专题02 空间向量及其应用14大题型（期中专项训练）高二数学上学期北师大版选择性必修第一册

专题02 空间向量及其应用 基础·固本强基 题型 1 空间向量概念、基底、命题辨析（高频） 题型 2 空间向量线性运算、用基底表示向量 题型 3 求平面的法向量 题型 4 异面直线所成角（向量法） 提升·进阶突破 题型 5 点到直线的距离（向量公式） 题型 6 点到平面的距离 题型 7 利用向量证明线线、线面平行与垂直 题型 8 线面角（向量法） 题型 9 二面角（平面与平面夹角） 拔高·压轴破难 题型 10 棱上动点参数化问题（存在性、范围） 题型 11 翻折（折叠）立体几何综合 题型 12 截面问题（向量判断平行，求截面多边形） 题型 13 三棱锥、多面体的外接球（结合空间向量） 题型 14 异面直线之间的距离 17 / 17 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基础·固本强基 题型 1 空间向量概念、基底、命题辨析（高频） 【模型】判断基底条件（三个向量不共面）；向量平行、垂直、投影向量；区分方向向量、法向量；辨析线线、线面、面面位置关系命题真假。 【步骤】 ①基底：三个向量不共面才可做基底； ②向量垂直：数量积为 0；向量平行：对应坐标成比例； ③投影向量套公式； ④举反例排除错误命题。 1．（期中，安徽）下列命题正确的有（    ） A．若直线的方向向量与平面的法向量垂直，则 B．若为空间的一个基底，则可构成空间的另一个基底 C．已知向量，若，则为钝角 D．已知直线和直线的方向向量分别为，若，则 2．（期中，安徽）空间中，平面上的动点满足方程，则称为平面的方程，同时也称平面的方程为，并称为平面的一个法向量.已知方程分别为的平面的交线为l，则下列结论正确的是（    ） A．经过点的平面的方程为 B．方程为的平面与平面垂直 C．若平面的方程为，则坐标原点O到平面的距离为 D．l与方程为的平面所成角的正弦值为 3．（期中，福建）以下命题正确的有（   ） A．直线的方向向量，直线的方向向量，则 B．直线的方向向量，平面的法向量，则 C．平面、的法向量分别为，，则 D．平面经过点、、，向量是平面的一个法向量，则 4．（期中，河南）已知平面的法向量为，平面的法向量为，直线l的方向向量为，则下列说法正确的有（    ） A．若，则 B．存在，使得 C．若，则 D．若，且，则 5．（期中，福建）下列结论正确的是（   ） A．若直线的方向向量为，平面的法向量，则直线 B．已知向量，则向量在上的投影向量为 C．若对空间中任意一点，有，则四点共面 D．若是空间的一组基底，若．知也是空间的一组基底 6．（期中，安徽）关于空间向量，以下说法正确的是（   ） A．若空间向量，则在上的投影向量为 B．若空间向量满足，则与的夹角为锐角 C．若直线的方向向量为，平面的一个法向量为，则 D．已知向量以为基底时的坐标为，则以为基底时的坐标为 7．（期中，河南）下列说法正确的是（    ） A．两条不重合的直线的方向向量分别是，则 B．直线的方向向量，平面的法向量，则 C．直线的方向向量分别为，若，则 D．两个不同的平面的法向量分别是，则 8．（期中，福建）已知，分别为直线，的方向向量（，不重合），，分别为平面，的法向量（，不重合），则下列说法中，正确的是（    ） A． B． C． D． 题型 2 空间向量线性运算、用基底表示向量 【模型】利用向量加减法、数乘，选定一组基底，把目标向量分解为基底的线性组合。 【步骤】 ①找图形中从同一点出发的三个不共面向量作为基底； ②利用三角形法则、平行四边形法则拆分； ③整理写成形式。 【易错】注意向量方向，减法是 “指向被减向量”。 1．（期中，福建）如图，在直四棱柱中，底面是菱形，，，，分别为，的中点.    (1)用，，表示，； (2)求直线，所成角的余弦值. 2．（期中，安徽）如图所示实验装置，由矩形ABCD和ABEF构成，且，，.活动点M，N分别在对角线BD，AE上移动，且.记，，，且，. (1)用向量，，表示，. (2)为何值时，最小，最小值是多少？ (3)当时，证明：平面ABCD. 3．（期中，安徽）如图，在正方体中，点、为棱、的中点，设，，. (1)用、、表示； (2)证明：、、、四点共面. 题型 3 求平面的法向量 【模型】平面内两个不共线向量，联立数量积等于 0 的方程组求解法向量。 【步骤】 ①取平面内两个不共线向量； ③给其中一个分量赋合适数值，解出一组法向量。 【易错】法向量不唯一，可以成倍数；不能用平面内共线的两个向量求法向量。 1．（期中，安徽）已知，则平面的一个法向量的坐标为（    ） A． B． C． D． 题型 4 异面直线所成角（向量法） 【模型】取两条直线方向向量，夹角取，余弦取绝对值。 【步骤】 ①建系写出两条直线方向向量； ②； 【易错】异面直线角一定取锐角或直角，必须加绝对值，不要直接用向量夹角。 1．（期中，安徽）在直三棱柱中，分别是的中点，则直线与直线所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 2．（期中，福建）圆锥的底面半径为，高为，点是底面直径所对弧的中点，点是母线的中点，则异面直线与CD所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 3．（期中，安徽）在四棱锥中，底面，底面为正方形，，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 4．（期中，河南）如图，在棱长为6的正四面体中，，分别为棱，的中点，则异面直线，所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 5．（期中，河南）已知点为坐标原点，，点在线段上移动，则直线与直线所成角的大小为__________. 6．（期中，福建）如图，平行六面体中，底面是边长为1的正方形，且，. (1)求的长； (2)若和分别为和中点，求异面直线与所成的角. 提升·进阶突破 题型 5 点到直线的距离（向量公式） 【模型】向量投影结合勾股定理； 【步骤】 ①取直线上一点A，求； ②直线方向向量； ③代入距离公式。 【易错】不是投影的模，是勾股算垂直距离，不要和点面距离混淆。 1．（期中，福建）如图，在四棱锥中，底面，底面为正方形，为的重心，，且，，则点到直线的距离为（   ） A． B． C． D． 2．（期中，安徽）若直线过原点，且直线的方向向量，则点到直线的距离为__________. 题型 6 点到平面的距离 【模型】；线面平行时，线上任意一点到平面距离即为线到面距离。 【步骤】 ①平面任取一点A，求； ②求平面法向量； ③代入公式，结果非负。 典型 【易错】是平面上点指向待测点；法向量不要写成平面内向量。 1．（期中，福建）布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达·芬奇方砖，在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案（如图1），把三片这样的达·芬奇方砖形成图2的组合，这个组合表达了图3所示的几何体，若图3中每个正方体的棱长为1，则点到平面的距离是（   ） A．