4.5 第2课时 垂线段与点到直线的距离-【绿卡初中创新题】2024-2025学年新教材七年级下册数学同步课件(湘教版2024)

第4章 平面内的两条直线 第2课时 垂线段与点到直线的距离 4.5 垂 线 学习目标 1.了解垂线段最短的性质；（重、难点） 2.理解点到直线的距离的意义； 3.能度量点到直线的距离. 新课导入 做一做 若直线l经过点P，则直线l的垂线a的画法如图1（1）; 若直线l不经过点P，则直线l的垂线b的画法如图1（2）. 图1 （1） （2） 任意画一条直线l，用三角板或量角器过任意一点P画直线l的垂线. 由此可知，无论点P在直线l上还是在直线l外，过点P都只能画直线l的一条垂线. 理由如下: 假如过点P还有一条直线c，能使c⊥l， 则c∥a(或c∥b). 又直线c与直线a(或直线b)有公共点P，因此这是不可能的. 于是，可得关于垂线的基本事实: 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直. B A P l O C D 图2 如图2，设PO垂直于直线l，O为垂足，线段PO叫作点P到直线l的垂线段．经过点P的其他直线分别交直线l于点A，B，C，D，…，线段PA，PB，PC，PD，…都不是垂线段，称为斜线段. 比较图2中PA，PB，PO，PC，PD五条线段的长度，哪条线段最短？ 说一说 通过比较，我发现垂线段PO最短. 数学上已经证明这一发现是正确的.由此得出： 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短. B A P l O C D 图2 通常简单说成：垂线段最短. 从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫作点到直线的距离.例如，在图2中，垂线段PO的长度叫作点P到直线l的距离. 做一做 （1）量出图3中点P到直线AB的距离. 过点P作直线AB的垂线，垂足是D，量出垂线段PD的长度，即为点P到直线AB的距离. A B P 图3 （2）某单位要在河岸上l上建一个水泵房引水到C处，如图4所示，问建在哪个位置才最节省水管？为什么？ 过点C作l的垂线，设D为垂足，水泵房应建在D处，因为垂线段最短. 图4 做一做 （3）由（1）（2）你会发现可以怎样求点到直线的距离？ 由（1）（2）可知，求点到直线的距离可以转化为求点到点的距离. 做一做 【例3】如图4-47，在△ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC，垂足为点D，AB=5，BC=12，AC=13. 求：(1)点A到直线BC的距离； (2)点B到直线AC的距离． 解 （1）因为∠ABC=90°， 所以AB⊥BC，B为垂足. 所以线段AB即为点A到直线BC的垂线段. 因为AB=5， 所以点A到直线BC的距离为5． 图4-47 （2）因为BD⊥AC，垂足为点C， 所以线段BD的长度即为点B到直线AC的距离． 因为S△ABC= ·BC·AB= ·AC·BD， 所以BD= = = . 所以点B到直线AC的距离为 . 我们常常运用面积相等的方法来解决一些问题. 练习 1.如图，已知AC⊥BC于点C，CD⊥AB于点D，亮亮总结出了如下结论： ①线段AC的长，表示点A到直线BC的距离； ②线段CD的长，表示点C到直线AB的距离； ③线段AD的长，表示点A到直线CD的距离； ④∠ACD是∠BCD的余角． 亮亮总结的结论正确的有（       ）个． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 C 2.如图，点P是直线a外一点，过点P作PA⊥a于点A，在直线a上取一点B，连接PB，使PB=PA，C在线段AB上，连接PC．若PA=4，则线段PC的长不可能是（       ） A. 3.8 B. 4.9 C. 5.6 D. 5.9 解析：因为过点P作PA⊥a于点A，在直线a上取一点B，连接PB，使PB= PA，C在线段AB上，连接PC．若PA＝4， 所以PB＝6， 所以4≤PC≤6，故PC不可能是3.8. A 解析：因为PO⊥AB， 所以PO为垂线段. 因为垂线段最短， 所以PC≥PO. 3.P是直线AB外一点，过点P作PO⊥AB，垂足为O，若C为直线AB上任意一点，则线段PC与线段PO的大小关系是（ ） A. PC＞PO B. PC ＜ PO C. PC≥PO D. PC≤ PO C 4. 如图，从直线 l 外一点 P 向 l 引三条线段PA、PB、PC，其中最短的线段为 ，理由是 ． PB 垂线段最短 l 5.一辆汽车在直线形的公路AB上由A向B行驶，C、D 是分别位于公路AB两侧的加油站. A B C D M N （1）设汽车行驶到公路AB上点M的位置时，距离加油站C最近；行驶到点N的位置时，距离加油站D最近，请在图中分别画出点M、N的位置； （2）当汽车从A出发向B行驶时，在公路AB的哪一段路上距离C、D两加油站都越来越近？在哪一段路上距离加油站D越来越近，而离加油站C却越来越远？ A B C D M N （2）在公路AB的AM段距离C、D两加油站都越来越近，在MN段距离加油站D越来越近，而离加油站C却越来越远. 课堂小结 垂线的基本事实： 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直. 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短. 垂线的性质： 课后作业 1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题。 绿卡图书—走向成功的通行证 $$