预习专题10 扇形的面积（2知识点+5考点+1易错+过关检测）-【寒假自学课】2025年六年级数学寒假提升精品讲义（沪教版2024）

专题10 扇形的面积 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1.在具体的生活情境中认识扇形,了解扇形的基本特征,培养空间观念 2.了解扇形与圆心角之间的关系,会画指定半径和圆心角度数的扇形,发展几何直观 3.体会数学知识间的内在联系,感受学习数学的乐趣 认识扇形 1.认识扇形 如图所示,由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫作扇形.图中阴影部分就是扇形,记作扇形AOB. 2.决定扇形大小的因素 在同一个圆中,扇形的大小与这个扇形的圆心角的大小有关，圆心角越大,扇形越大,圆心角越小,扇形越小. 3.特殊的扇形 以半圆为弧的扇形的圆心角是 180°,以四分之一圆为弧的扇形是圆心角是 90°. 扇形的面积公式 扇形面积:所在的圆的面积=扇形的圆心角度数n:360.也就是圆心角为1°的扇形 面积是圆面积的 ；圆心角为 的扇形面积是圆面积的 ． 公式一：如果用 表示扇形的面积，用 表示半径， 表示圆心角度数，那么扇形面积的计算公式是 ． 公式二：如果用 表示扇形的面积，用 表示半径， 表示扇形的弧长，那么扇形的面积公式是 。 说明：扇形可看作曲边三角形，它的高就是扇形半径，底就是弧长，此时它的面积公式类似于三角形的面积公式． 扇形的周长和面积 例1 已知半径长为6厘米的圆的面积和半径长为12厘米的扇形的面积相等，那么这个扇形的弧长是 厘米． 【变式1-1】如果扇形的半径缩小为原来的，圆心角的度数不变，那么这个扇形的面积（    ） A．缩小为原来的 B．扩大为原来的4倍 C．缩小为原来的 D．扩大为原来的2倍 【变式1-2】如图，三角形的三条边长都是2厘米，分别以线段、、的中点D、E、F为圆心，2厘米为直径画半圆，那么阴影部分的面积是 （结果保留π） 【变式1-3】如果扇形的圆心角是，它所在圆的面积是12平方厘米，那么这个扇形的面积为 平方厘米． 【变式1-4】小丽家钟的时针长，从下午1点到下午5点，时针针尖走 ．（取3.14） 含圆的组合图形的计算(周长和面积) 例2 如图，正方形的边长是10cm，求阴影部分的周长（π取3）． 【变式2-1】如图，已知直径、为的半圆，BAC=，求阴影部分的面积．（计算结果保留） 【变式2-2】数学思考． 如图是一个正方形和半圆所组成的图形，其中P为半圆周的中点，Q为正方形BC边上的中点，求空白部分的面积．（单位：平方厘米）    【变式2-3】如图是一个长方形花圃的平面图，其中阴影部分种植牡丹，空白部分种植芍药，已知长方形的宽是2米，那么种植牡丹的面积是 平方米． 【变式2-4】求图中阴影部分的周长．（取3.14） 【变式2-5】如图，一只小羊被主人用绳子拴在长为5米，宽为4米的长方形水泥台的一个顶点上，水泥台的周围都是草地， (1)若绳子长为4米，求这只羊能吃到草的区域的最大面积（结果保留） (2)为了增加小羊吃草的范围，现决定把绳子的长度增加到6米，求这只羊现在能吃到草的区域的最大面积（结果保留） 【变式2-6】圆的滚动问题探索： (1)如图1，已知半径为1厘米的圆O沿直线AB无滑动滚动一周，求圆心O经过的距离． (2)如图2，将圆A固定，让圆O绕着圆A外侧边缘作无滑动滚动一周，已知圆O、圆A的半径都为1厘米，求圆心O经过的距离． (3)如图3，已知等边的边长为6厘米，将半径为1厘米的圆O从某一位置沿等边三角形的三边作无滑动滚动，当第一次回到原出发位置时，求圆O滚过区域的面积． (4)如图4，长方形的长，宽，点E、F分别在边AB、CD上的点，且，，半径为1cm的圆O在长方形外侧从点E经过点B、C无滑动滚动到点F，求圆O滚过区域的面积． 组合图形的面积 例3 如图，矩形的长和宽分别为和，以点为圆心，为半径画弧，又以点为圆心，为半径画弧，求图中阴影部分的面积与周长．（取3.14） 【变式3-1】如图，大正方形的边长为，小正方形的边长为，以点C为圆心，为半径画弧，又以点F为圆心，为半径画弧分别交边，于点E，G，求图中阴影部分的周长和面积．（取） 【变式3-2】下面的图形由一个平行四边形和一个梯形组成，求这个图形的面积．