第14讲 余弦定理、正弦定理的应用（思维导图+2知识点+6考点+过关检测）-【寒假自学课】2025年高一数学寒假提升精品讲义（苏教版2019）

第14讲 余弦定理、正弦定理的应用 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．认识实际测量中有关名称和术语； 2．会用余弦定理、正弦定理解决生产实践中有关距离、高度、角度的测量等问题． 知识点1 实际测量中的有关名称、术语 1、仰角与俯角 （1）仰角：在同一铅垂平面内，视线在水平线上方时与水平线的夹角． （2）俯角：在同一铅垂平面内，视线在水平线下方时与水平线的夹角． 2、方向角：从指定方向线到目标方向线的水平角（指定方向线是指正北或正南或正东或正西，方向角小于90°） 3、方位角：从正北的方向线按顺时针到目标方向线所转过的水平角． 知识点2 利用解三角形解决实际问题 1、测量距离问题解决办法 （1）两点间不可通又不可视(如图①)：可取某点C，使得A，B与C之间的距离可直接测量，测出AC＝b，BC＝a以及∠ACB＝γ，利用余弦定理得：AB＝． （2）两点间可视但不可到达(如图②)：可选取与B同侧的点C，测出BC＝a以及∠ABC和∠ACB，先使用内角和定理求出∠BAC，再利用正弦定理求出AB． （3）两点都不可到达(如图③)：在河边测量对岸两个建筑物之间的距离，可先在一侧选取两点C，D，测出CD＝m，∠ACB，∠BCD，∠ADC，∠ADB，再在△BCD中求出BC，在△ADC中求出AC，最后在△ABC中，由余弦定理求出AB． 2、测量高度问题三个注意事项 （1）在处理有关高度问题时，要理解仰角、俯角(它是在铅垂面上所成的角)、方向(位)角(它是在水平面上所成的角)是关键． （2）在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易搞错． （3）注意山或塔垂直于地面或海平面，把空间问题转化为平面问题． 3、测量角度问题三个注意事项 （1）测量角度时，首先应明确方位角及方向角的含义； （2）求角的大小时，先在三角形中求出其正弦或余弦值； （3）在解应用题时，要根据题意正确画出示意图，通过这一步可将实际问题转化为可用数学方法解决的问题，解题过程中也要注意体会正、余弦定理综合使用的优点． 4、利用解三角形解决实际问题的方法步骤 （1）解决方法：选择合适的辅助测量点，构造三角形，将问题转化为某个三角形的边长问题，从而利用正、余弦定理求解． （2）应用正、余弦定理解斜三角形应用题的一般步骤 ①分析：理解题意，分清已知与位置，画出示意图； ②建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型中； ③求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解三角形，求得数学模型的解； ④检验：检验上述所求的解是否具有实际意义，从而得出实际问题的解． 考点一：测量距离问题 例1．（23-24高一下·福建龙岩·期中）如图，某数学兴趣小组的成员为了测量某直线型河流的宽度，在该河流的一侧岸边选定A，B两处，在该河流的另一侧岸边选定处，测得米，，则该河流的宽度是（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【变式1-1】（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·月考）如图，在海面上有两个观测点，点B在D的正北方向，距离为2km，在某天观察到某航船在C处，此时测得，5分钟后该船行驶至A处，此时测得，，，则该船行驶的距离（    ） A．km B．km C．km D．km 【变式1-2】（23-24高一下·浙江杭州·期末）如图，计划在两个山顶间架设一条索道.为测量间的距离，施工单位测得以下数据：两个山顶的海拔高，在同一水平面上选一点，在处测得山顶的仰角分别为和，且测得，则间的距离为（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（23-24高一下·四川眉山·月考）某景区准备在两座山峰的山顶之间建设索道，要预先测量这两个山顶之间的距离.设两座山峰的山顶分别为，它们对应的山脚位置分别为，在山脚附近的一块平地上找到一点，（所在的平面与山体垂直），使得是以为斜边的等腰直角三角形，现从处测得到两点的仰角分和，若到的距离为1千米，则两个峰顶的直线距离为（    ） A．千米 B．千米 C．千米 D．千米 考点二：测量高度问题 例2.（23-24高一下·湖北·月考）中国古代四大名楼之首黄鹤楼，位于湖北省武汉市武昌区，因唐代诗人崔颢登楼所题《黄鹤楼》一诗而名扬四海.