1.3导数在研究函数中的应用（10大题型提分练）（题型专练）数学湘教版选择性必修第二册

1.3导数在研究函数中的应用 题型一　不含参函数的单调性问题 1．函数在上的单调性是（    ） A．单调递增 B．单调递减 C．在上单调递减，在上单调递增 D．在上单调递增，在上单调递减 2．已知函数，若曲线在点处的切线方程为. (1)求和的值； (2)求的单调区间. 3．已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间. 4．求下列函数的单调区间： (1)； (2)； (3). 题型二 含参函数的单调性问题 1．求函数的单调递减区间. 2．已知函数，其中. (1)若曲线在点处的切线垂直于直线，求a的值； (2)讨论函数的单调性. 3．设函数，其中是常数．讨论的单调性； 4．已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的单调性. 题型三 已知函数的单调性求参数 1．若是上的单调函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．已知函数在上存在单调递减区间，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．已知函数在上单调递减，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．若函数的减区间为，则的值为 . 题型四 利用导数比较大小 1．设，，，则（    ） A． B． C． D． 2．已知，，，则a，b，c的大小关系为（   ） A． B． C． D． 3．已知函数，设，则（    ） A． B． C． D． 4．已知函数满足，且当时，，设，，，则的大小关系是 ． 题型五 利用导数解不等式 1．已知函数及其导函数的定义域均为，若，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 2．已知奇函数的图象在上是连续不断的，且当时，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 3．函数，则关于x的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 4．已知函数是定义在上的偶函数.，，且，都有，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 题型六 求不含参函数的极值 1．函数的极小值为（   ） A． B． C． D．不存在 2．已知函数，则（    ） A．有两个极值点 B．的极大值点为 C．的极小值为 D．的极大值为 题型七 求含参函数的极值 1．函数.求函数的极值. 2．已知函数，．求函数的极值； 题型八 已知函数的极值求参数 1．已知函数在上无极值，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2．设函数，若的极小值为，则（    ） A． B． C． D．2 3．已知当时，函数取得最大值2，则（    ） A． B． C． D． 4．若函数既有极大值又有极小值，则的取值范围是 . 题型九 求函数最值 1．已知函数在处的切线与直线平行，其中. (1)求的值； (2)求函数在区间上的最值. 2．设函数的图象与直线相切于点. （1）求函数的解析式； （2）求函数在区间上的最值； 题型十 由函数的最值求参数 1．若函数（）在上的最大值为，则（   ） A． B． C． D． 2．已知函数在区间上有最小值，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．函数，若在上有最小值，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D．    4．若函数在内有最小值，则实数的取值范围是 . 1．若函数在上的最大值为4，则 . 2．已知函数，，，，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 3．已知函数的极小值点为1，极小值为.则（    ） A． B． C．有3个零点 D．直线与的图像仅有1个公共点 4．已知函数．讨论当时，的单调性． 5．已知函数，讨论的单调性. 6.已知函数，. (1)讨论函数的单调区间； (2)若函数在区间内单调递减，求实数a的取值范围； (3)若函数的单调递减区间是，求实数a的值. 7．已知函数． (1)求曲线在点处切线的方程； (2)求函数的极值． 8．已知函数，其中是常数，． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)求的极值． 9．已知函数在处的切线方程为. (1)求实数的值； (2)求的单调区间和极值. 10．