精品解析：江苏省海安高级中学2024-2025学年高二上学期12月阶段检测数学试题

高二年级阶段检测数学 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 抛物线的准线方程是（ ） A. B. C. D. 2. 已知为等比数列，为数列的前项和，，则的值为（ ） A. 18 B. 54 C. 162 D. 486 3. 若直线与双曲线无公共点，则双曲线离心率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 4. 设为等差数列的前项和，已知，则（ ） A. 12 B. 14 C. 16 D. 18 5. 如图，在平行六面体中，，，则（ ） A. 3 B. C. D. 6. 在平面直角坐标系中，已知圆，若圆上存在点，使得，则正数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 已知数列的前项和为，且，，，则（ ） A. B. 为奇数时， C. D. 8. 已知曲线是双纽线，则下列结论正确的是（ ） A. 曲线C的图象不关于原点对称 B. 时，曲线C经过4个整点(横、纵坐标均为整数的点) C. 若时，直线与曲线C只有一个交点，则实数k的取值范围为 D. 若时，直线与曲线C只有一个交点，则实数k的取值范围为 三､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 关于空间向量，以下说法正确的是（ ） A. 若直线l的方向向量为，平面的一个法向量为，则 B. 若空间中任意一点O，有，则P，A，B，C四点共面 C. 若空间向量，满足，则与夹角为钝角 D. 若空间向量，，则在上的投影向量为 10. 下列说法正确的是（ ） A. 如果，，则直线不通过第二象限 B. 直线过点，它在轴上的截距是在轴上的截距的倍，则此直线方程为 C. 无论取任何实数，直线必过定点 D. 的一条内角平分线的方程为，，，则顶点的坐标为 11. 已知等比数列的首项，公比为，前项和为，前项积为，则（ ） A. 若数列是递增数列，则 B. 若数列是递增数列，则 C. 当时，存在实数，使得恒成立 D. 若，则使得成立的的最大值为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 已知点，，直线上不存在点，使得，则实数的取值范围是____. 13. 已知椭圆的右焦点为是的中点，若椭圆上到点的距离最小的点有且仅有一个，则椭圆的离心率的取值范围为__________. 14. 已知在数列中，，数列的前项和为，则__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 在平面直角坐标系中，已知圆的圆心在直线上，且圆与直线相切于点. （1）求圆的方程； （2）过坐标原点的直线被圆截得的弦长为，求直线的方程. 16. 已知等差数列的首项为1，前项和为．记，数列是等差数列． （1）求数列的通项公式； （2）设数列的前项和为，求证：． 17. 如图，已知直线与抛物线交于两点，且交于点，点的坐标为． （1）求的值． （2）已知点，、为抛物线上位于第二象限的两点，且在下方，已知直线的斜率为，直线与直线的倾斜角互补，求三角形的面积． 18. 数列的前项和记为. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和； （3）对于（2）中的数列，问是否存在正整数，使得成等差数列？若存在，请求出所有符合条件的正整数；若不存在，请说明理由. 19. 已知椭圆的离心率为，左、右顶点分别为A、B、点P、Q为椭圆上异于A、B的两点，面积的最大值为2． （1）求椭圆C的方程； （2）设直线、的斜率分别为、，且过定点 ①设和的面积分别为、，求的最大值； ②求证：为定值，并求出该定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二年级阶段检测数学 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 抛物线的准线方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】把抛物线方程化为标准方程后得焦参数值后可得准线方程． 【详解】由题意抛物线标准方程为，，， 所以准线方程为． 故选：C． 2. 已知为等比数列，为数列的前项和，，则的值为（ ） A. 18 B. 54 C. 162 D. 486 【答案】C 【解析】 【分析】设公比为，根据题意求出首项与公比，进而可得出答案. 