预习专题09 圆与圆环的面积（4知识点+8考点+2易错+过关检测）-【寒假自学课】2025年六年级数学寒假提升精品讲义（沪教版2024）

专题09 圆与圆环的面积 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1.理解圆的面积的意义,掌握圆的面积计算公式,能运用圆的面积计算公式解决实际问题 2.理解圆的面积计算公式的推导,体会极限思想和转化思想 3.理解圆环的意义,经历探究圆环面积的计算方法的过程,掌握圆环的面积计算公式并能正确计算圆环的面积 圆的面积的意义 1.圆所围成区域的大小叫作圆的面积. 2.圆的半径越长,圆的面积就越大 圆的面积计算公式 1.推导圆的面积计算公式： 发现:把圆平均分的份数越多,每一份就越小,拼成的图形就越接近于一个长方形 【数学思想】把圆平均分的份数越多，拼成的图形就越接近于长方形，这体现了极限思想。所谓极限思想是指用极限的概念分析和解决问题的一种数学思想 2.探究拼成的近似的长方形的长和宽分别与圆的周长和半径之间的关系： 这个长方形的长相当于圆周长的一半，这个长方形的宽相当于圆的半径 ，即． 圆的面积计算公式: 【数学思想】把圆的面积转化成长方形的面积体现了转化思想。 拓展注解 1.把圆转化成三角形或者梯形,都可以推导出圆的面积计算公式,转化方法如下 2．如果一个圆的半径（直径或周长）扩大到原来的倍，那么这个圆的面积就扩大到原来的倍；如果一个圆的半径（直径或周长）缩小到原来的，那么这个圆的面积就缩小到原来的. 圆的面积计算公式的应用 应用一 已知圆的半径,求圆的面积。 应用二 已知圆的直径,求圆的面积。 应用三 已知圆的周长,求圆的面积。 圆环的意义及圆环面积的计算方法 1.圆环的认识 由两个半径不相等的同心圆围成的环状图形,也可以概括地说是两个半径不相等的同心圆之间的部分。 注意：构成圆环的两个圆的半径不相等圆心重合。 2.圆环的对称性 圆环是轴对称图形,通过圆心的直线都是它的对称轴,它有无数条对称轴。 3.明确圆环各部分的名称 环宽:两个圆之间的宽度叫作环宽,环宽三外圆半径一内圆半径,即R-r 内圆:圆环中较小的圆叫作内圆,内圆的半径用字母r表示 外圆:圆环中较大的圆叫作外圆,外圆的半径用字母R表示 4.圆环面积的计算方法 圆环的面积外圆的面积－内圆的面积，用字母表示为 . 圆环的面积计算公式的应用 应用一 已知内圆半径和外圆半径,求圆环的面积。 应用二 已知环宽和内圆半径,求圆环的面积。 举一反三 （1）用表示环宽，用表示外圆半径，已知环宽和外圆半径，求圆环面积的计算公式： 。 （2）用表示内圆直径，用表示环宽，已知内圆直径和环宽，求圆环面积的计算公式： 或 . （3）用表示外圆直径，用表示环宽，已知外圆直径和环宽，求圆环面积的计算公式： 或 . （4）用表示内圆周长，用表示环宽，已知内圆周长和环宽，求圆环面积的计算公式：. （5）用表示外圆周长，用表示环宽，已知外圆周长和环宽，求圆环面积的计算公式：. 圆的面积计算 例1 一块圆形木板，它的半径是8厘米，面积是（   ）平方厘米（结果保留π） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆的面积公式，解题的关键是牢记公式并正确的计算，难度不大． 直接利用圆的面积公式计算即可． 【详解】解：圆形木板的半径是8厘米， 面积为（平方厘米）． 故选：． 【变式1-1】一个圆形铁片，直径是，它的面积是（　　）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查圆的面积公式的灵活运用，根据圆的面积公式，把数据代入公式解答即可，熟记圆的面积公式是解题的关键． 【详解】解： ， 故选：． 【变式1-2】半圆形鸡舍的周长为25.7米，则鸡舍的面积是（   ）平方米． A．31.4 B．314 C．39.25 D．78.5 【答案】C 【分析】本题主要考查了圆的面积公式，先利用鸡舍的周长为25.7米求出圆的半径，再根据圆面积的即可求出鸡舍的面积． 【详解】解：设鸡舍的半径为r，则半圆形鸡舍的周长为， 则， 则鸡舍的面积为：（平方米）， 故选：C． 【变式1-3】把一个周长是厘米的圆分成两个半圆后，每个半圆的面积是（ ）平方厘米． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了圆的周长公式的灵活应用，还考查了圆的面积公式，先根据周长公式得出圆的半径，再根据圆的面积公式得出圆的面积，半圆的面积为圆的面积的一半，即可得出答案． 【详解】解：圆的半径为：厘米， 半圆的面积为：平方厘米． 故选：A． 【变式1-4】钟面上分针长 5 厘米，从4时到 4 时 30 分，分针扫过的面积是 平方厘米． 【答案】39.25 【分析】本题主要考查了圆面积的计算，根据题意求出分针走过半圆的面积即可． 【详解】解：（平方厘米）， 故答案为：39.25 【变式1-5】一个时钟的分针长，当它走一圈时，它的尖端走了 ，分针扫过部分的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆的周长和面积．分针的长度相当于半径，据此求出走一圈时，尖端走过的路程以及分针扫过的面积． 【详解】解：， 答：当它走一圈时，它的尖端走了，分针扫过部分的面积是． 故答案为：，． 【变式1-6】将一个圆剪成4等份（如图），剪后4个图形的周长总和比原来圆的周长多，这个圆的半径是( )，面积是( )． 【答案】 4 【分析】本题主要考查圆的周长和面积计算公式的灵活运用，解答本题的关键是求出圆形的半径． 根据题意可知，多出的是圆的4条直径的长度，用除以8得出圆形的半径，再根据圆形面积，代入数据解答即可． 【详解】解：这个圆的半径是， ， 答：这个圆的周长是4厘米，面积是平方厘米． 故答案为：4；． 割圆问题 例2 已知：如图，某同学将两个大小相等的圆形纸片分别沿半径剪开成四等分和八等分，再拼接成新的图形，关于新拼接的两个图形的周长和面积，下列说法正确的是（    ） A．周长相等，面积也相等 B．周长不相等，面积相等 C．周长相等，面积不相等 D．周长不相等，面积也不相等 【答案】A 【分析】本题考查了圆的周长和面积的变化，关键根据图形的大小和围成图形的线的长度来判断．根据拼接成的两个图形大小来确定面积的变化，根据拼接成的两个图形所有线的长来确定周长的变化． 