(单位：)．    【变式3-3】如图，已知直角梯形的上底、下底与高之比是，和为厘米．图中阴影甲的面积比阴影乙的面积少多少？    【变式3-4】如图，三个同心圆的半径分别是2、6、10，求图中阴影部分面积占大圆面积的百分之几？ 【变式3-5】如图，是正方形，扇形的半径是厘米．求阴影部分的面积．    【变式3-6】正方形的边长为4厘米． (1)分别以点A、C为圆心，4厘米为半径的弧、弧与边、所形成的阴影部分如图1，求图1阴影部分的面积． (2)以点B为圆心，4厘米为半径的弧与以、为直径的两个半圆所形成的阴影部分如图2，求图2阴影部分的面积． (3)若以为直径的半圆与三角形的边、所形成的阴影部分如图3，请试求图3阴影部分的面积． 【变式3-7】如图，长方形的宽为5，正好是大扇形半径的一半，求阴影部分的面积．（取3.14） 【变式3-8】如图，等边三角形的三条边都是6厘米，高为5.2厘米，分别以A、B、C三点为圆心，6厘米为半径长画弧． 求： (1)这三段弧长的和 (2)这三段弧所围成的图形的面积．（取3.14） 阴影部分的周长和面积 例4 如图，四边形是边长为10的正方形，分别以为直径画半圆．求图中阴影部分的面积． 【变式4-1】如图中阴影部分的周长是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】如图，四边形是一个正方形，四点在一直线上，且厘米，阴影部分的面积是多少平方厘米？（取） 【变式4-3】如图长方形的长为8，宽为4．以为直径画半圆，以点D为圆心，为半径画弧．求阴影部分的周长是 ，面积是 ．    【变式4-4】求图中的阴影部分的面积．（单位：厘米）    不规则图形的面积 例5 阅读理解：对称添补法是作出原图形的对称图形，从而得到一个新的基本规则图形．原来图形的面积就是这个新图形面积的一半．例如：求图1阴影部分的面积，可以在图1下方作关于直线对称的扇形，那么图2阴影部分面积的一半就是所求阴影部分的面积． 请根据上述解题方法，解决下面的问题： 如图3，两个正方形、正方形并排放置，．以点为圆心，为半径画弧．图中，阴影部分的面积是5.7平方厘米，求正方形的面积．（取3.14） 【变式5-1】直角三角形中，阴影甲比乙的面积大平方厘米，厘米，有多长？    【变式5-2】已知图1、图2中两个半圆的半径相等，、分别是两圆的圆心，图1中的阴影部分面积为，图2中的阴影部分面积为，则与之间的大小关系是（    ） A． B． C． D．不能确定 【变式5-3】如图，四个圆的半径均为1，A、B、C、D分别为四个圆的圆心，那么阴影部分的面积是（      ） A．π B． C． D．4 【例1】判断：圆心角越大，扇形越大。...........................（ √ ） 错解分析 此题错在没有说明是在同圆或等圆中。扇形的大小不仅与圆心角有关，还与所在圆的半径有关。 错解改正 【防错警示】 扇形的大小与圆心角有关，也与所在圆的半径有关. 1．一条长为9.42的弧所对的圆心角是，那么这条弧所在圆的半径为 ．（取3.14） 2.如图，长方形的长和宽分别是8cm和4cm，求图中阴影部分的周长． 3．如图，在直线l上有一个边长为8cm的正方形和一个直径为4cm的圆O，圆O紧贴着正方形的边． (1)如图（1），正方形保持不动，圆O沿直线l以每秒2厘米的速度向右匀速滚动．从初始位置到圆O恰好离开正方形时停止滚动（即到达圆的位置），在这个过程中圆O扫过的面积是多少？这个过程共用了多少秒？ (2)如图（2），圆O沿着正方形外侧按照的方向匀速滚动，碰到直线l停止滚动（即到达圆的位置）．从初始位置到停止滚动的过程，圆心O经过的路程是多少？ 4．小明有一辆前后车轮直径都是60厘米的自行车，如图1，图2是图1中自行车齿轮的局部放大图，这辆自行车的前齿轮的齿数为48（齿数是齿轮的尖齿数量），后齿轮的齿数为18． 小明发现可以利用自行车的行进原理估算自己的行进路程．自行车的行进原理和小明的估算方法如下： 小明每踩一圈脚蹬，与脚蹬相连的前齿轮就转动一圈，而前齿轮的转动会通过链条带动后齿轮的转动（前齿轮转动的齿数等于后齿轮转动的齿数），那么后齿轮相应的转动_______圈，也就是后车轮的转动圈数． 