2 B． C． D． 2．（期中，福建）如图，在四棱柱中，平面，，，，.，分别为，的中点， (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离. 题型 7 利用向量证明线线、线面平行与垂直 【模型】 线线垂直：方向向量数量积为 0； 线线平行：方向向量成实数倍； 线面平行：直线方向向量与平面法向量垂直，且直线不在平面内； 线面垂直：直线方向向量与平面法向量互相平行。 【步骤】 ①建系写出对应向量； ②验证平行 / 垂直向量条件； ③补充几何条件（直线不在平面内）。 【易错】证明线面平行，一定要说明直线不在平面内，只算向量垂直会扣分。 1．（期中，安徽）如图，直三棱柱中，，点，，分别为的中点.    (1)证明：平面； (2)若，求直线与平面的距离. 2．（期中，福建）如图，在棱长为1的正方体中，，分别是，的中点. (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 3．（期中，安徽）如图，已知正方体的棱长为6，点在棱上，且为的中点，点在棱上，且. (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离. 题型 8 线面角（向量法） 【模型】直线方向向量，平面法向量；线面角， 【步骤】 ①求直线方向向量、平面法向量； ②代入公式求正弦； 【易错】线面角是直线和平面投影夹角，用正弦，不是余弦，很多同学直接照搬向量夹角余弦，是高频丢分。 1．（期中，河南）如图，在棱长为2的正方体中，E为上一动点，则下列说法正确的是（    ） A． B．三棱锥的体积为定值 C．当E为的中点时，平面 D．当E为的中点时，与平面所成角的正弦值为 2．（期中，河南）如图，在正三棱柱中，P是的中点，M是AP的中点，N在线段上，且，． (1)求证：； (2)求直线MN与平面所成角的正弦值． 3．（期中，安徽）如图，在三棱柱中，，，，平面. (1)求证：平面平面； (2)求直线与平面所成角的余弦值. 4．（期中，河南）如图，已知在正四棱柱中，四边形的边长均为，且分别是的中点. (1)证明：； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 题型 9 二面角（平面与平面夹角） 【模型】两个平面法向量；二面角看图形判断是锐角还是钝角；平面夹角取，余弦加绝对值。 【步骤】 ①求两个平面的法向量； ②计算法向量夹角； ③看图判断二面角实际是锐角还是钝角，确定符号。 【易错】分不清 “二面角” 和 “平面与平面夹角”；不看图直接照搬法向量结果，符号出错。 1．（期中，河南）已知直三棱柱中，侧面为正方形，AB＝BC＝2，E，F分别为AC，的中点，D为棱上的点，． (1)证明：AB⊥平面； (2)证明：BF⊥DE； (3)当为何值时，平面与平面DFE所成角的余弦值最大？并求出这个最大值． 拔高·压轴破难 题型 10 棱上动点参数化问题（存在性、范围） 【模型】棱上动点设参数，写出动点坐标；把角度、平行垂直条件转化为关于的方程，解出后检验。 【步骤】 ①设，写出动点坐标； ②把题目条件（线面角、二面角、垂直）翻译成向量等式； ③解方程；解必须落在[0,1]，否则点不存在。 【易错】算出参数不检验区间，直接写存在，导致错误。 1．（期中，河南）在直三棱柱中，，，为棱的中点，为棱上的动点（与端点不重合）.以为坐标原点，垂直于平面的直线为轴，直线、分别为、轴建立如图所示的空间直角坐标系，则下列说法正确的是（    ） A．点关于平面的对称点的坐标为 B．的取值范围为 C．存在点，使得平面的一个法向量为 D．若，则点到平面的距离为 题型 11 翻折（折叠）立体几何综合 【模型】翻折前后：线段长度不变；部分垂直、角度关系改变；优先找翻折后形成的面面垂直作为建系条件。 【步骤】 ①分清哪些长度不变，哪些角度改变； ②找到面面垂直，建立空间直角坐标系； ③向量法求角、距离、存在性。 【易错】不要把折叠前平面内的垂直关系直接照搬到折叠后空间图形。 1．（期中，安徽）如图1，已知长方形ABCD中，AB=2，AD=1，M为DC的中点，将△ADM沿AM折起，得到四棱锥（如图2），使得平面平面ABCM. (1)求证：； (2)（i）若点E是线段上的一动点，当点E在何位置时，二面角的余弦值为. （ii）在（i）的条件下，求三棱锥的外接球体积. 题型 12 截面问题（向量判断平行，求截面多边形） 【模型】动点满足线面平行，利用向量共面条件，得到动点轨迹；确定截面顶点，求面积。 【步骤】 ①线面平行转化方向向量与法向量垂直； ②得到动点坐标满足等式，判断轨迹； ③找出截面各交点，求多边形面积。 【易错】截面多边形顶点必须落在几何体棱上，不能主观脑补图形。 `1．（期中，福建）如图，在棱长为2的正方体中，为线段上动点（包括端点）.①三棱锥中，点到平面的距离为定值；②过点且平行于平面的平面被正方体截得的多边形的面积为；③直线与平面所成角的正弦值的范围为；以上命题为真命题的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．（期中，安徽）如图，棱长为2的正方体中，P为线段上动点（包括端点），以下命题为真命题的是（    ） A．当点P为中点时，异面直线与BD所成角为 B．三棱锥中，点P到面的距离为定值 C．过点P且平行于面的平面被正方体截得的多边形的面积为 D．直线与面所成角的正弦值的范围为 3．（期中，安徽）正方体的校长为2，E，F，G分别为的中点．则（    ） A．直线与直线垂直 B．直线与平面平行 C．平面截正方体所得的截面面积为 D．点和点D到平面的距离相等 题型 13 三棱锥、多面体的外接球（结合空间向量） 【模型】设球心坐标(x,y,z)，利用球心到各顶点距离相等列方程组，解出球心，求半径。 【步骤】 ①建系，写出全部顶点坐标； ②设球心，列距离相等方程； ③求解半径，再算表面积或体积。 【易错】方程组计算量大，计算错误；区分外接球、内切球。 1．（期中，河南）如图1，在平行四边形中，，，为的中点.将沿折起，使得，如图2. (1)求证：平面平面； (2)设，是否存在实数，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； (3)求三棱锥的外接球的半径. 题型 14 异面直线之间的距离 【模型】找同时垂直两条异面直线的方向向量；取两条直线上各一点A,B，距离。 【步骤】 ①求公垂向量； ②取两点构成向量； ③代入投影距离公式。 【易错】需要同时垂直两条异面直线，不是随便一个法向量。 1．（期中，安徽）在正方体中，，点为正方体内部（含表面）的点，且满足，则下列说法正确的是（    ） A．存在点使得平面 B．直线与平面所成角的正弦值范围是 C．异面直线与间的距离为 D．当时，点的轨迹长度为 2．