上海市上海交通大学附属中学2024-2025学年高一上学期期末数学试题

2024-2025学年第一学期 高一数学期末试卷 (说明：本试港满分160分，考试时间120分钟。本套试卷另附答题纸，每道题的解答 必须写在答题纸的相应位置，.本卷上任何解答都不作评分依据。) 考试说明：试卷最后的挑战题为非必答题，分值10分 一、填空题（本大题满分54分，前6题每题4分，后6题每题5分，填错或不填在正确 的位置一律得罗分) 1. 设集合A={0,1,2,3,4,B={x0<x<3},则A∩B=▲ 2. 函数y=10g2(4-x)的定义域是▲. 已一个扇形的圆心角为，半径为2，则该扇形的面积为 3. 4若x>1,则x+ x-i 最小值是▲ 5. 函数y=a-+3(常数a>0且a≠1)的图像总是经过点▲. 6. 已知mx=3,xe受劳，则角x为4 7. 若存在x∈R,使3cosx=4sinx+k成立，则实数k的取值范围是▲. 7 8. 已知sina+cosa=亏，则sin2a的值为▲， 9. *纪知定义域为R的偶函数y=(x)在[0，+∞)上为严格减函数，则不等式 f(x+)>∫(2x-)的解集为▲. 10.已知tan(0+=3,则sin'0+cos20 cos0-sin 11. 设实数a、b、c、d满足条件：0≤a≤1,0≤b≤1,0≤c≤1,0≤d≤1，则 a(I-b)+b(1-c)+c(1-d+d(1-a)的取值范围是△. 3 12. 已知∫()=x2-4以.若任取￥∈[m,m+宁，均有/-2)≤(，)成立， 则实数m的取值范围是▲. 2024-2025学年第一学期高一数学期未试卷 第1项共项 二、进择题（本大题满分18分，前2题每恩4分，后2题每题6分，每题有且仅有一个 正确选项) 13.幂函数y=f(x)的图像过点(9,3)，则f(4)的值为…(（▲) A.64 B.2 c.16 D.8 14、函数y=(x)在区间[1,2]上的图像是连续不断的，则“∫(I)∫(2)≥0”是“函数 y=∫(x)在区间（门，2）上没有零点”的…（▲) A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分也非必要条件 15.设y=f(x)、y=g(x)、y=(x)是定义域为R的三个函数（均非常值函数）， 对于命题： ⊙若y=f(x)+g(x)、y=∫(x)+h(x)、y=g(x)+h(x)均为严格增函数，则 y=(x)、y=g(x)、y=h(x)中至少有一个严格增函数： ②诺y=∫(x)+g(x)、y=∫(x)+(x)、y=g(x)+h(x)均为奇函数，则y=(x)、 y=g(x)、y=(x)均为奇函数， 下列判断正确的是。 …(▲) A.①和②均为真命题 B.①和②均为假命题 C.①为真命题，②为假命题 D.①为假命题，②为真命题 6.锐角△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、6、c,满足2bcos=acos(-B 苦c0s(C-月)-元cos2B存在最大值，则实数孔的取值范围是( A.(4,-2)B.（-5,-1)c.(-2,0)D.(-2,0) 三、解答题（本大题满分78分）解答下列各题必须在答题纸规定的方框内写出必要步骤. 17.(本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分) 已知聚合4=体-小水斗8=货子< (1)若a=2,求A和B; (2)若“x∈B”是“x∈A”的充分非必要条件，求实数a的取值范围. 18. (本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分) 己知∫(x)=4-a.2-3,a∈R且为常数. (1)当a=2时，求∫(x)>0的解集； (2)当x∈[0,2]，恒有(x)>-4,求实数a的取值范围. 2024-2025学年第一学期高一数学期末试卷 第2项共4页 19.