预习专题08 弧长概念与应用（2知识点+9考点+1易错+过关检测）-【寒假自学课】2025年六年级数学寒假提升精品讲义（沪教版2024）

专题08 弧长概念与应用 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1.学生能了解弧长的有关概念,会读会写弧. 2.学生能清楚弧长与圆心角的对应关系. 3.学生能运用弧长公式解决实际问题. 弧和圆心角的概念 1.弧的有关概念 弧:圆上两点之间的部分称为弧,它是圆的一部分 半圆:圆任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧,每条弧都叫作半圆 劣弧:小于半圆的弧叫作劣弧 优弧:大于半圆的弧叫作优弧 注意： 弧是圆的一部分,是一段平滑的曲线 2.弧的读写法 弧用符号＂＂表示，如图，红色部分（右边）的弧是劣弧，记作 ，读作＂弧＂；蓝色部分（左边）的弧是优弧，记作 ，读作＂弧＂。 3.圆心角：由两条半径组成，顶点在圆心的角叫作圆心角，如 ． 4．同一圆中，弧长与圆心角的对应关系 如图，右侧小于平角的（小于）是所对的圆心角，也称是圆心角（小于）所对的弧．同理，左侧大于平角的（大于）是所对的圆心角，也称是圆心角（大于）所对的弧． 弧长的计算公式 弧长是相应的圆周长的一部分，圆心角与周角之比等于弧长与圆周长之比 ，即 . 如图，的圆心角所对应的弧长是圆周长的的圆心角所对应的弧长是圆周长的．反之，弧长是所在圆周长的几分之几，圆心角就是的几分之几． 如果用表示弧长，用表示圆心角的度数，那么弧长的计算公式是． 注意：决定弧长的有两个量：圆的半径和圆心角．它们增大和减小都直接关系到弧长的增大与减小，即弧长随着圆心角和半径的增大而增大，随着它们的减小而减小． 圆心角的识别 例1 下列图形中的角是圆心角的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是圆心角的概念，掌握顶点在圆心的角是圆心角是解题的关键．根据圆心角的概念解答． 【详解】解：A、顶点没在圆心，不是圆心角，故选项不符合题意； B、是圆心角，故选项符合题意； C、顶点没在圆心，不是圆心角，故选项不符合题意； D、顶点没在圆心，不是圆心角，故选项不符合题意； 故选：B． 【变式1-1】如图所示，表示圆心角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了圆心角的判断，根据定义解答即可.顶点在圆心，角的两边与圆周相交的角，叫作圆心角． 【详解】解：图D中是圆心角． 故选：D． 【变式1-2】下列图形中的角是圆心角的是（　　） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】本题考查了圆心角的定义，能熟记圆心角的定义（顶点在圆心上，并且两边与圆相交的角，叫圆心角）是解此题的关键．根据圆心角的定义逐个判断即可． 【详解】解：A．顶点在圆心上，是圆心角，故本选项符合题意； B．顶点在圆上，是圆周角，故本选项不符合题意； C．顶点不在圆心上，不是圆心角，故本选项不符合题意； D．顶点不在圆心上，不是圆心角，故本选项不符合题意； 故选：A． 【变式1-3】图中是圆心角的是（　　） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】圆心角是过弧AB两端的半径构成的角． 【详解】解：A为圆周角，不符合题意； B是圆心角，符合题意； C不是圆心角，不符合题意； D不是圆心角，不符合题意； 故选：B 【点睛】本题考查圆心角的定义．熟记相关定义即可． 求圆心角的度数 例2 一弧长为，这弧的半径为，则弧所对的圆心角为 度． 【答案】270 【分析】利用弧长公式即可求解． 【详解】解：该弧所对的圆心角为， 故答案为：270． 【点睛】本题考查弧长的计算，掌握弧长公式是解题的关键． 【变式2-1】圆的半径为5厘米，一个圆心角所对的弧长为12.56厘米，求这个圆心角的度数． 【答案】 【分析】根据弧长公式计算，即可得到答案． 【详解】∵弧长 ∴ ∴圆心角的度数为． 【点睛】本题考查了弧长和圆心角计算的知识；求解的关键熟练掌握弧长计算的方法，从而完成求解． 【变式2-2】如果一条弧的长度是它所在圆的周长的，那么这条弧所对的圆心角是 °． 【答案】216 【分析】本题考查弧长，根据弧长与圆的周长的关系，得到圆心角是周角的，计算即可． 【详解】解：因为一条弧的长度是它所在圆的周长的， 所以这条弧所对的圆心角是周角的，即：； 故答案为：216． 【变式2-3】周长是720毫米的圆上，有一条长为360毫米的弧，这条弧所对的圆心角的度数为 ． 【答案】180° 【分析】先算出360毫米的弧占周长为720毫米的圆的百分比，然后再乘以即可算出． 【详解】由题意可得： ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆心角的求法，熟练掌握圆心角和弧的关系是解题的关键． 