陕西省西安市西安交通大学附属中学2024-2025学年八年级上学期期末数学试卷

2024-2025学年陕西省西安交通大学附属中学八年级（上）期末数学试卷 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分.每小题只有一个选项是符合题意的） 1．（3分）下列各数中，是无理数的是（　　） A．﹣2 B．0.458 C． D． 2．（3分）光从空气斜射入水中，传播方向会发生变化．如图，表示水面的直线AB与表示水底的直线CD平行，光线EF从空气射入水中，改变方向后射到水底G处，FH是EF的延长线，若∠1＝42°，∠2＝16°，则∠CGF的度数是（　　） A．58° B．48° C．26° D．32° 3．（3分）二次根式有意义，则x的值可以为（　　） A．4 B．1 C．3 D．5 4．（3分）下面几组数中，能作为直角三角形三边长的是（　　） A．2，4，6 B．1，， C．8，，1 D．6，6，6 5．（3分）若是关于x和y的二元一次方程kx﹣2y＝4的解，则k的值是（　　） A．﹣1 B． C．1 D．5 6．（3分）小明参加以“传承经典，筑梦未来”为主题的演讲比赛，其演讲形象、演讲内容、演讲效果三项成绩分别是10分、9分、8分．若将演讲形象、演讲内容、演讲效果三项成绩按3：5：2的比例确定最终成绩，则小明的最终比赛成绩是（　　） A．8分 B．8.5分 C．9分 D．9.1分 7．（3分）已知一次函数y＝﹣3x+4，则下列说法中正确的是（　　） A．该函数的图象经过点（1，1） B．该函数的图象不经过第四象限 C．y的值随x的值的增大而增大 D．该函数的图象与x轴的交点坐标为 8．（3分）我国古代数学名著《九章算术》记载了一道题，大意是：几个人合买一件物品，每人出8元，剩余3元；每人出7元，还差4元．设有x人，该物品价值y元，根据题意，可列出的方程组是（　　） A． B． C． D． 9．（3分）如图，阴影部分是两个正方形，其他三个是一个正方形和两个直角三角形，则阴影部分的面积为（　　） A．8 B．25 C．49 D．64 10．（3分）如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝7，E为BC中点，AD为△ABC的角平分线，△ABC的面积记为S1，△ADE的面积记为S2，则为（　　） A．11 B． C． D． 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分.） 11．（3分）比较大小：　 　2（填“＜”，“＝”或“＞”）． 12．（3分）的立方根是 　 　． 13．（3分）关于x、y的方程组，则x+y的值为 　 　． 14．（3分）若直线y＝x﹣1向上平移2个单位长度后经过点（2，m），则m的值为 　 　． 15．（3分）如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是△ACB的外角的平分线，如果∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，则∠A＝　 　． 16．（3分）如图，在平面直角坐标系中，A（﹣8，0）、B（﹣3，3），动点P在直线y＝﹣x上，动点Q在x轴上，则AP+PQ+QB的最小值为 　 　． 三、解答题（共9小题，计72分.解答应写出过程） 17．（10分）计算： （1）； （2）． 18．（10分）解方程组： （1）； （2）． 19．（5分）如图，已知△ABC（AC＜BC），用尺规在BC上确定一点P，使PA+PC＝BC． 20．（5分）“绿水青山就是金山银山”，科学研究表明：树叶在光合作用后产生的分泌物能够吸附空气中的悬浮颗粒物，具有滞尘净化空气的作用．已知一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片国槐树叶一年的平均滞尘量的2倍少4mg，若一片国槐树叶与一片银杏树叶一年的平均滞尘总量为62mg．请分别求出一片国槐树叶和一片银杏树叶一年的平均滞尘量． 21．（6分）如图，AB＝AC，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E． （1）求证：△ABE≌△ACD； （2）若AE＝6，CD＝8，求BD的长． 22．（7分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，2），B（3，0），C（6，3）． （1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1； （2）试说明△ABC是直角三角形； （3）已知点P在y轴上，若∠APC＝45°，写出满足条件的一个点P的坐标为 　 　． 