（期中，河南）如图（1），在四棱锥中，平面平面，，，，，，. (1)若，求直线与平面所成角的正弦值； (2)设二面角的大小为，若，求的值； (3)阅读下列“链接”材料，试判断异面直线BE和AD间的距离是否为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由. 链接：运用空间向量求异面直线间的距离如图（2），设、分别为异面直线、上的点，是与直线、都垂直的向量，从而异面直线、间的距离为，即为向量在向量上的投影向量的模. 题型 15 多条件选做 / 开放性问题 【模型】把条件转化方程，看在定义域内有没有解。 【步骤】 ①假设存在，参数化动点； ②转化为方程； ③看解是否符合几何范围，有解写存在，无解写不存在。 【易错】解出数学方程有解，但几何位置不在几何体上，要答不存在。 1．（期中，安徽）如图，在几何体中，四边形是边长为2的正方形，平面，四边形与都是直角梯形，为的中点．    (1)棱上是否存在点，使得平面，并证明； (2)若，求： （i）点到平面的距离； （ii）平面与平面夹角的余弦值． 2．（期中，福建）如图（1），在直角梯形中，，，过的中点作交于点，，现将四边形沿着翻折至位置，使得，如图（2）所示． (1)证明：平面； (2)在线段上是否存在一点，使得平面与平面的夹角的余弦值为，若存在，确定点的位置，若不存在，请说明理由． $专题02 空间向量及其应用 基础·固本强基 题型 1 空间向量概念、基底、命题辨析（高频） 题型 2 空间向量线性运算、用基底表示向量 题型 3 求平面的法向量 题型 4 异面直线所成角（向量法） 提升·进阶突破 题型 5 点到直线的距离（向量公式） 题型 6 点到平面的距离 题型 7 利用向量证明线线、线面平行与垂直 题型 8 线面角（向量法） 题型 9 二面角（平面与平面夹角） 拔高·压轴破难 题型 10 棱上动点参数化问题（存在性、范围） 题型 11 翻折（折叠）立体几何综合 题型 12 截面问题（向量判断平行，求截面多边形） 题型 13 三棱锥、多面体的外接球（结合空间向量） 题型 14 异面直线之间的距离 2 / 56 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基础·固本强基 题型 1 空间向量概念、基底、命题辨析（高频） 【模型】判断基底条件（三个向量不共面）；向量平行、垂直、投影向量；区分方向向量、法向量；辨析线线、线面、面面位置关系命题真假。 【步骤】 ①基底：三个向量不共面才可做基底； ②向量垂直：数量积为 0；向量平行：对应坐标成比例； ③投影向量套公式； ④举反例排除错误命题。 1．（期中，安徽）下列命题正确的有（    ） A．若直线的方向向量与平面的法向量垂直，则 B．若为空间的一个基底，则可构成空间的另一个基底 C．已知向量，若，则为钝角 D．已知直线和直线的方向向量分别为，若，则 【答案】BD 【分析】根据线面平行的判定定理，可判断A的正误；根据向量共面的定理及条件，分析即可判断B的正误；当时，可得，分析即可判断C的正误；根据直线的方向向量结合向量垂直计算可判断D的正误，即可得答案. 【详解】选项A：直线的方向向量与平面的法向量垂直，直线可能在平面内，故A错误； 选项B：若为空间的一个基底，则不共面， 假设共面，则， 此时共面，与已知条件矛盾，故假设不成立， 即不共面，则可构成空间的另一个基底，故B正确； 选项C： 当时，， 此时，即，夹角为，不符合题意，故C错误； 选项D：因为直线的一个方向向量为，直线的一个方向向量为， 若，所以斜率，，故D正确； 故选：BD 2．（期中，安徽）空间中，平面上的动点满足方程，则称为平面的方程，同时也称平面的方程为，并称为平面的一个法向量.已知方程分别为的平面的交线为l，则下列结论正确的是（    ） A．经过点的平面的方程为 B．方程为的平面与平面垂直 C．若平面的方程为，则坐标原点O到平面的距离为 D．l与方程为的平面所成角的正弦值为 【答案】BCD 【分析】对于,验证法排除；对于，利用两平面法向量垂直即可判定；对于，利用空间向量点面距计算公式进行计算即可；对于，利用空间向量线面角计算公式进行计算即可. 【详解】对于,把点代入平面方程，不满足，故错误； 对于,平面其法向量为， 平面的法向量为， 则， 即，故面与平面垂直， 则正确； 对于,平面的一个法向量为,显然不全为0，不妨令， 点为平面内一点，则, 故点O到平面的距离为, 故正确； 对于,， 可知一组解为，另一组解为， 为平面的交线，则经过上述两个点， 则直线的一个方向向量为, 又平面的一个法向量为， 设直线与平面的夹角为， 则， 故正确， 故选： 3．（期中，福建）以下命题正确的有（   ） A．直线的方向向量，直线的方向向量，则 B．直线的方向向量，平面的法向量，则 C．平面、的法向量分别为，，则 D．平面经过点、、，向量是平面的一个法向量，则 【答案】ACD 【分析】根据向量平行和垂直的坐标运算可判断选项,对于利用向量垂直的坐标表示列出方程，求解即可判断. 【详解】对于,因为，， 则有，所以，故正确； 对于,不存在实数，使，故与不平行， 则不成立，故错误； 对于,因为，， 则， 所以，则，故正确； 对于，因为点、、， 则, 由题,即， 解得，则，故正确. 故选：ACD. 4．（期中，河南）已知平面的法向量为，平面的法向量为，直线l的方向向量为，则下列说法正确的有（    ） A．若，则 B．存在，使得 C．若，则 D．若，且，则 【答案】AC 【分析】根据平面的法向量和直线的方向向量，逐项进行判断即可. 【详解】若，则，即，解得，，则，故A正确. 若，则，即，因为，所以不存在，使得，故B错误. 若，则，所以，解得，故C正确. 若，则，所以，所以.当时，，故D错误. 故选:AC. 5．（期中，福建）下列结论正确的是（   ） A．若直线的方向向量为，平面的法向量，则直线 B．已知向量，则向量在上的投影向量为 C．若对空间中任意一点，有，则四点共面 D．若是空间的一组基底，若．知也是空间的一组基底 【答案】CD 【分析】利用空间位置关系的向量证明判断A；求出投影向量判断B；利用共面向量定理的推论判断C；利用基底的意义判断D. 【详解】对于A，由，得或，A错误； 对于B，向量在上的投影向量为，B错误； 对于C，由及共面向量推理的推论，得四点共面，C正确； 对于D，假定共面，则，即， 因此共面与是空间的一组基底矛盾，则不共面，D正确. 故选：CD 6．（期中，安徽）关于空间向量，以下说法正确的是（   ） A．若空间向量，则在上的投影向量为 B．若空间向量满足，则与的夹角为锐角 C．若直线的方向向量为，平面的一个法向量为，则 D．已知向量以为基底时的坐标为，则以为基底时的坐标为 【答案】AC 【分析】根据空间向量投影向量的求法判断A；根据向量夹角的取值范围及相应余弦值的范围判断B；由直线的方向向量与平面的法向量平行，可判断C；由空间向量基本定理及线性运算法则判断D. 【详解】对于A，在上的投影向量为，故A正确； 对于B，当向量共线且同向时，也成立，但与的夹角不为锐角，故B错误； 对于C，由，即，故，故C正确； 对于D，因为向量以为基底时的坐标为，所以． 设向量以为基底时的坐标为， 则， 即. 所以，解得 所以以为基底时的坐标为．故D错误. 故选：AC． 7．