小题限时卷05（最新模拟速递）-2025年高考数学二轮热点题型归纳与变式演练（新高考通用）

小题限时卷05（A组+B组+C组） （模式：8+3+3 满分：73分 限时：50分钟） 一、单选题 1．（23-24高三下·辽宁·期末）如果复数满足：，那么（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·海南省直辖县级单位·阶段练习）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 3．（23-24高三下·辽宁·期末）设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下面命题中正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 4．（2024·山东青岛·一模）若正项等差数列的前项和为，则的最大值为（    ） A．9 B．16 C．25 D．50 5．（24-25高三上·河北邯郸·阶段练习）已知，则（    ） A． B． C．1 D．3 6．（2024·浙江·模拟预测）天上有三颗星星，地上有四个孩子．每个孩子向一颗星星许愿，如果一颗星星只收到一个孩子的愿望，那么该愿望成真，若一颗星星收到至少两个孩子的愿望，那么向这颗星星许愿的所有孩子的愿望都无法成真，则至少有两个孩子愿望成真的概率是（ ） A． B． C． D． 7．（24-25高三上·广西·阶段练习）抛物线的焦点为，准线为，，是抛物线上的两个动点，且满足.设线段的中点在准线上的投影为，则的最大值是（   ） A． B． C． D．2 8．（24-25高三上·重庆·期末）已知函数的定义域为，则下列选项一定正确的是（    ） A． B． C． D．的图象关于直线对称 二、多选题 9．（24-25高三上·江苏苏州·期中）设为数列的前n项和.若，则（    ） A． B．数列为递减数列 C． D． 10．（2024·山东临沂·一模）已知函数，则（    ） A．的定义域为 B．的值域为 C．当时，为奇函数 D．当时， 11．（24-25高三上·海南省直辖县级单位·阶段练习）如图，八面体的每个面都是正三角形，并且4个顶点A，B，C，D在同一个平面内，若四边形是边长为2的正方形，则（   ） A．异面直线与所成角大小为 B．二面角的平面角的余弦值为 C．此八面体的外接球体积为 D．此八面体的内切球表面积为 三、填空题 12．（24-25高三上·重庆·期末）已知非零向量满足：，且，则 . 13．（24-25高三上·广西·阶段练习）已知函数的定义域为，是偶函数，当时，，则曲线在点处的切线斜率为 . 14．（2024·北京·模拟预测）已知，则的最小值为 （模式：4+2+1 满分：37分 限时：25分钟） 一、单选题 1．（23-24高三下·辽宁·期末）在世纪中期，我国古代数学家刘徽在《九章算术注》中提出了割圆术：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”. 这可视为中国古代极限观念的佳作. 割圆术可以视为将一个圆内按正边形等分成个等腰三角形（如图所示），当越大，等腰三角形的面积之和越近似等于圆的面积. 运用割圆术的思想，可得到的近似值为（取近似值）（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·福建宁德·阶段练习）已知数列的首项，且满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·重庆·阶段练习）在正四棱台中，，其体积为，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 4．（2024·河北沧州·二模）若，则下列大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 5．（24-25高三上·浙江·期中）已知直线，圆，点P为直线l上一点，点Q为圆C上一点，则下列选项正确的是（   ） A．直线l恒过定点 B．若圆C关于直线l对称，则 C．若直线l与圆C相切，则 D．当时，取y轴上一点，则的最小值为 三、填空题 6．（24-25高三上·重庆·期末）若，则 . 7．（2024·福建三明·三模）在平面直角坐标系中，、、，当时.写出的一个值为 . 8．（2024高三下·吉林·竞赛）函数 ( ，且 )，若对 成立，则实数的取值范围是 . （模式：1+1+1 满分：16分 限时：15分钟） 一、单选题 1．（24-25高三上·重庆·阶段练习）已知双曲线的左、右焦点分别为，，左、右顶点分别为，，以为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点，且，则双曲线的离心率为（   ） A． B．2 C． D． 二、多选题 2．（24-25高三上·广西南宁·阶段练习）函数，则下列结论正确的是（    ） A．当时，函数只有一个零点 B．若函数的对称中心为，则 C．若函数在上为减函数，则 D．当时，设的三个零点分别为，，曲线在点，，处的切线斜率分别记为，，，则 三、填空题 3．（24-25高三上·广西·阶段练习）将一副三角板按如图所示的位置拼接：含30°角的三角板（）的长直角边与含45°角的三角板（）的斜边恰好重合.