第13讲 正弦定理（思维导图+3知识点+6考点+过关检测）-【寒假自学课】2025年高一数学寒假提升精品讲义（苏教版2019）

第13讲 正弦定理 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．能借助向量的运算，探索三角形边长与角度的关系； 2．掌握正弦定理，并能利用正弦定理解三角形、判断三角形解的个数问题； 3．理解三角形面积公式的推导过程，掌握三角形的面积公式； 4．了解正弦、余弦定理在平面几何中的应用． 知识点1 正弦定理 1、正弦定理的表示：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即． 【注意】正弦定理的特点 （1）适用范围：正弦定理对任意的三角形都成立． （2）结构形式：分子为三角形的边长，分母为相应边所对角的正弦的连等式． （3）刻画规律：正弦定理刻画了三角形中边与角的一种数量关系，可以实现三角形中边角关系的互化． 2、正弦定理推论：在中，内角所对的边分别为，外接圆半径为 ①， ②， ③，，， ④， ⑤，，（实现边和角的互相转化） 3、正弦定理的证明 当是锐角三角形时，设边的高是． 根据三角函数的定义，，， 所以，得到． 同理，在中． 从以上的讨论和探究可得：． 知识点2 三角形的面积公式 在中，内角所对的边分别为， 边，，边上的高分别记作，，， 为内切圆半径，为外接圆半径，为内切圆心． （1） （2） 证明：当为锐角三角形时，作于点， 设的面积为，则； 当为钝角三角形时，作边长的高， 则， ∴； 当为直角三角形时，上述结论依然成立。 （3） 证明： （4） 证明： 知识点3 正弦定理的应用 1、正弦定理解决的两类问题 （1）类型1：已知两角及一边解三角形 方法概要：①首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值； ②如果已知的角为大边所对的角时，由三角形中大边对大角、大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角，由正弦值可求锐角唯一； ③如果已知的角为小边所对的角时，则不能判断另一边所对的角为锐角，这时由正弦值可求两个角，要分类讨论 （2）类型2：已知两边及一边对角，解三角形（三角形多解问题） 在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下： 为锐角 为钝角或直角 图形 关系式 解的个数 一解 两解 一解 一解 无解 2、利用正弦定理判断三角形的形状 （1）法一化角为边：将题目中的所有条件，利用正弦定理化角为边，再根据多项式的有关知识(分解因式、配方等)得到边的关系，如a＝b，a2＋b2＝c2等，进而确定三角形的形状． 利用的公式为：sin A＝，sin B＝，sin C＝ （2）法二化边为角：将题目中所有的条件，利用正弦定理化边为角，再根据三角函数的有关知识得到三个内角的关系，进而确定三角形的形状．利用的公式为：a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2RsinC 考点一：正弦定理解三角形 例1．（23-24高一下·广西玉林·期中）中，角所对的边分别为，若，则（    ） A． B． C． D．或 【变式1-1】（24-25高一上·广东佛山·开学考试）在中，，则的长为（    ） A． B．4 C． D．5 【变式1-2】（23-24高一下·贵州黔东南·期末）在中，，则（    ） A． B． C．1 D．2 【变式1-3】（23-24高一下·河南商丘·期中）在中，，，，则（    ） A． B． C． D． 考点二：三角形解的个数判断 例2.（23-24高一下·天津西青·期末）由下列条件解，其中有两解的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（23-24高一下·河南漯河·月考）（多选）在中，根据下列条件解三角形，其中恰有一解的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【变式2-2】（23-24高一下·江苏宿迁·期中）如果满足，， 的有且只有一个，那么实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（23-24高一下·福建宁德·月考）在中，，，，若满足条件的有2个，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 考点三：三角形的面积公式 例3.（23-24高一下·云南·月考）在中，，，，则的面积为（    ） A． B． C． D．1 【变式3-1】（23-24高一下·陕西安康·期中）在中，，，，则的面积 . 【变式3-2】（23-24高一下·天津南开·月考）在中，角的对边分别为，且的面积为，，则 ． 【变式3-3】（23-24高一下·四川遂宁·月考）在中，角对应的边分别为，已知，且，则的面积为 ． 考点四：三角形的外接圆问题 例4.（23-24高一下·山东·期中）的内角的对边分别为．