（期中，河南）下列说法正确的是（    ） A．两条不重合的直线的方向向量分别是，则 B．直线的方向向量，平面的法向量，则 C．直线的方向向量分别为，若，则 D．两个不同的平面的法向量分别是，则 【答案】AD 【分析】根据空间向量中方向向量与法向量的平行、垂直关系，结合线线、线面、面面位置关系的判定定理，对每个选项逐一分析判断即可. 【详解】对于选项A，两条不重合的直线的方向向量分别是， 则，所以，故A正确； 对于选项B，直线的方向向量， 平面的法向量，则，所以，故B错误； 对于选项C，直线的方向向量分别为， 因为，所以，即，解得，故C错误； 对于选项D，两个不同的平面的法向量分别是， 则，所以，故D正确. 故选：AD 8．（期中，福建）已知，分别为直线，的方向向量（，不重合），，分别为平面，的法向量（，不重合），则下列说法中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据直线的方向向量与平面的法向量的性质，以及直线与直线、直线与平面、平面与平面之间的位置关系判定. 【详解】对于A：直线的方向向量，说明两条不重合的直线的“方向”相同或相反，因此可以推出； 反之，若，它们的方向向量也必然平行，因此，所以A正确； 对于B：平面的法向量垂直于平面内的所有直线，若，说明直线的方向向量与 平面的法向量垂直，此时平行于平面或在平面内，而非“”，所以B错误； 对于C：平面的法向量，说明两个不重合的平面垂直于平面的方向相同或相反， 因此可以推出；反之，若，它们的法向量也必然平行，因此，所以C正确； 对于D：若，说明直线的方向向量与平面的法向量垂直，此时平行于平面或在平面内， 不能直接推出“”因为可能在平面内，所以D错误. 故选：AC. 题型 2 空间向量线性运算、用基底表示向量 【模型】利用向量加减法、数乘，选定一组基底，把目标向量分解为基底的线性组合。 【步骤】 ①找图形中从同一点出发的三个不共面向量作为基底； ②利用三角形法则、平行四边形法则拆分； ③整理写成形式。 【易错】注意向量方向，减法是 “指向被减向量”。 1．（期中，福建）如图，在直四棱柱中，底面是菱形，，，，分别为，的中点.    (1)用，，表示，； (2)求直线，所成角的余弦值. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据空间向量的运算直接表示即可； （2）利用向量法求解即可. 【详解】（1）在直四棱柱中， 因为底面是菱形，且，分别为，的中点， 所以，. （2）因为在直四棱柱中，平面， 所以，，即，， 因为，，所以， 所以. ， ， 所以，， 设直线与所成角的大小为，则. 所以直线与所成角的余弦值为. 2．（期中，安徽）如图所示实验装置，由矩形ABCD和ABEF构成，且，，.活动点M，N分别在对角线BD，AE上移动，且.记，，，且，. (1)用向量，，表示，. (2)为何值时，最小，最小值是多少？ (3)当时，证明：平面ABCD. 【答案】(1)， (2)， (3) 当时，， 则， ， 所以，， 因为AB，平面ABCD，，平面ABCD.， 所以平面ABCD. 【分析】（1）结合图形，利用空间向量线性运算，即可用向量，，表示，.； （2）借助空间向量数量积的运算律结合二次函数的性质计算即得答案； （3）由平面ABCD等价于，，利用向量数量积公式计算即得结论. 【详解】（1）由题意得，，，， 可知， 则 . （2）因，，，， 则 ， 则当时，有最小值，最小值为. （3）略 3．（期中，安徽）如图，在正方体中，点、为棱、的中点，设，，. (1)用、、表示； (2)证明：、、、四点共面. 【答案】(1) (2) 法1：连接， 易知，， 故，得、、、四点共面； 法2：； 故，得、、、四点共面； 法3：以为原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系， 易得，，，， 得，， 故有，， 得、、、四点共面． 【分析】（1）由向量的线性表示即可求解； （2）法1：由题可得，，进而得到即可证明；法2：根据向量的线性运算可得即可证明；法3：建立空间直角坐标系，利用空间向量法证明即可． 【详解】（1）； （2）略 题型 3 求平面的法向量 【模型】平面内两个不共线向量，联立数量积等于 0 的方程组求解法向量。 【步骤】 ①取平面内两个不共线向量； ③给其中一个分量赋合适数值，解出一组法向量。 【易错】法向量不唯一，可以成倍数；不能用平面内共线的两个向量求法向量。 1．（期中，安徽）已知，则平面的一个法向量的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设平面的法向量，则 ， 因为，所以 ， 令，则，所以. 因为向量，，与不共线， 故A，C，D不符合题意； 因为，所以B符合题意. 题型 4 异面直线所成角（向量法） 【模型】取两条直线方向向量，夹角取，余弦取绝对值。 【步骤】 ①建系写出两条直线方向向量； ②； 【易错】异面直线角一定取锐角或直角，必须加绝对值，不要直接用向量夹角。 1．（期中，安徽）在直三棱柱中，分别是的中点，则直线与直线所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意画出图形，建立空间直角坐标系，利用空间向量求出线线角的余弦值. 【详解】 因为由题意知两两垂直， 故分别以直线为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 设，则， 所以， 设直线与直线所成角为， 则， 所以直线与直线所成角的余弦值为. 2．（期中，福建）圆锥的底面半径为，高为，点是底面直径所对弧的中点，点是母线的中点，则异面直线与CD所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法求得正确答案. 【详解】设是圆锥底面圆心，以为原点，建立如图所示空间直角坐标系， ， ，设直线与所成角为， 则. 故选：B. 3．（期中，安徽）在四棱锥中，底面，底面为正方形，，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】如图建立空间直角坐标系，设，则可写出和的坐标，利用向量数量积的坐标运算求出夹角的余弦值，即可得解. 【详解】因为底面，底面为正方形，所以两两垂直， 如图，以点为坐标原点，直线所在方向分别为轴建立空间直角坐标系， 设，则，所以, 则， 设异面直线与所成角为，则. 故选:A. 4．（期中，河南）如图，在棱长为6的正四面体中，，分别为棱，的中点，则异面直线，所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作平面，垂足为，连接，以为坐标原点，直线，分别为轴，轴建立空间直角坐标系，根据空间向量的坐标运算求解，再利用向量的夹角余弦值的坐标运算得所求. 【详解】作平面，垂足为，连接，则为的中心， 以为坐标原点，直线，分别为轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 所以，，，， 设，所成的角为，所以. 故选：A. 5．