与相交于点，若，则 . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 小题限时卷05（A组+B组+C组） （模式：8+3+3 满分：73分 限时：50分钟） 一、单选题 1．（23-24高三下·辽宁·期末）如果复数满足：，那么（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，即可表示出，再根据复数相等的充要条件得到方程组，解得即可. 【详解】设，则，， 因为，即， 所以，解得， 所以. 故选：A 2．（24-25高三上·海南省直辖县级单位·阶段练习）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由条件结合换底公式可求，相加可得结论. 【详解】由换底公式得，，， 所以， 所以. 故选：C. 3．（23-24高三下·辽宁·期末）设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下面命题中正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】对于ABC：根据正方体的结构特征，举反例说明即可；对于D：根据线面垂直的性质和判定定理分析判断. 【详解】对于选项ABC：在正方体中， 例如∥平面，平面∥平面，平面， 但与相交，故A错误； 例如∥，∥平面，∥平面 但平面平面，故B错误； 例如，平面，但平面，故C错误； 对于选项D：若，则∥， 且，所以，故D正确； 故选：D. 4．（2024·山东青岛·一模）若正项等差数列的前项和为，则的最大值为（    ） A．9 B．16 C．25 D．50 【答案】C 【分析】根据等差数列的求和公式可得，利用基本不等式可求最值. 【详解】因为， 所以，则 又因为， 所以，当且仅当时，等号成立； 所以的最大值为25. 故选：C 5．（24-25高三上·河北邯郸·阶段练习）已知，则（    ） A． B． C．1 D．3 【答案】B 【分析】由三角恒等变换可得，进一步由同角三角函数关系以及商数关系、二倍角公式化简求值即可. 【详解】由，解得， 故 . 故选：B. 6．（2024·浙江·模拟预测）天上有三颗星星，地上有四个孩子．每个孩子向一颗星星许愿，如果一颗星星只收到一个孩子的愿望，那么该愿望成真，若一颗星星收到至少两个孩子的愿望，那么向这颗星星许愿的所有孩子的愿望都无法成真，则至少有两个孩子愿望成真的概率是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用古典概型的概率公式，结合排列组合知识求解． 【详解】四个孩子向三颗星星许愿，一共有种可能的许愿方式. 由于四个人选三颗星星，那么至少有一颗星星被两个人选，这两个人愿望无法实现，至多只能实现两个人的愿望， 所以至少有两个孩子愿望成真，只能是有两颗星星各有一个人选，一颗星星有两个人选， 可以先从四个孩子中选出两个孩子，让他们共同选一颗星星，其余两个人再选另外两颗星， 有种情况， 所以所求概率为. 故选：C. 7．（24-25高三上·广西·阶段练习）抛物线的焦点为，准线为，，是抛物线上的两个动点，且满足.设线段的中点在准线上的投影为，则的最大值是（   ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】由抛物线定义对线段进行转化，再由中位线得到线段，解三角形得到线段，由基本不等式得到取值范围，从而得到最值. 【详解】设、，如图所示，根据抛物线的定义， 可知，， 在梯形中，有， 在中， ， 又∵，∴， 当且仅当时取等号，∴， 故的最大值是. 故选：A. 【点睛】方法点睛：与焦点、准线有关的问题一般情况下都与拋物线的定义有关，解决这类问题一定要注意点到点的距离与点到直线的距离的转化：（1）将抛物线上的点到准线距转化为该点到焦点的距离；(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，使问题得到解决． 8．（24-25高三上·重庆·期末）已知函数的定义域为，则下列选项一定正确的是（    ） A． B． C． D．的图象关于直线对称 【答案】C 【分析】根据函数的对称性以及周期性，即可结合选项逐一求解. 【详解】根据可得可得对称，故B错误， 由可得为周期函数，且周期为4， 对于A，无法确定，故A错误， 对于C，．C正确， 对于D，由于关于对称且周期为4，故， 无法确定和的关系，因此无法确定是函数的对称轴，故D错误， 故选：C 二、多选题 9．（24-25高三上·江苏苏州·期中）设为数列的前n项和.若，则（    ） A． B．数列为递减数列 C． D． 【答案】BC 【分析】A选项，利用得到为公比为2的等比数列，求出；B选项，当时，，B正确；C选项，计算出，得到C正确；D选项，利用等比数列求和公式计算出，，D错误. 【详解】A选项，当时，，解得， 当时，， 故， 所以为公比为2的等比数列，，A错误； B选项，当时，， 故，所以为递减数列，B正确； C选项，，，， 故，C正确； D选项，，， 故，D错误. 故选：BC 10．（2024·山东临沂·一模）已知函数，则（    ） A．的定义域为 B．的值域为 C．当时，为奇函数 D．