示. （1）当P点坐标为时，求以PC为直径的圆的方程，并求直线AB的方程； （2）直线l经过点P，与圆C交于M，N两点求的最小值. 19. 直线经过点，倾斜角为，直线经过点，倾斜角为.两直线相交于点P. （1）若； （i）请用表示线段PB中点Q的坐标； （ⅱ）求证：线段PB中垂线过定点. （2）当时，椭圆以A、B为焦点，且经过点P，H为椭圆的上顶点. （i）求椭圆的标准方程； （ⅱ）若直线与椭圆交于M、N，若.求k的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 杭州四中（吴山）2024学年第一学期高二年级期中考试 数学试题卷 考生须知： 1.本试卷分试题卷和答题卷，满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，在答题卷上填写班级、姓名、考场号、座位号，并填涂卡号. 3.所有答案必须写在答题卷上，写在试题卷上无效. 4.考试结束，只上交答题卷. 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 若直线的倾斜角为，则（ ） A. 0 B. C. D. 不存在 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线的方程即可求解. 【详解】由，可得，所以直线的倾斜角. 故选：C. 2. 点关于直线的对称点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据斜率关系以及中点关系，即可列方程求解. 【详解】设关于直线的对称点坐标为， 则，解得，故对称点坐标为， 故选：B 3. 在空间直角坐标系中，点，点关于轴对称的点为，点关于平面对称的点为，则向量的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间直角坐标关于坐标轴、平面的对称性性质求出、的坐标，即可得解. 【详解】因为，则点关于轴对称的点为， 又，则点关于平面对称的点为. 所以. 故选：A. 4. 已知A，B两点的坐标分别是，直线AM、BM相交于点M，且直线AM的斜率是直线BM的斜率的2倍，则点M的轨迹方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直线AM的斜率是直线BM的斜率的2倍，利用经过两点的直线斜率公式列出方程化简即可. 【详解】直线AM、BM相交于点M，不妨设， 因为当时，两直线重合，不合题意，所以， 则， 因为直线AM的斜率是直线BM的斜率的2倍， 所以， 整理得. 故选：C. 5. 如图，在平行六面体中，，，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】以向量为基底向量，表示出，由向量模的公式求解即可. 【详解】 ， ，， . 故选：A. 6. 已知向量，，，则下列列结论正确的是（ ） A. 与垂直 B. 与共线 C. 与所成角为钝角 D. 在上的投影向量为 【答案】D 【解析】 【分析】利用空间向量垂直的坐标表示可判断A选项；利用空间向量共线的坐标表示可判断B选项；判断出，可判断C选项；利用投影向量的定义可判断D选项. 【详解】对于A选项，，所以，与不垂直，A错； 对于B选项，，故与不共线，B错； 对于C选项，因为，且、为非零向量，故与所成角为，C错； 对于D选项，在上的投影向量为 ，D对. 故选：D. 7. 在本学期空间向量与立体几何的学习中，有同学发现：数轴上，方程可以表示数轴上的点；平面直角坐标系xOy中，方程（A、B不同时为0）可以表示坐标平面内的直线；空间直角坐标系中，方程（A、B、C不同时为0）可以表示坐标空间内的平面.过点且一个法向量为的平面的方程可表示为.根据上述材料，解决下面问题：已知平面的方程为，直线l是两平面与的交线，则直线l与平面所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据两个平面相交求出直线的方向向量，结合线面角的公式可得答案. 【详解】由题意平面的法向量为， 设直线l的方向向量为，则， 令，则，即； 设直线l与平面所成角为，则. 故选：D 8. 已知直线与直线的交点为P，则点P到直线距离的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出两直线所过定点，确定动点P的轨迹方程，结合圆上的点到定直线的距离的最值，即可求得答案； 【详解】直线，分别过定点，，且互相垂直，所以点P的轨迹是以为直径的圆（不含点），这个圆的圆心坐标为，半径为. 圆心到直线l距离为， 因此圆上的点到直线l距离最大值为，最小为，取得最小值时圆上点的坐标是，因此取值范围是. 故选：D 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 直线：在y轴上的截距为2 B. 直线的方向向量为 C. 经过点，且在x，y轴上截距相等的直线方程为 D. 