已知，，，则的外接圆半径为（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（23-24高一下·甘肃平凉·月考）已知三内角的对边分别为，，，且满足，，则的外接圆的面积为 . 【变式4-2】（24-25高一下·河北保定·月考）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，，，则外接圆的面积是 . 【变式4-3】（23-24高一下·重庆荣昌·月考）在锐角中，，为的垂心，，则的外接圆周长为（    ） A． B． C． D． 考点五：正弦定理边角互化应用 例5.（23-24高二下·四川达州·期中）记的内角的对边分别是已知，则角为（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（23-24高一下·江苏淮安·月考）在中，若则（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·月考）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】（23-24高一下·河南安阳·月考）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，，则ab的值为（    ） A． B． C． D．3 考点六：正弦定理判断三角形形状 例6.（22-23高一下·江苏南通·月考）在中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，若，则的形状是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 【变式6-1】（23-24高一下·安徽马鞍山·期末）在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，则为（    ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【变式6-2】（23-24高一下·河北·期中）在中，角的对边分别为，已知，则的形状是（    ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 【变式6-3】（23-24高一下·山西运城·月考）已知中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，则的形状是（    ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 一、单选题 1．（23-24高一下·贵州·期中）在中，若，则是（    ） A． B．或 C．或 D． 2．（23-24高一下·江苏常州·期末）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则（    ） A．2 B． C．3 D． 3．（23-24高一下·陕西西安·月考）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则（    ） A．1 B． C． D． 4．（23-24高一下·天津河北·期中）在中，角所对的边分别为，若，则的形状是（    ） A．等腰直角三角形 B．等腰三角形或直角三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形 5．（23-24高一下·山东聊城·期中）已知的内角，，的对边分别为，，，若，，，则（    ） A． B． C． D．或 6．（23-24高一下·广东珠海·月考）在等边三角形的三边上各取一点，，，满足，，，则三角形的面积的最大值是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．（23-24高一下·江苏南京·月考）在中，角，，所对的边分别为，，，且，则下列结论正确的是（    ） A． B．是锐角三角形 C．若，则内切圆半径为 D．若，则外接圆半径为 8．（23-24高一下·江苏盐城·月考）以下关于正弦定理或其变形正确的有（    ） A．在中， B．在中，若，则 C．在中，是的充要条件 D．在中， 三、填空题 9．（23-24高一上·黑龙江绥化·期末）在中，为角C的平分线，若，，则等于 ． 10．（23-24高一下·江苏徐州·期中）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若满足，的三角形有且只有一个，则b的一个值为 ． 四、解答题 11．（23-24高一下·河北保定·月考）在中，内角A，B，C所对边分别为a，b，c，已知. (1)求角A的大小； (2)若，的面积为，求的周长. 12．（23-24高一下·江苏无锡·月考）已知△ABC的内角所对的边是且 (1)求； (2)若，求△ABC的面积. ( 5 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第13讲 正弦定理 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．能借助向量的运算，探索三角形边长与角度的关系； 2．掌握正弦定理，并能利用正弦定理解三角形、判断三角形解的个数问题； 3．理解三角形面积公式的推导过程，掌握三角形的面积公式； 4．了解正弦、余弦定理在平面几何中的应用． 知识点1 正弦定理 1、正弦定理的表示：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即． 【注意】正弦定理的特点 （1）适用范围：正弦定理对任意的三角形都成立． （2）结构形式：分子为三角形的边长，分母为相应边所对角的正弦的连等式． （3）刻画规律：正弦定理刻画了三角形中边与角的一种数量关系，可以实现三角形中边角关系的互化． 2、正弦定理推论：在中，内角所对的边分别为，外接圆半径为 ①， ②， ③，，， ④， ⑤，，（实现边和角的互相转化） 3、正弦定理的证明 当是锐角三角形时，设边的高是． 根据三角函数的定义，，， 所以，得到． 同理，在中． 从以上的讨论和探究可得：． 知识点2 三角形的面积公式 在中，内角所对的边分别为， 边，，边上的高分别记作，，， 为内切圆半径，为外接圆半径，为内切圆心． （1） （2） 证明：当为锐角三角形时，作于点， 设的面积为，则； 当为钝角三角形时，作边长的高， 则， ∴； 当为直角三角形时，上述结论依然成立。 （3） 证明： （4） 证明： 知识点3 正弦定理的应用 1、正弦定理解决的两类问题 （1）类型1：已知两角及一边解三角形 方法概要：①首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值； ②如果已知的角为大边所对的角时，由三角形中大边对大角、大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角，由正弦值可求锐角唯一； ③如果已知的角为小边所对的角时，则不能判断另一边所对的角为锐角，这时由正弦值可求两个角，要分类讨论 （2）类型2：已知两边及一边对角，解三角形（三角形多解问题） 在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下： 为锐角 为钝角或直角 图形 关系式 解的个数 一解 两解 一解 一解 无解 2、利用正弦定理判断三角形的形状 （1）法一化角为边：将题目中的所有条件，利用正弦定理化角为边，再根据多项式的有关知识(分解因式、配方等)得到边的关系，如a＝b，a2＋b2＝c2等，进而确定三角形的形状． 利用的公式为：sin A＝，sin B＝，sin C＝ （2）法二化边为角：将题目中所有的条件，利用正弦定理化边为角，再根据三角函数的有关知识得到三个内角的关系，进而确定三角形的形状．利用的公式为：a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2RsinC 考点一：正弦定理解三角形 例1．（23-24高一下·广西玉林·期中）中，角所对的边分别为，若，则（    ） A． B． C． D．或 【答案】A 【解析】由题意，在中，则，所以， 因为，所以或，又，所以．故选：A 【变式1-1】（24-25高一上·广东佛山·开学考试）在中，，则的长为（    ） A． B．4 C． D．5 【答案】C 【解析】根据三角形内角和为，所以可知， 则， 根据正弦定理可知，代入解之可得.故选：C 【变式1-2】（23-24高一下·贵州黔东南·期末）在中，，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【解析】因为，由正弦定理，即，解得.故选：D 【变式1-3】（23-24高一下·河南商丘·期中）在中，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由，，得，由正弦定理得， 所以，故选：C. 考点二：三角形解的个数判断 例2.（23-24高一下·天津西青·期末）由下列条件解，其中有两解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于A，由，,由正弦定理可得, 由和可知和只有唯一解，所以只有唯一解，因此A不正确； 对于B，因为，由余弦定理可知只有唯一解， 所以三角形的三个边唯一确定，即只有唯一解，因此B不正确； 对于C，因为，由正弦定理得， 即，又，所以， 所以角只有唯一解，即只有唯一解，因此C不正确； 对于D，因为，由正弦定理得， 所以，又，所以， 所以角有两个解，即有两个解，因此D正确.故选：D. 【变式2-1】（23-24高一下·河南漯河·月考）（多选）在中，根据下列条件解三角形，其中恰有一解的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】BC 【解析】A中，因为，有，所以该三角形无解，故A错误； B中，因为，为锐角，有，所以该三角形有一解，故B正确； C中，因为，为锐角，有，所以该三角形有一解，故C正确； D中，因为，为锐角，有，所以该三角形有两解，故D错误.故选：BC. 【变式2-2】（23-24高一下·江苏宿迁·期中）如果满足，， 的有且只有一个，那么实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为在中，，， 所以到距离， 因为有且只有一个，所以由图可知或， 即实数的取值范围是.故选：D 【变式2-3】（23-24高一下·福建宁德·月考）在中，，，，若满足条件的有2个，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据正弦定理，，则， 若满足条件的有两个，则，解得， 所以的取值范围是.故选：D. 考点三：三角形的面积公式 例3.（23-24高一下·云南·月考）在中，，，，则的面积为（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【解析】因为，角是锐角，所以， 由余弦定理，，解得， 所以的面积.故选：B. 【变式3-1】（23-24高一下·陕西安康·期中）在中，，，，则的面积 . 【答案】 【解析】在中，由余弦定理得， 则， 所以的面积. 故答案为： 【变式3-2】（23-24高一下·天津南开·月考）在中，角的对边分别为，且的面积为，，则 ． 【答案】 【解析】因为，且的面积为， 则，可得， 由余弦定理可得， 因此，. 故答案为: . 【变式3-3】（23-24高一下·四川遂宁·月考）在中，角对应的边分别为，已知，且，则的面积为 ． 【答案】 【解析】因为， 在中，由正弦定理得，即， 由余弦定理得，因为，所以； 因为在中，由正弦定理，即， 所以，所以， 所以，所以， 所以或（舍）所以的面积为． 故答案为：. 考点四：三角形的外接圆问题 例4.（23-24高一下·山东·期中）的内角的对边分别为．已知，，，则的外接圆半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由余弦定理得，， 因为，所以， 则正弦定理得外接圆半径，故选：A． 【变式4-1】（23-24高一下·甘肃平凉·月考）已知三内角的对边分别为，，，且满足，，则的外接圆的面积为 . 【答案】 【解析】因为，由正弦定理可知， 且，可知， 则，可知，即为直角三角形， 所以的外接圆的半径为，面积为. 故答案为：. 【变式4-2】（24-25高一下·河北保定·月考）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，，，则外接圆的面积是 . 【答案】 【解析】在中，由，得，而， 由余弦定理得， 由正弦定理得外接圆， 所以外接圆的面积是. 故答案为： 【变式4-3】（23-24高一下·重庆荣昌·月考）在锐角中，，为的垂心，，则的外接圆周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设为外接圆的外心，连接并延长交于点，连接、、，如图所示， 由为外接圆的外心可知，， 又因为为垂心，所以， 所以，同理：， 所以四边形为平行四边形，所以， 又因为， 所以在中，，即， 所以，所以外接圆周长为.故选：D. 考点五：正弦定理边角互化应用 例5.（23-24高二下·四川达州·期中）记的内角的对边分别是已知，则角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】在中，由及正弦定理，得， 则，整理得，而， 因此，而，所以.故选：B 【变式5-1】（23-24高一下·江苏淮安·月考）在中，若则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据正弦定理边角互化可知， 所以.故选：A 【变式5-2】（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·月考）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，所以， 所以，从而得，即， 又，所以， 又因为，所以.故选：B. 【变式5-3】（23-24高一下·河南安阳·月考）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，，则ab的值为（    ） A． B． C． D．3 【答案】C 【解析】因为， 所以， 因为，所以，， 所以，所以，即.故选：C 考点六：正弦定理判断三角形形状 例6.（22-23高一下·江苏南通·月考）在中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，若，则的形状是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 【答案】A 【解析】由，结合正弦定理可得：， ，可得：， ，则的形状为等腰三角形．故选：A 【变式6-1】（23-24高一下·安徽马鞍山·期末）在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，则为（    ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】C 【解析】由正弦定理得， 其中，所以， 因为，所以，故， 因为，所以，故为直角三角形.故选：C 【变式6-2】（23-24高一下·河北·期中）在中，角的对边分别为，已知，则的形状是（    ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 【答案】D 【解析】化简得：，， 根据正弦定理整理可得，因为 即，所以或， 可得或或, 所以等腰三角形或直角三角形．