【变式2-4】一段弧所在的圆的半径为60，这段弧的长是157，那么这弧所对的圆心角是 度． 【答案】 【分析】设圆心角为n度，根据公式，即可求解． 【详解】解：设圆心角为n度，根据公式，得∶ ． 故答案为∶150 【点睛】本题主要考查了根据弧长求半径，熟练掌握弧长公式是解题的关键． 比值与变化关系问题 例3 在同一个圆中，100°的圆心角所对的弧的弧长与20°的圆心角所对的弧的弧长之比是 ． 【答案】 【分析】根据弧长公式进行计算再求比即可． 【详解】100°的圆心角所对的弧的弧长：， 20°的圆心角所对的弧的弧长：， ∴：=5：1． 故答案为：5：1． 【点睛】本题考查了弧长，熟练掌握弧长公式是解题的关键． 【变式3-1】一条弧所对的圆心角是，则这条弧长与这条弧所在圆的周长之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用这条弧所对的圆心角的度数除以360°即可求出结论． 【详解】解：72÷360= 即这条弧长与这条弧所在圆的周长之比为 故选C． 【点睛】此题考查的是弧长与圆的周长，掌握弧长与这条弧所在圆的周长之比等于这条弧所对的圆心角与360°的比是解题关键． 【变式3-2】若一段弧所在的圆的半径缩小到原来的，且所对圆心角扩大到原来的4倍，则弧长（    ） A．不变 B．扩大到原来的2倍 C．缩小到原来的 D．扩大到原来的4倍 【答案】B 【分析】根据弧长公式：即可得出结果． 【详解】解：所在的圆的半径缩小到原来的，且所对圆心角扩大到原来的4倍后得到弧长为， 所以是扩大到原来的2倍． 故选：B 【点睛】本题主要考查的是弧长的公式，掌握弧长公式是解题的关键． 【变式3-3】下列说法正确的是（    ） A．半径越大的弧越长 B．所对的圆周角越大弧越长 C．所对的圆心角相等时半径越大的弧越长 D．所对的圆心角越大的弧越长 【答案】C 【分析】根据弧长计算公式即可判断出答案． 【详解】∵弧长的大小取决于半径和弧对的圆心角， ∴A错没说圆心角一定；B错没说半径一定；D错没说半径一定；C对. 故答案选C． 【点睛】本次主要考查了弧长计算，准确记住弧长公式是解题关键． 求弧长 例4 圆半径为，那么的圆心角所对的弧长 ． 【答案】6.28 【分析】根据弧长公式计算，即可得到答案． 【详解】的圆心角所对的弧长 故答案为：6.28． 【点睛】本题考查了弧长计算的知识；求解的关键是熟练掌握弧长计算的方法，从而完成求解． 【变式4-1】半径为2㎝，圆心角为90°的弧长为 ． 【答案】π cm 【分析】根据弧长公式求解即可． 【详解】． 故答案为：π cm． 【点睛】本题考查了弧长的求解，熟练掌握弧长公式是解题的关键． 【变式4-2】若直径长为2厘米，圆心角为45度，那么圆心角所对的弧长为 厘米． 【答案】 【分析】根据弧长公式即可得． 【详解】所求弧长为（厘米）， 故答案为：． 【点睛】本题考查了弧长公式，熟记公式是解题关键． 【变式4-3】如果圆的半径为6厘米，那么的圆心角所对的弧长为 厘米． 【答案】15.7 【分析】直接根据弧长公式进行计算． 【详解】根据弧长的公式(厘米) ． 故答案为：15.7． 【点睛】本题考查了弧长的计算，用到的知识点是弧长公式，是一道基础题． 【变式4-4】求图中的长度． 【答案】． 【分析】根据弧长公式进行计算即可． 【详解】解： ． 【点睛】本题考查了弧长，熟记弧长公式是解题的关键． 圆心角、半径与弧之间的关系 例5 下列说法正确的有（    ） ①同圆中弧长相等，所对的圆心角相等；    ②已知圆的直径为d时，弧长； ③弧是圆上两点之间的部分；    ④相等的圆心角所对的弧长也相等． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据同圆中弧长、圆心角和直径之间的关系逐一判断即可． 【详解】解：①同圆中弧长相等，所对的圆心角相等，故正确；     ②已知圆的直径为d时，弧长，故正确； ③弧是圆上两点之间的部分，故正确；     ④在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧长也相等，缺少条件，故错误． 综上：正确的有3个 故选C． 【点睛】此题考查的是与圆有关的概念及公式，掌握同圆中弧长、圆心角和直径之间的关系是解题关键． 【变式5-1】120°的圆心角是360°的 分之一，它所对的弧是相应圆周长的 分之一． 【答案】 三 三 【分析】根据题意可知由于圆周角为360°，则圆心角是120°的圆心角所对弧长是圆周长的120°÷360°=，所以所对的弧长是相应的圆的周长的，据此解答即可． 【详解】解：120°÷360°=， 它所对的弧是相应圆周长的， 答：120°的圆心角是360°的三分之一，它所对的弧是相应圆周长的三分之一． 故答案为：三；三． 