【详解】解：依题意， 四等分后拼接成的图形，由4个圆组成，面积为1个圆的面积，它的周长由4个圆的周长和2个半径组成，比原来的圆的周长多2个半径的长度； 八等分后拼接成的图形，由8个圆组成，面积为1个圆的面积，它的周长由8个圆的周长和2个半径组成，比原来的圆的周长多2个半径的长度， 所以，新拼接的两个图形的周长和面积都相等， 故选：A． 【变式2-1】把一个圆沿半径剪成若干等份，拼成一个近似平行四边形（如图），近似平行四边形的周长比圆的周长增加了，圆的面积是 平方厘米． 【答案】 【分析】本题考查了圆面积的计算．拼成的近似平行四边形的周长比圆的周长增加的，就是这个年假长方形的两宽这和，则可求得圆的半径，再利用圆面积公式求解． 【详解】解：根据题意得， ， 答：圆的面积是100π． 故答案为：． 【变式2-2】（图形的切拼）华华把一个由草绳编织成的圆形茶杯垫沿线剪开片沿直径剪开，得到两个近似的三角形，再拼成平行四边形（如图）．测得平行四边形的底是15.7厘米，圆形茶杯垫片的半径是( )厘米，面积是( )平方厘米． 【答案】 5 78.5 【分析】此题主要考查的目的是理解掌握圆面积公式的推导过程及应用，以及圆的周长公式的灵活运用，关键是熟记公式． 【详解】(厘米) (平方厘米) 故答案为: ；． 【变式2-3】如图，把一个圆形纸片剪开后，拼成一个近似的长方形，这个长方形的周长是 24.84 厘米，圆形纸片的面积是 平方厘米．（π取 3.14） 【答案】28.26 【分析】设圆的半径是r厘米，拼成的长方形的周长为，再根据圆的面积求解即可． 【详解】设圆的半径是r厘米，由题意得： 解得： ∴平方厘米 故答案为：28.26． 【变式2-4】把一个圆沿半径平均分成若干等份，拼成一个近似的长方形，拼成图形的周长比原来圆的周长增加了，原来圆的面积是 ，圆的周长是 ． 【答案】 【分析】周长多出的部分是两条半径的长度，所以用除以2，可以求出圆的半径．将半径的数据代入圆的周长和面积公式中，求出对应圆的周长和面积即可． 本题考查了圆的周长和面积，熟记公式是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得圆的半径为 故答案为：，． 增减变化问题 例3 一个圆扩大后，面积比原来多8倍，周长比原来多50.24厘米，这个圆原来的面积是 平方厘米． 【答案】50.24 【分析】本题考查了圆的面积、周长公式，理解前后圆之间的半径关系是解题关键． 扩大后面积比原来多8倍，即现在面积是原来的9倍，根据面积公式可知现在的半径是原来的3倍，根据周长关系可求出原来的半径，用圆的面积公式解答即可． 【详解】解：∵扩大后面积比原来多8倍， ∴新圆面积是原来圆面积的9倍， 设原来圆的半径为r厘米，则原来圆的面积为平方厘米，新圆面积为平方厘米， ∴新圆半径为原来圆的3倍， ∵新圆周长比原来多50.24厘米， ∴， 解得：， 原来圆的面积： （平方厘米）． 故答案为：50.24． 【变式3-1】一个圆的直径由4厘米增加到12厘米后，面积变为原来的 （   ） A．36倍 B．3倍 C．9倍 D．6倍 【答案】C 【分析】本题考查了圆的面积，根据圆的面积公式解答即可，掌握圆的面积公式是解题的关键． 【详解】解：由题意得：， 即一个圆的直径由4厘米增加到12厘米后，面积变为原来的倍， 故选：C． 【变式3-2】把一个圆的直径扩大到原来的3倍，则这个圆的面积扩大到原来的（   ）倍． A．3 B．6 C．9 D．36 【答案】C 【分析】本题考查圆的面积，掌握圆的面积公式是解题的关键． 根据题意分别列出原来圆的面积及扩大后圆的面积，再进行比较即可． 【详解】解：设圆的直径为d，则圆的面积为： 当圆的直径扩大到原来的3倍时，圆的面积为： 所以圆的面积扩大到原来的倍， 故选：C． 【变式3-3】圆的半径有4增加到7，面积增加（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了圆的面积公式， 根据圆的面积公式为：，分别求出当当圆的半径为4的时候和当圆的半径为7的时候圆的面积，然后把圆的面积相减即可． 【详解】解：当圆的半径为4的时候，圆的面积为：， 当圆的半径为7的时候，圆的面积为：， 则圆的半径有4增加到7，面积增加：， 故选：D． 【变式3-4】圆的半径由增加到，这个圆的面积增加了（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了圆的面积计算，用现在圆的面积减去原来圆的面积，得出答案即可． 【详解】解：圆的半径由增加到，这个圆的面积增加了： ， 故选：C． 比值与变化关系 例4 两个圆的半径比为，则这两个圆的面积比为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题的关键在于理解圆的面积与其半径的平方成正比这一关系，即两个圆的面积比等于它们半径比的平方．通过直接计算两个圆的面积并比较，可以快速准确地得到答案． 【详解】设两个圆的半径分别为， 则两个圆的面积分别为， ， 故选择：C 【变式4-1】甲乙两圆的周长之比是，则甲乙两圆的面积之比是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了比的应用，解本题的关键在得出甲和乙两个圆的半径的比． 根据题意，得出甲圆的半径为，乙圆的半径为，再根据圆的面积公式，得出甲和乙两个圆的面积，再根据比的性质，化简比即可得出答案． 【详解】解：设甲和乙两个圆的周长的， ∴甲和乙两个圆的半径之比是， ∴可设甲圆的半径为，乙圆的半径为， ∴甲圆的面积为：，乙圆的面积为：， ∴甲和乙两个圆的面积之比为：． 故选：D． 【变式4-2】一个圆的半径扩大到3倍，则它的面积（    ） A．扩大到2倍 B．扩大到3倍 C．扩大到9倍 D．不变 【答案】C 【分析】本题考查圆的面积，掌握圆的面积公式是解题的关键． 根据圆的面积公式：，知道圆的面积和它的半径的平方成正比，运用这一规律解决问题． 【详解】解：因为，半径扩大3倍，面积就扩大倍，即扩大到9倍． 故选：C． 【变式4-3】大圆和小圆的半径比是，那么小圆和大圆的面积比是（            ）． A． B． C． 【答案】C 【分析】本题主要考查了比的应用，原的面积计算，设大圆的半径为，小圆的半径为，根据圆的面积计算公式分别求出两个圆的面积，再求出对应的比即可． 