函数在处切线方程为. （1）求的解析式 （2）求时，的最值. 11．已知函数在处的切线为. (1)求的值； (2)求函数的单调区间与最大值. 12．已知函数. (1)讨论函数的单调性； (2)若当时，函数有两个不同的零点，求实数的取值范围. 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.3导数在研究函数中的应用 题型一　不含参函数的单调性问题 1．函数在上的单调性是（    ） A．单调递增 B．单调递减 C．在上单调递减，在上单调递增 D．在上单调递增，在上单调递减 【答案】C 【分析】求出函数的导数，再解导函数值大于0、小于0的不等式即可得解. 【详解】函数的定义域为，求导得， 由，得；由，得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增. 故选：C 2．已知函数，若曲线在点处的切线方程为. (1)求和的值； (2)求的单调区间. 【答案】(1)；； (2)的单调递增区间为，单调递减区间为. 【分析】（1）由导数几何意义得到切线斜率进而求出b和切线方程，再由切点在曲线上又在切线上建立关于a的等量关系即可求出a. （2）求出函数定义域，求导，由导数与函数单调性的关系即可求解. 【详解】（1）由题可得， 所以，即，切线方程为， 所以. 所以；. （2）由（1）得，，函数定义域为， 所以当时，；当时，， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为. 3．已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间. 【答案】(1)． (2)单调减区间是，单调增区间是． 【分析】（1）求出导函数，计算导数得切线斜率，再求得后由点斜式得切线方程并整理成一般式； （2）由得增区间，由得减区间． 【详解】（1），，又， 所以切线方程为，即． （2），定义域是， ， 当时，，当时，， 所以的单调减区间是，单调增区间是． 4．求下列函数的单调区间： (1)； (2)； (3). 【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为. (2)单调递增区间为，，单调递减区间为. (3)单调递增区间是，，单调递减区间是. 【分析】运用导数运算法则逐个计算，结合列表法分段讨论即可. 【详解】（1）易知函数的定义域为， 令，得或，列表如下： 0 2 + 0 - 0 + 3 所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为. （2）易知函数的定义域为. 令，得或.列表如下： + 0 - 0 + 1 所以函数的单调递增区间为，，单调递减区间为. （3）的定义域为，且， 令，得或，列表如下： + 0 - - 0 + 所以的单调递增区间是，，单调递减区间是. 题型二 含参函数的单调性问题 1．求函数的单调递减区间. 【答案】答案见解析 【分析】求导后，分类讨论判定导数值为负的情况即可. 【详解】函数的定义域是，. ①当时，在上恒成立，故在上单调递减. ②当时，若，则； 若，则， 所以在上单调递减，在上单调递增. 综上可知，当时，的单调递减区间为，当时，的单调递减区间为. 2．已知函数，其中. (1)若曲线在点处的切线垂直于直线，求a的值； (2)讨论函数的单调性. 【答案】(1)； (2)答案见解析. 【分析】（1）求出函数的导数，利用导数的几何意义，结合垂直关系求出值. （2）分类讨论判断值的正负情况，求出函数的单调区间. 【详解】（1）函数，求导得， 由曲线在点处的切线垂直于直线，得， 所以. （2）函数的定义域为，， 当时，恒成立，函数在上单调递增； 当时，方程中，， 若，则，，函数在上单调递增； 若，则，关于x的方程有两个正根，，， 当或时，；当时，， 因此函数在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，函数的递增区间是； 当时，函数的递增区间是，递减区间是. 3．设函数，其中是常数．讨论的单调性； 【答案】(1)答案见解析 【分析】（1）含参的单调性讨论问题，求导后分，，讨论即可； 【详解】（1）， 令得， 若，则， 所以当或时单调递增， 当时单调递减； 若，则（当且仅当时取得等号），在上单调递增； 若，则， 所以当或时单调递增， 当时，单调递减． 综上，若，则当时，单调递增，当时，单调递减；若，则在上单调递增；若，则当时，单调递增，当时，单调递减． 4．已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的单调性. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）运用导数的几何意义，结合直线的点斜式即可；（2求导后，分类讨论即可. 【详解】（1）当时，，， 可得，，即切点坐标为，切线斜率， 所以切线方程为，即. （2）. ①当时，由，得或. 