【点睛】本题考查圆的弧长和圆心角，注意掌握在同一个圆中，扇形的圆心角与360度的比等于弧长与圆的周长的比． 【变式5-2】72°的圆心角所对的弧长是圆周长的 （填几分之几）． 【答案】 【分析】72°圆心角除以周角，即可解题． 【详解】解： 即72°的圆心角所对的弧长是圆周长的 故答案为：． 【点睛】本题考查圆的有关元素的计算，涉及圆心角、弧长等知识，掌握相关知识是解题关键． 【变式5-3】的圆心角所对的弧长是圆周长的 ．（填几分之几） 【答案】 【分析】圆心角除以整个圆心角，即可解题． 【详解】解： 故答案为：． 【点睛】本题考查圆的有关元素的计算，涉及圆心角、弧长等知识，掌握相关知识是解题关键． 【变式5-4】一条弧的长度为25.12，所对圆心角为，那么弧所在的圆的半径为 ． 【答案】12 【分析】根据弧长计算公式可直接求解． 【详解】因为一条弧的长度为25.12，所对圆心角为， 所以． 故答案为12． 【点睛】本题主要考查弧长的计算，熟练掌握计算公式是解题的关键． 已知弧长求圆的半（直）径 例6 若的圆心角所对的弧长为，则此弧所对的圆的半径为 ． 【答案】20 【分析】圆周角等于360°，先求得圆周角与36°的圆心角之间的倍数关系，再乘以36°的圆心角所对的弧长即为所在圆的周长，再根据圆的周长公式得到圆的半径． 【详解】 ＝ ＝（厘米） ＝（厘米） 故填：20． 【点睛】本题主要考查了圆的周长、弧长、半径之间的关系． 【变式6-1】一个半圆形的周长是102.8厘米，那么这个半圆的直径是 ． 【答案】40厘米 【分析】由周长公式解题即可． 【详解】解： 故答案为：40． 【点睛】本题考查圆的周长与直径的有关计算，是重要考点，难度容易，掌握相关知识是解题关键． 【变式6-2】已知弧长是15.7米，圆心角是90度，求弧所在圆的直径． 【答案】20米 【分析】根据弧长的计算公式代入数值求解即可． 【详解】解：设半径为r，由题意，得, 所以(米)， 所以圆的直径为(米) 【点睛】此题考查了弧长的计算，解答本题的关键是熟练记忆弧长的计算公式，属于基础题． 求弧对应的圆的周长 例7 一条弧长是56.52cm，这条弧所对的圆心角是60°，则这条弧所在圆的周长是 cm． 【答案】339.12 【分析】根据圆的周长所对的圆心角是360°，可得圆周长是这条弧长的倍数关系，进而可得答案． 【详解】(cm)． 故答案为：339.12 【点睛】本题考查圆的周长与弧长，熟记圆的周长所对的圆心角是360°是解题关键． 【变式7-1】如果一个扇形的圆心角为，那么这个扇形的弧长是它所在的圆的周长的 ． 【答案】 【分析】求出扇形的弧长和圆的周长，进而可得结果． 【详解】解：设这个扇形的半径为， 一个扇形的圆心角为, 它所在的圆的周长， 这个扇形的弧长是它所在的圆的周长的比为 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了扇形的弧长公式，熟练掌握扇形的弧长公式是解本题的关键． 【变式7-2】60°的圆心角所对的弧长是18.84厘米，则它所在圆的周长为 厘米． 【答案】 【分析】根据弧长公式、圆的周长公式即可得． 【详解】设圆弧所在圆的半径为厘米， 则， 解得， 则它所在圆的周长为（厘米）， 故答案为：． 【点睛】本题考查了弧长公式、圆的周长公式，熟记公式是解题关键． 【变式7-3】圆心角是24度，其所对的弧长是31.4厘米，求其所在圆的周长． 【答案】471厘米 【分析】设半径为rcm，根据弧长公式求出半径，然后根据圆的周长公式即可求出结论． 【详解】解：设半径为rcm， 由题意可得=31.4 解得r=75 其所在圆的周长为3.14×75×2=471（厘米） 答：其所在圆的周长为471厘米． 【点睛】此题考查的是弧长和圆的周长，掌握弧长公式和圆的周长公式是解决此题的关键． 弧长的应用 例8 台钟的时针长10厘米，从中午12点到下午3点，时针尖端走过的路程是 厘米． 【答案】 【分析】求出时针旋转过程中所对应的圆心角的度数，再根据弧长公式进行计算即可． 【详解】解：从中午12时到下午3时，时针所转过的圆心角的度数为， 所以时针的针尖划过的弧长为（）， 故答案为：． 【点睛】本题考查弧长的计算，掌握弧长的计算方法是正确解答的关键． 【变式8-1】如图，的三条边长都是18毫米，分别以、、为圆心，18毫米为半径画弧，求这三条弧长的和．（取3.14） 【答案】56.52毫米 【分析】根据弧长公式解答即可； 【详解】毫米． 【点睛】考查对弧长公式的理解以及运用公式进行计算． 【变式8-2】已知：如图，四边形和都是正方形，正方形的边长是1厘米，那么曲线长为 厘米． 【答案】 【分析】本题考查了圆的周长公式：，确定各部分曲线所在圆的半径及对应的角度是解题关键． 【详解】解：由题意得：厘米，厘米，厘米， ∴曲线长为：（厘米）． 故答案为： 【变式8-3】如图，以B、C为圆心的两个半圆的直径都是2厘米，那么阴影部分的周长是多少厘米？