通过计算可以得到每踩一圈脚蹬，后车轮就前进_______米，这样只要数清楚自己踩了几圈脚蹬就能知道行进的路程了．如果小明踩动5圈脚蹬，那么后车轮前进了_____米． (1)补全上面空格中的内容； (2)如图3，小明学校有一个四跑道的操场，每条跑道的宽度都相等，跑道从内向外编号分别为1到4．已知操场的左右两侧分别是以和为直径的半圆，中间部分是长方形．记2号跑道和3号跑道的面积之和为，四条跑道的面积总和为，小明认为和有一定的数量关系，但他手边没有其它测量工具，因此他打算用上述用自行车估算行进路程的方法进行测量和探究． ①小明首先沿着4号跑道最外侧边线骑行一圈（忽略行进和转弯时产生的误差），发现自己正好踩了80圈脚蹬，随后小明从点A处沿直线骑行到点D处，发现需要踩30圈脚蹬．请帮助小明计算出直径的长度； ②小明又沿着1号跑道最内侧边线骑行一圈，发现自己正好踩了75圈脚蹬．请帮助小明计算与的比值． 5．如图，有四条线段的长度已经知道，还有两个角是直角，那么四边形（阴影部分）的面积是多少？ 6．下图中两个正方形的边长分别为4厘米和6厘米．求阴影部分的面积．    原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题10 扇形的面积 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1.在具体的生活情境中认识扇形,了解扇形的基本特征,培养空间观念 2.了解扇形与圆心角之间的关系,会画指定半径和圆心角度数的扇形,发展几何直观 3.体会数学知识间的内在联系,感受学习数学的乐趣 认识扇形 1.认识扇形 如图所示,由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫作扇形.图中阴影部分就是扇形,记作扇形AOB. 2.决定扇形大小的因素 在同一个圆中,扇形的大小与这个扇形的圆心角的大小有关，圆心角越大,扇形越大,圆心角越小,扇形越小. 3.特殊的扇形 以半圆为弧的扇形的圆心角是 180°,以四分之一圆为弧的扇形是圆心角是 90°. 扇形的面积公式 扇形面积:所在的圆的面积=扇形的圆心角度数n:360.也就是圆心角为1°的扇形 面积是圆面积的 ；圆心角为 的扇形面积是圆面积的 ． 公式一：如果用 表示扇形的面积，用 表示半径， 表示圆心角度数，那么扇形面积的计算公式是 ． 公式二：如果用 表示扇形的面积，用 表示半径， 表示扇形的弧长，那么扇形的面积公式是 。 说明：扇形可看作曲边三角形，它的高就是扇形半径，底就是弧长，此时它的面积公式类似于三角形的面积公式． 扇形的周长和面积 例1 已知半径长为6厘米的圆的面积和半径长为12厘米的扇形的面积相等，那么这个扇形的弧长是 厘米． 【答案】 【分析】本题考查圆的面积和扇形的面积，掌握圆的面积公式和扇形的面积公式，是解题的关键，设这个扇形的弧长为x厘米，根据题意，列出方程进行求解即可． 【详解】解：设这个扇形的弧长为x厘米，由题意得， ， 解得． 故答案为：． 【变式1-1】如果扇形的半径缩小为原来的，圆心角的度数不变，那么这个扇形的面积（    ） A．缩小为原来的 B．扩大为原来的4倍 C．缩小为原来的 D．扩大为原来的2倍 【答案】A 【分析】本题考查了扇形的面积公式，掌握扇形面积公式“”是解题的关键． 【详解】解：设变化前扇形的半径为r，圆心角的度数为n， 则变化后扇形的半径为，圆心角的度数为n， 所以变化前扇形的面积为， 变化后扇形的面积为 ， 面积缩小为原来的， 故选：A． 【变式1-2】如图，三角形的三条边长都是2厘米，分别以线段、、的中点D、E、F为圆心，2厘米为直径画半圆，那么阴影部分的面积是 （结果保留π） 【答案】/ 【分析】本题考查了半圆面积的求法，半圆面积的求法是解题关键．连接，，，利用割补法可征得阴影部分的面积=半圆的面积，即可求得答案． 【详解】解：连接，，， 阴影部分的面积一个以1厘米为半径的半圆的面积（平方厘米） 故答案为：． 【变式1-3】如果扇形的圆心角是，它所在圆的面积是12平方厘米，那么这个扇形的面积为 平方厘米． 【答案】8 【分析】本题考查了扇形的面积，圆的圆心角为，扇形的圆心角是的几分之几，则这个扇形的面积就是它所在圆的面积的几分之几，据此解答即可． 