若，则当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 所以当时，在和上单调递增，在上单调递减. 若，则，为R上的增函数. 若，则当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 所以当时，在和上单调递增，在上单调递减 ②当时，由，得. 当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 所以当时，在上单调递减，在上单调递增. 题型三 已知函数的单调性求参数 1．若是上的单调函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合分段函数的单调性，利用导数分析易得当时，在上单调递增，因此可得在上恒成立，且，进而求解即可. 【详解】因为， 当时，， 则， 所以在上单调递增，则在上单调递增， 当时，， 由题意知，在上恒成立， 即在上恒成立， 又， 当且仅当，即时取等号，所以， 又由，得到， 所以，即实数的取值范围是. 故选：B. 2．已知函数在上存在单调递减区间，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，只需存在区间，使得当时，，根据导数的零点大小分，和讨论求解. 【详解】由题意得， 要使在上存在单调递减区间，只需存在区间，使得当时，， 当时，，显然不存在满足条件的区间； 当时，的解集为，因为， 所以要使在上存在单调递减区间，则，解得； 当时，的解集为，因为， 所以要使在上存在单调递减区间，则，解得. 综上，的取值范围为. 故选：A. 3．已知函数在上单调递减，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意将问题转化为恒成立，参变分离，结合基本不等式求最值即可. 【详解】因为在上单调递减， 所以恒成立， 即恒成立， 而（当且仅当时，等号成立）， 所以只需，解得.经检验，当时，仅有使，符合题意. 故选：B. 4．若函数的减区间为，则的值为 . 【答案】3 【分析】由的解集，求出的值. 【详解】的解集为， 即的解集为，所以， 解得. 故答案为：. 题型四 利用导数比较大小 1．设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】易得，，，构建函数，求导判断其单调性，利用单调性比较大小即可. 【详解】由题意可得，，， 设，，则， 故当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 因为，，，且， 可得，，所以. 故选：D. 2．已知，，，则a，b，c的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】构造函数得出函数单调性可知，再由的近似值可得结论. 【详解】令，则， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 当时，取得极大值，则，， 故． 故选：D 3．已知函数，设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】证明函数为偶函数，利用导数判断函数的单调性，比较大小，可得大小关系. 【详解】函数的定义域为， ，故为偶函数， 当时，，令， 则，当且仅当时等号成立， 所以在上单调递增，，当且仅当时等号成立， 所以，当且仅当时等号成立，所以在上单调递增， 因为函数为减函数，所以， 因为函数在上单调递增，所以， 所以，所以，，故. 故选：A. 4．已知函数满足，且当时，，设，，，则的大小关系是 ． 【答案】 【分析】根据条件判断出在上是增函数，进而利用单调性即可求出结果. 【详解】，，因为， 故在上是增函数，，， 即． 故答案为：. 题型五 利用导数解不等式 1．已知函数及其导函数的定义域均为，若，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先令，根据题中条件，判断其单调递减；将所求不等式化为，结合单调性，得到，求解即可. 【详解】令，因为，所以， 所以在上单调递减； 又，所以， 因此不等式可化为， 所以，解得， 即不等式的解集为. 故选：A 2．已知奇函数的图象在上是连续不断的，且当时，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据基本不等式可得，从而可得的单调性，结合函数的对称性可解题设中的函数不等式. 【详解】因函数是定义在上的奇函数， 于是得的图象关于点成中心对称，且， 当，即时，， 当且仅当，即时取等号，即在上单调递增， 而的图象关于点成中心对称，且在上连续不断， 因此函数在上单调递增， 不等式可化为或 由得即，解得； 由得即，解得； 所以所求不等式的解集为. 