【详解】解：设大圆的半径为，小圆的半径为，     则大圆面积为，小圆面积为， 所以小圆和大圆的面积比是， 故选：C． 【变式4-4】一个圆的面积为，半径为，圆周长为；一个半圆形的面积为，半径为，半圆弧长为，那么以下结论成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别表示出圆的周长和面积，半圆的弧长和面积，即可得出结论． 【详解】解：依题意，， ∴ ∴，故A,B,C选项不正确， ∴，故D选项正确， 故选：D． 【点睛】本题考查了圆的周长和面积以及弧长公式；熟记公式是解决问题的关键． 【变式4-5】在一个正方形中，画一个最大的圆，这个圆的面积占整个正方形面积的（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设正方形的边长是，则这个最大的圆的半径为，利用圆的面积和正方形的面积公式计算出相应的面积即可得解． 【详解】解：设正方形的边长是，则这个最大的圆的半径为， 正方形的面积为， 圆的面积为， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了认识平面图形，根据正方形内最大的圆的特征明确圆的半径是解题的关键． 【变式4-6】如图，小圆的面积是大半圆面积的（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，小圆的直径等于大半圆的半径，可设小圆的半径为，那么大半圆的半径为，可根据圆的面积公式计算出大半圆的面积和小圆的面积，然后再用小圆的面积除以大圆的面积即可得到答案． 【详解】设小圆半径为，则大半圆半径为， 小圆的面积为：， 大半圆的面积为：， 小圆的面积是大半圆面积的：， 故小圆的面积是大半圆面积的． 故选：B 【点睛】考查了认识平面图形，解答此题的关键是设出小圆的半径，根据小圆的直径与大半圆直径的关系确定大半圆的半径． 圆与四边形的综合问题 例5 一个正方形的边长和圆的半径相等，已知正方形的面积是20平方厘米，圆的面积是( ) 【答案】62.8平方厘米 【分析】本题考查了圆的面积计算，根据一个正方形的边长和圆的半径相等得出正方形的面积等于半径的平方，从而得出圆的面积等于正方形的面积计算即可得解． 【详解】解：（平方厘米）， 故圆的面积是62.8平方厘米， 故答案为：62.8平方厘米． 【变式5-1】从一张长10厘米，宽8厘米的长方形纸上剪去一个最大的圆，剩余部分的面积是 平方厘米． 【答案】 【分析】本题考查了圆面积的计算；由题意知，剪去的最大圆的直径是长方形的宽，用长方形的面积减去圆的面积即可． 【详解】解：剪去的最大圆的直径是8厘米， 所以剩余部分的面积平方厘米； 故答案为：． 【变式5-2】乐乐从一张长，宽的长方形卡纸上剪出一个最大的圆，圆的面积是( )．（取） 【答案】 【分析】本题主要考查了圆的面积计算，根据题意得出圆的直径，然后求出圆的面积即可． 【详解】解：从一张长，宽的长方形卡纸上剪出一个最大的圆，则圆的直径为，则圆的面积为：． 故答案为：． 【变式5-3】中国建筑中经常能见到“外圆内方”和“外方内圆”的设计，如图，在外圆内方图案中，圆与正方形面积比是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查圆的面积公式和正方形与圆的关系．因为直径为正方形的对角线，对角线将正方形分成两个三角形，三角形的底为直径，高为半径，假设圆的半径为，三角形的面积底高，即可算出一个三角形的面积，最后乘2可得到这个正方形的面积，根据圆的面积公式表示出圆的面积，再根据比的意义，即可得解． 【详解】解：设圆的半径为．则正方形的面积为： ； 圆的面积：； 圆与正方形的面积比是： 故选：A． 【变式5-4】一个圆的半径长是正方形边长的一半，如果圆的面积记作、正方形的面积记作，那么下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．不能比较 【答案】C 【分析】设圆的半径为，则正方形边长为，根据圆的面积公式和正方形的面积公式，得出，，然后进行比较即可． 【详解】解：设圆的半径为，则正方形边长为， ∴可得：，， ∵， ∴． 故选：C 【点睛】本题考查了圆的面积、正方形的面积，解本题的关键在熟练掌握圆和正方形的面积公式． 【变式5-5】如图，圆的面积和长方形面积相等，下列判断正确的是（    ） A．长方形周长等于圆的周长 B．长方形的长等于圆的周长 C．长方形的长等于圆周长的一半 D．长方形周长等于圆的周长的一半 【答案】C 【分析】此题主要考查了圆的面积及长方形的面积公式，设圆的半径为，根据“一个长方形的长等于圆周长的一半”即可求出长方形的长，然后根据面积公式解答即可，解题的关键是熟练掌握圆的面积和周长公式的应用． 【详解】设圆的半径为，则圆的面积为，圆的周长为， ∵圆的面积和长方形面积相等， ∴长方形的面积为：，长方形的长为：，长方形的周长为：， 、长方形周长不等于圆的周长，不符合题意； 、长方形的长等于圆的周长的一半，此选项不符合题意； 、长方形的长等于圆周长的一半，此选项符合题意； 、长方形周长不等于圆的周长的一半，此选项不符合题意； 故选：． 【变式5-6】如下图，长方形和圆的面积相等，已知长方形的周长是33.12厘米，阴影部分的面积是多少？    【答案】37.68平方厘米 【分析】由题意可得：长方形的面积和圆的面积相等，并且长方形的宽和圆的半径也相等，所以，长方形的长是圆周长的一半．将圆的半径设为r厘米，据此再根据长方形和圆的周长公式列方程，从而求出圆的半径．根据圆的半径，求出圆的面积，再将其除以4，求出四分之一圆的面积．用长方形的面积减去四分之一圆的面积，即可求出阴影部分的面积． 【详解】解：设圆的半径是r厘米． ， ， ， ， （平方厘米）， （平方厘米）， （平方厘米）． 答：阴影部分的面积是37.68平方厘米． 【点睛】本题考查了方程的应用、圆的周长和面积、长方形的面积等知识点，熟记公式并能熟练的列方程、解方程是解题的关键． 圆环面积计算 例6 一个环形，内圆半径是4厘米，外圆半径是6厘米，这个环形面积是 平方厘米． 【答案】 【分析】本题考查圆环的面积，根据圆环的面积等于外圆的面积减去内圆的面积，即可求解． 【详解】这个圆环的面积为：（平方厘米）． 故答案为： 【变式6-1】环形铁片的外半径是，内直径是，它的面积是（   ）（取） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了圆环的面积计算，用外圆的面积减去内圆的面积即可得到答案． 