第02讲 认识概率（3大考点&题型）-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学下册同步学与练（苏科版）

八年级下苏科版 第02讲认识概率 课程标准 学习目标 1.确定时间与随机事件 2.可能性的大小； 3.频率与概率； 1.能区分哪些事件是必然事件、不可能事件和随机事件。 2.体会随机事件发生的可能性的大小； 3.理解频率与概率的关系，会用频率的稳定值估计概率； 知识点1：确定事件与随机事件 ①不可能事件：在一定条件下，有些事情我们事先能肯定它一定不会发生，这样的事情是不可能事件。例如，“明天太阳从西方升起”是不可能事件； ②必然事件：在一定条件下，有些事情我们事先能肯定它一定会发生，这样的事情是必然事件。例如，“抛出的篮球会下落”是必然事件； ③确定事件：必然事件和不可能事件都是确定事件； ④随机事件：在一定条件下，很多事情我们事先无法确定它会不会发生，这样的事情是随机事件。例如，“抛掷1枚质地均匀的硬币正面朝上”随机事件。 【即学及练】 1．（2024秋•九龙坡区期末）在下列事件中，可以确定其为必然事件的是（　　） A．明年农历“大雪”节气那天下雪 B．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯 C．旭日东升 D．掷一枚刻有1到6点数的骰子，向上一面的点数一定是6 2．（2024秋•厦门期末）一个不透明袋子里有2个黑球、1个白球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子里随机摸出2个球，下列事件中，是随机事件的是（　　） A．摸出2个黑球 B．摸出2个白球 C．摸出的球中有1个是红球 D．摸出的球中有1个是黑球 3．（2024•漳州三模）下列说法正确的是（　　） A．“水在一个标准大气压下，温度为﹣10℃时不结冰”是不可能事件 B．某彩票的中奖机会是0.1%，买1000张一定会中奖 C．为检验某品牌LED灯管的使用寿命，采用普查的调查方式比较合适 D．“如果x、y是实数，那么x+y＝y+x”是随机事件 知识点2：可能性的大小 必然发生的事件可能性最大；不可能发生的事情发生的可能性最小；随机事件发生的可能性有大有小， 不同的随机事件发生的可能性的大小可能不同。 拓展：如果用字母A表示一个事件，那么P(A)表示事件A发生的概率。事件A的概率是一个大于等于0，且小于等于1的数，即0≤P(A)≤1, 其中，P(不可能事件)=0 P(必然事件)=1 0<P(随机事件)<1 一个随机事件发生的概率是由这个随机事件自身决定的，并且是客观存在的，概率是随机事件自身的属性，它反应这个随机事件发生的可能性大小。 【即学及练】 1．（2024秋•杭州期中）一个不透明的袋子中装有3个黄球、1个白球、4个红球和2个黑球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出1个球，摸到（　　）球的可能性最大． A．黄 B．白 C．红 D．黑 2．（2024春•和平区期末）任意掷一枚骰子，下列情况出现的可能性比较大的是（　　） A．面朝上的点数是3 B．面朝上的点数是奇数 C．面朝上的点数小于2 D．面朝上的点数小于3 知识点3：概率与频率 ①频率的稳定性：通常，在多次重复试验中，一个随机事件发生的频率会在某一个常数附近摆动，并且趋于稳定 ，这个性质称为频率的稳定性。在实际生活中，人们常把这个常数作为该随机事件发生的概率的估计值。 ②用频率估计一个随机事件发生的概率：通常要经历“试验并收集、整理、描述数据—计算频率—做出估计”的过程。应当注意，这里的“试验”，必须在相同条件下进行，并且试验的次数要足够多。 【即学及练】 1．（2024秋•红古区期末）如图是小明用计算机模拟随机投掷一枚图钉的试验结果．随着试验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在某个数附近，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是（　　） A．0.620 B．0.618 C．0.610 D．0.600 2．（2024秋•永春县期末）在一个不透明的布袋中装有蓝色、白色两种小球共50个，小球除颜色外其他完全相同．小明通过很多次摸球试验后，发现其中摸到蓝色球的频率稳定在38%左右，则口袋中蓝色球个数最接近（　　） A．9个 B．19个 C．25个 D．38个 3．（2024秋•密云区期末）某公司新研发一款英语听说训练平台，为测试其用户满意度，随机抽取了以下样本进行调查，统计数据如下： 调查人数m 10 250 700 1000 5000 10000 20000 回复满意人数n 8 218 621 898 4510 8990 18020 回复满意的频率（结果保留小数点后立） 0.800 0.872 0.887 0.898 0.902 0.899 0.901 则下列说法正确的是（　　） A．若随机调查10个用户，则回复满意的人数一定是8 B．随着随机调查用户人数的增加，回复满意的频率也增加 C．若随机调查500个用户，回复满意的人数一定是436 D．随着随机调查用户人数的增加，回复满意的频率总在0.900左右摆动，显示出一定的稳定性，可以估计该平台用户回复满意的概率为0.900 【类型一：区分必然事件、不可能时间与随机事件】 【例1】（2024秋•芙蓉区期末）下列事件中，属于必然事件的是（　　） A．在标准大气压下，水加热到80℃会沸腾 B．三角形的两边之和小于第三边 C．经过有交通信号灯的路口，遇到绿灯 D．抛掷一块石头，石头终将落地 【变式1-1】（2024秋•南开区期末）下列事件是必然事件的是（　　） A．射击运动员射击一次，命中十环 B．任意一个五边形的外角和等于540° C．任意画两个面积相等的三角形，这两个三角形全等 D．367个同学参加一个聚会，他们中至少有两个同学的生日是同月同日 【例2】（2024秋•西湖区校级期末）下列成语描述的事件为随机事件的是（　　） A．水中捞月 B．守株待兔 C．水涨船高 D．画饼充饥 【变式2-1】（2024秋•汉阳区期末）下列事件属于随机事件的是（　　） A．明天太阳从东方升起 B．购买一张彩票中奖 C．任意画一个三角形，其内角和是360° D．煮熟的鸭子飞了 【变式2-2】（2024秋•延庆区期末）下列事件中，随机事件是（　　） A．在数轴上取一个点，它表示的数是实数 B．画一个三角形，它的某边上的高线与中线重合 C．画一个三角形，它的内角和是180° D．