（取3.14） 【答案】3.09厘米 【分析】由题意可知，两段弧所对的圆心角的度数均为，再依据弧长公式即可求阴影部分的周长． 【详解】∵ 已知两段弧所对的圆心角的度数均为， ∴ 阴影部分的周长为：． 答：阴影部分的周长是3.09厘米 【点睛】考查弧长的计算，注意阴影部分的周长包含的长． 【变式8-4】将三根直径为a的圆柱形钢管用铁丝据扎，现设计了方案I和Ⅱ两种方案，如图甲和图乙所示，选用哪一种方案最省料． 【答案】选择方案II最省料． 【分析】根据弧长公式分别求出两种捆法所用的绳子的长度，再进行比较即可． 【详解】方案（1）中铁丝长： 方案（2）中铁丝长： 因为， 所以选择方案II最省料． 【点睛】本题考查了弧长公式，解题关键是弄清绳子是由哪几段组成的，再比较哪种更好． 【变式8-5】图用两根绳子据扎着三根直径均为8cm的酱油瓶，若不计绳子接头．则绳总长是多少厘米？ 【答案】绳总长是厘米． 【分析】据扎酱油瓶的每根绳长包括三段半径为、圆心角为的弧长和三段长度等于直径的绳长，再利用弧长公式计算即可得． 【详解】图中圆的半径为， 则绳总长， 答：绳总长是厘米． 【点睛】本题考查了弧长公式，依据题意，正确得出绳长的组成部分是解题关键． 【变式8-6】矩形的长和宽分别为10厘米和6厘米，求阴影部分的周长（取3.14）．    【答案】27.7厘米 【分析】阴影部分的周长，是两个的圆弧长，加上矩形的长，矩形宽的一部分． 【详解】小圆弧的半径：（厘米） （厘米）． 【点睛】本题考查不规则图形的周长计算，解题的关键是把不规则图形转化为规则图形． 【变式8-7】弯制管道时，先按中心计算“展直长度”再下料，试计算图中所示管道的展直长度．（，单位：，精确到，弯制管道的粗细不计）    【答案】 【分析】直接根据弧长公式即可解答． 【详解】解： （cm） 展直长度（cm） 【点睛】此题主要考查弧长的求法，熟练掌握弧长公式是解题关键． 【变式8-8】某服装厂有形状为等腰三角形的边角布料，测的得，米，现要从此三角形中剪出若干扇形，以制作不同形状的玩具，要求扇形的两条半径恰好都在的边上，扇形的弧与的一边有一个公共点（或两边各有一个公共点）．如第一幅图所示的扇形符合题意．现请设计其他符合题意的一种方案，要求在第二幅图中画出图形，请直接写出半径并求扇形的周长（结果保留π），若想不出其他方案，可以直接根据第一幅图写出半径并求该扇形的周长（结果保留π），若还有更多方案，可以画在后面的图中．    【答案】（米）， （米）； （米），（米），图形见解析 【分析】第一幅图中的扇形半径等于等腰三角形腰的一半，用弧长公式求出弧长，再算扇形周长，第二幅图可以以B为圆心，BC为半径画弧，交AB于点D，画出一个扇形，用同样的方法求出扇形周长． 【详解】解：方案一，如图，过点O作于点D，作于点E， O是AB的中点，四边形ODCE是正方形， （米），即半径（米）， 弧长（米）， 扇形周长（米）；      方案二，如图，以B为圆心，BC为半径画弧，交AB于点D， 半径（米）， 弧长（米）， 周长（米），      综上：（米），（米）；（米），（米）． 【点睛】本题考查扇形的周长的求解，解题的关键是掌握扇形的周长的求解方法． 【变式8-9】小明家最近新建了一幢楼房，楼房前是一个很大的院子．小明爸爸设计了一个大的半圆形花坛（以为直径），接着又准备在大的半圆形花坛里围两个小的半圆形花坛来种植三种不同的花卉（如下图所示），其中直径米，直径米． （1）小明妈妈看到隔壁邻居家的白色护栏很漂亮，准备在各花坛四周围上白色护栏，小明妈妈犯愁了，到底要买多少白色护栏才够而又不浪费呢？请你帮小明妈妈计算至少需要护栏多少米？ （2）如果小明爸爸想要种植更多的花卉，在大的半圆形花坛内多设计几个半圆形花坛，（如上图所示）那小明妈妈买的白色护栏还够吗？请写出必要的计算过程． 【答案】（1）20.7米；（2）够用，过程见解析 【分析】（1）利用弧长的计算公式即可求解； （2）无论设计多少个半圆形花坛，大花坛内的小花坛的直径之和都等于大花坛的直径，据此即可得出结论． 【详解】解：（1）白色护栏的长度为三个半圆的长度加上AB，即： （米）； （2）够用，无论设计多少个半圆形花坛，大花坛内的小花坛的直径之和都等于大花坛的直径，所以其周长依旧为20.7米． 【点睛】本题考查弧长的实际应用，掌握半圆的弧长公式是解题的关键． 【变式8-10】如图所示是某森林公园二期改造工程的部分规划图．以“爱在方圆”为主题的设计中，正方形不与圆重叠的部分建造林地，圆不与正方形重叠的部分建造草地，重叠部分修建池塘． （1）若正方形面积的是林地，圆面积的是草地，池塘的面积是125平方米，则林地和草地的面积分别是多少平方米？池塘面积占规划区域总面积的几分之几？ （2）若正方形边长与圆半径的比为，且池塘周长为71.4米．则林地的周长是多少米？ 【答案】（1）林地500平方米，草地375平方米，池塘占；（2）151.4米． 