【详解】解：， 这个扇形的面积为8平方厘米． 故答案为：8． 【变式1-4】小丽家钟的时针长，从下午1点到下午5点，时针针尖走 ．（取3.14） 【答案】 【分析】本题考查钟表中的角度问题．时针1小时转度，故从下午1点到下午5点，时针转了圈，据此即可求解． 【详解】解：由题意得：时针的尖端所走的路程为： 故答案为： 含圆的组合图形的计算(周长和面积) 例2 如图，正方形的边长是10cm，求阴影部分的周长（π取3）． 【答案】阴影部分的周长为． 【分析】本题属于求组合图形周长的问题．阴影部分的周长正方形三边的长+四分之一的圆弧的长+半圆的长；据此解答即可． 【详解】解：阴影部分的周长为 ， 阴影部分的周长为． 【变式2-1】如图，已知直径、为的半圆，BAC=，求阴影部分的面积．（计算结果保留） 【答案】 【分析】本题主要考查了圆的面积的计算，根据题意可知，再代入求值． 【详解】解：根据题意，， 所以：（平方厘米）， 答：阴影部分的面积是平方厘米． 【变式2-2】数学思考． 如图是一个正方形和半圆所组成的图形，其中P为半圆周的中点，Q为正方形BC边上的中点，求空白部分的面积．（单位：平方厘米）    【答案】平方厘米 【分析】如下图所示；连接，P点为半圆周的中点，作三角形的高，则G是的中点，所以的长度为正方形的边长加半圆的半径，正方形的边长是10厘米，半圆的直径是10厘米，所以的长度是15厘米，可得三角形PAB的面积是75平方厘米；Q点为正方形一边的中点，所以三角形的面积是平方厘米，据此列式解答即可． 【详解】解：如图，作三角形的高，连接，    所以三角形的面积：（平方厘米） 三角形的面积：（平方厘米） 所以（平方厘米） 答：空白部分的面积是平方厘米． 【点睛】此题考查了三角形、正方形和圆的面积公式的综合应用，连接，找出这两个白色三角形的高是解决本题的关键． 【变式2-3】如图是一个长方形花圃的平面图，其中阴影部分种植牡丹，空白部分种植芍药，已知长方形的宽是2米，那么种植牡丹的面积是 平方米． 【答案】 【分析】利用长方形的面积减去两个半径为2的四分之一圆的面积，再减去上方中间的空白部分面积即可． 【详解】解：由题意可得： 种植牡丹的面积是：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了求不规则图形的面积，解题的关键是得出阴影部分面积的构成，利用割补法的思想计算． 【变式2-4】求图中阴影部分的周长．（取3.14） 【答案】33.12 【分析】四条弧加起来正好是一个圆， 【详解】故阴影部分的周长为： ． 【点睛】考查组合图形的周长的计算，注意该组合图形中包含了四条线段的长． 【变式2-5】如图，一只小羊被主人用绳子拴在长为5米，宽为4米的长方形水泥台的一个顶点上，水泥台的周围都是草地， (1)若绳子长为4米，求这只羊能吃到草的区域的最大面积（结果保留） (2)为了增加小羊吃草的范围，现决定把绳子的长度增加到6米，求这只羊现在能吃到草的区域的最大面积（结果保留） 【答案】(1)平方米 (2)平方米 【分析】（1）先根据题意画出图形，列出算式，再求出即可； （2）先根据题意画出图形，列出算式，再求出即可． 【详解】（1）解：假设羊绷着绳子跑，则羊能到达的区域就是最大区域的边界， 当绳子长为4米时，这只羊能吃到草的区域的最大区域为图中阴影部分， 则面积（平方米）， 答：这只羊能吃到草的区域的最大面积是平方米； （2）如图，当绳长为6米时，羊活动的最大区域为阴影部分， 其中分为扇形，扇形，扇形， ∵，，， ∴，， ∴阴影部分面积为． 【点睛】本题考查了扇形的面积计算，能根据题意画出图形，列出算式是解此题的关键． 【变式2-6】圆的滚动问题探索： (1)如图1，已知半径为1厘米的圆O沿直线AB无滑动滚动一周，求圆心O经过的距离． (2)如图2，将圆A固定，让圆O绕着圆A外侧边缘作无滑动滚动一周，已知圆O、圆A的半径都为1厘米，求圆心O经过的距离． (3)如图3，已知等边的边长为6厘米，将半径为1厘米的圆O从某一位置沿等边三角形的三边作无滑动滚动，当第一次回到原出发位置时，求圆O滚过区域的面积． (4)如图4，长方形的长，宽，点E、F分别在边AB、CD上的点，且，，半径为1cm的圆O在长方形外侧从点E经过点B、C无滑动滚动到点F，求圆O滚过区域的面积． 