(本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分) 研究某市交通情况时，道路密度是指该路段一定时间内通过的车辆除以时间，车辆 密度是该路段一定时间内通过的车辆数除以该路段的长度，现定义交通流量为F=纟，x 为道路峦度，9为车辆密度、已知某道路的交通流量 P=f0=10-45 G ,0<x<40, k>0. -k(x-40)+85,40≤x≤80 (1)若交通流量F>95,求道路密度x的取值范围； (2)若道路密度x=80时，测得交通流量F=50,求车辆密度g的最大值. 20.(本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分) os(225-or(经-+ 已知f(x)= sin(-π+x)sin(x+3π)cos(π+x) (①)化简函数并计算一孕到的值。 2若/e-)=-2,a)=3且a0引Be传求2a-B的 值。 (3)已知A、B、C为△ABC的内角.若(A)+f(C)=3f(B),求cosB的最小 值。 21.（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分) 定义：对于函数y=f(x),x∈D.如果存在正常数1∈D,使得当x取其定义域D 中任意值时，有x+1∈D,且成立/(x+)-f(x≤f),则称y=f(x)是“一致变 化函数”，而这个常数1就叫做函数y=∫(x)的“一致变化系数”· (1)给出()=（分广，x∈(0，+∞）.判断函数y=()是否为“一致变化函数”， 并说明理由； (2)给出2(x)=lnx,x∈[a,+o).若y=(x)是“一致变化函数”，求“一 致变化系数”1与a之和a+1的最小值： (3)给出(x)=, 1+x∈R.求证：函数y=的是“-致变化函数”，并 求“一致变化系数”1的取值范围。 2024-2025学年第一学期高一数学期末试卷 第3页共4页 22. 【挑战题】（本题满分10分） 小丁同学在某数学练习书上看到一道题：已知f(sinx)=cos17x,求f(cosx). 题目附有解答如下： co.in0c0-1in17x. (1)小丁认真研究题目和解答，判断（▲） A.题目正确，解答巧妙1 B.题目错误1 C。解答推理错误」 爱思考的她仿照老师对问题进行改编并推广，她想研究T,(cosx)=cosx（n为正 整数)，查阅资料后她有下面的结论： 若T,(cos)=cosx(n为正整数)，则Tn()的表达式为一个最高次为n次的多项 式Tn()=a1ǚ+anm-+an-2n-2+…+al+a6. (2)求T()的表达式： (3)请帮她判断函数y=T,()的奇偶性； (4)试帮她确定系数a,(用含n的代数式表示). (可使用以下她预习的证明方法) 一般地，证明一个与正整数有关的命题，可按下列步骤 进行： (1)证明当1取第一个值1o(o为正整数)时，命题成立； (2)假设当n=k(k≥o,k为正整数)时命题成立，证明 当n=k+1时命题也成立. 那么，命题对于从o开始的所有正整数n都成立.这种证明方 法叫做数学归纳法(mathematical induction). 2024-2025学年第一学期高一数学期末试卷 第4页共4页参考答案 一.填空题 1.{L,2 2.(-0,4) 3. 4.5 5.(1,4) 7.[-5,5] 24 6.π+arctan.3 8. 25 9.(-0,0)U(2,+∞) 10. 11.[0,2] 22-U+ 【第10题】 1+tan0 1-tan 3→an9,“原式3 sin0+cos0(cos20+sin20) tan0+1+tan20 41 cos(cos20+sin20)-sin(cos20+sin20)1+tan20-tan(1+tan2) 15 【第11题】令f(a)=(1-b-a)a+b1-c)+c(1-d)+d. 因为a∈[0,1]，所以f(a)∈[f(0),fI)].又f(0)=b-bc+c-cd+d=(b+d)1-c)+c. 因为b+d∈[0,2]，所以f(0)∈[c,2-c],因为c∈[0，]，所以f(0)∈[0,2]. 又f)=(1-b-d)c+1.因为1-b-d∈[-l,],c∈[0,1]，所以(1-b-d)c∈[-l,1], 所以f(1)∈[0,2].所以原式的取值范闱为[0,2]. (当a=0,b=0,c=0,d=0时取到最小值0，当a=0,b=1,c=0,d=1时取到最大值2). 