23．（7分）某校组织七、八年级学生参加了“中华传统文化知识”问答测试．已知七、八年级各有600人，现从两个年级分别随机抽取10名学生的测试成绩x（单位：分）进行统计： 七年级：86 94 79 84 71 90 76 83 90 87 八年级：88 76 90 78 87 93 75 87 87 79 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 84 a 90 44.4 八年级 84 87 b 36.6 根据以上信息，回答下列问题： （1）填空：a＝ 　 　，b＝ 　 　；A同学说：“这次测试我得了86分，位于年级中等偏上水平”，由此可判断他是 　 　年级的学生； （2）学校规定测试成绩不低于85分为“优秀”，估计该校这两个年级测试成绩达到“优秀”的学生总人数； （3）你认为哪个年级的学生掌握中华传统文化知识的总体水平较好？（请从平均数、中位数、众数、方差等角度写出一条理由即可）． 24．（10分）如图，某校研学小组在博物馆中看到了一种“公道杯”，在这种杯子中加水超过一定量时，水会自动排尽，体现了“满招损，谦受益”的寓意．该小组模仿其原理，自制了一个圆柱形简易“公道杯”，确保向杯中匀速注水和杯中水自动向外排出时，杯中的水位高度的变化都是匀速的．现向此“公道杯”中匀速注入清水；当满杯时（即3秒时），边继续匀速注入清水，杯中水边自动向外排出，6秒后停止注水，再等水匀速完全排尽．在这个过程中，对不同时间的水位高度进行了记录，部分数值如下： 时间（t/秒） 1 2 3 4 5 6 7 8 水位高度（h/厘米） 2 4 6 5.75 5.5 5.25 3 0.75 根据以上信息，解决下列问题： （1）根据表中数据在平面直角坐标系中描点，并画出函数图象； （2）求3秒到6秒之间的函数表达式，并求出排水的速度； （3）利用图象估计从开始注水，到杯中水完全排尽，用时约为 　 　秒．（保留1位小数） 25．（12分）新定义： 过定点的两条直线将一个图形分成面积相等的三部分，我们把这两条直线叫做这个图形的“等积直线”． 解决问题： （1）如图1，过点A画出△ABC的两条“等积直线”． （2）如图2，在平面直角坐标系中，点，点B（3，0），将△AOB沿AB边翻折得到△ACB，则点C的坐标为 　 　；四边形AOBC的面积为 　 　； （3）如图3，在（2）的条件下，过BC边上一点P，是否存在四边形AOBC的“等积直线”，其中一条恰好是OP．若存在，求此时点P的坐标；并直接写出“等积直线”中另一条直线PQ的表达式．若不存在，请说明理由． 2024-2025学年陕西省西安交通大学附属中学八年级（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A B B A D A A D B 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分.每小题只有一个选项是符合题意的） 1．（3分）下列各数中，是无理数的是（　　） A．﹣2 B．0.458 C． D． 【分析】根据无理数的定义解答即可． 【解答】解：A、﹣2是整数，属于有理数，故此选项不符合题意； B、0.458是分数，属于有理数，故此选项不符合题意； C、是无理数，故此选项符合题意； D、是分数，属于有理数，故此选项不符合题意； 故选：C． 【点评】本题主要考查了无理数以及算术平方根，熟知无限不循环小数是无理数是解题的关键． 2．（3分）光从空气斜射入水中，传播方向会发生变化．如图，表示水面的直线AB与表示水底的直线CD平行，光线EF从空气射入水中，改变方向后射到水底G处，FH是EF的延长线，若∠1＝42°，∠2＝16°，则∠CGF的度数是（　　） A．58° B．48° C．26° D．32° 【分析】由平行线的性质推出∠CGF+∠AFG＝180°，由平角定义得到∠2+∠1+∠AFG＝180°，于是得到∠CGF＝∠1+∠2＝42°+I6°＝58°． 【解答】解∵AB∥CD， ∴∠CGF+∠AFG＝180°， ∵∠2+∠1+∠AFG＝180°， ∴∠CGF＝∠1+∠2＝42°+I6°＝58°． 故选：A． 【点评】本题考查平行线的性质，关键是由平行线的性质推出∠CGF+∠AFG＝180°． 3．（3分）二次根式有意义，则x的值可以为（　　） A．4 B．1 C．3 D．5 【分析】根据二次根式被开方数不小于零的条件进行解题即可． 【解答】解：由题可知， 2﹣x≥0时，二次根式有意义， 解得x≤2． 则只有B项符合题意． 故选：B． 【点评】本题考查二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式被开方数不小于零的条件是解题的关键． 4．（3分）下面几组数中，能作为直角三角形三边长的是（　　） A．