当时， 【答案】ACD 【分析】由分母不为零求出函数的定义域，即可判断A，再分、分别求出函数值的取值范围，即可得到函数的值域，从而判断B，根据奇偶性判断C，根据指数幂的运算判断D. 【详解】对于函数，令，解得， 所以的定义域为，故A正确； 因为，当时，所以， 当时，所以， 综上可得的值域为，故B错误； 当时，则， 所以为奇函数，故C正确； 当时，则， 故D正确. 故选：ACD 11．（24-25高三上·海南省直辖县级单位·阶段练习）如图，八面体的每个面都是正三角形，并且4个顶点A，B，C，D在同一个平面内，若四边形是边长为2的正方形，则（   ） A．异面直线与所成角大小为 B．二面角的平面角的余弦值为 C．此八面体的外接球体积为 D．此八面体的内切球表面积为 【答案】ACD 【分析】建立空间直角坐标系，求 异面直线所成角判断A,求二面角判断B,求外接球的体积判断C，应用内切球计算公式求内切球半径求表面积判断D. 【详解】连接、交于点，连接、， 因为四边形为正方形，则， 又因为八面体的每个面都是正三角形， 所以、、三点共线，且面， 所以以为原点，分别以、、为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，如图所示， 则，，，， ，，， 对于A项，，， 设异面直线与所成角为， 则， 所以，即异面直线与所成角大小为，故A项正确； 对于B项，，，， 设面的一个法向量为， 则，取，则，，则， 设面的一个法向量为， 则，取，则，，则， 所以， 又因为面与所成的二面角的平面角为钝角， 所以二面角的平面角的余弦值为，故B项错误； 对于C项，因为， 所以为此八面体外接球的球心，且外接球的半径为， 故体积为，故C项正确； 对于D项，设内切球的半径为， 则八面体的体积为， 又八面体的体积为， 所以，解得， 所以内切球的表面积为，故D项正确. 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：解外接球体积的关键是，找到球心. 三、填空题 12．（24-25高三上·重庆·期末）已知非零向量满足：，且，则 . 【答案】 【分析】由，可得，再利用夹角公式求解即可. 【详解】. ， ，解得， 故． 故答案为：. 13．（24-25高三上·广西·阶段练习）已知函数的定义域为，是偶函数，当时，，则曲线在点处的切线斜率为 . 【答案】 【分析】根据是偶函数求出时的解析式，再利用导数求出斜率. 【详解】因为是偶函数，所以函数的图象关于对称， 则，当时，， ∴，则， 此时，， 即曲线在点处切线的斜率为. 故答案为：. 14．（2024·北京·模拟预测）已知，则的最小值为 ． 【答案】2 【分析】变形函数，换元构造函数，再利用导数分段探讨单调性求出最小值. 【详解】函数，令，令， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递增， 因此当时，，所以当时，取得最小值2. 故答案为：2 【点睛】关键点点睛：利用对数运算法则变形，再换元构造新函数是解决本题的关键. （模式：4+2+1 满分：37分 限时：25分钟） 一、单选题 1．（23-24高三下·辽宁·期末）在世纪中期，我国古代数学家刘徽在《九章算术注》中提出了割圆术：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”. 这可视为中国古代极限观念的佳作. 割圆术可以视为将一个圆内按正边形等分成个等腰三角形（如图所示），当越大，等腰三角形的面积之和越近似等于圆的面积. 运用割圆术的思想，可得到的近似值为（取近似值）（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，将一个单位圆等分成60个扇形，则每个扇形的圆心角均为，再根据这60个扇形对应的等腰三角形的面积之和近似等于单位圆的面积列等式，计算即可. 【详解】将一个单位圆等分成60个扇形，则每个扇形的圆心角均为. 因为这60个扇形对应的等腰三角形的面积之和近似等于单位圆的面积， 所以，所以. 故选：. 2．（24-25高三上·福建宁德·阶段练习）已知数列的首项，且满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用取倒法证得是等差数列，进而求得，从而得解. 【详解】因为，，易知， 所以，即， 又，所以， 故是以为首项，为公差的等差数列， 则，故， 所以. 故选：A. 3．（24-25高三上·重庆·阶段练习）在正四棱台中，，其体积为，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作辅助线，可知为异面直线与所成角或其补角，根据棱台体积公式求得，结合余弦定理即可求解. 【详解】设正四棱台的高为， 连接，作交于点，作交于点，连接， 则为异面直线与所成角或其补角. 因为，且正四棱台的体积为， 即， 所以，即， 则，，， ，， 所以. 故选：D. 4．（2024·河北沧州·二模）若，则下列大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，利用对数函数的单调性，以及正弦函数的性质，分别求得的取值范围，即可求解. 【详解】由对数函数单调性，可得，所以； 因为，所以， 又因为，所以，即，所以. 故选：B. 二、多选题 5．