精品解析：湖北省武汉市江汉区2024-2025学年八年级上学期期末数学试卷

2024~2025学年度第一学期期末质量检测 八年级数学试题 考试时间：120分钟 试卷总分：150分 第Ⅰ卷（本卷满分100分） 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）下列各题中均有四个备选答案，其中有且只有一个正确，请在答题卡上将正确答案的代号涂黑． 1. 下列四种化学仪器的示意图中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 在，，，，中，分式有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 3. 已知等腰三角形的两条边分别是3，7，则这个等腰三角形的周长为（　　） A. 11 B. 13 C. 17 D. 13或17 4. 下列各式由左边到右边的变形中，是分解因式的是（ ） A. B. C. D. 5. 使分式有意义的的取值范围是（ ）． A. B. C. D. 6. 某地计划扩建一块边长为a米正方形草坪，将一边增加8米，另一边增加5米，那么扩建后的草坪面积比原来增加了（ ） A. 平方米 B. 平方米 C. 平方米 D. 平方米 7. 下列各式中，正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，P为内一点，过点P的线段分别交、于点M、N，且M、N分别在、的中垂线上．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 《四元玉鉴》是中国古代著名的数学专著，书里记载一道这样的题：“今有绫、罗共三丈，各值钱八百九十六文．只云绫、罗各一尺共值钱一百二十文，问绫、罗尺价各几何？”题目译文是：现在有绫布和罗布，布长共3丈（1丈=10尺），已知绫布和罗布分别全部出售后均能收入896文；绫布和罗布各出售1尺共收入120文．问两种布每尺各多少钱？若设绫布有x尺，根据题意可列方程是（ ） A. B. C D. 10. 如图；平分，于点F，点D在上，于点H，若，，，则长为（ ） A. B. 5 C. 7 D. 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）下列各题不需要写出解答过程，请将结果直接填在答卷指定的位置． 11. 将0.000012用科学记数法表示为______． 12. 分式，，的最简公分母是______． 13. 如图所示为正方体的三个顶点，则的度数为______． 14. 若分式的值为零，则x的值是______． 15. △ABC中，∠B=∠C=15°，AB=2cm，CD⊥AB交BA的延长线于点D，则CD=___cm． 16. 如图，四边形中，，点关于的对称点恰好落在上，若，则的度数为__． 三、解答题（共5小题，共52分）下列各题需要在答题卷指定位置写出文字说明、证明过程、计算步骤或作出图形． 17 分解因式或计算： （1）； （2） 18. （1）解分式方程：； （2）先化简，再求值：，其中． 19 列方程解应用题： 甲、乙两人分别从距目的地6km和10km的两地同时出发，甲、乙的速度比是3∶4，结果甲比乙提前20min到达目的地．求甲、乙的速度． 20. 如图，在等腰中，，过A、B两点分别向过C点的直线l作垂线，垂足分别为D、E． （1）求证： （2）设，求证： 21. 在平面直角坐标系中有6×8的正方形网格，小正方形的顶点称为格点，仅用无刻度的直尺在指定网格中画图，并回答问题．其中，格点，，直线与网格线交于M，N两点． （1）在图（1）中，画线段关于x轴对称的线段，其中M与对应，N与对应； （2）在图（1）中，在x轴上画出点D，使最小； （3）在图（2）中，点B关于x轴的对称点为，画出线段的垂直平分线l； （4）若格点C使，直接写出所有满足条件的点C的坐标． 第Ⅱ卷（本卷满分5 0分） 四、填空题（共4小题，每小题4分，共16分）下列各题不需要写出解答过程，请将结果直接填在答卷指定的位置． 22. 多项式4x2+1加上一个单项式能成为一个整式的完全平方，这个单项式是___________． 23. 如图，在中，为边上的中线，为上一点，连接并延长交于，，若，，则的长度是______． 24. 若关于x的方程无解，则m的值是______． 25. 如图，在中，，，E，F是内两点，，，当的值最小时，的度数是______°． 五、解答题（共3小题，共34分）下列各题需要在答题卷指定位置写出文字说明、证明过程、计算步骤或作出图形． 26. 阅读材料：要把多项式分解因式，可以先把它进行分组再分解因式：，这种分解因式的方法叫做分组分解法． （1）请用上述方法分解因式：； （2）已知，，求式子的值； （3）分解因式：______． 27. （1）在中，点D，E，F分别在边，，上，且满足，． ①如图（1），若为等边三角形，求证：； ②如图（2），若，，且，，求的长； （2）如图（3），在四边形中，，．过点C分别作，的垂线，垂足分别为M，N．若，直接写出的值． 28. 在平面直角坐标系中，，，，且． （1）直接写出点A，B，C的坐标； （2）如图（1），是等腰直角三角形，，A，F，E三点在一条直线上，过点B作于G．