2，4，6 B．1，， C．8，，1 D．6，6，6 【分析】根据勾股定理的逆定理处理：计算判断较小的两边的平方和是否等于第三边的平方即可． 【解答】解：A、因为22+42≠62，所以2，4，6不能作为直角三角形三边长，A选项不合题意； B、因为，所以1，，能作为直角三角形三边长，B选项符合题意； C、因为，所以8，，1不能作为直角三角形三边长，C选项不合题意； D、因为62+62≠62，所以6，6，6不能作为直角三角形三边长，D选项不合题意． 故选：B． 【点评】本题考查勾股定理的逆定理，熟记勾股定理的逆定理是解题的关键． 5．（3分）若是关于x和y的二元一次方程kx﹣2y＝4的解，则k的值是（　　） A．﹣1 B． C．1 D．5 【分析】根据题意得2k﹣2×（﹣3）＝4，进一步计算即可求解． 【解答】解：∵是关于x和y的二元一次方程kx﹣2y＝4的解， ∴2k﹣2×（﹣3）＝4， 解得k＝﹣1． 故选：A． 【点评】本题考查了二元一次方程的解，掌握解二元一次方程的步骤是关键． 6．（3分）小明参加以“传承经典，筑梦未来”为主题的演讲比赛，其演讲形象、演讲内容、演讲效果三项成绩分别是10分、9分、8分．若将演讲形象、演讲内容、演讲效果三项成绩按3：5：2的比例确定最终成绩，则小明的最终比赛成绩是（　　） A．8分 B．8.5分 C．9分 D．9.1分 【分析】根据，计算求解即可． 【解答】解：由题意知，小明的最终比赛成绩是（分）， 故选：D． 【点评】本题考查了加权平均数．熟练掌握加权平均数是解题的关键． 7．（3分）已知一次函数y＝﹣3x+4，则下列说法中正确的是（　　） A．该函数的图象经过点（1，1） B．该函数的图象不经过第四象限 C．y的值随x的值的增大而增大 D．该函数的图象与x轴的交点坐标为 【分析】根据一次函数性质和图象上点的坐标特征逐项分析判断即可． 【解答】解：A、当x＝1时，y＝1，故该函数的图象经过点（1，1），原说法正确，符合题意； B、函数y＝﹣3x+4，k＝﹣3＜0，b＝4，函数图象经过第一、二、四象限，原说法错误，不符合题意； C、一次函数k＝﹣3＜0，y随x的增大而减小，原说法错误，不符合题意； D、当y＝0时，x，与x轴的交点坐标为（，0），原说法错误，不符合题意； 故选：A． 【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、一次函数的性质，熟练掌握以上知识点是关键． 8．（3分）我国古代数学名著《九章算术》记载了一道题，大意是：几个人合买一件物品，每人出8元，剩余3元；每人出7元，还差4元．设有x人，该物品价值y元，根据题意，可列出的方程组是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据题意可以找出题目中的等量关系，列出相应的方程组，从而可以解答本题． 【解答】解：由题意可得：． 故选：A． 【点评】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组和数学常识，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组． 9．（3分）如图，阴影部分是两个正方形，其他三个是一个正方形和两个直角三角形，则阴影部分的面积为（　　） A．8 B．25 C．49 D．64 【分析】由勾股定理求出CD2，再由正方形的性质、勾股定理计算即可． 【解答】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝CD，∠CDE＝90°， 在Rt△CDE中，由勾股定理得，CD2＝CE2﹣DE2＝172﹣152＝64， ∴阴影部分的面积之和＝AB2＝CD2＝64， 故选：D． 【点评】本题考查的是勾股定理以及正方形的性质等知识，熟练掌握勾股定理和正方形的性质是解题的关键． 10．（3分）如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝7，E为BC中点，AD为△ABC的角平分线，△ABC的面积记为S1，△ADE的面积记为S2，则为（　　） A．11 B． C． D． 【分析】根据三角形中线的性质和角平分线的性质解答即可． 【解答】解：过点D作DM⊥AB，DN⊥AC， ∵AD为△ABC的角平分线， ∴DM＝DN， ∵AB＝4，AC＝7， ∴， ∵E为BC中点， ∴S， 设S△ABD＝4x，S△ADC＝7x，则S△ABC＝11x， ∴S， ∴． 故选：B． 【点评】此题考查角平分线的性质，关键是根据三角形中线的性质和角平分线的性质得出面积关系解答． 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分.） 11．