（期中，河南）已知点为坐标原点，，点在线段上移动，则直线与直线所成角的大小为__________. 【答案】 【分析】根据向量的夹角直接计算可得. 【详解】， 因为点在线段上移动，设，, ，， 因为，所以， 所以直线与直线所成角的大小为. 故答案为：. 6．（期中，福建）如图，平行六面体中，底面是边长为1的正方形，且，. (1)求的长； (2)若和分别为和中点，求异面直线与所成的角. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）以为空间基底，得到，结合向量数量积的运算律，即可求解； （2）根据向量的运算法则，得到，再由向量的数量积的定义，求得，进而求得异面直线与所成角. 【详解】（1）根据题意，以为基底，可得， 因为，且， 且. 所以 . 所以，所以. （2）因为和分别为和中点， 可得， ， 可得，即，所以异面直线与所成角为. 提升·进阶突破 题型 5 点到直线的距离（向量公式） 【模型】向量投影结合勾股定理； 【步骤】 ①取直线上一点A，求； ②直线方向向量； ③代入距离公式。 【易错】不是投影的模，是勾股算垂直距离，不要和点面距离混淆。 1．（期中，福建）如图，在四棱锥中，底面，底面为正方形，为的重心，，且，，则点到直线的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立空间直角坐标系，确定相关点以及向量的坐标，利用点到直线的距离的向量求法，即可得答案. 【详解】如图，以为原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系， 则，，，，由，可得， 为的重心，所以，，， 则，，， 故点到直线的距离为. 故选：A 2．（期中，安徽）若直线过原点，且直线的方向向量，则点到直线的距离为__________. 【答案】/ 【分析】利用空间向量的方法计算点到直线的距离，已知点与点，首先求在直线上的投影向量为的模长，然后再利用勾股定理即可求出点到直线的距离. 【详解】设向量在直线上的投影向量为，则， 所以点到直线的距离. 故答案为：. 题型 6 点到平面的距离 【模型】；线面平行时，线上任意一点到平面距离即为线到面距离。 【步骤】 ①平面任取一点A，求； ②求平面法向量； ③代入公式，结果非负。 典型 【易错】是平面上点指向待测点；法向量不要写成平面内向量。 1．（期中，福建）布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达·芬奇方砖，在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案（如图1），把三片这样的达·芬奇方砖形成图2的组合，这个组合表达了图3所示的几何体，若图3中每个正方体的棱长为1，则点到平面的距离是（   ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】建立空间直角坐标系，求平面的法向量，用点到平面的距离公式计算即可. 【详解】建立空间直角坐标系如图所示： 则，，，， ，，， 设平面的法向量为， 则，即， 则平面的一个法向量为， 则点到平面的距离. 故选：C 2．（期中，福建）如图，在四棱柱中，平面，，，，.，分别为，的中点， (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离. 【答案】(1) 取中点，连接，， 由是的中点，故，且， 由是的中点，故，且， 则,， 故四边形是平行四边形，， 又平面，平面， 故平面； (2) 【分析】（1）取中点，连接，，借助中位线的性质与平行四边形判定和性质定理可得，再利用线面平行判定定理即可得证； （2）建立适当的空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用点到平面距离的向量求法计算即得. 【详解】（1）略 （2）因为平面，平面， 所以，，又， 所以两两垂直， 故可以为原点，为轴的正方向建立如图的空间直角坐标系， 由、、、， 则、、， 设平面的法向量为， 则， 取，则、， 所以为平面的一个法向量， 所以点到平面的距离. 题型 7 利用向量证明线线、线面平行与垂直 【模型】 线线垂直：方向向量数量积为 0； 线线平行：方向向量成实数倍； 线面平行：直线方向向量与平面法向量垂直，且直线不在平面内； 线面垂直：直线方向向量与平面法向量互相平行。 【步骤】 ①建系写出对应向量； ②验证平行 / 垂直向量条件； ③补充几何条件（直线不在平面内）。 【易错】证明线面平行，一定要说明直线不在平面内，只算向量垂直会扣分。 1．（期中，安徽）如图，直三棱柱中，，点，，分别为的中点.    (1)证明：平面； (2)若，求直线与平面的距离. 【答案】(1) 证明：因为为直三棱柱，所以， 又因为和分别为和的中点， 所以，所以， 因为平面，平面， 所以平面； (2) 【分析】（1）根据题意，证得和，得到，结合线面平行的判定定理，即可证得平面； （2）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，求得向量和平面的法向量，结合向量的距离公式，即可求解. 【详解】（1）略 （2）因为为直三棱柱，且， 以为坐标原点，分别以所在直线为轴，轴和轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，因为， 则， 可得， 设平面的法向量为， ， 取，则，所以， 又因为向量，所以点D到平面A1FC1的距离， 因为，分别为，的中点，可得直线平面， 所以直线与平面的距离即为点D到平面的距离， 故直线与平面的距离为.      2．（期中，福建）如图，在棱长为1的正方体中，，分别是，的中点. (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1) 连结，和分别是和的中点，所以， 因为，，所以四边形为平行四边形， 所以，所以， 又因为平面，平面，所以平面. (2) 【分析】（1）连结，所以，继而，利用线面平行判断定理证明即可； （2）以为原点建立空间直角坐标系，求得两个平面的法向量，进行计算即可. 【详解】（1）略 （2）如图，以为原点建立空间直角坐标系， 所以，，，，， ，， ，， 设平面的法向量为， 所以， 令，则，，所以， 设平面的法向量为， 所以， 令，则，，所以， 设平面与平面夹角为， 所以. 3．（期中，安徽）如图，已知正方体的棱长为6，点在棱上，且为的中点，点在棱上，且. (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离. 【答案】(1) 以点为原点，分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则 所以， 设平面的法向量为，则， 令，则，所以为平面的一个法向量， 因为，所以， 又平面，所以平面. (2). 【分析】（1）利用空间向量证明垂直于平面的法向量从而证明平面； （2）利用空间向量法来求点到面的距离即可. 