如图，某同学为测量黄鹤楼的高度，在黄鹤楼的正东方向找到一座建筑物，高约为26，在地面上点处（三点共线）测得建筑物顶部，黄鹤楼顶部的仰角分别为和，在处测得楼顶部的仰角为，则黄鹤楼的高度约为（    ） A．64 B．74 C．52 D．91 【变式2-1】（23-24高一下·新疆乌鲁木齐·月考）如图，风景秀美的宝湖公园有一颗高大的银杏树，某研究小组为测量树的高度，在地面上选取了两点，从两点测得树尖的仰角分别为30和，且两点间的距离为，则这颗银杏树的高度为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（23-24高一下·江苏南京·月考）如图，为了测量某铁塔的高度，测量人员选取了与该塔底在同一平面内的两个观测点与，现测得，，米，在点处测得塔顶的仰角为，则该铁塔的高度约为（    ）（参考数据：，，，） A．米 B．米 C．米 D．米 【变式2-3】（23-24高一下·江苏江阴·月考）为测量塔的高度，因地理条件的限制，分别选择点和一建筑物的楼顶为测量观测点，已知点为塔底，在水平地面上，塔和建筑物均垂直于地面（如图所示）.测得，，在点处测得点的仰角为，在点处测得点的仰角为，则塔的高度约为（    ）（，精确到） A． B． C． D． 考点三：测量角度问题 例3.（23-24高一下·广东茂名·月考）一艘渔船航行到处时看灯塔在的南偏东，距离为海里，灯塔在的北偏东，距离为海里，该渔船由沿正东方向继续航行到处时再看灯塔在其南偏西方向，则此时灯塔位于渔船的（    ） A．南偏东方向 B．南偏西方向 C．北偏西方向 D．北偏西方向 【变式3-1】（23-24高一下·广东广州·月考）一艘游轮航行到处时看灯塔在的北偏东，距离为海里，灯塔在的北偏西，距离为海里，该游轮由沿正北方向继续航行到处时再看灯塔在其南偏东方向，则此时灯塔位于游轮的 方向用方向角作答 【变式3-2】（22-23高一下·福建宁德·期末）位于某海域A处的甲船获悉，在其正东方向相距20nmile的B处有一艘渔船遇险后抛锚等待营救，甲船立即前往救援，同时把消息告知位于甲船南偏西，且与甲船相距10nmile的C处的乙船．乙船也立即朝着渔船前往营救，则＝（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（23-24高一下·浙江温州·期中）如图，在坡度一定的山坡处测得山顶上一建筑物的顶端对于山坡的斜度为，向山顶前进到达处，在处测得对于山坡的斜度为.若，山坡与地平面的夹角为，则等于（    ） A． B． C． D． 考点四：解三角形的综合应用题 例4.（23-24高一下·广东肇庆·月考）成都天府绿道专为骑行而建，以绿道为线，串联上百个生态公园，一路上树木成荫、鸟语花香，目前已然成为成都新的城市名片．成都市政府为升级绿道沿途风景，计划在某段全长200米的直线绿道一侧规划一个三角形区域做绿化，如图，已知，为提升美观度，设计师拟将绿化区设计为一个锐角三角形． (1)若米，求的长； (2)绿化完成后，某游客在绿道的另一侧空地上寻找最佳拍照打卡点，该游客从到，再从到，然后从到，最终返回点拍照．已知，求游客所走路程的最大值． 【变式4-1】（23-24高一下·广东佛山·月考）如图，某大型厂区有三个值班室，值班室在值班室的正北方向3千米处，值班室在值班室的正东方向4千米处，仓库在边上且满足． (1)求仓库到值班室的距离； (2)保安甲沿从值班室出发行前往值班室，保安乙沿从值班室出发行前往值班室，甲乙同时出发，甲的速度为，乙的速度为．若甲乙两人通过对讲机联系，对讲机在厂区内的最大通话距离不大于3千米，请问有多长时间两人不能通话？ 【变式4-2】（23-24高一下·上海宝山·月考）2021年5月，第十届中国花卉博览会将在美丽的崇明岛举办，主办方要对布展区域精心规划.如图，凸四边形ABCD是一个花卉布展区域的平面示意图，为了展示不同品种的花卉，将BD连接，经测量已知 (1)若 ，求此花卉布展区域总面积； (2)求证： 为一个定值； (3)在锐角中，内角A，B，C对的边分别为a，b，c.若 ，求的取值范围 【变式4-3】（23-24高一下·辽宁大连·期末）如图，某沿海地区计划铺设一条电缆联通，两地，地位于岸边东西方向的直线上，地位于海上一个灯塔处，在地用测角器测得的大小，设，已知.在地正东方向的点处，用测角器测得.在直线上选一点，设，且，先沿线段在地下铺设电缆，再沿线段在水下铺设电缆.已知地下、水下的电缆铺设费用分别为3万元，6万元. (1)求，两点间的距离； (2)设铺设电缆总费用为. ①求的表达式； ②求铺设电缆总费用的最小值，并确定此时的长度. 考点五：三角形的中线与角平分线 例5.（23-24高一下·重庆涪陵·期中）在中，已知，，为的中点，则线段长度的最大值为（    ） A．3 B． C．2 D． 【变式5-1】（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·月考）在中，，，，角B的平分线交AC于点D，则 . 