（3分）比较大小：　＜　2（填“＜”，“＝”或“＞”）． 【分析】求出2，根据即可求出答案． 【解答】解：∵2， ∴2， 故答案为：＜． 【点评】本题考查了实数的大小比较的应用，关键是求出2，题目比较典型，难度不大． 12．（3分）的立方根是 　2　． 【分析】一个数x的立方等于a，那么这个数x即为a的立方根，先求得的值，然后根据立方根的定义即可求得答案． 【解答】解：8， ∵23＝8， ∴的立方根是2， 故答案为：2． 【点评】本题考查算术平方根及立方根的定义，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握． 13．（3分）关于x、y的方程组，则x+y的值为 　1　． 【分析】方程组两方程左右两边相加即可求出x+y的值． 【解答】解：， ①+②得：3x+3y＝3， 则x+y＝1， 故答案为：1 【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法． 14．（3分）若直线y＝x﹣1向上平移2个单位长度后经过点（2，m），则m的值为 　3　． 【分析】先根据平移规律求出直线y＝x﹣1向上平移2个单位的直线解析式，再把点（2，m）代入，即可求出m的值． 【解答】解：将直线y＝x﹣1向上平移2个单位，得到直线y＝x+1， 把点（2，m）代入，得m＝2+1＝3． 故答案为：3． 【点评】本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数图象上点的坐标特征，正确求出平移后的直线解析式是解题的关键． 15．（3分）如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是△ACB的外角的平分线，如果∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，则∠A＝　60°　． 【分析】根据角平分线的定义以及一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和，可求出∠A的度数． 【解答】解：∵BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线， ∴∠ABC＝2∠ABP，∠ACM＝2∠ACP， 又∵∠ABP＝20°，∠ACP＝50°， ∴∠ABC＝2×20°＝40°，∠ACM＝2×50°＝100°， ∴∠A＝∠ACM﹣∠ABC＝60°， 故答案为60°． 【点评】本题考查了角平分线的定义，一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和以及补角的定义以及三角形的内角和为180°，难度适中 16．（3分）如图，在平面直角坐标系中，A（﹣8，0）、B（﹣3，3），动点P在直线y＝﹣x上，动点Q在x轴上，则AP+PQ+QB的最小值为 　　． 【分析】作B点关于x轴的对称点B′，作A点关于直线y＝﹣x的对称点A′，连接A′B′交x轴于点Q′，交直线y＝﹣x于点P′，连接BQ′，根据轴对称的性质和由两点之间线段最短可知此时AP+PQ+QB最短为A′B′，由勾股定理求出A′B′，即可求解． 【解答】解：作B点关于x轴的对称点B′，作A点关于直线y＝﹣x的对称点A′，连接A′B′交x轴于点Q′，交直线y＝﹣x于点P′，连接BQ′， ∵B点关于x轴的对称点B′，B（﹣3，3）， ∴B′（﹣3，﹣3），BQ＝B′Q， ∵A点关于直线y＝﹣x的对称点A′，A（﹣8，0）， ∴A′（0，8），PA＝PA′， ∴AP+PQ+QB＝PA′+PQ+B′Q＝A′B′， 此时，AP+PO+OB值最小，最小值＝A′B′， ∵A′（0，8），B′（﹣3，﹣3）， ∴A′B′． 故答案为：． 【点评】本题主要考查的是一次函数图象上点的坐标，轴对称—最短线路问题，熟知利用轴对称求最短距离、两点之间线段最短是解答此题的关键． 三、解答题（共9小题，计72分.解答应写出过程） 17．（10分）计算： （1）； （2）． 【分析】（1）先根据二次根式的乘法法则、零指数幂和绝对值的意义计算，然后化简二次根式后合并即可； （2）先根据二次根式的除法法则和平方差公式计算，然后化简二次根式后进行有理数的加减运算． 【解答】解：（1）原式1 ＝4﹣1 ＝3； （2）原式1﹣（3﹣4） ＝2+1+1 ＝4． 【点评】本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则、除法法则、零指数幂和乘公式是解决问题的关键． 18．（10分）解方程组： （1）； （2）． 【分析】（1）直接利用加减消元法解二元一次方程组即可； （2）先整理方程组，再利用加减消元法解二元一次方程组即可． 