【分析】（1）根据林地和草地的面积占比，以及池塘的面积，即可列式林地的面积为，草地的面积为，求解即可； （2）根据池塘的周长即可求得圆的半径，根据圆半径和正方形边长的比例求得正方形的边长，即可求解林地的周长． 【详解】解：（1）林地的面积：（平方米）， 草地的面积：（平方米）， 池塘面积占规划区域总面积：， 答：林地的面积为500平方米，草地的面积为375平方米，池塘面积占规划区域总面积的； （2）圆C的半径为（米）， 则正方形边长为40米， 所以林地的周长为：（米）， 答：林地的周长是151.4米． 【点睛】本题考查分数乘除法的实际应用、圆的周长、弧长公式等内容，正确理解题意是解题的关键． 运动轨迹问题 例9 如图，将直角三角尺ABC（其中）绕点B顺时针旋转一个角度到的位置，使得点A，B，在同一条直线上，如果AB的长度为10，那么点A旋转到点走过的路程是 ．（结果保留） 【答案】 【分析】根据三角尺的度数得出，然后根据平角等于求出，然后根据弧长公式列式进行计算即可得解． 【详解】解：∵△是旋转得到， ∴， 又∵点A，B，在同一条直线上， ， 的长度为10， 点转动到点走过的路程． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了弧长的计算，记住弧长的计算公式、明确三角尺的度数的常识是解题的关键． 【变式9-1】如图，将边长为1厘米的正三角形放在一条直线上，让三角形绕顶点C顺时针转动到达位置Ⅱ，再继续这样转动到达位置Ⅲ．求A点走过的路程． 【答案】厘米 【分析】根据题意，画出点A运动的曲线，然后根据弧长公式计算即可． 【详解】解：如下图所示，120÷360= ∴A点运动曲线：以C为圆心，以1为半径的圆，以B′为圆心以1为半径的圆． A点走过的路程为（厘米）． 答：A点走过的路程为厘米． 【点睛】此题考查的是求点的运动轨迹的长，掌握弧长公式是解题关键． 【变式9-2】一条直线上放着一个长和宽分别是4厘米和3厘米的长方形1，它的对角线的长恰好是5厘米．把这个长方形绕顶点顺时针旋转后到达长方形2的位置，这样连续做3次，点到达点的位置，求点走过的路程的长． 【答案】18.84厘米 【分析】A点的运动轨迹分别为：由长方形1到长方形2，是以B为圆心，AB长为半径，圆心角为90°的弧；由长方形2到长方形3，是以C为圆心，对角线长为半径，圆心角为90°的弧；由长方形3到长方形4，是以D为圆心，DE长为半径，圆心角为90°的弧；利用弧长公式求出每一段的路程即可求解． 【详解】解：由长方形1到长方形2，是以B为圆心，AB长为半径，圆心角为90°的弧，即路程为：； 由长方形2到长方形3，是以C为圆心，对角线长为半径，圆心角为90°的弧，即路程为：； 由长方形3到长方形4，是以D为圆心，DE长为半径，圆心角为90°的弧，即路程为：； 所以点走过的路程的长为． 【点睛】本题考查弧长的计算，明确每一次旋转的运动轨迹是解题的关键． 【变式9-3】如图，一个边长是1的等边三角形ABC，将它沿直线l作顺时针方向滚动，求滚动100次，B点所经过的路程 ．（结果保留） 【答案】 【分析】如图找规律，路程为计算求解即可． 【详解】解：如图， ，，， 滚动100次，点经过的路程为 故答案为：． 【点睛】本题考查了弧长．解题的关键在于找出滚动过程中的规律． 【变式9-4】三角形的每边长都是厘米，现将三角形沿一条直线l顺时针方向翻滚次（如图1所示为翻滚一次） 求： (1)翻滚一次点所经过的总路程；（结果保留） (2)翻滚次点所经过的总路程．（结果保留） 【答案】(1) (2) 【详解】（1）∵是等边三角形， ∴， ∴将三角形沿一条直线l顺时针方向翻滚一次顶点A所经过的路程为 ： （2）∵第三次和第六次翻滚的时候是以点A为圆心， ∴第三次和第六次翻滚的时候点所经过的路程为， ∴翻滚次点所经过的总路程为： 【点睛】本题考查了求某点的弧形运动路径长度，熟练掌握弧长公式的应用是解决问题的关键 【变式9-5】等边三角形的边长是3厘米，现将沿一条直线翻滚30次，如图所示，求点经过的路程的长． 【答案】125.6cm 【分析】翻转第一次转动，它走的路程是圆心角是的圆弧；翻转第二次转动，它走的路程是圆心角是的圆弧；第三次点是不动的，因此 每翻滚一次，就有一次固定不动，以此类推，根据圆的周长公式求出点经过的路程，由此求解． 【详解】A点运动一次走过的路程是圆心角为半径为3厘米的扇形的弧长，但连续运动两次之后，第三次A点是不动的， 因此每翻滚一次，就有一次固定不动， A点经过的路程的长为：． 【点睛】本题综合性较强，一方面要分清楚点的运动路径，另一方面要确定三角形在旋转时的旋转中心． 【变式9-6】如图：两根0.9米长的绳子分别系着黑白两个重量大小完全相同的小球（直径为0.2米），现将黑色小球拉至图中位置放手，之后黑色小球与白色小球发生第一次碰撞，碰撞后黑色小球静止白色小球荡起，当荡到最高点时又荡回与黑色小球发生第二次碰撞，碰撞后白色小球静止黑色小球荡起，当荡到最高点时又荡回与白色小球发生第三次碰撞，…像这样运动．