【详解】（1）略 （2）由（1）知，平面的一个法向量为， 所以由点到平面的距离公式得， 所以点到平面的距离为. 题型 8 线面角（向量法） 【模型】直线方向向量，平面法向量；线面角， 【步骤】 ①求直线方向向量、平面法向量； ②代入公式求正弦； 【易错】线面角是直线和平面投影夹角，用正弦，不是余弦，很多同学直接照搬向量夹角余弦，是高频丢分。 1．（期中，河南）如图，在棱长为2的正方体中，E为上一动点，则下列说法正确的是（    ） A． B．三棱锥的体积为定值 C．当E为的中点时，平面 D．当E为的中点时，与平面所成角的正弦值为 【答案】BD 【分析】根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明判断AC；利用等体积法求出体积判断B；利用线面角的向量求法求解判断D. 【详解】在棱长为2的正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 对于A，，，不垂直，A错误； 对于B，三棱锥的体积，B正确； 对于C，，，而， 即不垂直于，而平面，因此不垂直于平面，C错误； 对于D，，设平面的法向量，则， 取，得，与平面所成角的正弦值，D正确. 故选：BD 2．（期中，河南）如图，在正三棱柱中，P是的中点，M是AP的中点，N在线段上，且，． (1)求证：； (2)求直线MN与平面所成角的正弦值． 【答案】(1) 设AC的中点为D，线段BC的四等分点为E，且，连接MD，DE，NE， 则，∴，， ∵M为AP的中点，D为AC的中点，∴，， 又P是的中点，∴． ∴，，∴四边形DMNE是平行四边形， ∴， 又，， ∴． (2) 【分析】(1)构建平行四边形使得平行于平面的一条直线即可. (2)构建空间直角坐标系利用空间向量进行空间角的求解. 【详解】（1）略 （2）设的中点为Q，连接DB，DQ，易知DB，DQ，DC两两互相垂直． 以D为坐标原点，向量，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz， 则，，，， ∴，∴， ∴，，． 设平面的法向量为， 则取，则，， ∴平面的一个法向量为． 设直线MN与平面所成的角为θ，则 ， 即直线MN与平面所成角的正弦值为. 3．（期中，安徽）如图，在三棱柱中，，，，平面. (1)求证：平面平面； (2)求直线与平面所成角的余弦值. 【答案】(1) 因为，所以， 因为平面，在平面内， 所以， 因为，又都在平面内， 所以平面， 又因为平面， 所以平面平面. (2). 【分析】（1）由，得到平面，即可求证； （2）建系，求得直线方向向量、平面法向量，代入夹角公式即可求解. 【详解】（1）略 （2）因为平面，平面平面， 所以平面，在平面内， 所以， 因为，， 所以. 又由（1）知，，两两垂直， 所以以为坐标原点，，，为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 所以，，. 设平面的法向量为，则， 令，则，， 所以为平面的一个法向量， 而. 设与平面所成角为， 则， 因为， 所以. 4．（期中，河南）如图，已知在正四棱柱中，四边形的边长均为，且分别是的中点. (1)证明：； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1) 在正四棱柱中，以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，， 由，得，所以. (2). 【分析】（1）根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明推理得证. （2）求出平面的法向量，再利用线面角的向量法求解. 【详解】（1）略 （2）设平面的法向量为，而， 则，取，得，又， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 题型 9 二面角（平面与平面夹角） 【模型】两个平面法向量；二面角看图形判断是锐角还是钝角；平面夹角取，余弦加绝对值。 【步骤】 ①求两个平面的法向量； ②计算法向量夹角； ③看图判断二面角实际是锐角还是钝角，确定符号。 【易错】分不清 “二面角” 和 “平面与平面夹角”；不看图直接照搬法向量结果，符号出错。 1．（期中，河南）已知直三棱柱中，侧面为正方形，AB＝BC＝2，E，F分别为AC，的中点，D为棱上的点，． (1)证明：AB⊥平面； (2)证明：BF⊥DE； (3)当为何值时，平面与平面DFE所成角的余弦值最大？并求出这个最大值． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)当时，平面与平面DFE所成角的余弦值最大，最大值为 【分析】（1）根据条件，可得，根据线面垂直的判定定理，可证平面，即可得证. （2）如图作出辅助线，根据线面垂直的性质定理，可证，根据三角形全等，可证，根据线面垂直的判断及性质定理，可证平面，结合线面的位置关系，即可得证. （3）如图建系，求得各点坐标和所需向量的坐标，分别求出平面DFE和平面的法向量，根据二面角的向量求法，可得二面角余弦值的表达式，根据二次函数的性质，即可得答案. 【详解】（1）因为为正方形，所以， 又，且，平面， 所以平面， 因为直三棱柱，所以，所以平面. （2）取BC中点G，连接，如图所示， 因为E、G分别为AC、BC的中点，所以， 则平面， 因为平面，所以， 因为，所以， 则，则，所以， 因为平面， 所以平面， 因为平面，所以， 因为，且平面， 所以平面， 因为D为棱上的点，所以平面， 所以. （3）由（1）得两两垂直，以B为原点，为轴正方向建系，如图所示， 设，则， 则， 设平面DEF的法向量，则， 所以，令，则，所以， 因为平面，所以平面的法向量为， 所以， 所以当时，有最大值， 所以当时，平面与平面DFE所成角的余弦值最大，最大值为 拔高·压轴破难 题型 10 棱上动点参数化问题（存在性、范围） 【模型】棱上动点设参数，写出动点坐标；把角度、平行垂直条件转化为关于的方程，解出后检验。 【步骤】 ①设，写出动点坐标； ②把题目条件（线面角、二面角、垂直）翻译成向量等式； ③解方程；解必须落在[0,1]，否则点不存在。 【易错】算出参数不检验区间，直接写存在，导致错误。 1．（期中，河南）在直三棱柱中，，，为棱的中点，为棱上的动点（与端点不重合）.以为坐标原点，垂直于平面的直线为轴，直线、分别为、轴建立如图所示的空间直角坐标系，则下列说法正确的是（    ） A．点关于平面的对称点的坐标为 B．的取值范围为 C．存在点，使得平面的一个法向量为 D．若，则点到平面的距离为 【答案】ACD 【分析】利用点关于坐标平面的对称性可判断A选项；设，其中，利用空间向量数量积的坐标运算可判断B选项；利用平面法向量的概念可判断C选项；利用空间向量法可判断D选项. 【详解】在中，，， 由余弦定理可得， 因为，故， 由图可得、、、、、、， 对于A选项，点关于平面的对称点的坐标为，A对； 对于B选项，， 设点，其中，则， 所以，B错； 对于C选项，假设存在点，使得平面的一个法向量为， 则，解得，符合题意，C对； 对于D选项，若，则，由C选项可知，此时平面的一个法向量为， 且，则点到平面的距离为，D对. 