故选：A. 3．函数，则关于x的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令，则，可知为奇函数且在定义域上单调递增，所以可转化为，根据奇偶性和单调性可解出的范围. 【详解】解：令，定义域为，则， 又，， ，所以为奇函数； 在上为增函数，在上也为增函数，所以在上为增函数； 等价于，即，则 解得：. 故选：A 4．已知函数是定义在上的偶函数.，，且，都有，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意关于直线对称，且在上单调递增，在上单调递减，注意到，且，从而原不等式等价于，由此即可得解. 【详解】因为函数是定义在上的偶函数，所以关于轴对称， 由向左平移1个单位得到，所以关于直线对称， ，，且，都有， 在上单调递增， ∴在上单调递减， ∵，且，而， ∴，∴，解得， ∴原不等式的解集为. 故选：B. 题型六 求不含参函数的极值 1．函数的极小值为（   ） A． B． C． D．不存在 【答案】A 【分析】利用导函数直接求解单调区间，即可得到极小值. 【详解】由题知函数的定义域为， 则. 令，得（舍去）. 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以函数的极小值为. 故选：A 2．已知函数，则（    ） A．有两个极值点 B．的极大值点为 C．的极小值为 D．的极大值为 【答案】AB 【分析】求出函数的导数，再利用导数求出函数的极值进行判断. 【详解】函数的定义域为，且. 当变化时，的变化情况如下表： 3 0 0 增 极大值 减 极小值 增 所以函数有两个极值点， 函数在处取极大值，为极大值点，在处取极小值，为极小值点. 故选：AB 题型七 求含参函数的极值 1．函数.求函数的极值. 【答案】答案见解析 【分析】求定义域，求导，对进行分类讨论，求出不同情况下的极值. 【详解】函数，定义域为， 则. 令，得或. ①当时，， 易得函数在上单调递增，在上单调递减， 所以函数在处取得极大值，为， 在处取得极小值，为； ②当时，， 易得函数在上单调递增，在上单调递减， 所以函数在处取得极大值，为， 在处取得极小值，为； ③当时，，则恒成立， 故函数在上单调递增，无极值. 综上，当时，的极大值为，极小值为； 当时，的极大值为，极小值为； 当时，无极值. 2．已知函数，．求函数的极值； 【答案】极大值；极小值； 【分析】首先求出函数的导函数，令，再列出与、的关系表，即可得到函数的极值点，再代入函数解析式计算可得； 【详解】解：（1）∵ ∴ ∵ ∴令，得或 当或时，当时 则与、的关系如下表： 0 + 0 - 0 + ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ ∴当时，取极大值， 当时，取极小值 ∴ 题型八 已知函数的极值求参数 1．已知函数在上无极值，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求得导函数，根据无极值的条件，利用判别式解得的取值范围. 【详解】因为函数在上无极值, 所以在上无变号零点，解得， 即实数的取值范围为. 故选：C. 2．设函数，若的极小值为，则（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】先利用导数求出函数的单调区间，进而可求出函数的极值，即可得解. 【详解】由已知得， 当或时，，当时， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以的极小值为，即，得. 故选：B. 3．已知当时，函数取得最大值2，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意可得，解方程组可得的值，验证单调性记即可得的值. 【详解】，因为当时，函数取得最大值2， 所以，即，解得， 所以，， 令，得；令，得； 所以在上单调递增，在上单调递减， 则，符合题意， 所以. 故选：C. 4．若函数既有极大值又有极小值，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】本题首先可通过求导得出，然后根据题意得出，最后通过计算即可得出结果. 【详解】， 令，即. 因为函数有极大值和极小值， 所以方程有两个不相等的实数根， 即，解得或. 故答案为： 题型九 求函数最值 1．已知函数在处的切线与直线平行，其中. (1)求的值； (2)求函数在区间上的最值. 【答案】(1) (2)最大值为，最小值为 【分析】（1）由题可得，据此可得答案； （2）利用导数知识可判断在区间上的单调性，据此可得在区间上的最值. 【详解】（1）由题可得：， 则，故； （2）， 当时，单调递减； 当时，单调递增． 则. 故的最大值为，最小值为． 2．