【详解】解： ， 故选：D． 【变式6-2】有一个圆环形装饰纸片，内圆周长是厘米，外圆周长是厘米，圆环的面积是多少平方厘米？ 【答案】圆环的面积为平方厘米 【分析】根据圆的周长公式C＝2πr，知道r＝C÷π÷2，分别求出内、外圆的半径，再用外圆的半径减去内圆的半径即得圆环的宽是多少；根据圆环的面积公式S＝π（R2﹣r2）可求得圆环的面积；把内圆和外圆的周长相加即得此圆环的周长． 【详解】解：（厘米）， （厘米）， （平方厘米）． 答：圆环的面积为平方厘米． 【点睛】本题主要考查了圆的周长公式C＝2πr和圆环的面积公式S＝π（R2﹣r2）的灵活应用． 【变式6-3】已知外圆的面积为5m2，内圆的面积为3 m2，圆环的面积是 平方米 【答案】2 【分析】圆环的面积为外圆的面积减内圆的面积，运算即可． 【详解】5-3=2（平方米）． 故答案为：2． 【点睛】本题考查了圆环的面积，熟练掌握圆环面积的求法是解题的关键． 【变式6-4】一个圆环的内直径是，圆环的宽度是，这个圆环的面积是 . 【答案】 【分析】根据圆环的面积公式进行计算即可． 【详解】解：， 即这个圆环的面积是． 故答案为：28.26． 【点睛】本题主要考查了圆环面积的计算，解题的关键是熟练掌握圆的面积公式． 【变式6-5】一个环形垫圈，内圆半径是3cm，外圆半径是10cm，这个垫圈的面积是( )． 【答案】 【分析】此题考查了圆的面积，解题的关键是熟练掌握圆的面积公式． 用大圆的面积减去小圆的面积即可求解． 【详解】． ∴这个垫圈的面积是． 故答案为：． 【变式6-6】如果一个圆环的外圆半径等于它内圆的直径，那么此圆环称为“平等圆环”，环宽（环宽等于两圆的半径之差）是10厘米的“平等圆环”面积为 平方厘米． 【答案】942 【分析】根据题意可知，环宽是10厘米，也就是内圆的半径是10厘米，外圆半径等于它内圆的直径，那么外圆的半径是厘米，根据环形面积公式：，代入求解即可． 【详解】解： （平方厘米） 故答案为：942． 【点睛】本题考查了环形面积，熟练掌握环形面积公式是解题 的关键． 圆环面积的应用 例7 小杰家有一个半径为2米的圆形水池，现在要扩大为半径为3米的圆形水池，则面积比原来增加了多少？ 【答案】平方米 【分析】圆形水池比原来增加了多少平方米的面积，就是求这个内圆半径为2米，外圆半径为3米的圆环的面积，利用圆环的面积公式即可解决问题． 【详解】解： （平方米）． 答：面积比原来增加了平方米． 【点睛】此题关键是根据题干得出增加部分的面积即是这个圆环的面积，找出数学原型，利用公式即可解决问题 【变式7-1】如果圆环的外圆周长为30cm，内圆周长为20cm，求圆环的宽度．（结果保留两位小数） 【答案】1.60cm 【分析】根据圆的周长公式C=2πr，知道r=C÷π÷2，分别求出内、外圆的半径，再用外圆的半径减去内圆的半径即可． 【详解】解：C＝πd = 2πr， ； ∴圆环的宽度为1.60cm． 【点睛】本题主要考查了圆的周长公式C=2πr的灵活应用，圆环的宽度等于大小圆的半径之差． 【变式7-2】图①的纸环是将一张长方形纸条一端旋转，再将两端粘上得到的，图②的纸环是将一张长方形纸条两端粘上得到的，． （1）图( )的纸环是莫比乌斯带． （2）两只蚂蚁分别沿两个纸环爬行，图①中的蚂蚁如果不爬过纸环的边缘，它( )到达纸环上的任意一点．图②中的蚂蚁如果不爬过纸环的边缘，它( )到达纸环上的任意一点．（填“能”或“不能”） 【答案】 ① 能 不能 【分析】本题考查了莫比乌斯带，掌握莫比乌斯带的特点是解题的关键． （1）将长方形纸条扭一下，再将两端粘合，得到的图形是莫比乌斯带．据此找出哪个图形是莫比乌斯带； （2）小蚂蚁沿着莫比乌斯带爬行，能够到达纸环上的任意一点．据此填空． 【详解】（1）根据莫比乌斯带的定义：只有一个面、一条封闭曲线作边界的纸圈可得，图①的纸环是莫比乌斯带， 故答案为：①； （2）两只蚂蚁分别沿两个纸环爬行，图①中的蚂蚁如果不爬过纸环的边缘，它能到达纸环上的任意一点．图②中的蚂蚁如果不爬过纸环的边缘，它不能到达纸环上的任意一点． 故答案为：能，不能． 【变式7-3】为美化校园环境，学校准备在周长是米的花坛（如图）外围铺一条2米宽的环形小路，求： (1)这条小路的面积是多少平方米？ (2)如果每平方米用水泥千克，铺这条小路一共需要水泥多少千克？ 【答案】(1)这条小路的面积是平方米 (2)铺这条小路一共需要水泥千克 【分析】本题考查了圆的周长公式以及圆环的面积，注意计算的准确性即可. （1）根据花坛周长计算出花坛的半径即可求解； （2）计算即可求解； 【详解】（1）解：花坛的半径：（米）， 环形路的面积：， ， （平方米）； 答：这条小路的面积是平方米． （2）解：（千克）． 答：铺这条小路一共需要水泥千克． 【变式7-4】一个圆形水池的周长是31.4米，现要在水池周围修建宽为1米的绿化带，如果每平方米造价80元，那么绿化带修建完毕一共需要多少元？（π取3.14） 【答案】一共需要元． 【分析】本题考查了利用圆环面积解决实际问题，解题的关键是熟记公式；根据题意可知，绿化带是圆环形，先根据圆形水池的周长求出水池的半径，即内圆半径，再加上环宽1米求出外圆半径；利用环形面积公式：求出绿化带面积，再乘以每平方花费的钱数，即可求出需要花费的总钱数． 【详解】解：圆形水池半径：（米）， 外圆半径：（米）， （平方米）， （元）； 答：一共需要元． 【变式7-5】一个直径为的圆形喷泉水池，在它的周围修一条宽的环形花带．如果这条花带每平方米可种22株花，平均每株花的成本为元，给这条环形花带种花需花费多少元钱？（取） 【答案】种花需花费元 【分析】本题考查的是圆面积公式的应用，根据花带面积等于大圆面积减去小圆的面积，代入数值计算即可． 【详解】解：，， （元） 答：种花需花费元钱． 【变式7-6】奥运会的会徽是五环图，一个五环图是由内直径为厘米，外直径为厘米的五个圆环组成，其中两两相交的小曲边四边形(阴影部分)的面积相等，已知五个圆环盖住的总面积是平方厘米．求每个小曲边四边形的面积．    【答案】平方厘米． 【分析】由题意得：五个圆环盖住的面积个圆环的面积之和个小曲边四边形面积，根据圆环面积(大圆半径的平方小圆半径的平方)，计算出一个圆环的面积，再乘就是个圆环面积，所以一个小曲边四边形面积(个圆环的面积之和)，代入计算即可． 