第18讲 复数的三角形式（思维导图+4知识点+6考点+过关检测）-【寒假自学课】2025年高一数学寒假提升精品讲义（苏教版2019）

第18讲 复数的三角形式 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．通过复数的几何意义，了解复数的三角表示； 2．了解复数的代数表示与三角表示之间的关系； 3．了解复数乘、除法的三角表示及其几何意义． 知识点1 复数的辐角 1、辐角的定义：设复数的对应向量为，以轴的非负半轴为始边，向量所在的射线（射线）为终边的角，叫做复数的辐角． 2、辐角的主值：根据辐角的定义及任意角的概念可知，任何一个不为零的复数辐角有无限多个值，且这些值相差的整数倍．规定：其中在范围内的辐角的值为辐角的主值，通常记作． 【注意】因为复数0对应零向量，而零向量的方向是任意的，所以复数0的辐角是任意的． 知识点2 复数的三角形式 1、复数的三角形式定义：任何一个复数都可以表示成的形式，其中是复数的模，是复数的辐角． 【注意】复数的三角形式必须满足：模非负，角相同，余正弦，加号连． 2、复数的代数式与三角式互化 （1）将复数化为三角形式时，要注意以下两点： ①， ②，其中终边所在象限与点所在象限相同，当，时，． （2）每一个不等于零的复数有唯一的模与辐角的主值，并且由它的模与辐角的主值唯一确定．因此，两个非零复数相等当且仅当它们的模与辐角的主值分别相等． 知识点3 复数乘法的三角表示 1、复数乘法运算的三角表示：已知，， 则 这就是说，两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和． 2、复数乘法运算的几何意义：两个复数，相乘时，分别画出与，对应的向量，， 然后把向量绕点按逆时针方向旋转（如果，就要把绕点按顺时针方向旋转角），再把它的模变成原来的倍，得到向量，表示的复数就是积，这就是复数乘法的几何意义． 3、复数乘法运算三角表示推广： 特别的，当时，． 知识点4 复数除法的三角表示 1、复数除法运算的三角表示：已知， 则 这就是说，两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商． 商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差． 2、复数除法的几何意义 两个复数，相除时，先分别画出与，对应的向量，，然后把向量绕点按顺时针方向旋转（如果，就要把绕点按逆时针方向旋转角），再把它的模变成原来的倍，得到向量，表示的复数就是商，这就是复数除法的几何意义． 考点一：复数三角形式的判断 例1．复数的三角形式是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】判断下列复数是不是复数的三角形式，并说明理由. (1)； (2)． 【变式1-2】下列复数是不是三角形式？若不是，把它们表示成三角形式． (1)； (2)； (3)z3＝ －2(cos θ＋isin θ)． 【变式1-3】下列复数是否是用三角形式来表示的？为什么？ (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 考点二：复数的辐角的主值 例2.－6的辐角的主值为（    ） A．0 B． C．π D． 【变式2-1】若复数（i为虚数单位），则 . 【变式2-2】（23-24高一下·福建泉州·月考）复数的辐角主值为（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】复数的辐角的主值为（    ） A． B． C． D． 考点三：复数三角式与代数式互化 例3.的三角形式是（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】的三角形式是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（23-24高一下·安徽淮南·期中）复数的三角形式是（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】复数化为代数形式为（    ） A．i B． C． D． 考点四：复数三角形式的乘法运算 例4.（22-23高一下·湖北武汉·期末）已知i为虚数单位，则（    ） A． B．1 C． D．i 【变式4-1】（23-24高一下·甘肃临夏·期末）计算： ． 【变式4-2】（23-24高一下·福建莆田·期中）法国著名的数学家棣莫弗提出了公式：．据此公式，复数的虚部为 ． 