【答案】(1)厘米 (2)厘米 (3)平方厘米 (4)平方厘米 【分析】本题考查圆的周长和面积问题，将圆的运动轨迹转化为规则的圆或者扇形即可解答； （1）圆心O经过的距离为半径为1厘米的圆的周长； （2）圆心O经过的距离为以为半径的圆的周长； （3）圆O滚过区域的面积为圆的面积加上三个长方形的面积； （4）圆O滚过区域的面积为一个直径为2的圆的面积加上三个长方形和一个直径为2的半圆的面积之和． 【详解】（1）解：（厘米） （2）解：（厘米） （厘米） （3）解：（厘米） （平方厘米） （平方厘米） 圆O滚过区域的面积为平方厘米； （4）解：，， ，， （平方厘米） （厘米） （平方厘米） （平方厘米） 圆O滚过区域的面积为平方厘米 组合图形的面积 例3 如图，矩形的长和宽分别为和，以点为圆心，为半径画弧，又以点为圆心，为半径画弧，求图中阴影部分的面积与周长．（取3.14） 【答案】阴影部分的面积为；周长为 【分析】本题考查扇形面积的计算，掌握扇形面积的计算方法以及弧长的计算公式是正确解答的关键．根据扇形面积、弧长的计算公式，由不规则四边形的面积等于矩形的面积减去扇形的面积，而阴影部分面积等于扇形的面积减去不规则四边形，即可求出阴影部分的面积，再由阴影部分的周长等于弧的长+弧的长进行解答即可得出阴影部分的周长． 【详解】解：不规则四边形的面积， 阴影部分面积为 阴影部分的周长为， 答：阴影部分的面积为；周长为． 【变式3-1】如图，大正方形的边长为，小正方形的边长为，以点C为圆心，为半径画弧，又以点F为圆心，为半径画弧分别交边，于点E，G，求图中阴影部分的周长和面积．（取） 【答案】周长为，面积为 【分析】本题考查扇形的面积，正方形的性质，弧长公式等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．利用分割法，扇形的面积公式计算即可解决问题． 根据周长的定义，利用弧长公式计算即可． 【详解】解： ； 阴影部分的周长 ． 【变式3-2】下面的图形由一个平行四边形和一个梯形组成，求这个图形的面积．(单位：)．    【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质和梯形面积公式，由平行四边形和梯形面积公式列式计算即可． 【详解】解：这个图形的面积 ． 【变式3-3】如图，已知直角梯形的上底、下底与高之比是，和为厘米．图中阴影甲的面积比阴影乙的面积少多少？    【答案】平方厘米 【分析】甲+丙=半圆，乙+丙=梯形-大圆，求出半圆面积与乙+丙（不规则图形）面积之差，也就是求出了甲与乙的面积之差． 【详解】解：由题意可得，梯形上底：（厘米） 梯形下底：（厘米） 梯形高：（厘米） 梯形面积：（平方厘米） 扇形面积：（平方厘米） 半圆面积：（平方厘米） 阴影乙-阴影甲：（平方厘米） 【点睛】本题考查组合图形的面积，准确识图，掌握重叠图形间面积关系是解题关键． 【变式3-4】如图，三个同心圆的半径分别是2、6、10，求图中阴影部分面积占大圆面积的百分之几？ 【答案】 【分析】通过观察可知，所给图形阴影的面积正好是大圆面积的四分之一加上中圆和小圆组成的圆环面积的四分之一，圆的半径已知，利用圆和圆环的面积公式可求得阴影的面积，然后在求出大圆的面积，用图中阴影部分的面积除以大圆的面积即可． 【详解】解： = ， 答：图中阴影部分面积占大圆面积的． 【点睛】本题主要考查了圆及圆环的面积，关键是将阴影部分重组，利用规则图形的面积公式求解． 【变式3-5】如图，是正方形，扇形的半径是厘米．求阴影部分的面积．    【答案】平方厘米． 【分析】根据题意连接、交于点，如图，因为扇形的半径是厘米，所以厘米，厘米，可以求出三角形的面积再乘即为正方形的面积，再用的半径是厘米的圆的面积减去正方形的面积就是阴影部分的面积． 【详解】因为厘米，厘米，直角三角形等于平方厘米，平方厘米，正方形的面积是平方厘米． (平方厘米) 答：阴影部分的面积是10.26平方厘米．    【点睛】本题考查了不规则图形的面积求法，通过转化为求规则图形的面积和差即可，解题关键是牢记规则图形的面积公式并能灵活运用． 【变式3-6】正方形的边长为4厘米． (1)分别以点A、C为圆心，4厘米为半径的弧、弧与边、所形成的阴影部分如图1，求图1阴影部分的面积． (2)以点B为圆心，4厘米为半径的弧与以、为直径的两个半圆所形成的阴影部分如图2，求图2阴影部分的面积． (3)若以为直径的半圆与三角形的边、所形成的阴影部分如图3，请试求图3阴影部分的面积． 【答案】(1)3.44 (2)4.56 (3)4 【分析】（1）因为四边形为正方形，所以，可通过可求出阴影部分的面积；（2）如图2，连接，，交点为O，则可将阴影①绕点O顺时针旋转至③，将阴影②绕点O逆时针旋转至④，则通过可求出阴影部分的面积；（3）如图3，将阴影①沿的垂直平分线翻折至②，则，求出的面积即可． 【详解】（1）解：∵四边形为正方形， ∴， ∴ (平方厘米)； （2）解∶如图2，连接，，交点为O， 则可将阴影①绕点O顺时针旋转至③，将阴影②绕点O逆时针旋转至④， 则 (平方厘米)； （3）如图3，将阴影①沿的垂直平分线翻折至②， 则， ∵厘米， ∴（平方厘米）， ∴（平方厘米）． 【点睛】本题考查了与圆有关的计算，阴影部分的面积等，解题关键是能够将不规则图形的面积转化为几个规则图形面积的差或和等． 【变式3-7】如图，长方形的宽为5，正好是大扇形半径的一半，求阴影部分的面积．（取3.14） 【答案】48.125 【分析】本题中阴影部分的面积等于大扇形的面积减去长方形的面积再加上小扇形的面积，由此列出算式计算即可． 【详解】解：， 答：阴影部分面积为48.125． 【点睛】本题考查扇形面积公式，以及利用割补法求不规则图形的面积，能够掌握数形结合思想是解决本题的关键． 【变式3-8】如图，等边三角形的三条边都是6厘米，高为5.2厘米，分别以A、B、C三点为圆心，6厘米为半径长画弧． 求： (1)这三段弧长的和 (2)这三段弧所围成的图形的面积．（取3.14） 【答案】(1)这三段弧长的和是 (2) 【分析】（1）根据题干三角形是等边三角形，所以每个角的度数都是60°，那么图中就出现了3个半径为6厘米，圆心角为60°的扇形，再根据扇形的周长公式计算即可． （2）这三段弧所围成的图形的面积=三个扇形的面积之和－2个等边三角形的面积，由此利用扇形的面积公式和三角形的面积公式即可解答． 【详解】（1）∵三角形是等边三角形， ∴每个角的度数都是60°， ， ， 答：这三段弧长的和是． （2），   ，   ， 答：这三段弧所围成的图形的面积是． 【点睛】本题考查了扇形的面积公式与三角形的面积公式的灵活应用，根据题干，将这个组合图形的面积问题转化成求扇形和三角形的面积是解决本题的关键． 阴影部分的周长和面积 例4 如图，四边形是边长为10的正方形，分别以为直径画半圆．求图中阴影部分的面积． 【答案】． 【分析】本题考查与圆有关的面积问题，将阴影部分的面积转化为以为直径的半圆的面积，进行计算即可． 【详解】解：由对称性可将阴影部分转化为以为直径的半圆， 所以阴影部分的面积为． 【变式4-1】如图中阴影部分的周长是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查不规则图形的周长，需要将不规则图形转化为规则图形，再进行求解；观察图形可得，阴影部分可看作四个圆心角为90度、半径为4的扇形和4个长度为2的线段围成，据此求解即可． 【详解】解：阴影部分可看作四个圆心角为90度、半径为4的扇形和4个长度为2的线段围成， 四个圆心角为90度、半径为4的扇形可看作一个半径为4的圆形， ∴阴影部分周长：， 故选：C． 【变式4-2】如图，四边形是一个正方形，四点在一直线上，且厘米，阴影部分的面积是多少平方厘米？（取） 【答案】阴影部分的面积是 【分析】本题主要考查了组合图形的面积计算，根据进行求解即可． 【详解】解：由题意得，，，， ， 答：阴影部分的面积是． 【变式4-3】如图长方形的长为8，宽为4．以为直径画半圆，以点D为圆心，为半径画弧．求阴影部分的周长是 ，面积是 ．    【答案】 16 【分析】根据图形可知阴影部分的周长是半圆的周长；阴影部分的面积是正方形的面积，代入数据计算即可求解． 【详解】解：阴影部分的周长是：； 阴影部分的面积是：．    故答案为：；16． 【点睛】本题考查了正方形的面积和圆的面积和周长，巧用割补法将不规则的图形面积转化为规则图形是解题的关键． 【变式4-4】求图中的阴影部分的面积．（单位：厘米）    【答案】114平方厘米 【分析】由图可知，阴影部分面积等于半圆的面积加上扇形的面积减去三角形的面积． 【详解】解：（厘米） 半圆面积：（平方厘米） 扇形的面积： （平方厘米） 阴影部分面积：（平方厘米）． 【点睛】本题主要考查了求不规则图形面积，熟知扇形面积计算公式是解题的关键． 不规则图形的面积 例5 阅读理解：对称添补法是作出原图形的对称图形，从而得到一个新的基本规则图形．原来图形的面积就是这个新图形面积的一半．例如：求图1阴影部分的面积，可以在图1下方作关于直线对称的扇形，那么图2阴影部分面积的一半就是所求阴影部分的面积． 请根据上述解题方法，解决下面的问题： 如图3，两个正方形、正方形并排放置，．以点为圆心，为半径画弧．图中，阴影部分的面积是5.7平方厘米，求正方形的面积．（取3.14） 【答案】20平方厘米 【分析】本题考查圆面积的计算．根据阅读理解的方法在下方作关于对称的扇形，根据阴影部分面积等于扇形的面积减去的面积求解即可． 【详解】解：如图，在下方作关于对称的扇形， 则阴影部分面积平方厘米，，， 设正方形为对角线a，则面积为， ∴， 化简得， 即正方形的面积为20平方厘米． 【变式5-1】直角三角形中，阴影甲比乙的面积大平方厘米，厘米，有多长？    【答案】厘米 【分析】甲是三角形的一部分，乙是半圆的一部分，甲乙分别加上空白部分，差不变．阴影甲比乙的面积大平方厘米，所以三角形比半圆面积多平方厘米．求出三角形面积，利用三角形面积公式倒推边长度即可． 【详解】解：（平方厘米） （平方厘米） （平方厘米） （平方厘米） （厘米） 答：有厘米长． 【点睛】本题考查不规则图形面积，结合同加同减差不变的规律找出规则图形的面积差，把不规则转换成规则是解题关键． 【变式5-2】已知图1、图2中两个半圆的半径相等，、分别是两圆的圆心，图1中的阴影部分面积为，图2中的阴影部分面积为，则与之间的大小关系是（    ） A． B． C． D．不能确定 【答案】A 【分析】设两个圆的半径都是r，则图1中长方形的长为2r，宽为r，图2中三角形的底为2r，高为r，图1中阴影部分的面积为长方形的面积减去半圆的面积，图2中阴影部分的面积为半圆的面积减去三角形的面积，再进行比较所得面积的大小． 【详解】解:设两个半圆的半径都是r，则图1中长方形的长为2r，宽为r， 图2中三角形的底为2r，高为r， ∴ ． 故选A 【点睛】本题考查了求阴影部分的面积，圆的性质，半圆、矩形、三角形的面积公式，解题的关键是明确半圆、矩形、三角形的面积求法及阴影部分求面积的方法． 【变式5-3】如图，四个圆的半径均为1，A、B、C、D分别为四个圆的圆心，那么阴影部分的面积是（      ） A．π B． C． D．4 【答案】D 【分析】先根据题意确定正方形的边长，然后利用阴影部分的面积等于正方形的面积求解即可． 【详解】解：∵四个圆的半径均为1， ∴， ∴， 故选D． 【点睛】本题考查了扇形面积的计算，对于不规则的阴影部分的面积通过割补的方法转化为规则图形的面积． 【例1】判断：圆心角越大，扇形越大。...........................（ √ ） 错解分析 此题错在没有说明是在同圆或等圆中。扇形的大小不仅与圆心角有关，还与所在圆的半径有关。 错解改正 × 【防错警示】 扇形的大小与圆心角有关，也与所在圆的半径有关. 1．一条长为9.42的弧所对的圆心角是，那么这条弧所在圆的半径为 ．（取3.14） 【答案】9 【分析】本题考查了弧长的计算，掌握弧长公式是解题的关键．根据弧长公式进行计算即可． 【详解】解：， ， 故答案为：9 2.如图，长方形的长和宽分别是8cm和4cm，求图中阴影部分的周长． 【答案】 【分析】根据阴影部分的周长等于四分之一的半径为4cm圆的周长加上两个四分之一半径为2cm的圆的周长再加上两条线段长进行求解即可 【详解】解：大弧长为， 两个小弧长为， 所以图中阴影部分的周长为：． 答：图中阴影部分的周长为． 【点睛】本题主要考查了不规则图形的周长，正确理解题意将不规则图形的周长分解成规则图形的周长进行求解是解题的关键． 3．如图，在直线l上有一个边长为8cm的正方形和一个直径为4cm的圆O，圆O紧贴着正方形的边． (1)如图（1），正方形保持不动，圆O沿直线l以每秒2厘米的速度向右匀速滚动．从初始位置到圆O恰好离开正方形时停止滚动（即到达圆的位置），在这个过程中圆O扫过的面积是多少？这个过程共用了多少秒？ (2)如图（2），圆O沿着正方形外侧按照的方向匀速滚动，碰到直线l停止滚动（即到达圆的位置）．从初始位置到停止滚动的过程，圆心O经过的路程是多少？ 【答案】(1)在这个过程中圆O扫过的面积是平方厘米；共用了6秒； (2)厘米 【分析】本题考查了圆的面积和周长． （1）根据题意画出图形，在这个过程中圆O扫过的面积是长方形的面积+两个半圆的面积，这个过程的距离为的长，据此求解即可； （2）根据题意画出图形，圆心O转过3条直边，2个90度角的圆弧，据此求解即可． 【详解】（1）解：在这个过程中圆O扫过的面积是(平方厘米)， 这个过程共用了（秒）； ； （2）解：如图，圆心O经过的路程是（厘米） ． 4．小明有一辆前后车轮直径都是60厘米的自行车，如图1，图2是图1中自行车齿轮的局部放大图，这辆自行车的前齿轮的齿数为48（齿数是齿轮的尖齿数量），后齿轮的齿数为18． 小明发现可以利用自行车的行进原理估算自己的行进路程．自行车的行进原理和小明的估算方法如下： 小明每踩一圈脚蹬，与脚蹬相连的前齿轮就转动一圈，而前齿轮的转动会通过链条带动后齿轮的转动（前齿轮转动的齿数等于后齿轮转动的齿数），那么后齿轮相应的转动_______圈，也就是后车轮的转动圈数． 通过计算可以得到每踩一圈脚蹬，后车轮就前进_______米，这样只要数清楚自己踩了几圈脚蹬就能知道行进的路程了．如果小明踩动5圈脚蹬，那么后车轮前进了_____米． (1)补全上面空格中的内容； (2)如图3，小明学校有一个四跑道的操场，每条跑道的宽度都相等，跑道从内向外编号分别为1到4．已知操场的左右两侧分别是以和为直径的半圆，中间部分是长方形．记2号跑道和3号跑道的面积之和为，四条跑道的面积总和为，小明认为和有一定的数量关系，但他手边没有其它测量工具，因此他打算用上述用自行车估算行进路程的方法进行测量和探究． ①小明首先沿着4号跑道最外侧边线骑行一圈（忽略行进和转弯时产生的误差），发现自己正好踩了80圈脚蹬，随后小明从点A处沿直线骑行到点D处，发现需要踩30圈脚蹬．请帮助小明计算出直径的长度； ②小明又沿着1号跑道最内侧边线骑行一圈，发现自己正好踩了75圈脚蹬．请帮助小明计算与的比值． 【答案】(1)；； (2)①直径的长度是32米；② 【分析】本题主要考查了圆的周长和面积的有关计算，分数混合运算的应用，解题的关键是熟练掌握运算公式，准确计算即可． （1）根据圆的周长公式，大齿轮和小齿轮数列式计算即可； （2）①先求出以为直径的圆的长，再求出圆的直径即可； ②分别求出，，然后求出结果即可． 【详解】（1）解：每踩一圈脚蹬，后齿轮相应的转动的圈数为： ； 每踩一圈脚蹬，后车轮就前进的距离为： （米）， 小明踩动5圈脚蹬，那么后车轮前进了： （米）． 故答案为：；；． （2）解：①（圈）， （米）， 答：直径的长度是32米． ②（圈）， （米）， （平方米）， （平方米）， ∴； （平方米）， （米）， （米）， （平方米）， ∴（平方米）， ∴． 5．如图，有四条线段的长度已经知道，还有两个角是直角，那么四边形（阴影部分）的面积是多少？ 【答案】 【分析】由题意得：四边形面积=三角形面积+三角形面积，三角形是一个钝角三角形，所以底边上的高是8，三角形是一个钝角三角形，底边上的高是10，根据三角形公式计算即可． 【详解】解：， =， =． 答：四边形（阴影部分）的面积是． 【点睛】本题考查三角形面积的计算，准确识图，正确区分钝角三角形的底边及底边上的高是解题关键． 6．下图中两个正方形的边长分别为4厘米和6厘米．求阴影部分的面积．    【答案】平方厘米 【分析】如图：阴影部分的面积＝半径为6厘米的四分之一圆的面积＋长为厘米，宽为4厘米的长方形面积－底为4厘米，高为厘米三角形面积－底为2厘米，高为4厘米的三角形面积． 【详解】解：（平方厘米） = ＝（平方厘米） 答：阴影部分的面积是平方厘米．      【点睛】此题主要考查阴影部分的面积的求法，灵活运用梯形、三角形和圆的面积公式求解． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$