【详解】一个圆环面积为： ， ， （平方厘米）， 所以一个小曲边四边形面积为： ， ， ， （平方厘米）， 答：每个小曲边四边形的面积是平方厘米． 【点睛】本题考查圆及圆环的有关面积计算，解题的关键是熟练记住圆和圆环的面积计算公式． 阴影部分面积 例8 半径为10、20、30的三个扇形如图放置，是的 倍． 【答案】5 【分析】本题主要考查了圆的面积，先求出的面积， 再求出的面积，然后相除即可得出答案． 【详解】解： ， ∴ 故答案为：5． 【变式8-1】手工课上，小甬用一张直径是20cm的圆形纸片剪出如图所示的风车图案（空白部分），则被剪掉的纸片（阴影部分）的面积是 ．（π取3） 【答案】157 【分析】本题主要考查圆的面积公式的灵活运用．通过观察图形可知，阴影部分面积等于直径是20厘米的圆的面积减去直径是厘米的两个圆的面积，根据圆的面积公式：，把数据代入公式即可． 【详解】解：，， = = 故答案为：． 【变式8-2】下图中环形的面积是314平方厘米，阴影部分的面积是( )． 【答案】100平方厘米/100 【分析】掌握并灵活运用环形的面积计算公式是解答题目的关键． 由图可知，大圆的半径等于大正方形的边长，小圆的半径等于小正方形的边长，利用环形的面积公式“”求出大圆半径的平方与小圆半径的平方的差，阴影部分的面积＝大圆半径的平方－小圆半径的平方，据此解答． 【详解】解：设大圆半径为，小圆半径为， 则圆环面积为， ∴， ∴平方厘米． 故答案为：100平方厘米． 【变式8-3】计算图形阴影部分的周长与面积． 【答案】30.84厘米，15.48平方厘米 【分析】本题考查圆的周长的计算方法、圆面积的计算方法以及长方形面积的计算方法，题中阴影部分的周长等于以直径为12厘米的圆周长的一半，再加上12厘米，根据圆的周长直径解答即可；阴影部分的面积长方形的面积以厘米为半径的圆的面积的一半，据此解答即可． 【详解】解： （厘米） （厘米） （平方厘米） 答：阴影部分的周长是30.84厘米，面积是15.48平方厘米． 【变式8-4】（1）求阴影部分的周长（结果保留π）； （2）求阴影部分面积（结果保留π）。 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了圆的周长公式和面积公式，关键是列出正确的算式计算． （1）用半径为6的圆周长的一半加上半径为4的圆周长的周长的一半再加上半径为2的圆周长的周长的一半； （2）用边长为6的正方形减去半径为3的圆的面积． 【详解】（1） ； （2） ． 【变式8-5】如图，请你根据信息求出阴影部分的面积．（取） 【答案】 【分析】本题主要考查了圆的面积计算，根据图形可知：用大半圆的面积减去小半圆的面积即可得出阴影部分的面积． 【详解】解： ， ． 答：阴影部分的面积是． 【变式8-6】求下面图形中涂色部分的面积．（单位：厘米） ①          ② 【答案】①6.88平方厘米②39.25平方厘米 【分析】本题考查求圆的面积：①用长方形的面积减去半圆的面积即可；②用大圆的面积减去两个小圆的面积，即可． 【详解】解：①（平方厘米）； ②（平方厘米）． 【变式8-7】如图所示，求阴影部分面积． 【答案】 【分析】本题考查了扇形的面积公式； 先求出阴影部分所对的圆心角，再根据扇形的面积公式计算即可． 【详解】解：阴影部分所对的圆心角为， 所以阴影部分面积为：． 【变式8-8】如图为某公园中心对称的观赏鱼池，阴影部分为观赏喂鱼台，已知米．求阴影部分的面积．    【答案】平方米 【分析】根据图形可得阴影部分相当于2个以点为圆心，长为半径的圆，利用圆的面积公式求解即可得． 【详解】解：因为观赏鱼池是中心对称，且米， 所以阴影部分相当于2个以点为圆心，长为半径的圆， 所以阴影部分的面积为（平方米）， 答：阴影部分的面积为平方米． 【点睛】本题考查了圆的面积，发现阴影部分相当于2个以点为圆心，长为半径的圆是解题关键． 【例1】选择：在边长是8 cm的正方形里画一个最大的圆，圆的面积是（ A ）. A． B． C． 错解分析 在正方形里画一个最大的圆，这个圆的直径应该等于正方形的边长，如图所示： 已知圆的直径求圆的面积，根据公式 ，可以求出这个圆的面积，即 。 错解改正 B 【防错警示】 已知圆的直径求圆的面积，计算公式是 . 【例2】小两圆的相交部分（如图所示的阴影部分）面积是大圆面积的，是小圆面积的，量得小圆的半径是5厘米，问大圆的半径是多少？（取3.14） 审题关键：根据题意得出大圆的面积小圆的面积，进而解答即可． 【详解】解：设大圆半径为R 由题意可得：大圆的面积小圆的面积． ∴ ， 则， 解得：． 答：大圆的半径是厘米． 【防错警示】 要根据阴影部分的面积表示出大圆面积和小圆面积的关系，从而求出大圆的半径． 1．面积相等的两个圆，它们的周长也一定相等．( ) 【答案】√ 【分析】本题考查了圆的知识，圆的面积相等故半径相等，所以周长相等； 【详解】解：因为圆的面积相等 所以半径相等，所以周长会相等；故正确 故答案为： √． 2．在边长是a分米的正方形中，画一个最大的圆，这个圆的面积约占整个正方形面积的（    ）． A． B． C． 【答案】A 【分析】解答本题的关键是知道正方形的边长与圆的直径的关系，以及会用字母表示正方形和圆形的面积．在正方形中画一个最大的圆，则这个圆的直径等于正方形的边长；根据正方形的面积公式和圆的面积公式分别计算出正方形和圆的面积，再计算出这个圆的面积占整个正方形面积的百分之几即可． 【详解】正方形的面积， 圆的面积， ， 故选：A． 3.用3根同样长的铁丝分别围成正方形、长方形和圆，若它们的面积分别用、、表示，则、、的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查圆的面积，此题解答的关键是明确：在平面图形中，周长相等时，圆的面积最大，正方形的面积大于长方形的面积．据此解答即可． 【详解】解：用3根同样长的铁丝分别围成长方形、正方形和圆，也就是正方形、长方形和圆的周长相等， 所以圆的面积正方形的面积长方形的面积． 因为它们的面积分别用a、b、c表示， 所以a、b、c的大小关系是． 故选：D 4．已知圆的周长为6.28厘米，那么圆的面积是 平方厘米． 【答案】3.14 【分析】先根据圆的周长公式求出圆的半径，再根据圆的面积公式求解即可． 【详解】圆的半径为（厘米）， 面积为（平方厘米）． 故答案为：3.14 【点睛】本题考查了圆的周长和面积公式，掌握相应的公式是解答本题的关键． 5．一个圆的直径8厘米，周长( )厘米，面积( )平方厘米． 【答案】 25.12； 50.24 【分析】此题考查的是求圆的周长和面积，掌握圆的周长公式和面积公式是解题关键． 根据圆的周长公式和面积公式计算即可． 【详解】解：周长为（厘米） 面积为（平方厘米） 故答案为：25.12；50.24． 6．在一个边长为的正方形纸板上，剪下4个最大而且相等的圆，剩下部分的面积是( )． 【答案】 【分析】本题主要考查了圆的面积计算，根据题意可知，当圆的半径为时，剪下的圆的面积最大，据此用正方形面积减去4个圆的面积即可得到答案． 【详解】解：根据题意可知，当圆的半径为时，剪下的圆的面积最大， ， 所以剩下部分的面积为， 故答案为：． 7．把圆的半径缩短，则面积减少（）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆的面积：圆的面积为圆的半径）．也考查了百分数的运算．设原来圆的半径为，则缩小后圆的半径为，进而即可求出面积减少的百分比． 【详解】解：设原来圆的半径为，缩小后圆的半径为， 所以面积减少的百分比为． 故选：D 8．如图所示，圆B与圆C的面积之和等于圆A面积的，且圆A中的阴影部分面积占圆A面积的，圆B中的阴影部分面积占圆B面积的，圆C中的阴影部分面积占圆C面积的，求圆A、圆B、圆C的面积之比为 ．    【答案】 【分析】根据题意，我们不妨设A与B的共同部分的面积为x，A与C的共同部分的面积为y（圆A、B、C的面积分别用A、B、C来表示），则得到，即，即，于是得到，进而可化简为，所以，至此，便可得到圆A、B、C之比． 【详解】解：设A与B的共同部分的面积为x，A与C的共同部分的面积为y，则 圆A的面积：…①， 圆B的面积：即…②， 圆C的面积：即…③， 把②、③代入①式得：， 化简为…④， 把④代入①式得：， ， 答：圆A、圆B、圆C的面积之比为． 【点睛】此题只要设好未知数，巧妙利用“等量代换”即可解答，但一定要思路清晰，每次进行“等量代换”的目的才可． 9．李老师家有一款直径为的圆形扫地机器人（如下图）． (1)这个扫地机器人底面的周长是多少厘米？ (2)它直走后（如图），扫过的面积是多少平方米？ 【答案】(1)这个扫地机器人底面的周长是厘米 (2)扫过的面积是平方米 【分析】本题考查圆的周长及面积计算： （1）根据圆的周长公式即可解答； （2）根据扫地机器人直走后，扫过的面积是一个长宽分别为的长方形加上扫地机器所占地面积即可解答． 【详解】（1）解：   答：这个扫地机器人底面的周长是厘米； （2）解： ， 答：扫过的面积是平方米． 10．广场中央的圆形水池的直径是20米，在水池的周围是一条宽10米的环形水泥路．    (1)这条水泥路的面积是多少平方米？ (2)如果在水泥路的外沿上每隔31.4米设置一把休息椅，需要几把椅子？ 【答案】(1)942平方米 (2)4把 【分析】（1）求水泥路的面积就是求圆环的面积，根据圆环的面积公式：，据此代入数值进行计算即可； （2）根据圆的周长公式：，据此求出水泥路外沿的长度，则根据植树问题，椅子的把数水泥路外沿的长度÷间隔长度，据此解答即可． 【详解】（1）解： （平方米）， 答：这条水泥路的面积是942平方米； （2）解： （把）， 答：需要4把椅子． 【点睛】本题考查圆环的面积和圆的周长，熟记公式是解题的关键． 11．一张半径为1厘米的圆形纸片在一个边长为5厘米正方形内任意移动，那么在该正方形内，这张圆形纸片不能覆盖到的部分的面积是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】圆形纸片“不能接触到的部分”的面积就是小正方形的面积与扇形的面积的差，再乘4即可得解． 【详解】解：如图所示，    小正方形的面积是：， 当圆运动到正方形的一个角上时，形成扇形，它的面积是， 则这张圆形纸片“不能接触到的部分”的面积是：， 故选：C． 【点睛】本题考查轨迹，列代数式，正方形和圆的面积的计算公式，正确理解“不能接触到的部分”的面积是哪部分是关键． 12.小明用边长为3厘米的木条做了个正三角形框架，之后又用半径为1厘米的圆沿着这个架子的外围滚了一圈．       (1)求这个圆扫过的面积是 ． (2)小明又用同样长度的木条做了个正五边形（五条边相等，五个内角相等的图形）的框架，那么再用半径为1厘米的圆沿着这个架子的外围滚了一圈其扫过的面积又是 ． (3)当用同样长度的木条做正n边形（n条边相等，n个内角相等的图形）的框架，再用半径为1厘米的圆沿着这个架子的外围滚一圈．圆扫过的图形都是由扇形和长方形组成，现标记这个扇形的圆心角大小为，正n边形的内角大小为，请写出与之间的数量关系 ， 并用含n的式子表示的大小，则 ． 【答案】(1) (2) (3)；． 【分析】（1）根据题意，求得三个长方形和一个圆的面积即可求解； （2）根据（1）的方法，面积为五个长方形和一个圆的面积，即可求解； （3）根据，即可求解． 【详解】（1）解：依题意，这个圆扫过的面积是， 故答案为：． （2）根据题意，这个圆扫过的面积是 故答案为：． （3）解：依题意，长方形的每个角为，根据题意，圆扫过的图形中扇形的圆心角之和为，则边形中，每一个扇形的角度 又∵ ∴ 故答案为：；． 【点睛】本题考查了求圆的面积，扇形的圆心角度数，理解题意是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题09 圆与圆环的面积 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1.理解圆的面积的意义,掌握圆的面积计算公式,能运用圆的面积计算公式解决实际问题 2.理解圆的面积计算公式的推导,体会极限思想和转化思想 3.理解圆环的意义,经历探究圆环面积的计算方法的过程,掌握圆环的面积计算公式并能正确计算圆环的面积 圆的面积的意义 1.圆所围成区域的大小叫作圆的面积. 2.圆的半径越长,圆的面积就越大 圆的面积计算公式 1.推导圆的面积计算公式： 发现:把圆平均分的份数越多,每一份就越小,拼成的图形就越接近于一个长方形 【数学思想】把圆平均分的份数越多，拼成的图形就越接近于长方形，这体现了极限思想。所谓极限思想是指用极限的概念分析和解决问题的一种数学思想 2.