【详解】因为为等比数列，设其公比为， 当时，，即， 当时，，即， 联立，解得舍去， 则. 故选：C. 3. 若直线与双曲线无公共点，则双曲线离心率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出渐近线方程，数形结合得到，从而得到，根据得到答案. 【详解】双曲线的渐近线方程为， 因为直线与双曲线无公共点，所以直线的斜率3要满足， 又因为，所以. 综上，， 则离心率. 故选：A. 4. 设为等差数列的前项和，已知，则（ ） A. 12 B. 14 C. 16 D. 18 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用等差数列片段和的性质求解即得. 【详解】由等差数列的片段和性质知，成等差数列， 由，得该数列首项为4，公差为2， 所以. 故选：B 5. 如图，在平行六面体中，，，则（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由空间向量平行六面体法则可得，利用空间向量数量积的运算性质可求得的值. 【详解】由题意可得，， 所以，向量两两夹角为， 由空间向量数量积的定义可得， 同理可得， 因为， 故 ， 因此，. 故选：D. 6. 在平面直角坐标系中，已知圆，若圆上存在点，使得，则正数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由可得点轨迹方程，又点在圆上，由两圆有公共点，建立不等式求解的范围即可. 【详解】设，则由，得到､ 整理得到，又点在圆上， 所以与圆有公共点， 又的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径， 所以，解得. 故选：D. 7. 已知数列的前项和为，且，，，则（ ） A. B. 为奇数时， C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题设有，讨论的奇偶性，结合等差数列定义、前项和公式逐项判断可得答案. 【详解】由，则，两式作差，得， ，当为奇数，是首项为1，公差为3的等差数列，即， ，当为偶数，是首项为2，公差为3的等差数列，即， 对于A，，， ，故A错误； 对于B，为奇数时， ，故B正确； 对于C，，， 所以 ，故C错误； 对于D，，故D错误. 故选：B. 8. 已知曲线是双纽线，则下列结论正确的是（ ） A. 曲线C的图象不关于原点对称 B. 时，曲线C经过4个整点(横、纵坐标均为整数的点) C. 若时，直线与曲线C只有一个交点，则实数k的取值范围为 D. 若时，直线与曲线C只有一个交点，则实数k的取值范围为 【答案】C 【解析】 【分析】由在曲线，通过判断点，，是否是方程的解判断曲线是否关于坐标轴，原点的对称性判断A，解出整数解从而判断B，通过解方程确定方程解的个数判断CD． 【详解】A选项，曲线的方程是，， 设是曲线上任意一点，即， 此方程可变形为，所以也在曲线上， 而点与关于原点对称，所以曲线上任意一点关于原点的对称点也在曲线上，从而曲线关于原点对称．A错； B选项，当时， ，令，则，解得， 令，则，解得， 令，则，解得， 故曲线经过的整点只能是，B错误； C选项，直线与曲线显然有一个交点，下面考虑的情形： 由得， 若，则，（舍去）， 若，方法无实数解， 若，则（舍去）或， 综上，直线与曲线C只有一个交点，则，即或，C正确； D选项，同C选项解法相同，或，D错， 故选：C． 三､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 关于空间向量，以下说法正确的是（ ） A. 若直线l的方向向量为，平面的一个法向量为，则 B. 若空间中任意一点O，有，则P，A，B，C四点共面 C. 若空间向量，满足，则与夹角为钝角 D. 若空间向量，，则在上的投影向量为 【答案】AB 【解析】 【分析】由线面位置关系的向量法判断A，由共面定理的推论判断B，由向量数量积的定义判断C，求出投影向量判断D． 【详解】选项A，因为，所以，A正确； 选项B，，而，∴共面，B正确； 选项C，时，也有，C错误； 选项D，在上的投影向量，D错． 故选：AB． 10. 下列说法正确的是（ ） A. 如果，，则直线不通过第二象限 B. 直线过点，它在轴上的截距是在轴上的截距的倍，则此直线方程为 C. 无论取任何实数，直线必过定点 D. 的一条内角平分线的方程为，，，则顶点的坐标为 【答案】AC 【解析】 【分析】利用给定条件结合一次函数性质判断A，利用截距式方程结合分类讨论判断B， 对给定直线化简，令含参部分和其他部分同时为求解定点判断C， 利用角平分线性质得到两个角相等，再利用平面向量的夹角公式建立方程，求解参数判断D即可. 