把长度分别是6，8，9的线段首尾顺次相接，组成了一个直角三角形 【变式2-3】（2025•中原区一模）下列事件中： ①明天会下雨； ②一个班（40人）里有两人的生日在同一天； ③从装着红球和黑球的袋子里摸出白球； ④太阳东升西落． 不可能事件的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【类型二：判断随机事件可能性的大小】 【例3】某同学掷一枚硬币，结果是一连8次都掷出正面朝上，请问他第9次掷出硬币时出现正面朝上的概率是（　　） A．小于 B．大于 C．等于 D．不能确定 【变式3-1】（2024春•建湖县期中）任意掷一枚骰子，下列情况出现的可能性比较小的是（　　） A．面朝上的点数是6 B．面朝上的点数是偶数 C．面朝上的点数大于2 D．面朝上的点数小于3 【变式3-2】（2024•碑林区校级自主招生）在一种扑克牌游戏中，玩家可以利用“牌值”来预估还没有发出的牌的点数大小，“牌值”的计算方式为：没有发牌时，“牌值”为0；发出的牌点数为2至9时，表示发出点数小的牌，则“牌值”加1；发出的牌点数为10、J、Q、K、A、大王、小王时，表示发出点数大的牌，则“牌值”减1．若一副完整的扑克牌已发出34张，且此时的“牌值”为10，则随机发出的下一张牌的可能性判断正确的是（　　） A．点数小的牌可能性大 B．点数大的牌可能性大 C．两者可能性一样大 D．无法判断 【变式3-3】（2024•郓城县校级一模）某超市随机选取1000名顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如图统计表，其中“√”表示购买．“×”表示未购买．假定每位顾客购买商品的可能性相同，若顾客购买了甲商品，并且同时也在乙、丙、丁三种商品中进行了选购，则购买可能性最大的是（　　） 商品顾客人数 甲 乙 丙 丁 100 √ × √ √ 217 × √ × √ 200 √ √ √ × 300 √ × √ × 85 √ × × × 98 × √ × × A．乙 B．丙 C．丁 D．无法确定 【变式3-4】（2024秋•鹿城区期中）某路口红绿灯的时间设置为：红灯40秒，绿灯60秒，黄灯4秒，当车辆随意经过该路口时，遇到可能性最小的是 　 ．（填“红、绿、黄”） 【变式3-5】（2024秋•闵行区校级期中）现有足够多的甲、乙、丙三种不同的矩形纸片（边长如图所示，且a≠4b）．从这三种矩形纸片中选取任意4张（每种纸片可重复选择或者不选择），拼成一个中间无空隙的正方形，可能性有 　 　种． 【变式3-6】在一次比赛前，教练预言这场比赛教练这个队有70%的机会获胜，则下列说法中与“有70%的机会获胜”的意思接近的是（　　） A．教练这个队赢的可能性较大 B．若这两个队打10场，则教练这个队至少会赢7场 C．教练这个队必赢 D．若这两个队打10场，则教练这个队会赢7场 【变式3-7】甲、乙两人轮流做下面的游戏：掷一枚均匀的骰子（每个面分别标有1，2，3，4，5，6这六个数字），如果朝上的数字大于3，则甲获胜，如果朝上的数字小于3，则乙获胜，你认为获胜的可能性比较大的是　 　． 【例4】（2024•灞桥区校级开学）从布袋中摸大小相同的球，要使摸到红球的可能性最大，摸到白球的可能性最小，还有可能摸到黑球，布袋中最少要装 　　个球．（摸到三种球的可能性不同且个数都不少于1） 【变式4-1】如图是计算机中“扫雷”游戏的画面．在一个有9×9个方格的正方形雷区中，随机埋藏着10颗地雷，每个方格内最多只能藏1颗地雷．小王在游戏开始时随机地点击一个方格，点击后出现了如图所示的情况．我们把与标号3的方格相邻的方格记为A区域（画线部分），A区域外的部分记为B区域．数字3表示在A区域有3颗地雷．为了最大限度的避开地雷，下一步应该点击的区域是　 　．（填“A”或“B”） 【例5】（2024春•闽侯县期末）小丽在4张同样的卡片上各写了一个正整数，从中随机抽取2张，并将它们上面的数相加．重复这样做，每次所得的和都是6，8，10，12中的一个数，并且这四个数都能取到．在下列四个结论中： ①卡片上的数最小可以是1； ②卡片上的数最大可以是10； ③卡片上的数可以是4个连续的整数； ④卡片上的数有且仅有2个数相等． 其中所有正确结论的序号是 　 　． 【变式5-1】（2023•武侯区校级开学）将只有颜色不同的7个白球和3个黑球放入不透明袋子中，一次性从袋中随机摸出a个球，则下列说法正确的是（　　） A．若a＝3，则摸到的球全是黑球的可能性很大 B．若a＝1，摸到红球是随机事件 C．若a＝1，记下颜色并放回，重复进行100次操作，一定会摸到70次白球 D．若a＝4，则摸出的球中有白球是必然事件 【变式5-2】（2024春•汉中期末）现有两个大的盒子，甲盒里装有红球5个，白球2个和黑球13个，乙盒里装有红球20个，白球20个和黑球10个． （1）如果你随机取出1个黑球，选哪个盒子成功的机会大？请说明理由． （2）小明同学说“从乙盒取出10个红球后，乙盒中的红球个数仍比甲袋中红球个数多，所以此时想取出1个红球，选乙盒成功的机会大．”你认为此说法正确吗？为什么？（要从概率的角度说明，否则不得分） 【变式5-3】在“五•四”青年节中，全校举办了文艺汇演活动．小丽和小芳都想当节目主持人，但现在只有一个名额．小丽想出了一个办法，她将一个转盘（均质的）均分成6份，如图所示． 游戏规定：随意转动转盘， （1）指针指到1的可能性是多少？ （2）若指针指到3，则小丽去；若指针指到2，则小芳去．若你是小芳，会同意这个办法吗？为什么？ 【类型三：根据频率估算概率】 【例6】（2024秋•天府新区期末）为了估计池塘里有多少条鱼，渔民先从池塘里捞出40条鱼，在每条鱼身上做好标记后放回池塘，第二天再从池塘打捞鱼，通过多次重复试验后发现捕捞的鱼中有标记的频率稳定在2%左右，则估计池塘中鱼的条数大约是（　　） A．800 B．1200 C．2000 D．3000 【变式6-1】（2024秋•新城区期末）笑笑和妈妈买了5包核桃牛奶和n包红枣牛奶，这些牛奶外观除了包装袋上的字不同外，其他均相同，现将它们装在一个不透明的盒子里，笑笑每次从盒子中随机摸出一袋牛奶，记下口味后放回盒子中搅匀，通过大量重复试验后发现，摸到核桃牛奶的频率稳定于0.2，则估计n的值为（　　） A．25 B．20 C．15 D．10 【例7】（2024秋•永寿县校级期末）某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如表： 射击次数 100 200 300 400 500 800 1000 “射中九环以上”的次数 82 176 267 364 450 712 900 “射中九环以上”的频率 0.82 0.88 0.89 0.91 0.90 0.89 0.90 根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时“射中九环以上”的概率是（　　） A．