已知直线过点，且与x，y轴正半轴交于点A、B两点，则面积的最小值为4 【答案】BD 【解析】 【分析】计算截距为，A错误，直线的方向向量为，B正确，页满足条件，C错误，确定，利用均值不等式计算得到D正确，得到答案. 【详解】对选项A：，取得到，故直线在y轴上的截距为，错误； 对选项B：直线的一个方向向量为，正确； 对选项C：也满足过点，且在x，y轴上截距相等，错误； 对选项D：设直线方程为，，，且， 故，当且仅当，即，时等号成立， ，正确； 故选：BD. 10. 已知圆及点，则下列说法正确的是（ ） A. 圆心的坐标为 B. 若点在圆上，则直线的斜率为 C. 点在圆外 D. 若是圆上任一点，则的取值范围为． 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题意转化为圆的标准方程，由圆心坐标可判断A选项，通过点代入圆的方程求得的值，进而由斜率公式可求的斜率并可判断B选项，点与圆的位置关系可判断C选项，利用圆心到的距离可得的取值范围并可判断D选项； 【详解】将把转化为标准方程, 则，如图所示： 对于A：圆心C的坐标为，故A正确； 对于B：当点在圆上，则有， 化简得，解得. 即，所以直线的斜率为，故B错误； 对于C：因为，所以点在圆外，故C正确； 对于D：因为， ， 所以，即，故D正确. 故选：ACD. 11. 已知椭圆C：的左右焦点分别为，长轴长为4，点在椭圆内部，点Q在椭圆上，则以下说法正确的是（ ） A. 离心率的取值范围为 B. 当离心率为时，的最大值为 C. 不存在点Q，使得 D. 的最小值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】由题设，可得a＝2，，对A：由离心率公式即可判断；对B：由即可判断；对C：由，即c＜b，即可判断；对D：由椭圆的定义有，然后利用均值不等式求解即可判断. 【详解】解：由题设，a＝2，则，又在椭圆内部，则，即， 对A：，故选项A错误； 对B：当时，有，则，故选项B正确； 对C：由，即c＜b，所以以原点为圆心，c为半径的圆与椭圆无交点，所以椭圆上不存在点Q使得，故选项C正确； 对D：由椭圆的定义有， 所以，当且仅当时等号成立， 所以的最小值为，故选项D正确． 故选：BCD. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 两条平行直线与间的距离是________. 【答案】2 【解析】 【分析】先根据两条直线平行求出，再应用平行线间距离公式计算即可. 【详解】因为直线与平行得出 ，， 所以直线与平行得出距离， 所以. 故答案为：2. 13. 一个圆经过椭圆的三个顶点，且圆心在y的正半轴上，则该圆的标准方程为_________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意可知所求圆经过椭圆的下顶点和左、右顶点，可设圆心坐标为，半径为，可得出关于的方程组，求出这两个未知数的值，进而可得出所求圆的方程. 【详解】因为圆心在y轴的正半轴上，且圆经过椭圆的三个顶点， 所以该圆过椭圆的左顶点，右顶点和下顶点. 设圆心坐标为， ，半径为， 所以 ，解得， 所以，所求圆的标准方程为. 故答案为：. 14. 正四面体的边长为6，其外接球球心为点O，P为CD边的中点，点Q在内部及边上运动，则取值范围为________. 【答案】 【解析】 【分析】利用正四面体的性质求出其外接圆圆心，找到空间的三条两两垂直的直线，以此建立空间直角坐标系，写出点坐标，利用基底向量求出平面内动点坐标，并得到参数的取值范围，列出表达式，由参数取值范围求得取值范围. 【详解】如图，在正四面体中，P为CD边的中点，设为的中心， 则，取，连接，则平面， 则其外接球球心为点在直线上，连接， 则，，，， 则 设，则， 又∵，即，解得， ∵平面，平面，∴，， 作，∴ ∴以为坐标轴，为坐标轴，如图建立空间直角坐标系， 则，，，，， 则，，， ∵点Q在内部及边上运动 ∴设 即， ∴， 由∵，∴，∴， 故答案为： 【点睛】方法点睛，本题线求出正四面体的内接球球心，求空间向量的数量积的取值范围，建立空间直角坐标系，用一组基底向量表示出动点坐标，然后列出所求结果，注意讨论参数的范围，并由参数范围求出取值范围. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知. （1）求AB的中垂线方程； （2）求经过A、B两点的椭圆的标准方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求得的斜率，可求得中垂线的斜率，进而求得的中点，利用点斜式可求得中垂线方程； （2）设过两点的椭圆的方程为，代入坐标求解即可. 【小问1详解】 由，可得的斜率为， 所以中垂线的斜率等于，又的中点为， 所以中垂线的直线方程为，即； 【小问2详解】 设过两点的椭圆的方程为， 所以，解得，所以， 所以经过A、B两点的椭圆的标准方程. 16. 在正四面体中，E，F，G，H分别是OA，AB，BC，OC的中点.设. （1）用表示； （2）求证：FH与GE相交； （3）求证：四边形EFGH为矩形. 