【解答】解：（1）， ①+②，得3x＝9， 解得x＝3， 把x＝3代入①，得y＝1， 所以方程组的解是； （2）， 方程组可化为， ①×3，得12m﹣9n＝36③， ②×4，得12m﹣16n＝8④， ③﹣④，得7n＝28， 解得n＝4， 把n＝4代入②，得m＝6， 所以原方程组的解是． 【点评】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法是解题的关键． 19．（5分）如图，已知△ABC（AC＜BC），用尺规在BC上确定一点P，使PA+PC＝BC． 【分析】作线段AB的垂直平分线交BC于点P，则点P即为所求． 【解答】解：如图，点P即为所求． 【点评】本题考查的是作图﹣复杂作图，熟知线段垂直平分线的作法与性质是解答此题的关键． 20．（5分）“绿水青山就是金山银山”，科学研究表明：树叶在光合作用后产生的分泌物能够吸附空气中的悬浮颗粒物，具有滞尘净化空气的作用．已知一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片国槐树叶一年的平均滞尘量的2倍少4mg，若一片国槐树叶与一片银杏树叶一年的平均滞尘总量为62mg．请分别求出一片国槐树叶和一片银杏树叶一年的平均滞尘量． 【分析】首先，设一片国槐树叶一年的平均滞尘量为x毫克，一片银杏树叶一年的平均滞尘量为y毫克，结合已知条件可列一元一次方程组即可完成解答． 【解答】解：设一片国槐树叶一年的平均滞尘量为x毫克，一片银杏树叶一年的平均滞尘量为y毫克， 由题意得， 解得． 答：一片国槐树叶一年的平均滞尘量为22毫克，一片银杏树叶一年的平均滞尘量为40毫克． 【点评】本题考查一元一次方程的应用，找出等量关系列出方程是解题关键． 21．（6分）如图，AB＝AC，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E． （1）求证：△ABE≌△ACD； （2）若AE＝6，CD＝8，求BD的长． 【分析】（1）利用“AAS”可证明△ABE≌△ACD； （2）先利用全等三角形的性质得到AD＝AE＝6，再利用勾股定理计算出AC，从而得到AB的长，然后计算AB﹣AD即可． 【解答】（1）证明：∵CD⊥AB，BE⊥AC， ∴∠AEB＝∠ADC＝90°， 在△ABE和△ACD中， ， ∴△ABE≌△ACD（AAS）； （2）解：∵△ABE≌△ACD， ∴AD＝AE＝6， 在Rt△ACD中，AC10， ∵AB＝AC＝10， ∴BD＝AB﹣AD＝10﹣6＝4． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件． 22．（7分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，2），B（3，0），C（6，3）． （1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1； （2）试说明△ABC是直角三角形； （3）已知点P在y轴上，若∠APC＝45°，写出满足条件的一个点P的坐标为 　（0，3）或（0，7）（写出一个即可）　． 【分析】（1）根据轴对称的性质作图即可． （2）利用勾股定理以及勾股定理的逆定理可得结论． （3）由图可确定点P的位置，即可得出答案． 【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求． （2）由勾股定理得，AB，BC，AC， ∴AB2+BC2＝AC2， ∴∠ABC＝90°， ∴△ABC是直角三角形． （3）如图，点P1，P2均满足题意， ∴点P的坐标为（0，3）或（0，7）． 故答案为：（0，3）或（0，7）（写出一个即可）． 【点评】本题考查作图﹣轴对称变换、勾股定理、勾股定理的逆定理，熟练掌握轴对称的性质、勾股定理、勾股定理的逆定理是解答本题的关键． 23．（7分）某校组织七、八年级学生参加了“中华传统文化知识”问答测试．已知七、八年级各有600人，现从两个年级分别随机抽取10名学生的测试成绩x（单位：分）进行统计： 七年级：86 94 79 84 71 90 76 83 90 87 八年级：88 76 90 78 87 93 75 87 87 79 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 84 a 90 44.4 八年级 84 87 b 36.6 根据以上信息，回答下列问题： （1）填空：a＝ 　85　，b＝ 　87　；A同学说：“这次测试我得了86分，位于年级中等偏上水平”，由此可判断他是 　七　年级的学生； （2）学校规定测试成绩不低于85分为“优秀”，估计该校这两个年级测试成绩达到“优秀”的学生总人数； （3）你认为哪个年级的学生掌握中华传统文化知识的总体水平较好？