0.80 B．0.85 C．0.90 D．0.95 【变式7-1】（2024秋•沙河口区期末）做随机抛掷一枚质地均匀的纪念币的试验，得到的结果如下表所示： 抛掷次数m 500 1000 1500 2000 2500 3000 4000 5000 “正面向上”的次数n 265 512 793 1034 1306 1558 2083 2598 “正面向上”的频率（精确到0.001） 0.530 0.512 0.529 0.517 0.522 0.519 0.521 下面有4个推断：①当抛掷次数是1000时，“正面向上”的频率是0.512，所以“正面向上”的概率是0.512；②随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在0.520附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是0.520；③若再次做随机抛掷该纪念币的试验，所以当抛掷次数为3000时，出现“正面向上”的次数不一定是1558次；④表格空白处的数值是0.520．其中合理推断的序号是（　　） A．②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③④ 【例8】（2024秋•越秀区期末）北京时间12月4日，我国申报的“春节——中国人庆祝传统新年的社会实践”在联合国教科文组织保护非物质文化遗产政府间委员会第19届常会上通过评审，列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录．为迎接春节到来，某商场规定：购物满88元以上都可以获得一次转动转盘的机会．如图①所示，当转盘停止时，指针指向哪个区域顾客就获得对应的奖品．转动转盘若干次，其中指针落入优胜奖区域的频率如图②所示，则转盘中优胜奖区域的圆心角∠AOB的度数近似为（　　） A．90° B．72° C．54° D．20° 【变式8-1】（2024春•如皋市期末）如图，为了鼓励消费，某商场设置一个可以自由转动的转盘．规定：顾客购物100元以上可以获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针指向哪个区域顾客就获得相应的奖品．下表是活动进行中的一组统计数据： 转动转盘的次数n 100 150 200 500 800 1000 落在“饮料”区域次数m 32 39 64 155 254 299 则转盘中“饮料”区域的圆心角∠AOB的度数近似是（　　） A．119° B．108° C．87° D．90° 【例9】（2024秋•惠安县期末）如图，已知边长为4的正方形二维码，为估算二维码中黑色部分的面积，在正方形区域内任取100个点，若有65个点在黑色部分，则二维码中黑色部分的面积约为 　 　． 【变式9-1】（2024秋•金水区校级期末）如图1，长为10cm，宽为8cm的长方形内部有一不规则图案（图中阴影部分），数学小组为了探究该不规则图案的面积是多少，进行了计算机模拟试验，通过计算机随机投放一个点，并记录该点落在不规则图案上的次数（点在界线上不计入试验结果），得到如下数据： 由此可估计不规则图案的面积大约为（　　） A．32cm2 B．24cm2 C．16cm2 D．8cm2 【例10】（2024秋•蓬江区期末）在一个不透明的口袋里，装有若干个除了颜色外无其他差别的小球，某数学学习小组做摸球试验，将球摇匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复上述过程．如表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数n 100 150 300 500 800 1000 摸到红球的次数m 61 93 b 301 480 601 摸到红球的频率 a 0.62 0.59 0.602 0.60 0.601 （1）表中的a＝ 　 　，b＝ 　 　； （2）“摸到红球”的概率的估计值是 　 　（精确到0.1）； （3）如果袋中有24个红球，那么袋中除了红球外，还有多少个其它颜色的球？ 【变式10-1】（2024•秦安县校级三模）在一个不透明的盒子里装有颜色不同的黑、白两种球共60个，它们除颜色不同外，其余都相同，王颖做摸球试验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中搅匀，经过大量重复上述摸球的过程，发现摸到白球的频率稳定于0.25， （1）请估计摸到白球的概率将会接近 　 ； （2）计算盒子里白、黑两种颜色的球各有多少个？ （3）如果要使摸到白球的概率为，需要往盒子里再放入多少个白球？ 【变式10-2】（2024春•历城区期末）在一个不透明的盒子里装有只有颜色不同的黑、白两种球共20个，小颖做摸球试验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，如表是“摸到白色球”的频率折线统计图． （1）请估计：当摸球次数很大时，摸到白球的频率将会接近 　 　； （2）试估算盒子里白、黑两种颜色的球各有多少个？ （3）在（2）条件下，如果要使摸到白球的概率为，需要往盒子里再放入多少个白球？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 八年级下苏科版 第02讲认识概率 课程标准 学习目标 1.确定时间与随机事件 2.可能性的大小； 3.频率与概率； 1.能区分哪些事件是必然事件、不可能事件和随机事件。 2.体会随机事件发生的可能性的大小； 3.理解频率与概率的关系，会用频率的稳定值估计概率； 知识点1：确定事件与随机事件 ①不可能事件：在一定条件下，有些事情我们事先能肯定它一定不会发生，这样的事情是不可能事件。例如，“明天太阳从西方升起”是不可能事件； ②必然事件：在一定条件下，有些事情我们事先能肯定它一定会发生，这样的事情是必然事件。例如，“抛出的篮球会下落”是必然事件； ③确定事件：必然事件和不可能事件都是确定事件； ④随机事件：在一定条件下，很多事情我们事先无法确定它会不会发生，这样的事情是随机事件。例如，“抛掷1枚质地均匀的硬币正面朝上”随机事件。 【即学及练】 1．（2024秋•九龙坡区期末）在下列事件中，可以确定其为必然事件的是（　　） A．明年农历“大雪”节气那天下雪 B．