故选：ACD. 题型 11 翻折（折叠）立体几何综合 【模型】翻折前后：线段长度不变；部分垂直、角度关系改变；优先找翻折后形成的面面垂直作为建系条件。 【步骤】 ①分清哪些长度不变，哪些角度改变； ②找到面面垂直，建立空间直角坐标系； ③向量法求角、距离、存在性。 【易错】不要把折叠前平面内的垂直关系直接照搬到折叠后空间图形。 1．（期中，安徽）如图1，已知长方形ABCD中，AB=2，AD=1，M为DC的中点，将△ADM沿AM折起，得到四棱锥（如图2），使得平面平面ABCM. (1)求证：； (2)（i）若点E是线段上的一动点，当点E在何位置时，二面角的余弦值为. （ii）在（i）的条件下，求三棱锥的外接球体积. 【答案】(1) 在长方形中，，M为DC的中点，则， 平面平面，平面平面，且， 由，得，则平面，又平面， 所以. (2)（i）E在线段三等分点且靠近D1点时；（ii） 【分析】（1）利用面面垂直的性质、线面垂直的性质推理得证. （2）（i）以点为原点建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，再利用面面角的向量法列式求解；（ii）求出外接球的球心，进而求出半径即可得其体积. 【详解】（1）略 （2）（i）过点M作平面的垂线，并以此线为z轴，以直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， ， 由点E是线段上的一动点，设， 则， 平面的法向量为，设平面的法向量为， 则，取，得， 由二面角的余弦值为，得， 解得，点E是线段靠近D1的三等分点， 所以点E是线段靠近D1的三等分点时，二面角的余弦值为. （ii）由（i）知，，则点，线段的中点， 由，得的外心为中点，因此三棱锥的外接球球心 在过垂直于平面的直线上，设三棱锥外接球的球心为O， 由，得，解得， 因此三棱锥外接球半径， 所以三棱锥外接球的体积为. 题型 12 截面问题（向量判断平行，求截面多边形） 【模型】动点满足线面平行，利用向量共面条件，得到动点轨迹；确定截面顶点，求面积。 【步骤】 ①线面平行转化方向向量与法向量垂直； ②得到动点坐标满足等式，判断轨迹； ③找出截面各交点，求多边形面积。 【易错】截面多边形顶点必须落在几何体棱上，不能主观脑补图形。 `1．（期中，福建）如图，在棱长为2的正方体中，为线段上动点（包括端点）.①三棱锥中，点到平面的距离为定值；②过点且平行于平面的平面被正方体截得的多边形的面积为；③直线与平面所成角的正弦值的范围为；以上命题为真命题的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据给定条件，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用点到平面的距离公式求解判断①；作出截面并求出面积判断②；利用线面角的向量法列式求出范围判断③即可. 【详解】在棱长为2的正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，， ,设，则 ，即，， 设平面的法向量为，则，取，得， 对于①，到平面的距离，①正确； 对于②，连接，在中，，面，面， 则面，同理面，而平面， 因此平面平面，即过点且平行于面的平面被正方体 截得的多边形为正，其边长为，面积为，②正确； 对于③，设直线与平面所成角为，则 ，由，得，， 所以直线与面所成角的正弦值的范围为，③错误. 故选：C 2．（期中，安徽）如图，棱长为2的正方体中，P为线段上动点（包括端点），以下命题为真命题的是（    ） A．当点P为中点时，异面直线与BD所成角为 B．三棱锥中，点P到面的距离为定值 C．过点P且平行于面的平面被正方体截得的多边形的面积为 D．直线与面所成角的正弦值的范围为 【答案】BCD 【分析】建立空间直角坐标系，得到各点坐标，计算可判断A；计算平面的法向量为，根据点到平面的距离公式可判断B；确定截面为，计算面积可判断C；根据线面角的向量求法可判断D. 【详解】如图所示建立空间直角坐标系，则，，，， ，，，，设，， ，，， 对A：，，故， 所以异面直线与BD所成角为，故A错误； 对B：设平面的法向量为，则， 取，则，，得到， 又，则点P到面的距离为，故B正确； 对C：如图所示，连接，则， 平面，平面，故平面，同理平面， ，平面，故平面平面， 故截面即为等边三角形，面积为，故C正确； 对D：设直线与面所成角为， 则，， 故，故D正确. 故选：BCD. 3．（期中，安徽）正方体的校长为2，E，F，G分别为的中点．则（    ） A．直线与直线垂直 B．直线与平面平行 C．平面截正方体所得的截面面积为 D．点和点D到平面的距离相等 【答案】BCD 【分析】以D为原点,分别为x轴，y轴，z轴正方向建立空间直角坐标系， 利用向量法可以判断选项ABD；对于C:先做出截面AEFD1，判断其为梯形，直接求面积即可. 【详解】 以D为原点,分别为x轴，y轴，z轴正方向建立空间直角坐标系， 则 所以， 对于A:因为，所以直线与直线不垂直.故A错误； 对于B：设平面AEF的法向量，则取y=1,得.∵且A1G平面AEF,∴直线A1G与平面AEF平行.故B正确； 对于C： 连接∵E,F分别是的中点， ∴面AEF截正方体所得的截面为梯形AEFD1， ∴面AEF截正方体所得的截面面积为：.故C正确； 对于D：由前面可知平面AEF的法向量. ∴点A1到平面AEF的距离， 点D到平面AEF的距离, ∴点和点D到平面的距离相等.故D正确. 故选:BCD. 【点睛】立体几何题目的基本方法： (1)用几何法证明或计算； (2) 向量法：①建立合适的坐标系；②把要用到的向量正确表示；③利用向量法证明或计算. 题型 13 三棱锥、多面体的外接球（结合空间向量） 【模型】设球心坐标(x,y,z)，利用球心到各顶点距离相等列方程组，解出球心，求半径。 【步骤】 ①建系，写出全部顶点坐标； ②设球心，列距离相等方程； ③求解半径，再算表面积或体积。 【易错】方程组计算量大，计算错误；区分外接球、内切球。 1．（期中，河南）如图1，在平行四边形中，，，为的中点.将沿折起，使得，如图2. (1)求证：平面平面； (2)设，是否存在实数，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； (3)求三棱锥的外接球的半径. 【答案】(1) 连接，由题意得为等边三角形，则， 在中，，，， ， 由，，，则，故. 又，则，所以， 又，，平面，所以平面， 又平面，所以平面平面. (2)存在， (3) 【分析】（1）证明平面即可求证； （2）建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量进行求解； （3）取中点，设三棱锥的外接球的球心为，设，由进行求解． 【详解】（1）略 （2）如图，以点为坐标原点，以，所在直线分别为轴，轴，过垂直于平面的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 故，， 由， ， 因为轴垂直平面，故可取平面的一个法向量为， 设直线与平面所成角为， 所以 . 