若，的面积为15，求的长； （3）如图（2），点，，连接．当最小时，直接写出t的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024~2025学年度第一学期期末质量检测 八年级数学试题 考试时间：120分钟 试卷总分：150分 第Ⅰ卷（本卷满分100分） 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）下列各题中均有四个备选答案，其中有且只有一个正确，请在答题卡上将正确答案的代号涂黑． 1. 下列四种化学仪器的示意图中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了轴对称图形的概念，根据概念逐一判断即可，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线(成轴）对称，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、是轴对称图形，故本选项符合题意； 、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 故选：． 2. 在，，，，中，分式有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了分式的定义，即形如，其中，都是整式，且中含有字母，熟练掌握定义是解题的关键．根据分式的定义判断即可． 【详解】解：在，，，，中，分式有，，共个， 故选：B． 3. 已知等腰三角形的两条边分别是3，7，则这个等腰三角形的周长为（　　） A. 11 B. 13 C. 17 D. 13或17 【答案】C 【解析】 【分析】分两种情况讨论，当3是腰长时或3是底边长时，根据三角形的三边关系可知3，3，7不能组成三角形，即可得出答案． 【详解】解：①3是腰长时，三角形的三边分别为3，3，7，不能组成三角形； ②3是底边长时，三角形的三边分别为7，7，3，能组成三角形，周长＝7+7+3＝17， 综上所述，这个等腰三角形的周长是17． 故选：C． 【点睛】本题主要考查的是三角形三边的关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边． 4. 下列各式由左边到右边的变形中，是分解因式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了分解因式的定义，熟练掌握分解因式的定义是解题的关键； 把一个多项式化为几个整式的积的形式，根据因式分解的定义逐项作出判断即可． 【详解】解：A．属于单项式乘以多项式，故本选项不符合题意； B．不是整式，故没有化为整式的积的形式，不是分解因式，故本选项不符合题意； C．提取公式将原式化为整式的积的形式，是分解因式，故本选项符合题意； D．没有化为整式的积的形式，不是分解因式，故本选项不符合题意； 故选：C 5. 使分式有意义的的取值范围是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分式有意义，则分母不为零，即有，求解即可获得答案． 【详解】解：若分式有意义， 则有，解得． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了分式有意义的条件，解题的关键是熟练掌握分式有意义的条件． 6. 某地计划扩建一块边长为a米的正方形草坪，将一边增加8米，另一边增加5米，那么扩建后的草坪面积比原来增加了（ ） A. 平方米 B. 平方米 C. 平方米 D. 平方米 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算，解题的关键是掌握整式的混合运算顺序和运算法则．根据题意得出扩建后的草坪是长为米，宽为米的长方形，再根据长方形的面积公式计算即可． 【详解】解：根据题意，扩建后的草坪是长为米，宽为米的长方形， 面积为平方米， 所以扩建后的草坪面积比原来增加了 平方米， 故选：B． 7. 下列各式中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查分式的性质，根据分式的性质化简分式再判断是解题的关键． 【详解】解：A.，，故该项原等式正确，符合题意； B.，，故该项原等式不正确，不符合题意； C.，，故该项原等式不正确，不符合题意； D.，故该项原等式不成立，不符合题意； 故选：A． 8. 如图，P为内一点，过点P的线段分别交、于点M、N，且M、N分别在、的中垂线上．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算，得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵M、N分别在、的中垂线上， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故选C． 【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 9. 《四元玉鉴》是中国古代著名的数学专著，书里记载一道这样的题：“今有绫、罗共三丈，各值钱八百九十六文．只云绫、罗各一尺共值钱一百二十文，问绫、罗尺价各几何？”