【变式4-3】计算下列各式，并用三角形式表示： (1)； (2)； (3). 考点五：复数三角形式的除法运算 例5.（24-25高一下·上海·期末）复数的三角形式是（    ） A．； B．； C．； D．. 【变式5-1】计算的结果是 . 【变式5-2】已知i为虚数单位，计算： . 【变式5-3】计算： (1)； (2). 【变式5-4】计算： (1)； (2). 考点六：复数乘法、除法的几何意义 例6.（22-23高一下·湖北武汉·期中）在复平面内，把与复数对应的向量绕原点O按顺时针方向旋转，则所得向量对应的复数为 （用代数形式表示）． 【变式6-1】（23-24高一下·上海·期中）在平面直角坐标系中，设是坐标原点，向量，将绕点顺时针旋转得到向量，则点的坐标是 ． 【变式6-2】（23-24高一下·江苏南京·期末）在复平面内，常把复数和向量进行一一对应.现把与复数对应的向量绕原点按顺时针方向旋转，所得的向量对应的复数为（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】已知(a，b∈R，且ab≠0)，复平面内，把对应的向量绕原点分别按逆、顺时针方向旋转，得向量，，则，，所对应的复数之和等于（    ） A． B． C． D．0 一、单选题 1．（22-23高一下·福建厦门·期中）已知复数，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·河南安阳·月考）法国数学家棣莫弗发现：，我们称这个结论为棣莫弗定理，则（   ） A．1 B． C． D． 3．（23-24高一下·浙江·期中）法国数学家棣莫弗（1667-1754年）发现了棣莫弗定理：设两个复数，，（，）则．设，则的虚部为（    ） A． B． C． D． 4．设复数的辐角的主值是，则的辐角的主值为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一下·湖北武汉·期中）设复数对应的向量分别为为坐标原点，且，若把绕原点顺时针旋转，把绕原点逆时针旋转，所得两向量的终点重合，则（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高二下·江苏南京·期中）在复平面内，常把复数和向量进行一一对应．现把与复数对应的向量绕原点O按逆时针方向旋转，所得的向量对应的复数为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．下列说法正确的是（    ） A．复数的辐角的主值为 B．复数的辐角的主值为 C．复数的代数形式为 D．复数的三角形式为 8．已知复数z对应的向量为，复数对应的向量为，复数对应的向量为，则下列说法正确的是（    ） A．将的模扩大为原来的2倍，再逆时针旋转可得到 B．将的模扩大为原来的2倍，再顺时针旋转可得到 C．将的模缩小为原来的，再逆时针旋转可得到 D．将的模缩小为原来的，再顺时针旋转可得到 三、填空题 9．（23-24高一下·福建宁德·月考）欧拉公式（i为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知，若表示复数z，则 . 10．（24-25高三上·江西南昌·月考）已知复数满足，则复数的辐角的主值是 . 四、解答题 11．（23-24高一下·四川成都·期中）我们知道，复数可以用的形式来表示，与复平面内的点是一一对应的，复数的模，即是复平面内的点到坐标原点的距离．又复数与平面向量也是一一对应的，所以也可以借助与非负半轴为始边，以向量所在射线（射线OZ）为终边的角来刻画的方向，在此基础上再来认识一下复数的乘除法运算． 如：，，角；，，角，由．即：复数，相当于将复数伸长了倍，同时逆时针旋转角后得到． (1)计算，并从模与角度的变化来解释除法运算的几何意义； (2)现将直角坐标平面内任意一点，绕坐标原点逆时针旋转角，并将的长度伸长倍后得到点．请借助以上复数运算的知识，推导点与点伸缩旋转变换的坐标关系； (3)已知反比例函数，现将函数上的点都逆时针旋转后得到点的曲线，求曲线上的点坐标关系式． 12．（23-24高一下·湖南长沙·期末）任意一个复数的代数形式都可写成复数三角形式，即，其中为虚数单位，.棣莫弗定理由法国数学家棣莫弗（1667~1754）创立.设两个复数用三角函数形式表示为：，则：.如果令，则能导出复数乘方公式：.请用以上知识解决以下问题. (1)试将写成三角形式； (2)试应用复数乘方公式推导三倍角公式：； (3)计算：的值. ( 5 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第18讲 复数的三角形式 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．