设函数的图象与直线相切于点. （1）求函数的解析式； （2）求函数在区间上的最值； 【答案】（1）；（2）最大值为，最小值为 【解析】（1）求导得到，根据，，解方程得到答案. （2），得到函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，计算极值和端点值，比较大小得到答案. 【详解】（1），， 根据题意，，解得，. 故. （2），取，解得，. 故函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增. ，，，. 故函数的最大值为，最小值为. 【点睛】本题考查了函数的切线问题，最值问题，意在考查学生的计算能力和应用能力. 题型十 由函数的最值求参数 1．若函数（）在上的最大值为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对函数进行求导，并通过讨论 的取值范围，利用导数求出函数的最大值即可得解. 【详解】由题意得， 若，则当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 故当时，取得极大值，也是最大值，为， 解得，不符合题意； 若，则当时，，且不恒为0， 故在上单调递减，，不符合题意； 若，则当时，，在上单调递减， ，解得，符合题意. 故选：D. 2．已知函数在区间上有最小值，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意得，易知在区间上单调递增，由在区间上有最小值，可得，即可求解. 【详解】由题意得， 易知在区间上单调递增， 若在区间上有最小值， 则，即，解得. 这时存在，使得在上单调递减，在上单调递增， 即函数在上有极小值，也是最小值， 所以的取值范围是. 故选：A. 3．函数，若在上有最小值，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对函数求导，讨论参数a的范围，根据导数的符号判断单调性，进而确定是否存在最小值，即可得范围. 【详解】由题意，函数，可得， 若时，当时在上单调递减， 此时函数在上没有最小值，不符合题意； 当时，令，即， 画出函数与的图象，如图所示，    结合图象，存在，使得， 当时单调递减； 当时单调递增， 此时函数在上有最小值，符合题意． 综上可得，实数a的取值范围是. 故选：A 4．若函数在内有最小值，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】求出函数的导函数，即可得到函数的单调区间，从而求出函数的极小值点，从而得到关于的不等式组，解得即可. 【详解】函数的定义域为， 或（舍去）， 当时，当时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以在处取得极小值，即最小值， 又因为函数在内有最小值， 故，解得， 故答案为：. 1．若函数在上的最大值为4，则 . 【答案】4 【分析】先利用导函数求得在上单调递减，在上单调递增，可得，可求得. 【详解】由题， 所以当时，；当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增. 又. 因为，所以在上，，所以. 故答案为：. 2．已知函数，，，，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分类讨论，当时，，当时，，最后利用导数得到函数的单调性即可求解. 【详解】由函数，得当时，，，所以在上单调递增，在上单调递减，所以在上的最大值为. 当时，，，所以在上单调递减. 又，，， 所以，所以. 故选：A. 3．已知函数的极小值点为1，极小值为.则（    ） A． B． C．有3个零点 D．直线与的图像仅有1个公共点 【答案】ACD 【分析】首先求函数的导数，根据极小值点以及极小值求参数，判断AB，再根据导数与函数的关系判断函数的图象，即可判断CD. 【详解】由题意得 则，解得，故A正确. 由，解得，故B错误. ， 当时，，所以在上单调递增， 当时，，所以在上单调递减， 当时，，所以在上单调递增， 所以的极大值为， 画出草图，所以有3个零点，故C正确； 直线与的图像仅有1个公共点，故D正确. 4．已知函数．讨论当时，的单调性． 【答案】答案见解析 【分析】对函数求导得，结合二次函数性质及分类讨论研究导函数的符号，进而确定单调性. 【详解】由题意，则， 当时，对于，则恒成立，在上单调递减． 当时，对于有2个大于0的零点，分别是， 当时，在上单调递增； 当时，，在和上单调递减． 综上， 当时，在上单调递减； 当时，在上单调递增，在和上单调递减． 5．已知函数，讨论的单调性. 【答案】答案见解析 【分析】求出函数的导数，讨论a的取值范围，结合二次函数的性质判断导数正负，即可求得答案. 【详解】函数的定义域为. . 当时，，若，则； 若，则0，所以在上单调递增，在上单调递减. 当时，，所以在上单调递增. 