【变式5-2】（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·月考）已知在三角形中，，，，且边，上的中线，交于点. (1)求的长； (2)求的值. 【变式5-3】（23-24高一下·安徽马鞍山·月考）在中，内角的对边分别为，已知，且． (1)求A； (2)已知角A的平分线交于点M，若，求的周长． 考点六：解三角形中的最值范围问题 例6.（23-24高一下·河南南阳·月考）在中，若，为的中点，，则面积的最大值为（    ） A． B．2 C．3 D． 【变式6-1】（23-24高一下·重庆·期末）在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求的值； (2)求的取值范围． 【变式6-2】（23-24高一下·江苏盐城·月考）已知锐角的内角A，B，C所对的边分别为，向量，，且. (1)求角C的值； (2)若，求的取值范围. 【变式6-3】（23-24高一下·江苏扬州·月考）在中，角的对边分别为，已知. (1)求； (2)若为锐角三角形，且， （i）求角的取值范围； （ii）求面积的取值范围. 一、单选题 1．（23-24高一下·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图所示，为了测量两岛屿间的距离，小胡同学在处观测到分别在处的北偏西，北偏东方向.再往正东方向行驶100海里至处，观测到在处的北偏西方向，在处的北偏东方向，则两岛屿间的距离约为（    ）（参考数据：） A．169.50海里 B．175.10海里 C．182.30海里 D．191.40海里 2．（23-24高一下·江苏·月考）玉泉寺铁塔位于湖北省当阳县城西15公里的覆船山东麓玉泉寺门前，全称“如来舍利宝塔”，又称当阳铁塔.它始建于北宋嘉祐六年公元1061年，由玉泉寺僧务本禅师领工铸建，是我国最高、最重和保存最完整的铁塔.如图，某测绘小组为了测量玉泉寺铁塔的实际高度PO，选取了与塔底O在同一水平面内的3个测量基点A，B，三点共线，现测得米，米，在点A、点B测得塔顶P的仰角均为，在点C测得塔顶P的仰角为，则塔高参考数据：取，，，，，，（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 3．（22-23高一下·重庆·期末）如图，某人匍匐在垂直于水平地面的墙面前的点处进行射击训练.已知点到墙面的距离为，某目标点沿墙面上的射线匀速移动，此人为了准确瞄准目标点，需计算由点观察点的仰角的大小.若，，，则移动瞄准过程中的最大值为（    ）(仰角为直线与平面所成角) A． B． C． D． 4．（23-24高一下·江苏无锡·期末）如图，曲柄连杆机构中，曲柄绕C点旋转时，通过连杆的传递，活塞做直线往复运动.当曲柄在位置时，曲柄和连杆成一条直线，连杆的端点在处.设连杆长，曲柄CB长，则曲柄自按顺时针方向旋转53.2°时，活塞移动的距离（即连杆的端点移动的距离）约为（    ）（结果保留整数）（参考数据：） A． B． C． D． 5．（23-24高一下·重庆·期末）已知D是某人工湖上的一个小岛，A、B、C是湖边的三栋建筑（A，B，C，D在同一平面内）.若CD之间有直线型栈道，长为30m.在C点测得，；在D点测得，，则AB之间直线距离为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一下·江苏无锡·期末）在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．（23-24高一下·广东潮州·月考）北江是珠江流域的重要水系之一，发源于江西省信丰县小茅山，流经广东韶关､清远等地，最终在思贤滘与西江相通.如图，在北江的一侧江岸选取两个测量基点，在北江的另一侧江岸选取两个测量基点，若测得，则（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高一下·甘肃天水·期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，则（    ） A．若，则 B．若，则 C．面积的最大值为 D．周长的最大值为 三、填空题 9．（23-24高一下·广东佛山·月考）如图，测量队员在山脚处测得山顶的仰角为，沿着倾斜角为的斜坡向上走400米到达处，在处测得山顶的仰角为与在同一水平面上，四点在同一铅垂面上，则山的高度OP为 米． 10．（23-24高一下·广东湛江·月考）在锐角中，角的对边分别为为的面积，且，则的取值范围为 . 四、解答题 11．（23-24高一下·广东湛江·月考）如图，某运动员从市出发沿海岸一条笔直的公路以每小时的速度向东进行长跑训练，长跑开始时，在市南偏东方向距市，且与海岸距离为的海上处有一艘小艇与运动员同时出发，要追上这位运动员. (1)小艇至少以多大的速度行驶才能追上这位运动员？ (2)求小艇以最小速度行驶时的行驶方向与的夹角. 12．（23-24高一下·重庆·月考）在中，内角，，所对的边分别是，，，且，. (1)若，求边上的角平分线长； (2)求边上的中线的取值范围. ( 5 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第14讲 余弦定理、正弦定理的应用 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．认识实际测量中有关名称和术语； 2．会用余弦定理、正弦定理解决生产实践中有关距离、高度、角度的测量等问题． 知识点1 实际测量中的有关名称、术语 1、仰角与俯角 （1）仰角：在同一铅垂平面内，视线在水平线上方时与水平线的夹角． （2）俯角：在同一铅垂平面内，视线在水平线下方时与水平线的夹角． 2、方向角：从指定方向线到目标方向线的水平角（指定方向线是指正北或正南或正东或正西，方向角小于90°） 3、方位角：从正北的方向线按顺时针到目标方向线所转过的水平角． 知识点2 利用解三角形解决实际问题 1、测量距离问题解决办法 （1）两点间不可通又不可视(如图①)：可取某点C，使得A，B与C之间的距离可直接测量，测出AC＝b，BC＝a以及∠ACB＝γ，利用余弦定理得：AB＝． （2）两点间可视但不可到达(如图②)：可选取与B同侧的点C，测出BC＝a以及∠ABC和∠ACB，先使用内角和定理求出∠BAC，再利用正弦定理求出AB． （3）两点都不可到达(如图③)：在河边测量对岸两个建筑物之间的距离，可先在一侧选取两点C，D，测出CD＝m，∠ACB，∠BCD，∠ADC，∠ADB，再在△BCD中求出BC，在△ADC中求出AC，最后在△ABC中，由余弦定理求出AB． 2、测量高度问题三个注意事项 （1）在处理有关高度问题时，要理解仰角、俯角(它是在铅垂面上所成的角)、方向(位)角(它是在水平面上所成的角)是关键． （2）在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易搞错． （3）注意山或塔垂直于地面或海平面，把空间问题转化为平面问题． 3、测量角度问题三个注意事项 （1）测量角度时，首先应明确方位角及方向角的含义； （2）求角的大小时，先在三角形中求出其正弦或余弦值； （3）在解应用题时，要根据题意正确画出示意图，通过这一步可将实际问题转化为可用数学方法解决的问题，解题过程中也要注意体会正、余弦定理综合使用的优点． 4、利用解三角形解决实际问题的方法步骤 （1）解决方法：选择合适的辅助测量点，构造三角形，将问题转化为某个三角形的边长问题，从而利用正、余弦定理求解． （2）应用正、余弦定理解斜三角形应用题的一般步骤 ①分析：理解题意，分清已知与位置，画出示意图； ②建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型中； ③求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解三角形，求得数学模型的解； ④检验：检验上述所求的解是否具有实际意义，从而得出实际问题的解． 考点一：测量距离问题 例1．（23-24高一下·福建龙岩·期中）如图，某数学兴趣小组的成员为了测量某直线型河流的宽度，在该河流的一侧岸边选定A，B两处，在该河流的另一侧岸边选定处，测得米，，则该河流的宽度是（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【解析】在中，由，得， ， 由正弦定理得，即， 因此边上的高为， 所以该河流的宽度是米.故选：A 【变式1-1】（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·月考）如图，在海面上有两个观测点，点B在D的正北方向，距离为2km，在某天观察到某航船在C处，此时测得，5分钟后该船行驶至A处，此时测得，，，则该船行驶的距离（    ） A．km B．km C．km D．km 【答案】A 【解析】, ， 在中，，，则， 又因为，所以km. 在中，，，则. 由正弦定理，得AB=km， 在中，，由余弦定理得 ，即km，故选：A. 【变式1-2】（23-24高一下·浙江杭州·期末）如图，计划在两个山顶间架设一条索道.为测量间的距离，施工单位测得以下数据：两个山顶的海拔高，在同一水平面上选一点，在处测得山顶的仰角分别为和，且测得，则间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意，可得，且 在中，可得， 在中，可得， 在中，由余弦定理得 ， 所以.