【详解】对于A，易得，直线方程可化为， 因为，，所以与符号相反，与符号相同， 则与符号相反，故直线的斜率，在y轴上的截距， 则直线不经过第二象限，故A正确； 对于B，设直线方程在轴上的截距为， 因为它在轴上的截距是在轴上的截距的倍， 所以它在轴上的截距是， 当时，设直线方程为， 将代入直线方程，得到，解得， 故直线方程为，化简得， 当时，则直线方程必过原点，设直线方程为， 将代入直线方程，得到，解得， 故直线方程为，化简得， 综上，此直线方程为或，故B错误， 对于C，因为， 所以， 故得， 即有，， 解得， 故原直线必过定点，故C正确， 对于D，因为的一条内角平分线的方程为， 且设顶点的坐标为，由题意得，， 因为是的一条内角平分线，所以， 而，， 而的方程为，故设， 因为，所以， 所以， 故得， 解得，故顶点的坐标为，故D错误. 故选：AC 11. 已知等比数列的首项，公比为，前项和为，前项积为，则（ ） A. 若数列是递增数列，则 B. 若数列是递增数列，则 C. 当时，存在实数，使得恒成立 D. 若，则使得成立的的最大值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，通过取，可得，即可求解；对于B，因为，根据条件，将问题转化成恒成立，即可求解；选项C，由得，再利用等比数列的前项和公式，即可求解；对于选项D，根据条件可得，即可求解. 【详解】对于选项A，取，则，此时是递增数列，所以选项A错误， 对于选项B，因为， 则，又，数列是递增数列，则且， 且恒成立，则，所以选项B正确， 对于选项C，当时，， 则，所以选项C正确， 对于选项D，若，由选项B知，即，得到， 所以，即， 则， 所以使得成立的的最大值为10，故选项D正确， 故选：BCD. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 已知点，，直线上不存在点，使得，则实数的取值范围是____. 【答案】 【解析】 【分析】求出以线段为直径的圆的方程，由题意可知直线与该圆相离，再利用点到直线的距离公式计算即可. 【详解】以线段为直径的圆的方程为， 圆心，半径， 因为直线上不存在点，使得， 所以圆与直线没有交点， 则圆心到直线的距离， 即，解得； 又当时，点A在直线上，且， 所以直线与直线垂直，此时圆与直线只有一个交点A，也符合题意. 所以实数a的取值范围是. 故答案为： 13. 已知椭圆的右焦点为是的中点，若椭圆上到点的距离最小的点有且仅有一个，则椭圆的离心率的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，结合椭圆的对称性得到右顶点到的距离最小，再利用两点距离公式与二次函数的性质得到，从而得解. 【详解】因为椭圆的右焦点， 而是的中点，则 因为椭圆C上到点的距离最小的点有且仅有一个， 又无论该点是在轴上方还是下方，由于椭圆的对称性都会有2个最小点， 而左右顶点中，右顶点更靠近点， 所以右顶点到的距离最小， 设是椭圆上的点，， ， 对于，其开口向上，对称轴为，定义域为， 要使在处取得最小值， 则在上单调递减， 所以，即，则， 又，所以. 故答案为：. 14. 已知在数列中，，数列的前项和为，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据条件，求得，从而有，再利用裂项相消法，即可求解. 【详解】由，得，即， 又，所以，则是以为首项，以为公差的等差数列， 得，故，得， 所以， 所以， 故答案为：. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 在平面直角坐标系中，已知圆的圆心在直线上，且圆与直线相切于点. （1）求圆的方程； （2）过坐标原点的直线被圆截得的弦长为，求直线的方程. 【答案】（1）； （2）或. 【解析】 【分析】（1）求出过点且与直线垂直的直线方程，与联立求出圆心，根据两点间的距离求出半径，即可得圆的方程； （2）分类讨论，利用点到直线的距离公式，结合过原点的直线被圆截得的弦长为，求直线的方程. 【小问1详解】 过点且与直线垂直的直线方程为， 联立，解得，所以, 所以圆的半径为, 所以圆的方程为. 【小问2详解】 由（1）可知圆的方程为， 因为直线被圆截得的弦长为， 所以到直线的距离为， 若直线的斜率不存在，则方程为，此时圆心到直线的距离为，不符合题意； 若直线的斜率存在，设方程为， 则,即,解得或, 所以直线的方程为或. 16. 