当时，，若或，则， 若，则. 所以在上单调递增，在上单调递减. 当时，，若或，则； 若，则. 所以在上单调递增，在上单调递减. 综上所述，时，在上单调递增，在上单调递减； 时，在上单调递增； 时，在上单调递增，在上单调递减； 时，在，上单调递增，在上单调递减. 6.已知函数，. (1)讨论函数的单调区间； (2)若函数在区间内单调递减，求实数a的取值范围； (3)若函数的单调递减区间是，求实数a的值. 【答案】(1)答案见解析 (2) (3). 【分析】（1）根据函数的导函数分三种情况得出函数的单调性； （2）由（1）知结合函数的单调性列不等式求参； （3）由（1）知结合函数的单调性列等式求参； 【详解】（1）由题意知. ①当时，恒成立， 所以的单调递增区间是； ②当时，令，得或， 令，得， 所以的单调递增区间为，，单调递减区间为； ③当时，令，得或，令，得， 所以的单调递增区间为，，单调递减区间为. （2）由（1）知，若在内单调递减， 则，解得， 即a的取值范围是. （3）由（1）知，若的单调递减区间是， 则，解得. 7．已知函数． (1)求曲线在点处切线的方程； (2)求函数的极值． 【答案】(1) (2)极小值为，极大值为13 【分析】（1）求函数的导数，最后根据切点求切线方程； （2）利用导数求极值. 【详解】（1）由， 得， 因为，所以， 所以曲线在点处切线的方程为， 即． （2）令，得或， 当变化时，的变化情况如下表： 3 0 0 单调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减 又，所以函数的极小值为，极大值为13． 8．已知函数，其中是常数，． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)求的极值． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）利用导数的几何意义计算即可求解； （2）易知当时，无极值；当）时，利用导数讨论函数的单调性求出极值即可. 【详解】（1）当时，，所以． 所以，又， 所以曲线在点处的切线方程为 ，即． （2）依题意，． 当时，由（1）可知，， 所以在上单调递减，无极值． 当）时，． （i）当时． ，所以在上单调递减，无极值． （ii））时． 时．在上单调递增， 时，在上单调递减． 所以时，取极大值，无极小值． 综上，当时，无极值； 当时有极大值，无极小值. 9．已知函数在处的切线方程为. (1)求实数的值； (2)求的单调区间和极值. 【答案】(1) (2)单调递增区间为，单调递减区间为；极大值为，极小值为 【分析】（1）由导数的意义令，列方程组求解即可； （2）由导数分析单调性和极值即可； 【详解】（1），切点坐标为， ，即，解得， . （2），定义域为， 得或， 得或得； 的单调递增区间为，单调递减区间为； 的极大值为的极小值为. 10．函数在处切线方程为. （1）求的解析式 （2）求时，的最值. 【答案】（1）；（2）最小值0，最大值2 【解析】（1）先求得导函数,将切点代入切线方程求得切点坐标.根据导数几何意义及切点坐标,得方程组,解方程组即可求得的值,得的解析式; （2）根据导函数,求得极值点.判断函数在区间上的单调性,并比较端点值,即可求得最大值和最小值. 【详解】（1）, 则 由在处切线方程为,可得切点为 结合导数的几何意义可得, 解方程组可得, , 所以 （2）由（1）可知, 当时,,函数单调递减, 当时,函数单调递增, 故当时,函数取得最小值, 由于 故当时函数取得最大值. 11．已知函数在处的切线为. (1)求的值； (2)求函数的单调区间与最大值. 【答案】(1) (2)在单调递减，单调递增， 【分析】（1）由条件结合导数的几何意义可得，列方程求即可； （2）利用导数判断函数的单调性，结合单调性求最值. 【详解】（1）因为函数在处的切线为， 所以，， 又函数的导函数， 所以， 所以； （2）由（1）知 当，当且仅当时取等号， 当， 在单调递减，单调递增， 又，， . 12．已知函数. (1)讨论函数的单调性； (2)若当时，函数有两个不同的零点，求实数的取值范围. 【答案】(1)答案见解析. (2) 【分析】（1）求出函数的导数，再按分类讨论导数值正负即可. （2）由（1）可得的最小值，再结合函数值的变化情况求出最小值小于0的的范围. 【详解】（1）函数的定义域为，求导得， 当时，，函数在上单调递减； 当时，由，得；由，得， 即函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，函数的单调递减区间是； 当时，函数的单调递减区间是，单调递增区间是. （2）由（1）知，当时，， 当时，；当时，， 要函数有两个不同的零点，当且仅当，解得， 所以实数的取值范围. 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$