求：当第11次碰撞发生时，黑色小球荡过的路程．（已知每次碰撞后，被碰撞小球荡起的最大角度都变为碰撞前碰撞小球所达到最大角度的一半） 【答案】2.62米 【分析】根据题目中运动方式，每奇数次碰撞前后黑色小球发生运动且运动路径是为半径是1，圆心角为的弧长，由此求解即可． 【详解】解：由题意可知，绳长0.9米，小球直径0.2米 所以小球运动路径的路程半径为0.9+0.1=1米 第一次碰撞前黑色小球发生运动，其运动路程为： 第三次碰撞前后黑色小球发生运动，其运动路程为： 第五次碰撞前后黑色小球发生运动，其运动路程为： … 第11次碰撞前后黑色小球发生运动，其运动路程为： ∴黑色小球的运动路程为： = （米） 【点睛】本题考查弧长的计算，正确理解题意分析出小球运动路径的圆心角和半径，正确计算是解题关键． 【例1】判断:圆心角越大,扇形越大。.................................（ √ ） 错解分析 此题错在没有说明是在同圆或等圆中。扇形的大小不仅与圆心角有关,还与所在圆的半径有关。 错解改正 × 【防错警示】 在同一个圆中，圆心角越大，弧长越长. 1．半径长为6厘米，弧长为12.56厘米，这段弧所对的圆心角为 ． 【答案】 【分析】根据弧长公式，通过计算即可得到答案． 【详解】∵弧长半径圆心角 ∴圆心角 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆心角和弧长的知识；求解的关键是熟练掌握弧长公式的计算方法，从而完成求解． 2．已知圆弧的半径为15厘米，圆弧的长度为，求圆心角的度数． 【答案】 【分析】根据弧长的计算公式计算即可． 【详解】解：圆心角的度数． 【点睛】本题考查弧长的计算，掌握弧长公式是解题的关键． 3．一条弧所对的圆心角是144°，那么这条弧长与这条弧所在圆的周长之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据弧长公式以及圆的周长公式列式化简即可． 【详解】解：设这条弧所在圆的半径为， 则这条弧长为：，这条弧所在圆的周长为， ． 故选：B． 【点睛】本题考查了弧长公式：（弧长为，圆心角度数为，圆的半径为），熟记公式是解题的关键． 4．在半径是18厘米的圆中，150°圆心角所对的弧长是 厘米 【答案】 【分析】根据弧长公式可进行求解． 【详解】解：150°圆心角所对的弧长为：； 故答案为． 【点睛】本题主要考查弧长计算公式，熟练掌握公式是解题的关键． 5．台钟的时针长为9厘米，经过4小时，时针的针尖走过的路径长是 ． 【答案】18.84 厘米 【分析】经过4小时，，时针共转了4个大格，时针的针尖走过的路径长是圆周长的． 【详解】经过4小时，时针的针尖走过的路径长是2×3.14×9×=18.84（厘米） 故答案为：18.84厘米 【点睛】本题考查了弧长的计算，准确的计算出时针转过的角度是解题的关键． 6．计算弧长需要知道（     ） A．直径 B．半径 C．圆心角 D．半径和圆心角 【答案】D 【分析】根据弧长公式确定即可． 【详解】，所以计算弧长需要知道半径和圆心角． 故答案为：D． 【点睛】本题主要考查了弧长公式，熟练掌握公式是解题的关键． 7．圆心角为60°的弧长是与它半径相同的圆周长的 （填几分之几）． 【答案】 【分析】由题意可知：圆心角为60度，是圆周角的，因此60度的圆心角所对的弧长也应该是圆周长的，从而问题得解． 【详解】解：因为， 所以所对的弧长是圆周长的； 故答案为：． 【点睛】本题考查弧长与圆周长，解答此题的关键是：依据圆心角和圆周角的关系，即可知道弧长和圆周长的关系． 8．在中，，，，，将绕点顺时针旋转至的位置（如图），且使点、、在同一条直线上，则点经过的路径长为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据弧长公式即可求解． 【详解】∵旋转 ∴∠C’B’A’= ∴∠ABA’=180°-30°=150° ∴点经过的路径长为= 故选D． 【点睛】此题主要考查旋转的性质，解题的关键是熟知弧长公式的应用． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题08 弧长概念与应用 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1.学生能了解弧长的有关概念,会读会写弧. 2.学生能清楚弧长与圆心角的对应关系. 3.学生能运用弧长公式解决实际问题. 弧和圆心角的概念 1.弧的有关概念 弧:圆上两点之间的部分称为弧,它是圆的一部分 半圆:圆任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧,每条弧都叫作半圆 劣弧:小于半圆的弧叫作劣弧 优弧:大于半圆的弧叫作优弧 注意： 弧是圆的一部分,是一段平滑的曲线 2.