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯 C．旭日东升 D．掷一枚刻有1到6点数的骰子，向上一面的点数一定是6 【分析】根据事件发生的可能性大小判断即可． 【解答】解：A、明年农历“大雪”节气那天下雪是随机事件，不符合题意； B、经过有交通信号灯的路口，遇到红灯是随机事件，不符合题意； C、旭日东升是必然事件，符合题意； D、掷一枚刻有1到6点数的骰子，向上一面的点数一定是6是随机事件，不符合题意； 故选：C． 2．（2024秋•厦门期末）一个不透明袋子里有2个黑球、1个白球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子里随机摸出2个球，下列事件中，是随机事件的是（　　） A．摸出2个黑球 B．摸出2个白球 C．摸出的球中有1个是红球 D．摸出的球中有1个是黑球 【分析】事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件，据此进行判断即可． 【解答】解：摸出2个黑球是随机事件，则A符合题意； 摸出2个白球是不可能事件，则B不符合题意； 摸出的球中有1个是红球是不可能事件，则C不符合题意； 摸出的球中有1个是黑球是必然事件，则D不符合题意； 故选：A． 3．（2024•漳州三模）下列说法正确的是（　　） A．“水在一个标准大气压下，温度为﹣10℃时不结冰”是不可能事件 B．某彩票的中奖机会是0.1%，买1000张一定会中奖 C．为检验某品牌LED灯管的使用寿命，采用普查的调查方式比较合适 D．“如果x、y是实数，那么x+y＝y+x”是随机事件 【分析】根据随机事件的定义，概率的意义和全面调查与抽样调查的定义判断即可． 【解答】解：A、“水在一个标准大气压下，温度为﹣10℃时不结冰”是不可能事件，故此选项符合题意； B、某彩票的中奖机会是0.1%，买1000张不一定会中奖，故此选项不符合题意； C、为检验某品牌LED灯管的使用寿命，采用抽样调查方式比较合适，故此选项不符合题意； D、“如果x、y是实数，那么x+y＝y+x”是必然事件，故此选项不符合题意； 故选：A． 知识点2：可能性的大小 必然发生的事件可能性最大；不可能发生的事情发生的可能性最小；随机事件发生的可能性有大有小， 不同的随机事件发生的可能性的大小可能不同。 拓展：如果用字母A表示一个事件，那么P(A)表示事件A发生的概率。事件A的概率是一个大于等于0，且小于等于1的数，即0≤P(A)≤1, 其中，P(不可能事件)=0 P(必然事件)=1 0<P(随机事件)<1 一个随机事件发生的概率是由这个随机事件自身决定的，并且是客观存在的，概率是随机事件自身的属性，它反应这个随机事件发生的可能性大小。 【即学及练】 1．（2024秋•杭州期中）一个不透明的袋子中装有3个黄球、1个白球、4个红球和2个黑球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出1个球，摸到（　　）球的可能性最大． A．黄 B．白 C．红 D．黑 【分析】哪种颜色的球最多，摸到哪种球的可能性就最大，据此求解即可． 【解答】解：∵红球数量最多， ∴摸到红球的可能性最大， 故选：C． 2．（2024春•和平区期末）任意掷一枚骰子，下列情况出现的可能性比较大的是（　　） A．面朝上的点数是3 B．面朝上的点数是奇数 C．面朝上的点数小于2 D．面朝上的点数小于3 【分析】分别求出每个事件发生的可能性大小，从而得出答案． 【解答】解：A．面朝上的点数是3的概率为； B．面朝上的点数是奇数的概率为； C．面朝上的点数小于2的概率为； D．面朝上的点数小于3的概率为； ∴概率最大的是面朝上的点数是奇数， 故选：B． 知识点3：概率与频率 ①频率的稳定性：通常，在多次重复试验中，一个随机事件发生的频率会在某一个常数附近摆动，并且趋于稳定 ，这个性质称为频率的稳定性。在实际生活中，人们常把这个常数作为该随机事件发生的概率的估计值。 ②用频率估计一个随机事件发生的概率：通常要经历“试验并收集、整理、描述数据—计算频率—做出估计”的过程。应当注意，这里的“试验”，必须在相同条件下进行，并且试验的次数要足够多。 【即学及练】 1．（2024秋•红古区期末）如图是小明用计算机模拟随机投掷一枚图钉的试验结果．随着试验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在某个数附近，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是（　　） A．0.620 B．0.618 C．0.610 D．0.600 【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，结合图形解答即可． 【解答】解：由图象可知随着实验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在0.618附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是0.618． 故选：B． 2．（2024秋•永春县期末）在一个不透明的布袋中装有蓝色、白色两种小球共50个，小球除颜色外其他完全相同．小明通过很多次摸球试验后，发现其中摸到蓝色球的频率稳定在38%左右，则口袋中蓝色球个数最接近（　　） A．9个 B．19个 C．25个 D．38个 【分析】利用频率估计概率，用总个数乘以红球的百分比可得． 【解答】解：利用频率估计概率，可估计摸到蓝色球的概率为38%， ∴口袋中蓝色球个数最接近50×38%＝19（个）． 故选：B． 3．（2024秋•密云区期末）某公司新研发一款英语听说训练平台，为测试其用户满意度，随机抽取了以下样本进行调查，统计数据如下： 调查人数m 10 250 700 1000 5000 10000 20000 回复满意人数n 8 218 621 898 4510 8990 18020 回复满意的频率（结果保留小数点后立） 0.800 0.872 0.887 0.898 0.902 0.899 0.901 则下列说法正确的是（　　） A．若随机调查10个用户，则回复满意的人数一定是8 B．随着随机调查用户人数的增加，回复满意的频率也增加 C．若随机调查500个用户，回复满意的人数一定是436 D．随着随机调查用户人数的增加，回复满意的频率总在0.900左右摆动，显示出一定的稳定性，可以估计该平台用户回复满意的概率为0.900 【分析】根据频率估计概率求解即可． 【解答】解：A．若随机调查10个用户，则回复满意的人数不一定是8，此选项说法错误，不符合题意； B．随着随机调查用户人数的增加，回复满意的频率将趋于一个稳定的数值，不会一致增加，此选项错误，不符合题意； C．若随机调查500个用户，回复满意的人数不一定是436，此选项错误，不符合题意； D．随着随机调查用户人数的增加，回复满意的频率总在0.900左右摆动，显示出一定的稳定性，可以估计该平台用户回复满意的概率为0.900，此选项正确，符合题意； 故选：D． 【类型一：区分必然事件、不可能时间与随机事件】 【例1】（2024秋•芙蓉区期末）下列事件中，属于必然事件的是（　　） A．在标准大气压下，水加热到80℃会沸腾 B．三角形的两边之和小于第三边 C．经过有交通信号灯的路口，遇到绿灯 D．抛掷一块石头，石头终将落地 【分析】根据事件发生可能性的大小进行解题即可． 【解答】解：A、在标准大气压下，水加热到80℃会沸腾，是不可能事件，故该选项不符合题意； B、三角形的两边之和小于第三边，是不可能事件，故该选项不符合题意； C、经过有交通信号灯的路口，遇到绿灯，是随机事件，故该选项不符合题意； D、抛掷一块石头，石头终将落地，是必然事件，故该选项符合题意． 故选：D． 【变式1-1】（2024秋•南开区期末）下列事件是必然事件的是（　　） A．射击运动员射击一次，命中十环 B．任意一个五边形的外角和等于540° C．任意画两个面积相等的三角形，这两个三角形全等 D．367个同学参加一个聚会，他们中至少有两个同学的生日是同月同日 【分析】根据事件发生的可能性大小判断即可． 【解答】解：A、射击运动员射击一次，命中十环是随机事件，不符合题意； B、任意一个五边形的外角和等于540°是不可能事件，不符合题意； C、任意画两个面积相等的三角形，这两个三角形全等是随机事件，不符合题意； D、367个同学参加一个聚会，他们中至少有两个同学的生日是同月同日是必然事件，符合题意； 故选：D． 【例2】（2024秋•西湖区校级期末）下列成语描述的事件为随机事件的是（　　） A．水中捞月 B．守株待兔 C．水涨船高 D．画饼充饥 【分析】必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．必然事件和不可能事件统称为确定事件． 【解答】解：根据相关概念判断可知： A．是不可能事件，故不符合题意； B．是随机事件，故符合题意； C．是必然事件，故不符合题意； D．是不可能事件，故不符合题意； 故选：B． 【变式2-1】（2024秋•汉阳区期末）下列事件属于随机事件的是（　　） A．明天太阳从东方升起 B．购买一张彩票中奖 C．任意画一个三角形，其内角和是360° D．煮熟的鸭子飞了 【分析】事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件，据此进行判断即可． 【解答】解：明天太阳从东方升起是必然事件，则A不符合题意； 购买一张彩票中奖是随机事件，则B符合题意； 任意画一个三角形，其内角和是360°是不可能事件，则C不符合题意； 煮熟的鸭子飞了是不可能事件，则D不符合题意； 故选：B． 【变式2-2】（2024秋•延庆区期末）下列事件中，随机事件是（　　） A．在数轴上取一个点，它表示的数是实数 B．画一个三角形，它的某边上的高线与中线重合 C．画一个三角形，它的内角和是180° D．把长度分别是6，8，9的线段首尾顺次相接，组成了一个直角三角形 【分析】根据事件发生的可能性大小判断． 【解答】解：A、在数轴上取一个点，它表示的数是实数，是必然事件，不符合题意； B、画一个三角形，它的某边上的高线与中线重合，是随机事件，符合题意； C、画一个三角形，它的内角和是180°，是必然事件，不符合题意； D、把长度分别是6，8，9的线段首尾顺次相接，组成了一个直角三角形，是不可能事件，不符合题意； 故选：B． 【变式2-3】（2025•中原区一模）下列事件中： ①明天会下雨； ②一个班（40人）里有两人的生日在同一天； ③从装着红球和黑球的袋子里摸出白球； ④太阳东升西落． 不可能事件的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】根据随机事件，必然事件，不可能事件的特点判断即可． 【解答】解：下列事件中： ①明天会下雨，是随机事件； ②一个班（40人）里有两人的生日在同一天，是随机事件； ③从装着红球和黑球的袋子里摸出白球，是不可能事件； ④太阳东升西落，是必然事件， 不可能事件的个数为：1， 故选：A． 【类型二：判断随机事件可能性的大小】 【例3】某同学掷一枚硬币，结果是一连8次都掷出正面朝上，请问他第9次掷出硬币时出现正面朝上的概率是（　　） A．小于 B．大于 C．等于 D．不能确定 【分析】认清无论哪一次抛掷硬币，都有2种情况，即正、反，与第几次抛掷硬币无关，根据概率的求法可得答案． 【解答】解：无论哪一次抛掷硬币，都有2种情况，即正、反， 故第10次掷出硬币时出现正面朝上的概率为． 故选：C． 【变式3-1】（2024春•建湖县期中）任意掷一枚骰子，下列情况出现的可能性比较小的是（　　） A．面朝上的点数是6 B．面朝上的点数是偶数 C．面朝上的点数大于2 D．面朝上的点数小于3 【分析】分别求出每个事件发生的可能性大小，从而得出答案． 【解答】解：A．面朝上的点数是6的概率为； B．面朝上的点数是偶数的概率为； C．面朝上的点数大于2的概率为； D．面朝上的点数小于3的概率为； ∴出现的可能性比较小的是：面朝上的点数是6， 故选：A． 【变式3-2】（2024•碑林区校级自主招生）在一种扑克牌游戏中，玩家可以利用“牌值”来预估还没有发出的牌的点数大小，“牌值”的计算方式为：没有发牌时，“牌值”为0；发出的牌点数为2至9时，表示发出点数小的牌，则“牌值”加1；发出的牌点数为10、J、Q、K、A、大王、小王时，表示发出点数大的牌，则“牌值”减1．若一副完整的扑克牌已发出34张，且此时的“牌值”为10，则随机发出的下一张牌的可能性判断正确的是（　　） A．点数小的牌可能性大 B．点数大的牌可能性大 C．两者可能性一样大 D．无法判断 【分析】利用方程组的思想求得已发出的34张牌中的点数大的张数与点数小的张数，从而得到剩余的牌中点数大的张数与点数小的张数，再利用计算概率的方法解答即可． 【解答】解：设一副完整的扑克牌已发出的34张牌中点数小的张数为x张，点数大的张数为y张， ∴． 解得：， ∴已发出的34张牌中点数小的张数为22张，点数大的张数为12张， ∴剩余的20张牌中点数大的张数为5×4+2﹣12＝10张，点数小的张数为8×4﹣22＝10张， ∵剩下的牌中每一张牌被发出的机会皆相等， ∴下一张发出的牌是点数大的牌的几率是，下一张发出的牌是点数小的牌的几率是， ∴两者可能性一样大， 故选：C． 【变式3-3】（2024•郓城县校级一模）某超市随机选取1000名顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如图统计表，其中“√”表示购买．“×”表示未购买．假定每位顾客购买商品的可能性相同，若顾客购买了甲商品，并且同时也在乙、丙、丁三种商品中进行了选购，则购买可能性最大的是（　　） 商品顾客人数 甲 乙 丙 丁 100 √ × √ √ 217 × √ × √ 200 √ √ √ × 300 √ × √ × 85 √ × × × 98 × √ × × A．乙 B．丙 C．丁 D．无法确定 【分析】在这1000名顾客中，求出同时购买甲和乙的概率、同时购买甲和丙的概率、同时购买甲和丁的概率，从而得出结论． 【解答】解：在这1000名顾客中，同时购买甲和乙的概率为， 同时购买甲和丙的概率为， 同时购买甲和丁的概率为， 故同时购买甲和丙的概率最大， 故选：B． 【变式3-4】（2024秋•鹿城区期中）某路口红绿灯的时间设置为：红灯40秒，绿灯60秒，黄灯4秒，当车辆随意经过该路口时，遇到可能性最小的是 　黄　灯．（填“红、绿、黄”） 【分析】根据可能性大小的定义解答即可． 【解答】解：∵遇到红灯的概率； 遇到绿灯的概率； 遇到黄灯的概率， ∴遇到黄灯的可能性最小． 故答案为：黄． 【变式3-5】（2024秋•闵行区校级期中）现有足够多的甲、乙、丙三种不同的矩形纸片（边长如图所示，且a≠4b）．从这三种矩形纸片中选取任意4张（每种纸片可重复选择或者不选择），拼成一个中间无空隙的正方形，可能性有 　3　种． 【分析】根据完全平方公式可得所有可能性结果． 【解答】解：如图所示， 从这三种矩形纸片中选取任意4张（每种纸片可重复选择或者不选择），拼成一个中间无空隙的正方形，可能性有3种， 故答案为：3． 【变式3-6】在一次比赛前，教练预言这场比赛教练这个队有70%的机会获胜，则下列说法中与“有70%的机会获胜”的意思接近的是（　　） A．教练这个队赢的可能性较大 B．若这两个队打10场，则教练这个队至少会赢7场 C．教练这个队必赢 D．若这两个队打10场，则教练这个队会赢7场 【分析】概率只是反映了事件发生的机会的大小，不是会一定发生．不确定事件就是随机事件，即可能发生也可能不发生的事件，发生的概率大于0并且小于1． 【解答】解：A、根据概率的意义可知该说法正确； B、概率仅仅反映了这一事件发生的可能性的大小，若这两个队打10场，他这个队可能会至少赢7场，但不会是肯定的，所以错误； C、概率仅仅反映了这一事件发生的可能性的大小，教练这个队赢是随机事件，所以错误； D、概率仅仅反映了这一事件发生的可能性的大小，若这两个队打10场，他这个队可能会赢7场，但不会是肯定的，所以错误． 故选：A． 【变式3-7】甲、乙两人轮流做下面的游戏：掷一枚均匀的骰子（每个面分别标有1，2，3，4，5，6这六个数字），如果朝上的数字大于3，则甲获胜，如果朝上的数字小于3，则乙获胜，你认为获胜的可能性比较大的是　甲　． 【分析】首先根据可能性大小的求法，分别求出两人获胜的可能性各是多少；然后比较大小，判断出谁获胜的可能性比较大即可． 【解答】解：∵1，2，3，4，5，6这六个数字中大于3的数字有3个：4、5、6， ∴P（甲获胜）； ∵1，2，3，4，5，6这六个数字中小于3的数字有2个：1、2， ∴P（乙获胜）； ∵， ∴获胜的可能性比较大的是甲． 故答案为：甲． 【例4】（2024•灞桥区校级开学）从布袋中摸大小相同的球，要使摸到红球的可能性最大，摸到白球的可能性最小，还有可能摸到黑球，布袋中最少要装 　6　个球．（摸到三种球的可能性不同且个数都不少于1） 【分析】根据题意可知，红球的个数最多，白球的个数最少，还要有黑球，布袋中至少要装3个红球，1个白球，2个黑球，据此解答即可． 【解答】解：3+1+2＝6（个）， 故答案为：6． 【变式4-1】如图是计算机中“扫雷”游戏的画面．在一个有9×9个方格的正方形雷区中，随机埋藏着10颗地雷，每个方格内最多只能藏1颗地雷．小王在游戏开始时随机地点击一个方格，点击后出现了如图所示的情况．我们把与标号3的方格相邻的方格记为A区域（画线部分），A区域外的部分记为B区域．数字3表示在A区域有3颗地雷．为了最大限度的避开地雷，下一步应该点击的区域是　B　．（填“A”或“B”） 【分析】本题需先根据已知条件得出各个区域的地雷所占的比例，再进行比较，即可求出答案． 【解答】解：在A区域点击的话，点击到地雷的概率为， 在B区域点击的话，点击到地雷的概率为， ∵， ∴为了最大限度的避开地雷，下一步应该点击的区域是B， 【例5】（2024春•闽侯县期末）小丽在4张同样的卡片上各写了一个正整数，从中随机抽取2张，并将它们上面的数相加．重复这样做，每次所得的和都是6，8，10，12中的一个数，并且这四个数都能取到．在下列四个结论中： ①卡片上的数最小可以是1； ②卡片上的数最大可以是10； ③卡片上的数可以是4个连续的整数； ④卡片上的数有且仅有2个数相等． 其中所有正确结论的序号是 　①④　． 【分析】首先假设这四个数字分别为：A、B、C、D且A≤B≤C≤D，进而得出符合题意的答案． 【解答】解：设这四个数字分别为：A、B、C、D且 A≤B≤C≤D， ∵每次所得两个数字的和最小是6， ∴A+B＝6， 又∵每次所得两个数字的和最大是12， ∴C+D＝12， ∴四个数字中至少有一个是1，若A＝1，则B＝5， ∵每次所得两个数字的和有4种， ∴四个数字中必有两个数字相同，则C、D必满足C＝D＝6或C＝D＝7， ①卡片上的数字最小是1，正确； ②卡片上的数字最大是10，错误； ③卡片上的数字可以是四个连续的整数，错误； ④卡片上的数字有且仅有两个数相同，正确． 故答案为：①④． 【变式5-1】（2023•武侯区校级开学）将只有颜色不同的7个白球和3个黑球放入不透明袋子中，一次性从袋中随机摸出a个球，则下列说法正确的是（　　） A．若a＝3，则摸到的球全是黑球的可能性很大 B．若a＝1，摸到红球是随机事件 C．若a＝1，记下颜色并放回，重复进行100次操作，一定会摸到70次白球 D．若a＝4，则摸出的球中有白球是必然事件 【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率． 