【答案】（1）， （2）由题意知E，F，G，H分别是OA，AB，BC，OC的中点， 故，同理， 则，即，则四边形为平行四边形， 故FH与GE相交； （3）设正四面体的棱长为，由题意知向量中，两两之间的夹角均为， 由（1）知， 由（2）知，四边形为平行四边形． 又因为，所以， 所以，故．所以平行四边形为矩形． 【解析】 【分析】（1）由题意可得，由向量的减法可得答案. （2）证明四边形为平行四边形，从而可证. （3）由空间向量数量积的运算律求出，由，从而可证. 【小问1详解】 因为E，F，分别是OA，AB的中点，所以且， 所以． 因为F，G，分别是AB，BC的中点，所以且， 所以． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 17. 在长方体中，，点M为棱上的动点（含端点）. （1）求二面角的余弦值； （2）当的长度为何值时，直线与平面所成角的正弦值最小，并求出最小值. 【答案】（1） （2）, . 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，得到点坐标和向量坐标，求出两个面的法向量，由空间向量的夹角的余弦值求出二面角的余弦值； （2）由（1）得到平面法向量，由空间向量夹角的余弦值列出线面角的正弦值的代数式，构造函数，利用基本不等式求出函数的范围，从而知道线面角的正弦值的范围，并求出何时取得最小值. 【小问1详解】 以长方体的顶点为坐标原点，为坐标轴，如图建立空间直角坐标系， 则，，， 则，， 设向量为平面的一个法向量， 则，令，则，即， 在长方体中平面，∴平面的一个法向量为， 设二面角为，由图知该角为锐角， 则. 【小问2详解】 由（1）可知平面的一个法向量为， 设，则，则， 设直线与平面所成角为， 则， 设, ∵，∴， ∴， ∵，∴，结合函数在上单调递减， ∴， 即， ∴ ∴当时，取最小值，最小值为，此时. 18. 已知直线和圆，过直线上的一点作两条直线PA，PB与圆C相切于A，B两点，如下图所示. （1）当P点坐标为时，求以PC为直径的圆的方程，并求直线AB的方程； （2）直线l经过点P，与圆C交于M，N两点求的最小值. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）以PC为直径的圆的方程的圆心为PC中点，半径为，据此可得圆的方程，将以PC为直径的圆的方程与圆C方程相减，可得直线方程； （2）由圆幂定理及圆外一点到圆上距离，可将化为只与和圆半径有关的式子，据此可得答案. 【小问1详解】 由题可得圆， 则C，半径为2，. 故以PC为直径的圆，以PC中点，即为圆心，以为半径， 故相应圆的方程为：. 直线AB为以PC为直径的圆和圆C公共弦所在的直线， 则两圆方程相减为直线AB方程， 则AB： 【小问2详解】 如图，连接PC，设PC与圆C交于点D，延长PC与圆C交于点E. 由圆幂定理，， 由（1）可得，则. 又由题及图可得直线和与相离，则， 故. 当直线与垂直时，最小，为点C到直线距离， 则.又注意到函数在上单调递增， 则. 当且仅当与直线垂直，M，N分别与D，E重合时取等号. 【点睛】关键点睛：本题第一问为常规设问，提供了一种求切点弦的思路；第二问，关键为利用圆幂定理对要求最值的式子化简. 19. 直线经过点，倾斜角为，直线经过点，倾斜角为.两直线相交于点P. （1）若； （i）请用表示线段PB中点Q的坐标； （ⅱ）求证：线段PB中垂线过定点. （2）当时，椭圆以A、B为焦点，且经过点P，H为椭圆的上顶点. （i）求椭圆的标准方程； （ⅱ）若直线与椭圆交于M、N，若.求k的取值范围. 【答案】（1）（i）；（ⅱ）由（1）（i）可知的中点为， 所以当时，的中垂线方程为； 当时，的斜率为， 所以此时的中垂线方程为 显然时，， 综上所述，线段PB中垂线过定点. （2）（i）；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）（i）先讨论斜率不存在的情况，然后再讨论斜率存在，利用直线的倾斜角与斜率的关系表示出斜率，然后再利用直线的点斜式方程写出两条直线方程，最后求出点的坐标，然后求得点坐标；（ⅱ）先讨论斜率不存在时线段PB中垂线的方程，然后再计算斜率存在时PB中垂线的方程，然后寻找定点即可； （2）（i）先求出点的坐标，然后建立方程组求出椭圆标准方程即可；（ⅱ）联立方程，得，然后利用建立不等式，利用韦达定理表示，然后利用表示，最后得到的关系，代入所建立的不等式求得的范围即可. 【小问1详解】 （i）当，此时，，所以,所以 当时，此时，， 所以联立解得，所以 显然当时，为 综上所述， （ⅱ）略 【小问2详解】 （i）由题可知，所以 设椭圆的标准方程为 由题易知 ，得， 所以椭圆的标准方程为 （ⅱ） 设， 的中点为，其中 易知 ，因为， 时，显然成立； 时，有; 联立方程 得， 所以有， ， 所以，所以 因为所以有，整理得， 因为，所以有， 解得且；综上所诉， 【点睛】关键点点睛：（1）我们需要讨论斜率不存在的情况； （2）因为，所以点在的中垂线上，以此建立等式求得的关系，然后消元求范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $