2025届高三数学二轮复习微专题突破练34：数列的递推关系

微专题34　数列的递推关系 一、单选题 1.数列{an}中，an＋1＝2an＋1，a1＝1，则a100＝(　　) 2100＋1 2101 2100－1 2100 2.已知数列{an}满足：a1＝a2＝2，an＝3an－1＋4an－2(n≥3)，则a9＋a10＝(　　) 47 48 49 410 3.已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝，则满足an>的n的最大取值为(　　) 7 8 9 10 4.设数列{an}的前n项和为Sn, 若Sn＝2an－2n＋1，则S10＝(　　) 211－23 210－19 3×210－23 3×29－19 5.在数列{an}中，a1＝3，an＝2an－1－n＋2，若an>980，则n的最小值是(　　) 8 9 10 11 6.已知数列{an}中，a1＝，an＋1＝an＋an·an＋1，则数列{an}的通项公式为(　　) －n 7.(2024·南昌段测)已知数列{an}满足a1＝3，an＋1＝an＋2＋1，则a10＝(　　) 80 100 120 143 8.(2024·西安统模)已知数列{an}满足a1＝2，a2＝6，且an＋2－2an＋1＋an＝2，若[x]表示不超过x的最大整数(例如[1.6]＝1，[－1.6]＝－2)，则＋＋…＋＝(　　) 2 022 2 023 2 024 2 025 二、多选题 9.已知数列{an}满足a1＝1，an－3an＋1＝2an·an＋1(n∈N*)，则下列结论正确的是(　　) 为等比数列 {an}的通项公式为an＝ {an}为递增数列 的前n项和Tn＝3n－n 10.(2024·烟台调研)已知数列{an}，{bn}满足a1＝2，b1＝，an＋1＝bn＋，bn＋1＝an＋，n∈N*，则下列选项正确的有(　　) ＋＝4 ＝ 当n为奇数时，an＝4bn 当n为偶数时，an＝bn 11.已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依次类推，第n项记为an，数列{an}的前n项和为Sn，则(　　) a60＝16 S18＝128 a＝2k－1 S＝2k－k－1 三、填空题 12.已知数列{an}满足an＋1＝2an－n＋1，a1＝3，则an＝________. 13.已知数列{an}满足：a1＝2，an＋1＝an＋2n，则{an}的通项公式为________. 14.在正项数列{an}中，a1＝1，a2＝10，＝(n＝3，4，5，…).则{an}的通项an＝________. 参考答案 1.C　[数列{an}中，an＋1＝2an＋1， 故an＋1＋1＝2(an＋1)， 因为a1＝1，所以a1＋1＝2≠0， 所以{an＋1}是首项为2，公比为2的等比数列， 所以an＋1＝2n，即an＝2n－1， 故a100＝2100－1.] 2.C　[由题意a1＋a2＝4， 由an＝3an－1＋4an－2(n≥3) 得an＋an－1＝4(an－1＋an－2)， 即＝4(n≥3)， 所以数列{an＋an＋1}是等比数列，公比为4，首项为4，所以a9＋a10＝49.] 3.C　[因为an＋1＝，所以＝4＋， 所以－＝4， 又＝1，数列是以1为首项，4为公差的等差数列，所以＝1＋4(n－1)＝4n－3， 所以an＝，由an>，即>， 即0<4n－3<37，解得<n<10， 因为n为正整数，所以n的最大值为9.] 4.C　[当n＝1时，S1＝a1＝2a1－2＋1， 解得a1＝1.当n≥2时，Sn－1＝2an－1－2n＋3， 所以an＝Sn－Sn－1 ＝2an－2n＋1－(2an－1－2n＋3)， 即an＝2an－1＋2， 所以an＋2＝2(an－1＋2)，即＝2， 所以数列{an＋2}是首项为3，公比为2的等比数列，则an＋2＝3×2n－1，从而Sn＝3×2n－2n－3，故S10＝3×210－23.] 5.C　[因为an＝2an－1－n＋2， 所以an－n＝2[an－1－(n－1)]. 