弧的读写法 弧用符号＂＂表示，如图，红色部分（右边）的弧是劣弧，记作 ，读作＂弧＂；蓝色部分（左边）的弧是优弧，记作 ，读作＂弧＂。 3.圆心角：由两条半径组成，顶点在圆心的角叫作圆心角，如 ． 4．同一圆中，弧长与圆心角的对应关系 如图，右侧小于平角的（小于）是所对的圆心角，也称是圆心角（小于）所对的弧．同理，左侧大于平角的（大于）是所对的圆心角，也称是圆心角（大于）所对的弧． 弧长的计算公式 弧长是相应的圆周长的一部分，圆心角与周角之比等于弧长与圆周长之比 ，即 . 如图，的圆心角所对应的弧长是圆周长的的圆心角所对应的弧长是圆周长的．反之，弧长是所在圆周长的几分之几，圆心角就是的几分之几． 如果用表示弧长，用表示圆心角的度数，那么弧长的计算公式是． 注意：决定弧长的有两个量：圆的半径和圆心角．它们增大和减小都直接关系到弧长的增大与减小，即弧长随着圆心角和半径的增大而增大，随着它们的减小而减小． 圆心角的识别 例1 下列图形中的角是圆心角的是（ ） A． B． C． D． 【变式1-1】如图所示，表示圆心角的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】下列图形中的角是圆心角的是（　　） A．   B．   C．   D．   【变式1-3】图中是圆心角的是（　　） A．  B．   C．   D．   求圆心角的度数 例2 一弧长为，这弧的半径为，则弧所对的圆心角为 度． 【变式2-1】圆的半径为5厘米，一个圆心角所对的弧长为12.56厘米，求这个圆心角的度数． 【变式2-2】如果一条弧的长度是它所在圆的周长的，那么这条弧所对的圆心角是 °． 【变式2-3】周长是720毫米的圆上，有一条长为360毫米的弧，这条弧所对的圆心角的度数为 ． 【变式2-4】一段弧所在的圆的半径为60，这段弧的长是157，那么这弧所对的圆心角是 度． 比值与变化关系问题 例3 在同一个圆中，100°的圆心角所对的弧的弧长与20°的圆心角所对的弧的弧长之比是 ． 【变式3-1】一条弧所对的圆心角是，则这条弧长与这条弧所在圆的周长之比为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】若一段弧所在的圆的半径缩小到原来的，且所对圆心角扩大到原来的4倍，则弧长（    ） A．不变 B．扩大到原来的2倍 C．缩小到原来的 D．扩大到原来的4倍 【变式3-3】下列说法正确的是（    ） A．半径越大的弧越长 B．所对的圆周角越大弧越长 C．所对的圆心角相等时半径越大的弧越长 D．所对的圆心角越大的弧越长 求弧长 例4 圆半径为，那么的圆心角所对的弧长 ． 【变式4-1】半径为2㎝，圆心角为90°的弧长为 ． 【变式4-2】若直径长为2厘米，圆心角为45度，那么圆心角所对的弧长为 厘米． 【变式4-3】如果圆的半径为6厘米，那么的圆心角所对的弧长为 厘米． 【变式4-4】求图中的长度． 圆心角、半径与弧之间的关系 例5 下列说法正确的有（    ） ①同圆中弧长相等，所对的圆心角相等；    ②已知圆的直径为d时，弧长； ③弧是圆上两点之间的部分；    ④相等的圆心角所对的弧长也相等． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式5-1】120°的圆心角是360°的 分之一，它所对的弧是相应圆周长的 分之一． 【变式5-2】72°的圆心角所对的弧长是圆周长的 （填几分之几）． 【变式5-3】的圆心角所对的弧长是圆周长的 ．（填几分之几） 【变式5-4】一条弧的长度为25.12，所对圆心角为，那么弧所在的圆的半径为 ． 已知弧长求圆的半（直）径 例6 若的圆心角所对的弧长为，则此弧所对的圆的半径为 ． 【变式6-1】一个半圆形的周长是102.8厘米，那么这个半圆的直径是 ． 【变式6-2】已知弧长是15.7米，圆心角是90度，求弧所在圆的直径． 求弧对应的圆的周长 例7 一条弧长是56.52cm，这条弧所对的圆心角是60°，则这条弧所在圆的周长是 cm． 【变式7-1】如果一个扇形的圆心角为，那么这个扇形的弧长是它所在的圆的周长的 ． 【变式7-2】60°的圆心角所对的弧长是18.84厘米，则它所在圆的周长为 厘米． 【变式7-3】圆心角是24度，其所对的弧长是31.4厘米，求其所在圆的周长． 弧长的应用 例8 台钟的时针长10厘米，从中午12点到下午3点，时针尖端走过的路程是 厘米． 【变式8-1】如图，的三条边长都是18毫米，分别以、、为圆心，18毫米为半径画弧，求这三条弧长的和．（取3.14） 【变式8-2】已知：如图，四边形和都是正方形，正方形的边长是1厘米，那么曲线长为 厘米． 【变式8-3】如图，以B、C为圆心的两个半圆的直径都是2厘米，那么阴影部分的周长是多少厘米？（取3.14） 【变式8-4】将三根直径为a的圆柱形钢管用铁丝据扎，现设计了方案I和Ⅱ两种方案，如图甲和图乙所示，选用哪一种方案最省料． 