已知等差数列的首项为1，前项和为．记，数列是等差数列． （1）求数列的通项公式； （2）设数列的前项和为，求证：． 【答案】（1） （2） 由（1）得， 所以， 故， 所以 因为，所以，故， 因为为单调递减函数， 所以为单调递增函数， 故当时，， 综上：. 【解析】 【分析】（1）根据数列是等差数列，求解出前3项，由等差中项得出等式，从而求解； （2）运用裂项相消的方法求解出，根据函数单调性得证. 【小问1详解】 解：设等差数列的公差为 由题意得，， ， ， 因为数列是等差数列， 所以，即， 解得，，所以. 【小问2详解】 略 17. 如图，已知直线与抛物线交于两点，且交于点，点的坐标为． （1）求的值． （2）已知点，、为抛物线上位于第二象限的两点，且在下方，已知直线的斜率为，直线与直线的倾斜角互补，求三角形的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据垂直关系以及点的坐标可求得直线的方程，与抛物线联立由向量数量积为0计算可得； （2）设出直线的方程为，与抛物线联立并根据直线与直线的倾斜角互补可求得，再利用点到直线距离公式计算可得三角形面积. 【小问1详解】 由可得，由可得； 所以直线的方程为； 设， 联立，整理可得， 可得， 又可得，即； 所以， 解得； 【小问2详解】 如下图所示： 由（1）可知抛物线方程为， 由直线的斜率为可设直线的方程为，， 联立，整理可得； 所以； 由可知直线的斜率为，直线的斜率为； 又因为直线与直线的斜倾斜角互补，所以， 整理可得； 即，也即，解得； 方程即为，解得； 可得，可得； 点到直线的距离为， 所以三角形的面积为． 18. 数列的前项和记为. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和； （3）对于（2）中的数列，问是否存在正整数，使得成等差数列？若存在，请求出所有符合条件的正整数；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）； （2）； （3） 不存在，理由如下： 由（2）得，，假设成等差数列， 则，即，即， 设，则， 当时，，数列为递减数列， 又， 故对所有正整数， 故不存在正整数，使得成等差数列. 【解析】 【分析】（1）根据得到，故数列为等比数列，求出通项公式； （2）写出，错位相减法求和得到答案； （3）假设成等差数列，得到方程，求出，设，作差法得到当时，数列为递减数列，结合，故对所有正整数，故不存在正整数，使得成等差数列. 【小问1详解】 因为，所以， 所以当时，，所以， 当时，， 两式相减得， 整理可得， 所以数列是以3为首项，3为公比的等比数列， 所以； 【小问2详解】 因为， 所以，① 可得，② ①-②可得 ， 因此，； 【小问3详解】 略 19. 已知椭圆的离心率为，左、右顶点分别为A、B、点P、Q为椭圆上异于A、B的两点，面积的最大值为2． （1）求椭圆C的方程； （2）设直线、的斜率分别为、，且过定点 ①设和的面积分别为、，求的最大值； ②求证：为定值，并求出该定值． 【答案】（1） （2）①； ②由， 所以， ， 即为定值. 【解析】 【分析】（1）根据题意可得出关于、、的方程组，解出这三个量的值，即可得出椭圆的方程； （2）①分析可知直线斜率不为零，设直线的方程为，设点、，将直线的方程的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，写出关于的函数关系式，利用对勾函数的单调性可求得的最大值；②利用韦达定理，化简，可得定值. 【小问1详解】 当点为椭圆短轴顶点时，的面积取最大值， 且最大值为， 由题意可得，解得， 所以，椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 ①设点、. 若直线的斜率为零，则点、关于轴对称，不合乎题意. 设直线的方程为，由于直线不过椭圆的左、右顶点， 联立可得， ， 由韦达定理可得，， 所以， ， ，则， 因为函数在上单调递增，故， 所以，，当且仅当时，等号成立， 因此，的最大值为. ②略 【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下： （1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明； （2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点； （3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $