1.3.4导数的应用举例（教学课件）数学湘教版选择性必修第二册

1.3导数在研究函数中的应用 1.3.4导数的应用举例 湘教版选择性必修第二册 第1章导数及其应用 学习目标 目标 1 重点 2 难点 3 了解导数在解决生活中的最优解问题中的作用. 能利用导数求出某些实际问题的最大值(最小值). 利用导数求出某些实际问题的最大值(最小值). 根据实际问题建立适当的函数关系， 将实际问题抽象成数学问题 归 纳 总 结 求函数y = f (x)在闭区间[a，b]上最值的一般步骤： （1）求 f′ (x)； （2）求方程 f′ (x)= 0的解x1，x2，……（不在定义域内的要舍去）； （3）求f (x1)，f (x2)，……及f (a)，f (b)； （4）比较上述函数值的大小，最大的为最大值，最小的为最小值． 温故知新 如何利用导数求函数在闭区间上的最值？ 在日常生活、生产建设和科技活动中，做一件事总要付出一定的代价，也总想取得一定的效果．在付出代价一定的条件下，我们总想取得最好的效果；在预期效果确定的情形下，我们总想只付出最小的代价． 新课导入 例如：投入一定的成本如何获得最大的利润? 制作满足一定要求的器皿如何使用料最省? 完成一项任务如何使工效最高? 新课讲授 不少优化问题，可化为求函数的最值问题，而导数是解决这类问题的有效工具． 优化问题： 思考：如何解决这些优化问题？ 例8 某企业要生产容积为 V m³的圆柱形密闭容器（如图1.3），已知该容器侧面耗材为1元/m²，上下底面的耗材为1.5元/m²．问：如何设计圆柱的高度h m和上下底面的半径 r m，使得费用最少? 新课讲授 问题1：请你用高度h和半径 r，表示制作容器的总费用 问题2：你能把上面的总费用，用容积V和半径 r表示吗？ 问题3：如何求函数 的最小值？ 新课讲授 新课讲授 问题：你能根据例题8的解决过程，总结用导数解决最优化问题的方法步骤吗？ 新课讲授 例9如图，让一个木块从光滑斜面的上端自由滑落到下端：斜面两端的水平距离为 d，如何选择斜面和水平面之间的角度x，使木块从上端滑到下端所用的时间最短? 新课讲授 根据上面解决最优化问题的方法，我们要求所用时间最短，先要把木块从上端滑到下端所用时间t，表示为角度x的函数 问题：你能根据所学知识把时间 t 表示为角度x的函数吗？ 新课讲授 追问：根据 ，要表示时间t,首先求出木块运动的路程S和加速度a 追问：你能求出上面函数t的最小值点吗？ 新课讲授 追问：根据上面的路程S和加速度a,请你表示木块运动的时间. 因此，当斜面和水平面之间的角度 时，木块从光滑斜面的上端自由滑落到下端所用的时间最短. 新课讲授 例10江轮逆水上行 300 km，水速为v km/h，船在静水中的速度为x km/h 已知行船时每小时的耗油量为cx² L，即与船在静水中的速度的平方成正比．问：x 多大时，全程的耗油量 H(x)最小? 新课讲授 问题：如何用x表示全程的耗油量 H(x)？ 新课讲授 利用导数求解最优化问题,归结为求函数的最大值或最小值问题.解题中要特别注意以下几点: 1. 根据题意分析找出变量之间的关系式; 2.确定函数解析式中自变量的取值范围; 3.所得的结果要符合问题的实际意义. 感悟提升 问题：根据上述例题，请总结用导数解决最优化问题的注意点是什么？ 1.如图，有一个边长为a的正方形纸片，纸片的四角截去四个边长均为x的小正方形,做成一个无盖方盒.求x多大时，方盒的容积为V(x最大。 学以致用 总结反思 利用导数解决最优化问题的步骤： 1.根据实际问题建立适当的函数关系； 2.利用导数求出函数的最值（点）； 3.得出优化问题的答案． 湘教版选择性必修第二册 感谢聆听 解析 由题意V(x)=(a-2x)2x,0<x<, V'(x)=-4(a-2x)x+(a-2x)2=12x2-8ax+a2, 当0<x<时,V'(x)>0,当<x<时,V'(x)<0,即V(x)在(0,)上单调递增,在()上单调递减,所以V(x)在x=时取得极大值,且极大值也是最大值. $$