通过复数的几何意义，了解复数的三角表示； 2．了解复数的代数表示与三角表示之间的关系； 3．了解复数乘、除法的三角表示及其几何意义． 知识点1 复数的辐角 1、辐角的定义：设复数的对应向量为，以轴的非负半轴为始边，向量所在的射线（射线）为终边的角，叫做复数的辐角． 2、辐角的主值：根据辐角的定义及任意角的概念可知，任何一个不为零的复数辐角有无限多个值，且这些值相差的整数倍．规定：其中在范围内的辐角的值为辐角的主值，通常记作． 【注意】因为复数0对应零向量，而零向量的方向是任意的，所以复数0的辐角是任意的． 知识点2 复数的三角形式 1、复数的三角形式定义：任何一个复数都可以表示成的形式，其中是复数的模，是复数的辐角． 【注意】复数的三角形式必须满足：模非负，角相同，余正弦，加号连． 2、复数的代数式与三角式互化 （1）将复数化为三角形式时，要注意以下两点： ①， ②，其中终边所在象限与点所在象限相同，当，时，． （2）每一个不等于零的复数有唯一的模与辐角的主值，并且由它的模与辐角的主值唯一确定．因此，两个非零复数相等当且仅当它们的模与辐角的主值分别相等． 知识点3 复数乘法的三角表示 1、复数乘法运算的三角表示：已知，， 则 这就是说，两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和． 2、复数乘法运算的几何意义：两个复数，相乘时，分别画出与，对应的向量，， 然后把向量绕点按逆时针方向旋转（如果，就要把绕点按顺时针方向旋转角），再把它的模变成原来的倍，得到向量，表示的复数就是积，这就是复数乘法的几何意义． 3、复数乘法运算三角表示推广： 特别的，当时，． 知识点4 复数除法的三角表示 1、复数除法运算的三角表示：已知， 则 这就是说，两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商． 商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差． 2、复数除法的几何意义 两个复数，相除时，先分别画出与，对应的向量，，然后把向量绕点按顺时针方向旋转（如果，就要把绕点按逆时针方向旋转角），再把它的模变成原来的倍，得到向量，表示的复数就是商，这就是复数除法的几何意义． 考点一：复数三角形式的判断 例1．复数的三角形式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】.故选：D. 【变式1-1】判断下列复数是不是复数的三角形式，并说明理由. (1)； (2)． 【答案】(1)不是，理由见解析；(2)不是，理由见解析； 【解析】（1）括号内两项中间不是加号，故不是复数的三角形式， 其三角形式为. （2）不满足复数的模大于等于0，故不是复数的三角形式， 其三角形式为. 【变式1-2】下列复数是不是三角形式？若不是，把它们表示成三角形式． (1)； (2)； (3)z3＝ －2(cos θ＋isin θ)． 【答案】(1)是三角形式．；(2)不是三角形式，； (3)不是三角形式，z3＝2[cos(π＋θ)＋isin (π＋θ)]． 【解析】（1）符合三角形式的结构特征，是三角形式． （2）由“加号连”知，不是三角形式． ， 模，.复数对应的点在第三象限，所以取， 所以； （3）由“模非负”知，不是三角形式． 复平面上的点Z1(－2cos θ，－2sin θ)在第三象限(假定θ为锐角)， 余弦“－cos θ”已在前，不需要变换三角函数名称， 因此可用诱导公式“π＋θ”将θ变换到第三象限． 所以z3＝－2(cos θ＋isin θ)＝2[cos(π＋θ)＋isin (π＋θ)]． 【变式1-3】下列复数是否是用三角形式来表示的？为什么？ (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】答案见解析 【解析】（1），，，满足复数三角形式，所以正确； （2），不满足复数的三角形式，所以不正确； （3），，满足复数的三角形式，所以正确； （4），，，满足复数的三角形式，正确； （5），不满足复数的三角形式，不是复数的模，所以不正确； （6）不满足复数的三角形式，的前面是，不是，所以不正确． 考点二：复数的辐角的主值 例2.－6的辐角的主值为（    ） A．0 B． C．π D． 【答案】C 【解析】，辐角的主值.故选：C. 【变式2-1】若复数（i为虚数单位），则 . 