探究拼成的近似的长方形的长和宽分别与圆的周长和半径之间的关系： 这个长方形的长相当于圆周长的一半，这个长方形的宽相当于圆的半径 ，即． 圆的面积计算公式: 【数学思想】把圆的面积转化成长方形的面积体现了转化思想。 拓展注解 1.把圆转化成三角形或者梯形,都可以推导出圆的面积计算公式,转化方法如下 2．如果一个圆的半径（直径或周长）扩大到原来的倍，那么这个圆的面积就扩大到原来的倍；如果一个圆的半径（直径或周长）缩小到原来的，那么这个圆的面积就缩小到原来的. 圆的面积计算公式的应用 应用一 已知圆的半径,求圆的面积。 应用二 已知圆的直径,求圆的面积。 应用三 已知圆的周长,求圆的面积。 圆环的意义及圆环面积的计算方法 1.圆环的认识 由两个半径不相等的同心圆围成的环状图形,也可以概括地说是两个半径不相等的同心圆之间的部分。 注意：构成圆环的两个圆的半径不相等圆心重合。 2.圆环的对称性 圆环是轴对称图形,通过圆心的直线都是它的对称轴,它有无数条对称轴。 3.明确圆环各部分的名称 环宽:两个圆之间的宽度叫作环宽,环宽三外圆半径一内圆半径,即R-r 内圆:圆环中较小的圆叫作内圆,内圆的半径用字母r表示 外圆:圆环中较大的圆叫作外圆,外圆的半径用字母R表示 4.圆环面积的计算方法 圆环的面积外圆的面积－内圆的面积，用字母表示为 . 圆环的面积计算公式的应用 应用一 已知内圆半径和外圆半径,求圆环的面积。 应用二 已知环宽和内圆半径,求圆环的面积。 举一反三 （1）用表示环宽，用表示外圆半径，已知环宽和外圆半径，求圆环面积的计算公式： 。 （2）用表示内圆直径，用表示环宽，已知内圆直径和环宽，求圆环面积的计算公式： 或 . （3）用表示外圆直径，用表示环宽，已知外圆直径和环宽，求圆环面积的计算公式： 或 . （4）用表示内圆周长，用表示环宽，已知内圆周长和环宽，求圆环面积的计算公式：. （5）用表示外圆周长，用表示环宽，已知外圆周长和环宽，求圆环面积的计算公式：. 圆的面积计算 例1 一块圆形木板，它的半径是8厘米，面积是（   ）平方厘米（结果保留π） A． B． C． D． 【变式1-1】一个圆形铁片，直径是，它的面积是（　　）． A． B． C． D． 【变式1-2】半圆形鸡舍的周长为25.7米，则鸡舍的面积是（   ）平方米． A．31.4 B．314 C．39.25 D．78.5 【变式1-3】把一个周长是厘米的圆分成两个半圆后，每个半圆的面积是（ ）平方厘米． A． B． C． D． 【变式1-4】钟面上分针长 5 厘米，从4时到 4 时 30 分，分针扫过的面积是 平方厘米． 【变式1-5】一个时钟的分针长，当它走一圈时，它的尖端走了 ，分针扫过部分的面积是 ． 【变式1-6】将一个圆剪成4等份（如图），剪后4个图形的周长总和比原来圆的周长多，这个圆的半径是( )，面积是( )． 割圆问题 例2 已知：如图，某同学将两个大小相等的圆形纸片分别沿半径剪开成四等分和八等分，再拼接成新的图形，关于新拼接的两个图形的周长和面积，下列说法正确的是（    ） A．周长相等，面积也相等 B．周长不相等，面积相等 C．周长相等，面积不相等 D．周长不相等，面积也不相等 【变式2-1】把一个圆沿半径剪成若干等份，拼成一个近似平行四边形（如图），近似平行四边形的周长比圆的周长增加了，圆的面积是 平方厘米． 【变式2-2】（图形的切拼）华华把一个由草绳编织成的圆形茶杯垫沿线剪开片沿直径剪开，得到两个近似的三角形，再拼成平行四边形（如图）．测得平行四边形的底是15.7厘米，圆形茶杯垫片的半径是( )厘米，面积是( )平方厘米． 【变式2-3】如图，把一个圆形纸片剪开后，拼成一个近似的长方形，这个长方形的周长是 24.84 厘米，圆形纸片的面积是 平方厘米．（π取 3.14） 【变式2-4】把一个圆沿半径平均分成若干等份，拼成一个近似的长方形，拼成图形的周长比原来圆的周长增加了，原来圆的面积是 ，圆的周长是 ． 增减变化问题 例3 一个圆扩大后，面积比原来多8倍，周长比原来多50.24厘米，这个圆原来的面积是 平方厘米． 【变式3-1】一个圆的直径由4厘米增加到12厘米后，面积变为原来的 （   ） A．36倍 B．3倍 C．9倍 D．6倍 【变式3-2】把一个圆的直径扩大到原来的3倍，则这个圆的面积扩大到原来的（   ）倍． A．3 B．6 C．9 D．36 【变式3-3】圆的半径有4增加到7，面积增加（   ） A． B． C． D． 【变式3-4】圆的半径由增加到，这个圆的面积增加了（   ） A． B． C． D． 比值与变化关系 例4 两个圆的半径比为，则这两个圆的面积比为（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】甲乙两圆的周长之比是，则甲乙两圆的面积之比是（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】一个圆的半径扩大到3倍，则它的面积（    ） A．扩大到2倍 B．扩大到3倍 C．扩大到9倍 D．不变 【变式4-3】大圆和小圆的半径比是，那么小圆和大圆的面积比是（            ）． A． B． C． 【变式4-4】一个圆的面积为，半径为，圆周长为；一个半圆形的面积为，半径为，半圆弧长为，那么以下结论成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式4-5】在一个正方形中，画一个最大的圆，这个圆的面积占整个正方形面积的（    ） A． B． C． D． 【变式4-6】如图，小圆的面积是大半圆面积的（    ） A． B． C． D． 圆与四边形的综合问题 例5 一个正方形的边长和圆的半径相等，已知正方形的面积是20平方厘米，圆的面积是( ) 【变式5-1】从一张长10厘米，宽8厘米的长方形纸上剪去一个最大的圆，剩余部分的面积是 平方厘米． 【变式5-2】乐乐从一张长，宽的长方形卡纸上剪出一个最大的圆，圆的面积是( )．（取） 【变式5-3】中国建筑中经常能见到“外圆内方”和“外方内圆”的设计，如图，在外圆内方图案中，圆与正方形面积比是（    ） A． B． C． D． 【变式5-4】一个圆的半径长是正方形边长的一半，如果圆的面积记作、正方形的面积记作，那么下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．不能比较 【变式5-5】如图，圆的面积和长方形面积相等，下列判断正确的是（    ） A．