化简得，解得（舍去）， 故存在，使直线与平面所成角的正弦值为. （3）取中点，设三棱锥的外接球的球心为， 由知，点在过点且与平面垂直的直线上，设， 由得， 解得， 从而，即三棱锥的外接球的半径为. 题型 14 异面直线之间的距离 【模型】找同时垂直两条异面直线的方向向量；取两条直线上各一点A,B，距离。 【步骤】 ①求公垂向量； ②取两点构成向量； ③代入投影距离公式。 【易错】需要同时垂直两条异面直线，不是随便一个法向量。 1．（期中，安徽）在正方体中，，点为正方体内部（含表面）的点，且满足，则下列说法正确的是（    ） A．存在点使得平面 B．直线与平面所成角的正弦值范围是 C．异面直线与间的距离为 D．当时，点的轨迹长度为 【答案】ACD 【分析】由题意得在三角形边界及其内部，以为坐标原点建立空间直角坐标系.用空间向量判断平面，即可得与平面的交点符合A选项；方法一：求出点到平面的距离，再根据线面角正弦值的定义即可求出其范围；方法二：用表示出，表示出直线与平面所成角的正弦值，结合的范围与二次函数性质求解即可判断B；用空间向量求解异面直线距离即可判断C；先得出点的轨迹是圆的一部分，再画出三角形求解出对应圆心角即可. 【详解】对A，由题可知，因为点在正方体内部，且，所以在三角形边界及其内部． 以为坐标原点建立如图1所示的空间直角坐标系， ， ，，， 则，故平面， 则存在与平面的交点使得平面，故A正确； 对B，方法一：设点到平面的距离为，易知三角形为等边三角形，且边长为， 则，即，解得， 显然由图知点到内部的点（包括边界）距离最大值为，最小值为点到线段的垂线段距离， 则，即. 方法二：，， ，， 由于，则四边形为平行四边形，则， 又因为平面，平面，所以平面 同理可得平面， 又因为平面，， 所以平面平面， 则取向量与共线为平面的法向量， 设直线与平面所成角为， 则， 由于在三角形边界及其内部，则， 令， ， 则对称轴，且开口向上，则由二次函数性质可得， 当时，， 则当时， 当时，， 则当时，， 则 ，故B错误； 对C，由题意可知，， 设，使得， ，令，解得， 设异面直线与的距离为， 则，故C正确； 对D，， 当时，，， 此时，即平面，则 ， 则，点的轨迹是为圆心，半径为的圆的部分， 由于，则为三角形的重心， 如图2，正三角形边长为，取中点，可得， 则，则， 则点的轨迹长度为，故D选项正确.    故选：ACD. 2．（期中，河南）如图（1），在四棱锥中，平面平面，，，，，，. (1)若，求直线与平面所成角的正弦值； (2)设二面角的大小为，若，求的值； (3)阅读下列“链接”材料，试判断异面直线BE和AD间的距离是否为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由. 链接：运用空间向量求异面直线间的距离如图（2），设、分别为异面直线、上的点，是与直线、都垂直的向量，从而异面直线、间的距离为，即为向量在向量上的投影向量的模. 【答案】(1) (2) (3)是， 【分析】（1）推导出平面，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得直线与平面所成角的正弦值； （2）求出点的坐标，根据空间向量法可得出关于的方程，结合可得出的值； （3）求出异面直线、的公垂线的一个方向向量，结合题中材料可求出异面直线、间的距离. 【详解】（1）在四棱锥中，平面平面，平面平面， ，平面，所以平面， 又因为，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 因为，， 所以、、、、. 若，即为中点，则， 所以，，. 设平面的一个法向量为， 则，令，得， 所以平面的一个法向量为. 设直线与平面所成角为， 则. （2）因为，则， 设平面的一个法向量为， 则，令，得， 所以平面的一个法向量为. 设平面的一个法向量为，则， 令，得，所以平面的一个法向量为. 因为二面角的大小为，且， 得， 整理得，解得，或（舍），所以. （3）由（2）得，故，. 设与直线、都垂直， 所以. 令，可得，，即. 又，所以异面直线和间的距离为. 故异面直线和间的距离为定值. 题型 15 多条件选做 / 开放性问题 【模型】把条件转化方程，看在定义域内有没有解。 【步骤】 ①假设存在，参数化动点； ②转化为方程； ③看解是否符合几何范围，有解写存在，无解写不存在。 【易错】解出数学方程有解，但几何位置不在几何体上，要答不存在。 1．（期中，安徽）如图，在几何体中，四边形是边长为2的正方形，平面，四边形与都是直角梯形，为的中点．    (1)棱上是否存在点，使得平面，并证明； (2)若，求： （i）点到平面的距离； （ii）平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1) 为的中点时，平面， 证明如下： 取的中点，连接．因为为中点， 所以， 因为平面，平面， 所以平面， 因为为中点，为中点， 所以， 因为平面，平面， 所以平面， 因为，平面 所以平面平面， 因为平面， 所以平面. (2)（i）；（ii） 【分析】（1）取的中点，连接，证明平面平面，即可判定； （2）结合题意证明两两垂直，进而建立空间直角坐标系，利用坐标法求解即可. 【详解】（1）略 （2）（i）因为平面，平面， 所以 因为四边形是边长为2的正方形， 所以 所以两两垂直， 因为四边形与都是直角梯形，， 所以， 故以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系．    ， 设平面的法向量， 则，即，取，得， 所以 所以点到平面的距离为. （ii），得， 设平面的法向量， 则，即，取，得， 设平面与平面夹角为， 则. 所以平面与平面夹角的余弦值为 2．（期中，福建）如图（1），在直角梯形中，，，过的中点作交于点，，现将四边形沿着翻折至位置，使得，如图（2）所示． (1)证明：平面； (2)在线段上是否存在一点，使得平面与平面的夹角的余弦值为，若存在，确定点的位置，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) ，，，， 又，，，； ，，四边形为平行四边形，， 即图（2）中，，又，，， ，，平面，平面， 平面，， ，平面，平面. (2)存在，点位于线段靠近点的三等分点，理由如下： 由（1）得：平面，又，两两互相垂直， 以为坐标原点，正方向为轴正方向可建立如图空间直角坐标系， 则，，，， ，，，， 设在线段上是否存在一点，使得平面与平面的夹角的余弦值为，且，， ， 设平面的法向量， 则，令，解得：，， ； 轴平面，平面的一个法向量， ， 解得：（舍）或，， 当点位于线段靠近点的三等分点时，平面与平面的夹角的余弦值为. 【分析】（1）利用勾股定理可分别证得，，根据线面垂直的判定可证得结论； （2）以为坐标原点建立空间直角坐标系，设，根据面面角的向量求法可构造方程求得的值，进而得到结果. 【详解】（1）略 （2）略 $