因为a1＝3，所以a1－1＝2，所以数列{an－n}是首项和公比都是2的等比数列， 则an－n＝2n，即an＝2n＋n. 因为an－an－1＝2n－1＋1>0， 所以数列{an}是递增数列. 因为a9＝521<980，a10＝1 034>980，所以满足an>980的n的最小值是10.] 6.D　[由题意，可得an＋1＝an＋an·an＋1， 即－＝－1. 又＝，所以数列是以为首项，公差为－1的等差数列， 所以＝－(n－1)＝－n， 所以an＝.] 7.C　[因为an＋1＝an＋2＋1， 所以an＋1＋1＝()2＋2＋1， 即an＋1＋1＝(＋1)2， 等式两边开方可得＝＋1， 即－＝1， 所以数列{}是首项为＝2， 公差为1的等差数列， 所以＝2＋(n－1)×1＝n＋1， 所以an＝n2＋2n， 所以a10＝102＋20＝120.故选C.] 8.D　[由题设，(an＋2－an＋1)－(an＋1－an)＝2， a2－a1＝4， 故{an＋1－an}是首项为4，公差为2的等差数列，则an＋1－an＝2n＋2， 则(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1) ＝an－a1＝2[n＋(n－1)＋…＋3＋2] ＝(n＋2)(n－1)(n≥2)， 所以an＝n(n＋1)，故＝1＋. 又n∈N*，当n＝1时，＝2， 当n≥2时，＝1， 所以＋＋…＋＝2 025.] 9.AB　[因为an－3an＋1＝2an·an＋1， 所以＋1＝3， 又＋1＝2≠0，所以是以2为首项， 3为公比的等比数列，＋1＝2×3n－1， 即an＝. 所以{an}为递减数列，的前n项和 Tn＝(2×30－1)＋(2×31－1)＋…＋(2×3n－1－1) ＝2(30＋31＋…＋3n－1)－n ＝2×－n＝3n－n－1.] 10.BCD　[因为a1＝2，b1＝，an＋1＝bn＋， bn＋1＝an＋， 所以a2＝b1＋＝1，b2＝a1＋＝4， a3＝b2＋＝5，b3＝a2＋＝， 所以＋＝，故A错误； ＝＝＝，故B正确； 由B选项可知＝＝， 所以＝ 故C，D正确.] 11.AC　[由题意可将数列分组： 第一组为20， 第二组为20，21， 第三组为20，21，22， ……， 则前k组一共有1＋2＋…＋k＝个数. 第k组第k个数为2k－1， 故a＝2k－1，所以C正确. 因为＝55，所以a55＝29， 又＝66， 则a60为第11组第5个数，第11组为20，21，22，23，24，25，26，27，28，29，210， 故a60＝24＝16，所以A正确. 每一组数的和为20＋21＋…＋2k－1＝＝2k－1，故前k组数之和为21＋22＋…＋2k－k＝－k＝2k＋1－2－k， S＝2k＋1－k－2，所以D错误. S15＝26－5－2＝57，S18＝S15＋20＋21＋22 ＝26－5－2＋7＝64，所以B错误.故选AC.] 12.2n＋n　[∵an＋1＝2an－n＋1， ∴an＋1－(n＋1)＝2(an－n)，∴＝2，∴数列{an－n}是以a1－1＝2为首项，2为公比的等比数列， ∴an－n＝2·2n－1＝2n，∴an＝2n＋n.] 13.an＝2n　[由已知得an＋1－an＝2n， 当n≥2时，an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1) ＝2＋2＋22＋…＋2n－1 ＝2＋＝2n， 又a1＝2，也满足上式，故an＝2n.] 14.102　[对＝两边同时取常用对数可得lg an－lg an－1 ＝(lg an－1－lg an－2). 令bn＝lg an＋1－lg an，则b1＝lg a2－lg a1＝1，bn－1＝bn－2(n＝3，4，5，…)， 所以bn＝(n＝1，2，3，…)， 所以lg an＋1－lg an＝， 故＝10， 由累乘法可得＝···…·＝10×10×10×…×10， 因为1＋＋＋…＋＝＝2， 故＝102， 则an＝102， a1＝1，a2＝10均满足an＝102， 因此，对任意的n∈N*，an ＝102.] 学科网（北京）股份有限公司 $$