【解答】解：不透明袋子中有7个白球和3个黑球，共10个球， A、若a＝3，则摸到的球全是黑球的可能性，不符合题意； B、若a＝1，摸到红球是不可能事件，不符合题意； C、若a＝1，记下颜色并放回，重复进行100次操作，可能会摸到70次白球，不符合题意； D、若a＝4，则摸出的球中有白球是必然事件，符合题意． 故选：D． 【变式5-2】（2024春•汉中期末）现有两个大的盒子，甲盒里装有红球5个，白球2个和黑球13个，乙盒里装有红球20个，白球20个和黑球10个． （1）如果你随机取出1个黑球，选哪个盒子成功的机会大？请说明理由． （2）小明同学说“从乙盒取出10个红球后，乙盒中的红球个数仍比甲袋中红球个数多，所以此时想取出1个红球，选乙盒成功的机会大．”你认为此说法正确吗？为什么？（要从概率的角度说明，否则不得分） 【分析】（1）利用概率公式计算得出答案； （2）利用概率公式计算得出答案． 【解答】解：（1）甲盒中共有20个球，黑球有13个；乙中共有50个球，黑球共10个， 所以P（甲中摸黑球），P（乙中摸黑球）， 故选择甲盒成功的机会大； （2）不对， ∵从乙盒取出10个红球后，乙盒红球有10个， ∴，P（乙中摸红球）， P（甲中摸红球） 故选择甲，乙成功的机会一样大； 所以此说法不对． 【变式5-3】在“五•四”青年节中，全校举办了文艺汇演活动．小丽和小芳都想当节目主持人，但现在只有一个名额．小丽想出了一个办法，她将一个转盘（均质的）均分成6份，如图所示． 游戏规定：随意转动转盘， （1）指针指到1的可能性是多少？ （2）若指针指到3，则小丽去；若指针指到2，则小芳去．若你是小芳，会同意这个办法吗？为什么？ 【分析】（1）直接根据转盘判断即可； （2）游戏是否公平，关键要看是否游戏双方各有50%赢的机会，本题中只要计算出指针指到2和指针指到3概率是否相等，求出概率比较，即可得出结论． 【解答】解：（1）转盘（均质的）均分成6份，其中1占1份， ∴指针指到1的可能性是； （2）不会同意． 因为转盘中有两个3，一个2，这说明小丽去的可能性是，而小芳去的可能性是， 所以游戏不公平． 【类型三：根据频率估算概率】 【例6】（2024秋•天府新区期末）为了估计池塘里有多少条鱼，渔民先从池塘里捞出40条鱼，在每条鱼身上做好标记后放回池塘，第二天再从池塘打捞鱼，通过多次重复试验后发现捕捞的鱼中有标记的频率稳定在2%左右，则估计池塘中鱼的条数大约是（　　） A．800 B．1200 C．2000 D．3000 【分析】设鱼塘中有鱼x条，利用频率估计概率得到2%，然后解方程即可． 【解答】解：设鱼塘中有鱼x条， 根据题意得：2%， 解得x＝2000， 经检验，x＝2000为原方程的解， 所以估计池塘中鱼的条数大约是2000条鱼． 故选：C． 【变式6-1】（2024秋•新城区期末）笑笑和妈妈买了5包核桃牛奶和n包红枣牛奶，这些牛奶外观除了包装袋上的字不同外，其他均相同，现将它们装在一个不透明的盒子里，笑笑每次从盒子中随机摸出一袋牛奶，记下口味后放回盒子中搅匀，通过大量重复试验后发现，摸到核桃牛奶的频率稳定于0.2，则估计n的值为（　　） A．25 B．20 C．15 D．10 【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解． 【解答】解：由题意可得，0.2， 解得n＝20， 经检验，n＝20为原方程的解， 故估计n的值为20． 故选：B． 【例7】（2024秋•永寿县校级期末）某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如表： 射击次数 100 200 300 400 500 800 1000 “射中九环以上”的次数 82 176 267 364 450 712 900 “射中九环以上”的频率 0.82 0.88 0.89 0.91 0.90 0.89 0.90 根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时“射中九环以上”的概率是（　　） A．0.80 B．0.85 C．0.90 D．0.95 【分析】利用频率估计概率求解即可． 【解答】解：估计这名运动员射击一次时“射中九环以上”的概率是0.90， 故选：C． 【变式7-1】（2024秋•沙河口区期末）做随机抛掷一枚质地均匀的纪念币的试验，得到的结果如下表所示： 抛掷次数m 500 1000 1500 2000 2500 3000 4000 5000 “正面向上”的次数n 265 512 793 1034 1306 1558 2083 2598 “正面向上”的频率（精确到0.001） 0.530 0.512 0.529 0.517 0.522 0.519 0.521 下面有4个推断：①当抛掷次数是1000时，“正面向上”的频率是0.512，所以“正面向上”的概率是0.512；②随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在0.520附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是0.520；③若再次做随机抛掷该纪念币的试验，所以当抛掷次数为3000时，出现“正面向上”的次数不一定是1558次；④表格空白处的数值是0.520．其中合理推断的序号是（　　） A．②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③④ 【分析】根据用频率估计概率以及频率和概率的概念判断． 【解答】解：①当抛掷次数是1000时，“正面向上”的频率是0.512，但“正面向上”的概率不一定是0.512，本小题推断不合理； ②随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在0.520附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是0.520，本小题推断合理； ③若再次做随机抛掷该纪念币的试验，则当抛掷次数为3000时，出现“正面向上”的次数不一定是1558次，本小题推断合理； ④表格空白处的数值是0.520，本小题推断合理； 故选：C． 【例8】（2024秋•越秀区期末）北京时间12月4日，我国申报的“春节——中国人庆祝传统新年的社会实践”在联合国教科文组织保护非物质文化遗产政府间委员会第19届常会上通过评审，列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录．为迎接春节到来，某商场规定：购物满88元以上都可以获得一次转动转盘的机会．如图①所示，当转盘停止时，指针指向哪个区域顾客就获得对应的奖品．