【答案】 【解析】设辐角为，由辐角性质得，且 所以. 【变式2-2】（23-24高一下·福建泉州·月考）复数的辐角主值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为， 所以的辐角主值为.故选：C 【变式2-3】复数的辐角的主值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】. ∵，∴，，∴. ∵辐角的主值的取值范围为， ∴复数z的辐角的主值为.故选：C. 考点三：复数三角式与代数式互化 例3.的三角形式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意得，故D正确.故选：D 【变式3-1】的三角形式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，故B正确； 经检验，ACD都错误.故选：B 【变式3-2】（23-24高一下·安徽淮南·期中）复数的三角形式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】依题意，令， 则，所以， 因为，所以， 所以的三角形式是.故选：D. 【变式3-3】复数化为代数形式为（    ） A．i B． C． D． 【答案】D 【解析】.故选：D. 考点四：复数三角形式的乘法运算 例4.（22-23高一下·湖北武汉·期末）已知i为虚数单位，则（    ） A． B．1 C． D．i 【答案】D 【解析】 故选：D 【变式4-1】（23-24高一下·甘肃临夏·期末）计算： ． 【答案】 【解析】. 故答案为： 【变式4-2】（23-24高一下·福建莆田·期中）法国著名的数学家棣莫弗提出了公式：．据此公式，复数的虚部为 ． 【答案】 【解析】， 故其虚部为. 【变式4-3】计算下列各式，并用三角形式表示： (1)； (2)； (3). 【答案】(1)；(2)；(3) 【解析】（1）原式 （2）原式 （3）原式. 考点五：复数三角形式的除法运算 例5.（24-25高一下·上海·期末）复数的三角形式是（    ） A．； B．； C．； D．. 【答案】C 【解析】， 故选：C. 【变式5-1】计算的结果是 . 【答案】 【解析】， 同理可得， 原式． 故答案为： 【变式5-2】已知i为虚数单位，计算： . 【答案】 【解析】原式 . 【变式5-3】计算： (1)； (2). 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）原式 （2）原式. 【变式5-4】计算： (1)； (2). 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）根据复数的三角形式的运算法则， 可得：. （2）根据复数的三角形式的运算法则， 可得： . 考点六：复数乘法、除法的几何意义 例6.（22-23高一下·湖北武汉·期中）在复平面内，把与复数对应的向量绕原点O按顺时针方向旋转，则所得向量对应的复数为 （用代数形式表示）． 【答案】 【解析】复数对应的向量绕原点O按顺时针方向旋转，则所得向量对应的复数为 . 【变式6-1】（23-24高一下·上海·期中）在平面直角坐标系中，设是坐标原点，向量，将绕点顺时针旋转得到向量，则点的坐标是 ． 【答案】 【解析】设向量对应的复数是，则， 所以对应的复数是： ， ， 所以的坐标是. 【变式6-2】（23-24高一下·江苏南京·期末）在复平面内，常把复数和向量进行一一对应.现把与复数对应的向量绕原点按顺时针方向旋转，所得的向量对应的复数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据题意可知，复数对应的向量绕原点O按顺时针方向旋转可得 ， 即所得的向量对应的复数为.故选：A. 【变式6-3】已知(a，b∈R，且ab≠0)，复平面内，把对应的向量绕原点分别按逆、顺时针方向旋转，得向量，，则，，所对应的复数之和等于（    ） A． B． C． D．0 【答案】D 【解析】易知向量，对应的复数分别为， ； 所以； 故选：D 一、单选题 1．（22-23高一下·福建厦门·期中）已知复数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，所以.故选：C 2．（23-24高一下·河南安阳·月考）法国数学家棣莫弗发现：，我们称这个结论为棣莫弗定理，则（   ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【解析】.