（请从平均数、中位数、众数、方差等角度写出一条理由即可）． 【分析】（1）根据中位数和众数的定义即可求出答案；根据中位数分析判断是几年级学生即可； （2）分别求出七、八年级优秀的比例，再乘以总人数即可． （3）两组数据的平均数相同，通过中位数或众数或方差的大小直接比较即可． 【解答】解：（1）把七年级10名学生的测试成绩排好顺序为：71，76，79，83，84，86，87，90，90，94， 根据中位数的定义可知，该组数据的中位数为a85， 八年级10名学生的成绩中87分的最多，有3人，所以众数b＝87， A同学得了86分，大于85分，位于年级中等偏上水平，由此可判断他是七年级的学生． 故答案为：85，87，七； （2）600600660（人）， 答：估计该校这两个年级测试成绩达到“优秀”的学生总人数为660人； （3）我认为八年级的学生掌握中华传统文化知识的总体水平较好． 理由：因为七、八年级测试成绩的平均数相等，八年级测试成绩的方差小于七年级测试成绩的方差，所以八年级的学生掌握国家安全知识的总体水平较好．（答案不唯一） 【点评】本题考查平均数、中位数、众数、方差以及用样本估计总体，理解各个概念的内涵和计算方法是解题的关键． 24．（10分）如图，某校研学小组在博物馆中看到了一种“公道杯”，在这种杯子中加水超过一定量时，水会自动排尽，体现了“满招损，谦受益”的寓意．该小组模仿其原理，自制了一个圆柱形简易“公道杯”，确保向杯中匀速注水和杯中水自动向外排出时，杯中的水位高度的变化都是匀速的．现向此“公道杯”中匀速注入清水；当满杯时（即3秒时），边继续匀速注入清水，杯中水边自动向外排出，6秒后停止注水，再等水匀速完全排尽．在这个过程中，对不同时间的水位高度进行了记录，部分数值如下： 时间（t/秒） 1 2 3 4 5 6 7 8 水位高度（h/厘米） 2 4 6 5.75 5.5 5.25 3 0.75 根据以上信息，解决下列问题： （1）根据表中数据在平面直角坐标系中描点，并画出函数图象； （2）求3秒到6秒之间的函数表达式，并求出排水的速度； （3）利用图象估计从开始注水，到杯中水完全排尽，用时约为 　8.3　秒．（保留1位小数） 【分析】（1）描点，画出函数图象即可； （2）用待定系数法可求出3秒到6秒之间的函数表达式，结合注水速度可得排水的速度； （3）观察图象（或列式计算）可得答案． 【解答】解：（1）描点，画出函数图象如下： （2）设3秒到6秒之间的函数表达式为y＝kx+b， 把（3，6），（4，5.75）代入得：， 解得， ∴3秒到6秒之间的函数表达式为y＝﹣0.25x+6.75； 由表格知，注水的速度为每秒2厘米， ∴排水的速度为2+0.25＝2.25（厘米/秒）； （3）8+0.75÷2.25≈8.3（秒）， 故答案为：8.3． 【点评】本题考查一次函数的应用，解题的关键是数形结合思想的应用． 25．（12分）新定义： 过定点的两条直线将一个图形分成面积相等的三部分，我们把这两条直线叫做这个图形的“等积直线”． 解决问题： （1）如图1，过点A画出△ABC的两条“等积直线”． （2）如图2，在平面直角坐标系中，点，点B（3，0），将△AOB沿AB边翻折得到△ACB，则点C的坐标为 　（，）　；四边形AOBC的面积为 　3　； （3）如图3，在（2）的条件下，过BC边上一点P，是否存在四边形AOBC的“等积直线”，其中一条恰好是OP．若存在，求此时点P的坐标；并直接写出“等积直线”中另一条直线PQ的表达式．若不存在，请说明理由． 【分析】（1）根据新定义作图； （2）根据翻折的性质和三角形的面积公式求解； （3）根据三角形的面积公式和待定系数法求解． 【解答】解：（1）作BD＝DE＝EC即可； （2）∵点，点B（3，0）， ∴OA，OB＝3， ∴tan∠ABO， ∴∠ABO＝30°， 由翻折的性质得：△AOB≌△ACB， ∴∠ABO＝∠CBO，BC＝BO＝3，S四边形AOBC＝2S△AOB＝233， ∴∠OBC＝60°， ∴CD＝BCsin60°，BD＝BCcos60°， ∴OD＝OB﹣BD， ∴点C的坐标为（，）， 故答案为：（，），3； （3）设BC的解析式为：y＝kx+b， 则， 解得：， ∴BC的解析式为：yx+3， 设点P（x，y）， 则：S△OPBS四边形AOBCy， 解得：y， ∴x+3， 解得：x， ∴点P的坐标为：（，）， 设点Q的坐标为：（0，q，）， 则S△OPQS四边形AOBCq•， 解得：q， ∴点Q的坐标为（0，）， 设PQ的解析式为：y＝ax， ∴a， 解得：a， ∴PQ的解析式为：yx． 【点评】本题考查了一次函数的应用，掌握待定系数法和三角形的面积公式是解题的关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$