转动转盘若干次，其中指针落入优胜奖区域的频率如图②所示，则转盘中优胜奖区域的圆心角∠AOB的度数近似为（　　） A．90° B．72° C．54° D．20° 【分析】利用频率估计概率，可知当n很大时，频率将会接近其概率，所以可估计指针落入优胜奖区域的概率，用360°乘概率即可得出答案． 【解答】解：由图②可估计指针落入优胜奖区域的概率为0.2， ∴转盘中优胜奖区域的圆心角∠AOB的度数近似为：0.2×360°＝72°． 故选：B． 【变式8-1】（2024春•如皋市期末）如图，为了鼓励消费，某商场设置一个可以自由转动的转盘．规定：顾客购物100元以上可以获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针指向哪个区域顾客就获得相应的奖品．下表是活动进行中的一组统计数据： 转动转盘的次数n 100 150 200 500 800 1000 落在“饮料”区域次数m 32 39 64 155 254 299 则转盘中“饮料”区域的圆心角∠AOB的度数近似是（　　） A．119° B．108° C．87° D．90° 【分析】利用频率估计概率，可知当n很大时，频率将会接近其概率，所以可估计指针落在“饮料”区域的概率，用360°乘概率即可得出答案． 【解答】解：转动该转盘一次，可估计指针落在“饮料”区域的概率为0.3， 所以转盘中“饮料”区域的圆心角∠AOB的度数近似是360°×0.3＝108°． 故选：B． 【例9】（2024秋•惠安县期末）如图，已知边长为4的正方形二维码，为估算二维码中黑色部分的面积，在正方形区域内任取100个点，若有65个点在黑色部分，则二维码中黑色部分的面积约为 　10.4　． 【分析】用正方形的面积乘以点落在区域内黑色部分的频率稳定值即可． 【解答】解：根据题意，二维码中黑色部分的面积约为4×410.4． 故答案为：10.4． 【变式9-1】（2024秋•金水区校级期末）如图1，长为10cm，宽为8cm的长方形内部有一不规则图案（图中阴影部分），数学小组为了探究该不规则图案的面积是多少，进行了计算机模拟试验，通过计算机随机投放一个点，并记录该点落在不规则图案上的次数（点在界线上不计入试验结果），得到如下数据： 由此可估计不规则图案的面积大约为（　　） A．32cm2 B．24cm2 C．16cm2 D．8cm2 【分析】根据折线统计图知，当实验的次数逐渐增加时，样本的频率稳定在0.3，因此用频率估计概率，再根据几何概率知，不规则图案的面积与矩形面积的比为0.3，即可求得不规则图案的面积． 【解答】解：由折线统计图知，随着实验次数的增加，小球落在不规则图案上的频率稳定在0.3， ∴不规则图案的面积大约为0.3， 设不规则图案的面积为x cm2，则， 解得x＝24， 故选：B． 【例10】（2024秋•蓬江区期末）在一个不透明的口袋里，装有若干个除了颜色外无其他差别的小球，某数学学习小组做摸球试验，将球摇匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复上述过程．如表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数n 100 150 300 500 800 1000 摸到红球的次数m 61 93 b 301 480 601 摸到红球的频率 a 0.62 0.59 0.602 0.60 0.601 （1）表中的a＝ 　0.61　，b＝ 　197　； （2）“摸到红球”的概率的估计值是 　0.6　（精确到0.1）； （3）如果袋中有24个红球，那么袋中除了红球外，还有多少个其它颜色的球？ 【分析】（1）利用频率＝频数÷样本容量直接求解即可； （2）根据利用频率估计概率，可估计摸到红球的概率为0.6； （3）根据摸到红球的概率为0.6，利用概率公式计算其它颜色的球的个数． 【解答】解：（1）a＝61÷100＝0.61，b＝300×0.59＝197； 故答案为：0.61，197； （2）利用频率估计概率，可估计“摸到红球”的概率的估计值是0.6； 故答案为：0.6； （3）24÷0.6﹣24＝16（个）， 答：袋中除了红球外，还有16个其它颜色的球． 【变式10-1】（2024•秦安县校级三模）在一个不透明的盒子里装有颜色不同的黑、白两种球共60个，它们除颜色不同外，其余都相同，王颖做摸球试验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中搅匀，经过大量重复上述摸球的过程，发现摸到白球的频率稳定于0.25， （1）请估计摸到白球的概率将会接近 　0.25　； （2）计算盒子里白、黑两种颜色的球各有多少个？ （3）如果要使摸到白球的概率为，需要往盒子里再放入多少个白球？ 【分析】（1）根据题意容易得出结果； （2）由60×0.25＝15，60﹣15＝45，即可得出结果； （3）设需要往盒子里再放入x个白球；根据题意得出方程，解方程即可． 【解答】解：（1）根据题意得：当n很大时，摸到白球的概率将会接近0.25；假如你摸一次，你摸到白球的概率为0.25； 故答案为：0.25； （2）60×0.25＝15，60﹣15＝45； 答：盒子里白、黑两种颜色的球分别有15个、45个； （3）设需要往盒子里再放入x个白球； 根据题意得：， 解得：x＝15； 经检验x＝15是原方程的解， 答：需要往盒子里再放入15个白球． 【变式10-2】（2024春•历城区期末）在一个不透明的盒子里装有只有颜色不同的黑、白两种球共20个，小颖做摸球试验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，如表是“摸到白色球”的频率折线统计图． （1）请估计：当摸球次数很大时，摸到白球的频率将会接近 　0.50　； （2）试估算盒子里白、黑两种颜色的球各有多少个？ （3）在（2）条件下，如果要使摸到白球的概率为，需要往盒子里再放入多少个白球？ 【分析】（1）根据题意容易得出结果； （2）由40×0.5＝20，40﹣20＝20，即可得出结果； （3）设需要往盒子里再放入x个白球；根据题意得出方程，解方程即可． 【解答】解：（1）根据题意得：当n很大时，摸到白球的概率将会接近0.50； 故答案为：0.50； （2）20×0.5＝10（个），20﹣10＝10（个）； 答：估算盒子里白、黑两种颜色的球分别有10个、10个； （3）设需要往盒子里再放入x个白球； 根据题意得：， 解得：x＝5； 答：需要往盒子里再放入5个白球． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$