故选：D． 【变式6-3】（23-24高一下·山西运城·月考）已知中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，则的形状是（    ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 【答案】C 【解析】由正弦定理及，得， 所以， 得， 因为，，所以，，所以， 因为，所以，为直角三角形．故选：C. 一、单选题 1．（23-24高一下·贵州·期中）在中，若，则是（    ） A． B．或 C．或 D． 【答案】C 【解析】在中，由正弦定理得， 而，所以或．故选：C 2．（23-24高一下·江苏常州·期末）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】A 【解析】由，可得， 又，所以，解得， 又因为，，所以，所以， 由正弦定理可得，所以，解得.故选：A. 3．（23-24高一下·陕西西安·月考）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【解析】，则由正弦定理得， 即， 因为，所以，所以.故选：C 4．（23-24高一下·天津河北·期中）在中，角所对的边分别为，若，则的形状是（    ） A．等腰直角三角形 B．等腰三角形或直角三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形 【答案】B 【解析】已知等式利用正弦定理化简得：， 整理得：，即， 所以，即， 所以， 所以， 所以，则或， 因为， 所以，所以为等腰三角形或直角三角形．故：B． 5．（23-24高一下·山东聊城·期中）已知的内角，，的对边分别为，，，若，，，则（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【解析】由题意知：在△ABC中，，则为锐角， 所以，因为，且，所以为锐角或钝角， 当，则， 于是 ， 又由 ，，可得 ， 当，则， 于是 ， 又由，，可得，故选：D. 6．（23-24高一下·广东珠海·月考）在等边三角形的三边上各取一点，，，满足，，，则三角形的面积的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，，，所以， 设，， 则，，， 在中由正弦定理，即， 所以， 在中由正弦定理，即，所以， 所以 （其中）， 所以，则， 即三角形的面积的最大值是.故选：A 二、多选题 7．（23-24高一下·江苏南京·月考）在中，角，，所对的边分别为，，，且，则下列结论正确的是（    ） A． B．是锐角三角形 C．若，则内切圆半径为 D．若，则外接圆半径为 【答案】AC 【解析】因为，所以设，，，且， 对于A：由正弦定理，得，即选项A正确； 对于B：因为，所以角最大，则， 即为钝角，即是钝角三角形，即选项B错误； 对于C：若，则，， 因为，所以，则， 设的内切圆半径为，则，解得，即选项C正确； 对于D：若，由正弦定理，得，即，即选项D错误.故选：AC. 8．（23-24高一下·江苏盐城·月考）以下关于正弦定理或其变形正确的有（    ） A．在中， B．在中，若，则 C．在中，是的充要条件 D．在中， 【答案】ACD 【解析】对于A：在中，由正弦定理可得，故A正确； 对于B：在中，若，则或， 所以或，所以或，故B错误； 对于C：在中，，故C正确； 对于D：在中，，故D正确.故选：ACD. 三、填空题 9．（23-24高一上·黑龙江绥化·期末）在中，为角C的平分线，若，，则等于 ． 【答案】 【解析】因为为角C的平分线，所以， 因为，所以， 不妨设，， 在中，， 所以， 因为，所以，所以， 故答案为：． 10．（23-24高一下·江苏徐州·期中）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若满足，的三角形有且只有一个，则b的一个值为 ． 【答案】8（答案不唯一） 【解析】根据正弦定理，得，即，解得， 若满足条件的有且只有一个，则或，即或， 因此，符合条件的的取值范围是，的一个值为8. 故答案为：8（答案不唯一）． 四、解答题 11．（23-24高一下·河北保定·月考）在中，内角A，B，C所对边分别为a，b，c，已知. (1)求角A的大小； (2)若，的面积为，求的周长. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）因为， 在中，，即. （2）由（1）知，， 所以， 即，所以， 又，即， 所以的周长为. 12．（23-24高一下·江苏无锡·月考）已知△ABC的内角所对的边是且 (1)求； (2)若，求△ABC的面积. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）， 由正弦定理得，故， 因为，所以，故， 因为，所以， 故； （2）由（1）知，， 又，由正弦定理得，即， 故，所以， 故. ( 5 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$