长方形周长等于圆的周长 B．长方形的长等于圆的周长 C．长方形的长等于圆周长的一半 D．长方形周长等于圆的周长的一半 【变式5-6】如下图，长方形和圆的面积相等，已知长方形的周长是33.12厘米，阴影部分的面积是多少？    圆环面积计算 例6 一个环形，内圆半径是4厘米，外圆半径是6厘米，这个环形面积是 平方厘米． 【变式6-1】环形铁片的外半径是，内直径是，它的面积是（   ）（取） A． B． C． D． 【变式6-2】有一个圆环形装饰纸片，内圆周长是厘米，外圆周长是厘米，圆环的面积是多少平方厘米？ 【变式6-3】已知外圆的面积为5m2，内圆的面积为3 m2，圆环的面积是 平方米 【变式6-4】一个圆环的内直径是，圆环的宽度是，这个圆环的面积是 . 【变式6-5】一个环形垫圈，内圆半径是3cm，外圆半径是10cm，这个垫圈的面积是( )． 【变式6-6】如果一个圆环的外圆半径等于它内圆的直径，那么此圆环称为“平等圆环”，环宽（环宽等于两圆的半径之差）是10厘米的“平等圆环”面积为 平方厘米． 圆环面积的应用 例7 小杰家有一个半径为2米的圆形水池，现在要扩大为半径为3米的圆形水池，则面积比原来增加了多少？ 【变式7-1】如果圆环的外圆周长为30cm，内圆周长为20cm，求圆环的宽度．（结果保留两位小数） 【变式7-2】图①的纸环是将一张长方形纸条一端旋转，再将两端粘上得到的，图②的纸环是将一张长方形纸条两端粘上得到的，． （1）图( )的纸环是莫比乌斯带． （2）两只蚂蚁分别沿两个纸环爬行，图①中的蚂蚁如果不爬过纸环的边缘，它( )到达纸环上的任意一点．图②中的蚂蚁如果不爬过纸环的边缘，它( )到达纸环上的任意一点．（填“能”或“不能”） 【变式7-3】为美化校园环境，学校准备在周长是米的花坛（如图）外围铺一条2米宽的环形小路，求： (1)这条小路的面积是多少平方米？ (2)如果每平方米用水泥千克，铺这条小路一共需要水泥多少千克？ 【变式7-4】一个圆形水池的周长是31.4米，现要在水池周围修建宽为1米的绿化带，如果每平方米造价80元，那么绿化带修建完毕一共需要多少元？（π取3.14） 【变式7-5】一个直径为的圆形喷泉水池，在它的周围修一条宽的环形花带．如果这条花带每平方米可种22株花，平均每株花的成本为元，给这条环形花带种花需花费多少元钱？（取） 【变式7-6】奥运会的会徽是五环图，一个五环图是由内直径为厘米，外直径为厘米的五个圆环组成，其中两两相交的小曲边四边形(阴影部分)的面积相等，已知五个圆环盖住的总面积是平方厘米．求每个小曲边四边形的面积．    阴影部分面积 例8 半径为10、20、30的三个扇形如图放置，是的 倍． 【变式8-1】手工课上，小甬用一张直径是20cm的圆形纸片剪出如图所示的风车图案（空白部分），则被剪掉的纸片（阴影部分）的面积是 ．（π取3） 【变式8-2】下图中环形的面积是314平方厘米，阴影部分的面积是( )． 【变式8-3】计算图形阴影部分的周长与面积． 【变式8-4】（1）求阴影部分的周长（结果保留π）； （2）求阴影部分面积（结果保留π）。 【变式8-5】如图，请你根据信息求出阴影部分的面积．（取） 【变式8-6】求下面图形中涂色部分的面积．（单位：厘米） ①          ② 【变式8-7】如图所示，求阴影部分面积． 【变式8-8】如图为某公园中心对称的观赏鱼池，阴影部分为观赏喂鱼台，已知米．求阴影部分的面积．    【例1】选择：在边长是8 cm的正方形里画一个最大的圆，圆的面积是（ A ）. A． B． C． 错解分析 在正方形里画一个最大的圆，这个圆的直径应该等于正方形的边长，如图所示： 已知圆的直径求圆的面积，根据公式 ，可以求出这个圆的面积，即 。 错解改正 【防错警示】 已知圆的直径求圆的面积，计算公式是 . 【例2】小两圆的相交部分（如图所示的阴影部分）面积是大圆面积的，是小圆面积的，量得小圆的半径是5厘米，问大圆的半径是多少？（取3.14） 审题关键：根据题意得出大圆的面积小圆的面积，进而解答即可． 【防错警示】 要根据阴影部分的面积表示出大圆面积和小圆面积的关系，从而求出大圆的半径． 1．面积相等的两个圆，它们的周长也一定相等．( ) 2．在边长是a分米的正方形中，画一个最大的圆，这个圆的面积约占整个正方形面积的（    ）． A． B． C． 3.用3根同样长的铁丝分别围成正方形、长方形和圆，若它们的面积分别用、、表示，则、、的大小关系是（   ） A． B． C． D． 4．已知圆的周长为6.28厘米，那么圆的面积是 平方厘米． 5．一个圆的直径8厘米，周长( )厘米，面积( )平方厘米． 6．在一个边长为的正方形纸板上，剪下4个最大而且相等的圆，剩下部分的面积是( )． 7．把圆的半径缩短，则面积减少（）． A． B． C． D． 8．如图所示，圆B与圆C的面积之和等于圆A面积的，且圆A中的阴影部分面积占圆A面积的，圆B中的阴影部分面积占圆B面积的，圆C中的阴影部分面积占圆C面积的，求圆A、圆B、圆C的面积之比为 ．    9．李老师家有一款直径为的圆形扫地机器人（如下图）． (1)这个扫地机器人底面的周长是多少厘米？ (2)它直走后（如图），扫过的面积是多少平方米？ 10．广场中央的圆形水池的直径是20米，在水池的周围是一条宽10米的环形水泥路．    (1)这条水泥路的面积是多少平方米？ (2)如果在水泥路的外沿上每隔31.4米设置一把休息椅，需要几把椅子？ 11．一张半径为1厘米的圆形纸片在一个边长为5厘米正方形内任意移动，那么在该正方形内，这张圆形纸片不能覆盖到的部分的面积是（    ）    A． B． C． D． 12.小明用边长为3厘米的木条做了个正三角形框架，之后又用半径为1厘米的圆沿着这个架子的外围滚了一圈．       (1)求这个圆扫过的面积是 ． (2)小明又用同样长度的木条做了个正五边形（五条边相等，五个内角相等的图形）的框架，那么再用半径为1厘米的圆沿着这个架子的外围滚了一圈其扫过的面积又是 ． (3)当用同样长度的木条做正n边形（n条边相等，n个内角相等的图形）的框架，再用半径为1厘米的圆沿着这个架子的外围滚一圈．圆扫过的图形都是由扇形和长方形组成，现标记这个扇形的圆心角大小为，正n边形的内角大小为，请写出与之间的数量关系 ， 并用含n的式子表示的大小，则 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$