故选：B 3．（23-24高一下·浙江·期中）法国数学家棣莫弗（1667-1754年）发现了棣莫弗定理：设两个复数，，（，）则．设，则的虚部为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据题意，由， 可得. 故虚部为.故选：C 4．设复数的辐角的主值是，则的辐角的主值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为， 所以的辐角的主值为.故选：D. 5．（23-24高一下·湖北武汉·期中）设复数对应的向量分别为为坐标原点，且，若把绕原点顺时针旋转，把绕原点逆时针旋转，所得两向量的终点重合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由已知得， 所以绕原点顺时针旋转得 ， 由绕原点逆时针旋转，所得两向量的终点重合得， 所以.故选：B. 6．（23-24高二下·江苏南京·期中）在复平面内，常把复数和向量进行一一对应．现把与复数对应的向量绕原点O按逆时针方向旋转，所得的向量对应的复数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据题意可知， 复数对应的向量绕原点O按逆时针方向旋转可得 ， 即所得的向量对应的复数为.故选：A 二、多选题 7．下列说法正确的是（    ） A．复数的辐角的主值为 B．复数的辐角的主值为 C．复数的代数形式为 D．复数的三角形式为 【答案】AC 【解析】对于A，因为，故的辐角的主值为，故A正确； 对于B，而，故的辐角的主值不是，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，，故，故D错误.故选：AC. 8．已知复数z对应的向量为，复数对应的向量为，复数对应的向量为，则下列说法正确的是（    ） A．将的模扩大为原来的2倍，再逆时针旋转可得到 B．将的模扩大为原来的2倍，再顺时针旋转可得到 C．将的模缩小为原来的，再逆时针旋转可得到 D．将的模缩小为原来的，再顺时针旋转可得到 【答案】AD 【解析】因为， ， 所以，将的模扩大为原来的2倍，再逆时针旋转可得到， 将的模缩小为原来的，再顺时针旋转可得到.故选：AD. 三、填空题 9．（23-24高一下·福建宁德·月考）欧拉公式（i为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知，若表示复数z，则 . 【答案】1 【解析】由题意得， 所以. 10．（24-25高三上·江西南昌·月考）已知复数满足，则复数的辐角的主值是 . 【答案】 【解析】由， 可得： 即， ， ， ， 复数的辐角的主值是. 四、解答题 11．（23-24高一下·四川成都·期中）我们知道，复数可以用的形式来表示，与复平面内的点是一一对应的，复数的模，即是复平面内的点到坐标原点的距离．又复数与平面向量也是一一对应的，所以也可以借助与非负半轴为始边，以向量所在射线（射线OZ）为终边的角来刻画的方向，在此基础上再来认识一下复数的乘除法运算． 如：，，角；，，角，由．即：复数，相当于将复数伸长了倍，同时逆时针旋转角后得到． (1)计算，并从模与角度的变化来解释除法运算的几何意义； (2)现将直角坐标平面内任意一点，绕坐标原点逆时针旋转角，并将的长度伸长倍后得到点．请借助以上复数运算的知识，推导点与点伸缩旋转变换的坐标关系； (3)已知反比例函数，现将函数上的点都逆时针旋转后得到点的曲线，求曲线上的点坐标关系式． 【答案】(1)答案见解析；(2)；(3) 【解析】（1）令，，， 则，，，，， 复数相当于将复数缩短了倍，顺时针旋转了得到 （2）设点对应的复数为：，设：， 点对应的复数为，则 所以 （3）由（2）知：，， 代入反比例函数得到，化简得：． 12．（23-24高一下·湖南长沙·期末）任意一个复数的代数形式都可写成复数三角形式，即，其中为虚数单位，.棣莫弗定理由法国数学家棣莫弗（1667~1754）创立.设两个复数用三角函数形式表示为：，则：.如果令，则能导出复数乘方公式：.请用以上知识解决以下问题. (1)试将写成三角形式； (2)试应用复数乘方公式推导三倍角公式：； (3)计算：的值. 【答案】(1)；(2)答案见解析；(3) 【解析】（1）由于，故， 则； （2）设模为1的复数为， 则 ， 由复数乘方公式可得， 故，； （3）首先证明：， 由于，则， 则 ，故， 则可得， ， 所以 . ( 5 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$