【变式8-5】图用两根绳子据扎着三根直径均为8cm的酱油瓶，若不计绳子接头．则绳总长是多少厘米？ 【变式8-6】矩形的长和宽分别为10厘米和6厘米，求阴影部分的周长（取3.14）．    【变式8-7】弯制管道时，先按中心计算“展直长度”再下料，试计算图中所示管道的展直长度．（，单位：，精确到，弯制管道的粗细不计）    【变式8-8】某服装厂有形状为等腰三角形的边角布料，测的得，米，现要从此三角形中剪出若干扇形，以制作不同形状的玩具，要求扇形的两条半径恰好都在的边上，扇形的弧与的一边有一个公共点（或两边各有一个公共点）．如第一幅图所示的扇形符合题意．现请设计其他符合题意的一种方案，要求在第二幅图中画出图形，请直接写出半径并求扇形的周长（结果保留π），若想不出其他方案，可以直接根据第一幅图写出半径并求该扇形的周长（结果保留π），若还有更多方案，可以画在后面的图中．    【变式8-9】小明家最近新建了一幢楼房，楼房前是一个很大的院子．小明爸爸设计了一个大的半圆形花坛（以为直径），接着又准备在大的半圆形花坛里围两个小的半圆形花坛来种植三种不同的花卉（如下图所示），其中直径米，直径米． （1）小明妈妈看到隔壁邻居家的白色护栏很漂亮，准备在各花坛四周围上白色护栏，小明妈妈犯愁了，到底要买多少白色护栏才够而又不浪费呢？请你帮小明妈妈计算至少需要护栏多少米？ （2） 如果小明爸爸想要种植更多的花卉，在大的半圆形花坛内多设计几个半圆形花坛，（如上图所示）那小明妈妈买的白色护栏还够吗？请写出必要的计算过程． 【变式8-10】如图所示是某森林公园二期改造工程的部分规划图．以“爱在方圆”为主题的设计中，正方形不与圆重叠的部分建造林地，圆不与正方形重叠的部分建造草地，重叠部分修建池塘． （1）若正方形面积的是林地，圆面积的是草地，池塘的面积是125平方米，则林地和草地的面积分别是多少平方米？池塘面积占规划区域总面积的几分之几？ （2）若正方形边长与圆半径的比为，且池塘周长为71.4米．则林地的周长是多少米？ 运动轨迹问题 例9 如图，将直角三角尺ABC（其中）绕点B顺时针旋转一个角度到的位置，使得点A，B，在同一条直线上，如果AB的长度为10，那么点A旋转到点走过的路程是 ．（结果保留） 【变式9-1】如图，将边长为1厘米的正三角形放在一条直线上，让三角形绕顶点C顺时针转动到达位置Ⅱ，再继续这样转动到达位置Ⅲ．求A点走过的路程． 【变式9-2】一条直线上放着一个长和宽分别是4厘米和3厘米的长方形1，它的对角线的长恰好是5厘米．把这个长方形绕顶点顺时针旋转后到达长方形2的位置，这样连续做3次，点到达点的位置，求点走过的路程的长． 【变式9-3】如图，一个边长是1的等边三角形ABC，将它沿直线l作顺时针方向滚动，求滚动100次，B点所经过的路程 ．（结果保留） 【变式9-4】三角形的每边长都是厘米，现将三角形沿一条直线l顺时针方向翻滚次（如图1所示为翻滚一次） 求： (1)翻滚一次点所经过的总路程；（结果保留） (2)翻滚次点所经过的总路程．（结果保留） 【变式9-5】等边三角形的边长是3厘米，现将沿一条直线翻滚30次，如图所示，求点经过的路程的长． 【变式9-6】如图：两根0.9米长的绳子分别系着黑白两个重量大小完全相同的小球（直径为0.2米），现将黑色小球拉至图中位置放手，之后黑色小球与白色小球发生第一次碰撞，碰撞后黑色小球静止白色小球荡起，当荡到最高点时又荡回与黑色小球发生第二次碰撞，碰撞后白色小球静止黑色小球荡起，当荡到最高点时又荡回与白色小球发生第三次碰撞，…像这样运动．求：当第11次碰撞发生时，黑色小球荡过的路程．（已知每次碰撞后，被碰撞小球荡起的最大角度都变为碰撞前碰撞小球所达到最大角度的一半） 【例1】判断:圆心角越大,扇形越大。.................................（ √ ） 错解分析 此题错在没有说明是在同圆或等圆中。扇形的大小不仅与圆心角有关,还与所在圆的半径有关。 错解改正 【防错警示】 在同一个圆中，圆心角越大，弧长越长. 1．半径长为6厘米，弧长为12.56厘米，这段弧所对的圆心角为 ． 2．已知圆弧的半径为15厘米，圆弧的长度为，求圆心角的度数． 3．一条弧所对的圆心角是144°，那么这条弧长与这条弧所在圆的周长之比为（    ） A． B． C． D． 4．在半径是18厘米的圆中，150°圆心角所对的弧长是 厘米 5．台钟的时针长为9厘米，经过4小时，时针的针尖走过的路径长是 ． 6．计算弧长需要知道（     ） A．直径 B．半径 C．圆心角 D．半径和圆心角 7．圆心角为60°的弧长是与它半径相同的圆周长的 （填几分之几）． 8．在中，，，，，将绕点顺时针旋转至的位置（如图），且使点、、在同一条直线上，则点经过的路径长为（ ） A． B． C． D． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$