（24-25高三上·浙江·期中）已知直线，圆，点P为直线l上一点，点Q为圆C上一点，则下列选项正确的是（   ） A．直线l恒过定点 B．若圆C关于直线l对称，则 C．若直线l与圆C相切，则 D．当时，取y轴上一点，则的最小值为 【答案】ACD 【分析】对于A，看出关于的多项式恒等于0即可判断；对于B，把圆心坐标代入已知直线即可判断；对于C，根据圆心到直线的距离等于半径列方程即可判断；对于D，找对称点，转换为将军饮马模型即可求解. 【详解】解：对于A，直线l：k，即， 令，则，解得，， 所以直线|恒过定点，故A正确; 对于B，若圆C关于直线l对称，则直线l过圆心， 所以，解得，故B错误; 对于C，若直线与圆C相切，则圆心到直线的距离等于半径1， 即，解得，故C正确; 对于D，当时，直线，点关于直线l的对称点， 则有，解得，即， 所以的最小值为，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题 6．（24-25高三上·重庆·期末）若，则 . 【答案】 【分析】对两边求导，再令可得答案. 【详解】对两边同时求导可得： ， 再令可得：． 故答案为： 7．（2024·福建三明·三模）在平面直角坐标系中，、、，当时.写出的一个值为 . 【答案】（满足或的其中一值） 【分析】利用平面向量数量的坐标运算结合两角和的正弦公式可得出，求出的值，即可得解. 【详解】由题意可得，， 所以，，同理可得， 则 ， 所以，或， 解得或， 故答案为：（满足或的其中一值）. 8．（2024高三下·吉林·竞赛）函数 ( ，且 )，若对 成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 . 【分析】对分和两种情况，利用对数函数的单调性，分参，利用函数的单调性求解最值即可求解. 【详解】解: 当时， ， 设 ，则在上是减函数，所以 . 故 . 当 时， ， 设 ，则 在 上均为减函数， 所以 ， 所以 ，此不等式组无解. 综上，实数 的取值范围是 ， 故答案为：. （模式：1+1+1 满分：16分 限时：15分钟） 一、单选题 1．（24-25高三上·重庆·阶段练习）已知双曲线的左、右焦点分别为，，左、右顶点分别为，，以为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点，且，则双曲线的离心率为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】利用双曲线渐近线确定，由余弦定理可得，再由勾股定理得，又由确定得，最后根据求得离心率 . 【详解】根据题意可知：点在以为圆心为半径的圆上，所以； 根据双曲线渐近线方程为有， 由双曲线中，可得， 在中，，， 余弦定理有，解得； 有，所以； 在中，，，所以， 所以双曲线离心率. 故选：D 【点睛】方法点睛： 双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法： ①求出a，c，代入公式； ②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝c2－a2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)． 二、多选题 2．（24-25高三上·广西南宁·阶段练习）函数，则下列结论正确的是（    ） A．当时，函数只有一个零点 B．若函数的对称中心为，则 C．若函数在上为减函数，则 D．当时，设的三个零点分别为，，曲线在点，，处的切线斜率分别记为，，，则 【答案】ABD 【分析】利用导数研究函数的单调性与极值可判定A；利用函数对称性的充要条件可判定B；利用函数单调性判定导函数的符号，参变分离计算参数可判定C；利用零点将函数式变形，通过导数计算斜率之间的关系，化简计算即可. 【详解】对于A，时，， 令，令， 即在上单调递增，在上单调递减， 则的极大值为，极小值， 又，即函数只有一个零点，在区间内，故A正确； 对于B，若函数的对称中心为， 则有 ， 即，所以，故B正确； 对于C，可知，若函数在上为减函数， 则有在上恒成立， 分离参数得在上恒成立， 结合对勾函数的性质可知：， 故，故C错误； 对于D，当时，， 令，令， 即在上单调递增，在上单调递减， 则的极大值为，极小值， 又， 即函数有一个零点，分别在区间内， 则有， 故， 所以， ， 则 ，故D正确. 故选：ABD 【点睛】思路点睛：对于函数零点个数的判定可通过研究其单调性与极值、最值结合图形分析；对于三次函数的对称性，除了利用对称性的充要条件待定系数计算，也可以利用二阶导函数的零点计算；已知函数的单调区间可利用导数的符合化为恒成立问题参变分离计算；对于D项，利用零点变形函数式，再求导，转化三个零点对应切线斜率之间的关系是关键. 三、填空题 3．（24-25高三上·广西·阶段练习）将一副三角板按如图所示的位置拼接：含30°角的三角板（）的长直角边与含45°角的三角板（）的斜边恰好重合.与相交于点，若，则 . 【答案】 【分析】首先设，则，，利用余弦定理得到，再根据求解即可. 【详解】由题可知， 设，则，， 由余弦定理， 则， 解得，∴，， 则，，. 由可得：， 则，解得， 则，所以. 故答案为： 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$