故选：C. 【变式1-3】（23-24高一下·四川眉山·月考）某景区准备在两座山峰的山顶之间建设索道，要预先测量这两个山顶之间的距离.设两座山峰的山顶分别为，它们对应的山脚位置分别为，在山脚附近的一块平地上找到一点，（所在的平面与山体垂直），使得是以为斜边的等腰直角三角形，现从处测得到两点的仰角分和，若到的距离为1千米，则两个峰顶的直线距离为（    ） A．千米 B．千米 C．千米 D．千米 【答案】A 【解析】依题意可知，， ，由于是直角梯形， 所以千米.故选：A 考点二：测量高度问题 例2.（23-24高一下·湖北·月考）中国古代四大名楼之首黄鹤楼，位于湖北省武汉市武昌区，因唐代诗人崔颢登楼所题《黄鹤楼》一诗而名扬四海.如图，某同学为测量黄鹤楼的高度，在黄鹤楼的正东方向找到一座建筑物，高约为26，在地面上点处（三点共线）测得建筑物顶部，黄鹤楼顶部的仰角分别为和，在处测得楼顶部的仰角为，则黄鹤楼的高度约为（    ） A．64 B．74 C．52 D．91 【答案】C 【解析】在中，， ，， 在中，， 由，， 在中，m.故选：C. 【变式2-1】（23-24高一下·新疆乌鲁木齐·月考）如图，风景秀美的宝湖公园有一颗高大的银杏树，某研究小组为测量树的高度，在地面上选取了两点，从两点测得树尖的仰角分别为30和，且两点间的距离为，则这颗银杏树的高度为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】在中，， ， 由正弦定理得，则， 在中，，因此， 所以这颗银杏树的高度为.故选：B. 【变式2-2】（23-24高一下·江苏南京·月考）如图，为了测量某铁塔的高度，测量人员选取了与该塔底在同一平面内的两个观测点与，现测得，，米，在点处测得塔顶的仰角为，则该铁塔的高度约为（    ）（参考数据：，，，） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 【解析】在中，， 则， ， 由正弦定理，可得， 在中，可得. 所以该铁塔的高度约为米．故选：C. 【变式2-3】（23-24高一下·江苏江阴·月考）为测量塔的高度，因地理条件的限制，分别选择点和一建筑物的楼顶为测量观测点，已知点为塔底，在水平地面上，塔和建筑物均垂直于地面（如图所示）.测得，，在点处测得点的仰角为，在点处测得点的仰角为，则塔的高度约为（    ）（，精确到） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】平面，平面， 过点作，交于点，则有，， 在中，因为，所以， 在中，因为，所以， 则.故选：B. 考点三：测量角度问题 例3.（23-24高一下·广东茂名·月考）一艘渔船航行到处时看灯塔在的南偏东，距离为海里，灯塔在的北偏东，距离为海里，该渔船由沿正东方向继续航行到处时再看灯塔在其南偏西方向，则此时灯塔位于渔船的（    ） A．南偏东方向 B．南偏西方向 C．北偏西方向 D．北偏西方向 【答案】D 【解析】如图， 由题意，在中，，，， 由正弦定理得，所以， 在中，因为，， 由余弦定理得， 所以， 由正弦定理得，所以， 因为，故为锐角， 故，此时灯塔C位于渔船的北偏西方向.故选：D. 【变式3-1】（23-24高一下·广东广州·月考）一艘游轮航行到处时看灯塔在的北偏东，距离为海里，灯塔在的北偏西，距离为海里，该游轮由沿正北方向继续航行到处时再看灯塔在其南偏东方向，则此时灯塔位于游轮的 方向用方向角作答 【答案】南偏西 【解析】如图，在中，， 由正弦定理得 ，解得， 在中，由余弦定理得 ， 因为，所以解得， 由正弦定理得，解得， 故或， 因为，故为锐角，所以， 此时灯塔位于游轮的南偏西方向． 故答案为：南偏西 【变式3-2】（22-23高一下·福建宁德·期末）位于某海域A处的甲船获悉，在其正东方向相距20nmile的B处有一艘渔船遇险后抛锚等待营救，甲船立即前往救援，同时把消息告知位于甲船南偏西，且与甲船相距10nmile的C处的乙船．乙船也立即朝着渔船前往营救，则＝（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 由题意， 由余弦定理得，，∴， 由正弦定理得，，即，解得．故选：A． 【变式3-3】（23-24高一下·浙江温州·期中）如图，在坡度一定的山坡处测得山顶上一建筑物的顶端对于山坡的斜度为，向山顶前进到达处，在处测得对于山坡的斜度为.若，山坡与地平面的夹角为，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，所以， 在中，由正弦定理得， 又， 解得， 在中，由正弦定理得， 解得，即， 所以.故选：. 考点四：解三角形的综合应用题 例4.