【第12题】原题等价于存在x,x2∈ m,m+ 划=f八x 使得f(x-2）na≤f(x2)min· y=f(x-2) 如图，当m≥3+√3时，显然成立 当m<3-5或<m<3+5时，显然不皮立 3-3 3+V3 7元 下面讨论3-5≤m≤2时.令f0)=x2-4树g)=lx-22-4(x-2到=k-8x+12 当x[mm+引时，了=4-，对称轴x=2,区间中点m+子>2， 3 所以=fm+引-4m+引}m+ 又g()在[m,2]严格减，在2，m+ 引严格摸所以g以=mg回e(a+》 max 4m+a+≥m-8m+12 所以 9-5≤m 3 2 二.选择题 13.B 14.B 15.D 16.D 2x+3,x≤0 【第15题】(1)不成立.可举反例：f(x)= 2x,x≤1 -x+3,x>18(9=x+3,0<x<1, 2x,x21 h(x)= -x,x≤0 2x,x>0 (2)成立.因为f-)+g(-)=-f6闭-8因， f(-x)+h(-x)=-f(x)-h(x),h(-x)+g(-x)=-h(x)-g(x),前两式作差得 g(-x)-h(-x)=-g(x)+h(x),结合第三式得g(-x)=-g(x),h(-x)=-h(x), 同理可得f(-x)=-f(x),因此(2)正确.故选D. 【第16】题由2(B 正弦定理得28c号血4c- 2sin Bcos 又油8=snm台{台-刃=m(经-omm台 所以c心m(任®-0：因此m任-8月-0，即子-B-0,得A=28, 2 0<A< 2 0<2B< 2 由于AMBC为锐角三角形，则，0<B<受，即0<B<号 2 ，解得<B< 6 4 0<C<2 0<-3B<号 con(c-1)- 1cos2B=cos(π-4B)-1cos2B=-cos4B-元C0s2B 20o322B-1cos2B+l因为<2B<所以0<co2B<分 由二次函数性质得，若-2cos22B-1cos2B+1存在最大值，则0<-2< 4 2 解得-2<1<0.故选D. 三.解答题 17.(1)当a=2时，|x-aK2化为|x-2k2,则-2<x-2<2, 0<x<4,A={x|0<x<4};(3分) x-2<0化为(x-2x+)<0,则-1<x<2,所以B=x-1<x<2.(3分） x+1 (2)因为”x∈B"是"x∈A"的充分不必要条件，所以BcA,(2分) 又A={xx-ak2}={x|a-2<x<a+2},(2分) 所以 (a-2≤-1且等号不同时成立，(2分) a+2≥2 解得0≤a≤1，即a的取值范围为{a0≤a≤1}。(2分) 18.(1)当a=2时，f(x)=4-2x-3,令2=t>0,则y=t2-2t-3,t2-2t-3>0, 解得t>3,故2>3，解得x>l0g23,故不等式f(x)>0的解集为(1log23,+∞)： (2)4-a·2-3>-4→4-a·2+1>0,x∈[0,2]，令2x=t∈[l,4], 则t-at+1>0在tel,4]上恒成立，故t+>a在te[,4上恒成立，其中y=t+在 t t∈[1,4]上为严格增函数，故当t=1时，y=t+二取得最小值，最小值为2， 19.(1)由题意得当40≤x≤80时，-k(x-40)+85≤85不符题意：(2分) 当0<x<40时，由100-45 3 >95,解得x>2,即2<x<40,(2分) 所以交通流量F>95,道路密度x的取值范围为(2,40).(2分) 2)由题意得x=80时，F=f80)=-k(80-40)+85,所以k=,(2分 当0<x<40时，9<100x<4000;(2分) 当40≤x≤80时.9=名+120x= 48 2880028800 8 7 7 由于40<480<80，所以当x=480时，g取得最大值2880.(2分) 7 7 因为28800>400，所以车辆密度g的最大值为28800 (2分) cos(2025π-x)cos 20.(1)因为f(x)= sin(-π+x)sin(x+3π)cos(π+x) =（←cos):(-sinx)·cosx 所以 =1(2分) (-sinx)-(-sinx).