（23-24高一下·广东肇庆·月考）成都天府绿道专为骑行而建，以绿道为线，串联上百个生态公园，一路上树木成荫、鸟语花香，目前已然成为成都新的城市名片．成都市政府为升级绿道沿途风景，计划在某段全长200米的直线绿道一侧规划一个三角形区域做绿化，如图，已知，为提升美观度，设计师拟将绿化区设计为一个锐角三角形． (1)若米，求的长； (2)绿化完成后，某游客在绿道的另一侧空地上寻找最佳拍照打卡点，该游客从到，再从到，然后从到，最终返回点拍照．已知，求游客所走路程的最大值． 【答案】(1)米；(2)米 【解析】（1）在中，由余弦定理得， 所以米； （2）因为，所以，记， 由正弦定理得， 即， 所以， ， 其中， 所以当时，的最大值为米. 即游客所走路程的最大值为米. 【变式4-1】（23-24高一下·广东佛山·月考）如图，某大型厂区有三个值班室，值班室在值班室的正北方向3千米处，值班室在值班室的正东方向4千米处，仓库在边上且满足． (1)求仓库到值班室的距离； (2)保安甲沿从值班室出发行前往值班室，保安乙沿从值班室出发行前往值班室，甲乙同时出发，甲的速度为，乙的速度为．若甲乙两人通过对讲机联系，对讲机在厂区内的最大通话距离不大于3千米，请问有多长时间两人不能通话？ 【答案】(1)千米；(2)小时 【解析】（1）是直角三角形，且，则， ，又，在中，； （2）设甲乙出发后的时间为小时，甲在线段上的位置为， 乙在线段上的位置为， 则，且， 由（1）可知：， 在中，由余弦定理可知：， 即：， 若甲乙不能通话，则，即，解得或， 又，故不能通话的时间为小时. 【变式4-2】（23-24高一下·上海宝山·月考）2021年5月，第十届中国花卉博览会将在美丽的崇明岛举办，主办方要对布展区域精心规划.如图，凸四边形ABCD是一个花卉布展区域的平面示意图，为了展示不同品种的花卉，将BD连接，经测量已知 (1)若 ，求此花卉布展区域总面积； (2)求证： 为一个定值； (3)在锐角中，内角A，B，C对的边分别为a，b，c.若 ，求的取值范围 【答案】(1)；(2)证明见解析；(3) 【解析】（1）由题意，在 中，且 ， 则， 又由余弦定理，得，解得， 又在中，， 得 ， 所以， 所以的面积为， 所以花卉布展区域的总面积为 （2）在中，因为，所以， 在中，，由余弦定理，得， 所，则 ， 得，所以 为一个定值1. （3）因为在锐角中，内角A，B，C对的边分别为a，b，c， 因为， 所以 ，则， 所以，所以， 所以 ， 又，则， 则，故 所以的取值范围为. 【变式4-3】（23-24高一下·辽宁大连·期末）如图，某沿海地区计划铺设一条电缆联通，两地，地位于岸边东西方向的直线上，地位于海上一个灯塔处，在地用测角器测得的大小，设，已知.在地正东方向的点处，用测角器测得.在直线上选一点，设，且，先沿线段在地下铺设电缆，再沿线段在水下铺设电缆.已知地下、水下的电缆铺设费用分别为3万元，6万元. (1)求，两点间的距离； (2)设铺设电缆总费用为. ①求的表达式； ②求铺设电缆总费用的最小值，并确定此时的长度. 【答案】(1)；(2)①；②万元，. 【解析】（1）在中，由，得，解得， 则， 由正弦定理，得， 所以，两点间的距离. （2）①在中，由正弦定理得， 解得，， 所以. ②令，则，则， 其中锐角由确定，于是， 则有，而，解得，当且仅当时取等号， 即当时，有最小值， 所以总费用的最小值为万元，此时的长度为. 考点五：三角形的中线与角平分线 例5.（23-24高一下·重庆涪陵·期中）在中，已知，，为的中点，则线段长度的最大值为（    ） A．3 B． C．2 D． 【答案】B 【解析】由余弦定理得，即，即， 又，，即，当且仅当时等号成立. ， . .故选：B 【变式5-1】（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·月考）在中，，，，角B的平分线交AC于点D，则 . 【答案】 【解析】在中，， 又∵， ∴，∴. 故答案为： 【变式5-2】（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·月考）已知在三角形中，，，，且边，上的中线，交于点. (1)求的长； (2)求的值. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）在中，根据余弦定理, 即，得，所以的长为； （2）在中，，，，所以， 点分别是的中点， 所以，， ，， 所以 【变式5-3】（23-24高一下·安徽马鞍山·月考）在中，内角的对边分别为，已知，且． (1)求A； (2)已知角A的平分线交于点M，若，求的周长． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）因为，由正弦定理得， 所以， 又因为， 所以，可得， 因为，可得，所以，所以， 又因为，所以. （2）因为，交的内角平分线交于点，且， ， 又因为， 所以，可得， 由余弦定理得：， 整理得，解得或（舍去）， 所以，即的周长为. 考点六：解三角形中的最值范围问题 例6.（23-24高一下·河南南阳·月考）在中，若，为的中点，，则面积的最大值为（    ） A． B．2 C．3 D． 【答案】B 【解析】设，由于， 所以，故， 所以 ， 故当时，此时取最大值4，故面积的最大值为2.故选：B 【变式6-1】（23-24高一下·重庆·期末）在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求的值； (2)求的取值范围． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）由及正弦定理得：． ，可得：, ，且是锐角三角形， ，可得：． （2）,，． ，,． ． . 【变式6-2】（23-24高一下·江苏盐城·月考）已知锐角的内角A，B，C所对的边分别为，向量，，且. (1)求角C的值； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1)；(2). 【解析】（1）因为， 所以， 方法一：利用正弦定理角化边得， 又，，则， 又为锐角三角形，故. 方法二：由和差公式可得， 又因为，所以， 又为锐角三角形，故. （2）由正弦定理得，， 由于为锐角三角形，则， 又，解得， 方法一：所以 ， 而，即， ，故的取值范围为. 方法二：所以，所以， 又，所以， 由余弦定理得， 记， 易知在上单调递增， 所以，即， 所以的取值范围为. 【变式6-3】（23-24高一下·江苏扬州·月考）在中，角的对边分别为，已知. (1)求； (2)若为锐角三角形，且， （i）求角的取值范围； （ii）求面积的取值范围. 【答案】(1)；(2)（i）；（ii） 【解析】（1）因为， 由正弦定理得， 因为，所以． 由，可得， 所以，所以， 因为，则，所以，所以， 因为，所以，则； （2）（i）因为为锐角三角形，所以，， 由（1）知，，即，所以，即角的取值范围为； （ii）由题设及（1）知，的面积， 由正弦定理得． 因为，所以，则，， 所以，从而． 因此面积的取值范围是． 一、单选题 1．（23-24高一下·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图所示，为了测量两岛屿间的距离，小胡同学在处观测到分别在处的北偏西，北偏东方向.再往正东方向行驶100海里至处，观测到在处的北偏西方向，在处的北偏东方向，则两岛屿间的距离约为（    ）（参考数据：） A．169.50海里 B．175.10海里 C．182.30海里 D．191.40海里 【答案】A 【解析】在中，由题意得， 所以，. 在中，由题意得，，所以， 由正弦定理得，所以. 在中，，， 所以海里.故选：A. 2．（23-24高一下·江苏·月考）玉泉寺铁塔位于湖北省当阳县城西15公里的覆船山东麓玉泉寺门前，全称“如来舍利宝塔”，又称当阳铁塔.它始建于北宋嘉祐六年公元1061年，由玉泉寺僧务本禅师领工铸建，是我国最高、最重和保存最完整的铁塔.如图，某测绘小组为了测量玉泉寺铁塔的实际高度PO，选取了与塔底O在同一水平面内的3个测量基点A，B，三点共线，现测得米，米，在点A、点B测得塔顶P的仰角均为，在点C测得塔顶P的仰角为，则塔高参考数据：取，，，，，，（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 【解析】由题意得，，所以是等腰三角形， 取的中点，连接，则，， 由勾股定理得， 所以，则，解得，所以. 故选：C. 3．（22-23高一下·重庆·期末）如图，某人匍匐在垂直于水平地面的墙面前的点处进行射击训练.已知点到墙面的距离为，某目标点沿墙面上的射线匀速移动，此人为了准确瞄准目标点，需计算由点观察点的仰角的大小.若，，，则移动瞄准过程中的最大值为（    ）(仰角为直线与平面所成角) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】过点在平面内作直线的垂线，垂足为点，如图， 则由仰角的定义得 ， 由题意 ，设，则 ， 当点与不重合时，在 中， ， 当点与重合时，上式也成立， 在 中，   ， 当时， 取最大值， 综上，的最大值为 .故选：C. 4．（23-24高一下·江苏无锡·期末）如图，曲柄连杆机构中，曲柄绕C点旋转时，通过连杆的传递，活塞做直线往复运动.当曲柄在位置时，曲柄和连杆成一条直线，连杆的端点在处.设连杆长，曲柄CB长，则曲柄自按顺时针方向旋转53.2°时，活塞移动的距离（即连杆的端点移动的距离）约为（    ）（结果保留整数）（参考数据：） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】在中，，，， 因为，所以. 由余弦定理得： 所以或（舍去）. 因为，所以.故选：B 5．（23-24高一下·重庆·期末）已知D是某人工湖上的一个小岛，A、B、C是湖边的三栋建筑（A，B，C，D在同一平面内）.若CD之间有直线型栈道，长为30m.在C点测得，；在D点测得，，则AB之间直线距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】在中，，，则，所以， 因为，， 所以， 因为，所以， 在中，由正弦定理得，所以，得， 在中，由余弦定理得 ，所以.故选：A. 6．（23-24高一下·江苏无锡·期末）在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】在中，可得 因为,可得 整理可得：， 整理可得， 在锐角中，可得，可得.则，可得. 由正弦定理可得，. 因为，所以，可得，可得故选：B. 二、多选题 7．（23-24高一下·广东潮州·月考）北江是珠江流域的重要水系之一，发源于江西省信丰县小茅山，流经广东韶关､清远等地，最终在思贤滘与西江相通.如图，在北江的一侧江岸选取两个测量基点，在北江的另一侧江岸选取两个测量基点，若测得，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】由题意可得，， 则， ， 所以是等边三角形， 在中，由正弦定理得，解得. 设与交于点，可得，即， 在直角中，，所以， 即，， ， 所以.故选：ACD. 8．（23-24高一下·甘肃天水·期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，则（    ） A．若，则 B．若，则 C．面积的最大值为 D．周长的最大值为 【答案】BCD 【解析】对于A，若，又，，由正弦定理得，故A错误； 对于B，由题意，，，由正弦定理得，故B正确； 对于C，由余弦定理得，， 所以，当且仅当时取等号， 所以，所以面积的最大值为，故C正确； 对于D，由，，及余弦定理得， ，所以， 当且仅当时取等号，所以的周长， 所以周长的最大值为，故D正确.故选：BCD 三、填空题 9．（23-24高一下·广东佛山·月考）如图，测量队员在山脚处测得山顶的仰角为，沿着倾斜角为的斜坡向上走400米到达处，在处测得山顶的仰角为与在同一水平面上，四点在同一铅垂面上，则山的高度OP为 米． 【答案】 【解析】过点作,垂足为,过作,垂足为， 在直角中，,可得, 在直角中，,可得：, 在直角中，,可得：, 所以可得：, ,即, 所以,再由, 再由图中三个直角可知四边形是矩形，所以, 即, 故答案为：. 10．（23-24高一下·广东湛江·月考）在锐角中，角的对边分别为为的面积，且，则的取值范围为 . 【答案】 【解析】因，代入可得，整理得，， 由余弦定理，，则得，， 两边平方，化简得，，即，解得或0， 因为为锐角三角形，所以. 由正弦定理得（*）， ， 又为锐角三角形，，则，即 故则， 令，代入（*）式可得， ， 因函数在上单调递减，在上单调递增， 则， 又， 因为，故. 故答案为：. 四、解答题 11．（23-24高一下·广东湛江·月考）如图，某运动员从市出发沿海岸一条笔直的公路以每小时的速度向东进行长跑训练，长跑开始时，在市南偏东方向距市，且与海岸距离为的海上处有一艘小艇与运动员同时出发，要追上这位运动员. (1)小艇至少以多大的速度行驶才能追上这位运动员？ (2)求小艇以最小速度行驶时的行驶方向与的夹角. 【答案】(1)；(2). 【解析】（1）设小艇以的速度从处出发，沿方向，后与运动员在处相遇，过作的垂线， 则，在中，， 则. 由余弦定理，得， 即. 整理得. 当，即时，取得最小值9，即， 所以小艇至少以的速度行驶才能追上这位运动员. （2）当时， 在中，， 由余弦定理，得，所以， 所以小艇以最小速度行驶时的行驶方向与所成的角为. 12．（23-24高一下·重庆·月考）在中，内角，，所对的边分别是，，，且，. (1)若，求边上的角平分线长； (2)求边上的中线的取值范围. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）因为，根据正弦定理有， 所以， 即， ， ，即， 又，所以，因为，所以， 由及余弦定理得，即， 又因为，所以， 所以， 所以，即，所以 （2）因为是的中点，所以， 则， 因为，，由余弦定理有：，即，所以 由正弦定理得：， 即， 因为，所以， 所以，所以， 所以，所以， 所以，即边上的中线的取值范围为. ( 5 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$