(-cosx) tanx (2)由f(a-B)= tan(a-βB) =-2,fa=-=-3,得ta(a-p月)=)ana=子 tana 1,1 所以an(2a-)=tana-m+al=ana-m+tma-32=l2分) 1-tan(a-B)tana 1-1 6 因为ae（0}Be经小所以-r<a-B<0,且ama-月-=>0， 得-π<a-B<- 2,2分)则2a-Be(←，0，所以2a-B=-3江.2分) 4 (3) 1+1 cos A cosC sin Ccos 4+sin AcosC sin(4+C) sin B tan A tanC sin A sinC sin Asin C sin AsinC sin Asin C' 又1+ 13 ，所以 sin B 3cosB ,(2分) tan A tan C tan B sin Asin C sin B 所以sin2B=3 sin Asin CcosB,由正弦定理得b2=3 accos B,(2分) 又余弦定理6=a2+c2-2 accos,即b=a2+c2-子，所以B2-(a2+c2）, a2+c2 2 /2 4 由余弦定理cosB=+c2-b -ac 5 2 2ac 2ac 2ac 5 当且仅当a=c时取等号.(1分) 21.取=ix+----8s分fm.e分) 所以，函数y=f(x)是"一致变化函数".(2分) (2)因为y=(x)是"一致变化函数"，取t>0, (+D-(G+0-Imx-(1+-1+s/(-It 对-切xeao成立，放有>1.因为+到)=+ 所以以不等式恒成立等价于m1+日血1成立，所以1+后≤1，(2分)故而 ≤a, t-1 所以a+t≥ f+,令t-l=,故1=1+u且u∈0，+o, 所以a+1≥之+i=1+“+1+M=1+u+2≥4，当且仅当u=1, t-1 u 即t=1+4=2,a= t-1 =2时等号同时取到.(1分)所以a+t的最小值为4 (3)取=0=6x+)-(=+1+x1+x≤ 1 1.2 所以函数y=(x)是”一致变化函数".(2分) 取t>0,fx+0-方 1 因为f)=+x 为偶函数且在[0，+o) 1+|x+t|1+|x 上为减函数，所以 ①当x<x+t≤0时，有0≤-x-t<-x=(-x-t)+t,设4=-x-t,即0≤u<w+t, 5(x+)-f(x=5(-x)-f(-x-=5(u+)-f5(u=5(0-f5(u+), ②当x≤0<x+t时，有0≤-x≤t,0<x+t≤t, f5(x+)-(x=f5(x+)-f5(-x≤5(0)-f(0+) ③当0<x<x+t时，f(x+)-f(x)=f5(x)-5(x+): 综上，等价于研究f(x)-(x+)≤()对x20恒成立时t的取值范围，(3分) 方-66x+0)=,1-1 Γ1+x1+(x+) ≤0=中对x≥0恒成立， 1 1 ≤1恒成立，1+x+)-0+对s+x+00+恒成立， 1+x1+(x+t)1+t 1+t t(1+)≤(1+x+t)1+x)对x≥0恒成立，(1+x)2+(1+x)t-t1+t)≥0对x≥0恒成立， 令1+x=m,g(m)=m2+mt-t1+t)≥0对m≥1恒成立， 又-50，所以gm=m+mt-+0在[l,+o)上为严格增函数， g()=12+t-1+t)≥0即可，即t∈(0,1]. 22.(1)B;(1分) (2)T()=16t3-20r3+5t;(2分) (3)Tn(-cosx)=Tn(cos(x+π)=cos(n(x+π)》=(-1)”cosnπ=(-l1)"Tn(cosx)(2分) 当n为奇数时，y=T()为奇函数；当n为偶数时，y=T()为偶函数；(2分) (4)证明存在一个n次项系数为an=2"-的n次多项式Tn(),使得Tn(cosx)=cosx: ①当n=1时，T(t)=t:当n=2时，T2()=2t2-1: ②假设当n=k,n=k+1(k为正整数)时，结论成立， 即存在一个k次和k+1次多项式T()和T(), 使得T(cosx)=cosa,T(cosx)=cos(k+I)x, 则当n=k+2时，由于cos(ax)=cos(k+1)x-x)=cos(k+l)xcOSx+sin(k+l)xsinx, cos(k+2)x=cos((k+1)x+x)=cos(k+1)xcosx-sin(k+1)xsinx 两式相加得cos(k+2)x=2cos(k+l1)xcosx-cosc=2T1(cosx)cosx-T,(cosx), 综上所述，由数学归纳法得存在一个n次多项式T(t), 使得T,(cosx)=cosx,且Tn()的n次项系数为an=2-·(1分)