题目译文是：现在有绫布和罗布，布长共3丈（1丈=10尺），已知绫布和罗布分别全部出售后均能收入896文；绫布和罗布各出售1尺共收入120文．问两种布每尺各多少钱？若设绫布有x尺，根据题意可列方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，等量关系式：绫布出售一尺收入罗布出售一尺共收入文，据此列方程，即可求解；找出等量关系式是解题的关键． 【详解】解：由题意得 ， 故选：B． 10. 如图；平分，于点F，点D在上，于点H，若，，，则的长为（ ） A. B. 5 C. 7 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质，熟记角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 作，根据角平分线的性质求出，根据三角形的面积公式计算，得到答案． 【详解】解：作于， 平分， ， ， ， 解得，， 故选：D． 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）下列各题不需要写出解答过程，请将结果直接填在答卷指定的位置． 11. 将0.000012用科学记数法表示为______． 【答案】1.2×10-5． 【解析】 【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：（1）0.000012=1.2×10-5； 故答案为1.2×10-5． 【点睛】考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 12. 分式，，的最简公分母是______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了最简公分母的定义及确定方法，确定最简公分母的方法是：（1）取各分母系数的最小公倍数；（2）凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；（3）同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母．据此求解即可． 【详解】解：，，的分母分别是、、，故最简公分母为． 故答案是：． 13. 如图所示为正方体的三个顶点，则的度数为______． 【答案】##60度 【解析】 【分析】根据正方体各面对角线相等，得到，根据等边三角形的性质与判定，即可求解；本题考查了正方体的性质，等边三角形的性质与判定，解题的关键是：熟练掌握相关性质定理． 【详解】解：∵为正方体的三个顶点， ∴、、是正方体一个面的对角线， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 故答案为：． 14. 若分式的值为零，则x的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查分式值为零的条件：分子为零，且分母不等于零，据此列式解答． 【详解】解：∵分式的值为零， ∴， ∴， 故答案为． 15. △ABC中，∠B=∠C=15°，AB=2cm，CD⊥AB交BA延长线于点D，则CD=___cm． 【答案】1cm 【解析】 【分析】根据三角形的外角的性质可求得∠DAC=30°，再根据直角三角形中有一个角是30°，则这个角所对的边等于斜边的一半，从而求得CD的长． 【详解】 解：∵∠B=∠ACB=15°， ∴∠DAC=30°，AB=AC． ∵CD⊥AB， ∴CD=AC=AB=1cm． 故CD的长度是1cm． 本题考查等腰三角形的性质和直角三角形的性质的综合运用． 16. 如图，四边形中，，点关于的对称点恰好落在上，若，则的度数为__． 【答案】40° 【解析】 【分析】连接AB'，BB'，过A作AE⊥CD于E，依据∠BAC=∠B'AC，∠DAE=∠B'AE，即可得出∠CAE=∠BAD，再根据直角三角形两锐角互余，即可得到∠ACB=∠ACB'=90°-∠CAE． 【详解】解：如图，连接，，过作于，如图所示： 点关于的对称点恰好落在上， 垂直平分， ， ， ， ， 又， ， ， 又， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了轴对称的性质，垂直平分线的性质，三线合一，直角三角形两锐角互余，解决问题的关键是作出正确的辅助线． 三、解答题（共5小题，共52分）下列各题需要在答题卷指定位置写出文字说明、证明过程、计算步骤或作出图形． 17. 分解因式或计算： （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查因式分解，积的乘方的运算．（1）先提取公因式，再利用完全平方公式分解可得；（2）根据积的乘方的运算法则计算可得． 【小问1详解】 解：原式 【小问2详解】 解：原式 18. （1）解分式方程：； （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1）；（2）， 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，分式的化简求值，解题的关键是掌握相关知识． （1）根据去分母，去括号，合并同类项，化系数为1，即可求解； （2）先根据分式的混合运算法则化简，再代入值求解即可． 【详解】（1）解： 检验：当时，， 原分式方程的解为； （2）解： 当时，原式． 19. 列方程解应用题： 甲、乙两人分别从距目的地6km和10km的两地同时出发，甲、乙的速度比是3∶4，结果甲比乙提前20min到达目的地．求甲、乙的速度． 【答案】甲的速度km/h，乙的速度6km/h 【解析】 【分析】先根据甲乙的速度比分别设两者的速度，再根据时间×速度=路程表示出时间，根据时间差20min列方程求解． 【详解】设甲的速度为，乙的速度为 由题意，得 解得 则甲的速度，乙的速度 答：甲的速度km/h，乙的速度6km/h． 【点睛】本题考查分式方程的实际应用，解决此题的关键是用速度、时间、路程三者之间的关系表示出时间差建立方程． 20. 如图，在等腰中，，过A、B两点分别向过C点的直线l作垂线，垂足分别为D、E． （1）求证： （2）设，求证： 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定： （1）先由垂直的定义得到，再证明，即可利用证明； （2）由全等三角形的性质得到，则，根据得到，由此即可证明结论． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴； 【小问2详解】 证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即． 21. 在平面直角坐标系中有6×8的正方形网格，小正方形的顶点称为格点，仅用无刻度的直尺在指定网格中画图，并回答问题．其中，格点，，直线与网格线交于M，N两点． （1）在图（1）中，画线段关于x轴对称的线段，其中M与对应，N与对应； （2）在图（1）中，在x轴上画出点D，使最小； （3）在图（2）中，点B关于x轴对称点为，画出线段的垂直平分线l； （4）若格点C使，直接写出所有满足条件的点C的坐标． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析 （4）或或 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称作图、轴对称的性质、垂直平分线的性质、勾股定理等知识点，灵活利用相关知识成为解题的关键． （1）先根据轴对称的性质确定确定其对称点，再连接即可解答； （2）由（1）得关于x轴的对称点，然后连接，与x轴的交点即为所求点D； （3）连接，然后确定到距离相等的格点，再过作直线即可； （4）先作出以为斜边的等腰直角三角形，然后延长即可到C点，最后确定点C的坐标即可． 【小问1详解】 解：如图：线段即为所求； 【小问2详解】 解：如图：点D即为所求； 【小问3详解】 解：如图：直线即为所求； 【小问4详解】 解：如下图： ∴点C的坐标为或或． 第Ⅱ卷（本卷满分5 0分） 四、填空题（共4小题，每小题4分，共16分）下列各题不需要写出解答过程，请将结果直接填在答卷指定的位置． 22. 多项式4x2+1加上一个单项式能成为一个整式的完全平方，这个单项式是___________． 【答案】4x4或4x或−4x 【解析】 【详解】解： 4x4+4x2+1=（2x2+1）2，4x2+1+4x=（2x+1）2；4x2+1-4x=（2x-1）2．故答案为4x4或4x或−4x． 点睛：本题容易漏掉4x4．注意考虑问题要全面． 23. 如图，在中，为边上的中线，为上一点，连接并延长交于，，若，，则的长度是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形的中线定义，解题的关键是掌握相关知识并正确作出辅助线．延长至点，使得，再连接，证明，得到，，结合，，可得，推出，即可求解． 【详解】解：如图，延长至点，使得，再连接， 为边上的中线， ， 又， ， ，， ， ， ∵ ， ∴ ， ， ， 故答案为：． 24. 若关于x的方程无解，则m的值是______． 【答案】0或 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的解，理解分式方程无解的条件是关键．先把分式方程化为整式方程，再根据原方程无解，可得或，然后把的值代入整式方程，即可求出的值． 【详解】方程两边都乘， 得 ∵原方程无解， ∴最简公分母， 解得或， 当时，， 当时，， ∴的值是0或． 故答案为：0或． 25. 如图，在中，，，E，F是内两点，，，当的值最小时，的度数是______°． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，等腰三角形的性质以及线段和的最值问题．解题的关键在于通过构造全等三角形，将所求问题进行转化，利用几何图形的性质找到线段和取得最小值的条件，进而求解角度． 过C点取线段长等于线段的长，连接，，，连接相关点构造出三角形．通过已知条件证明，得出，．要使的值最小最小，分析得出当 A，F，D 三点共线时该值最小．再根据等腰三角形的性质及三角形的外角性质，最终得出的度数所求角的度数． 【详解】过C点取线段的长等于线段的长，连接，， 在和中， ，，， ， ，， 在中，， A、F、D三点共线时，当的值最小， 在中，，，， ，， ， ， ， ， ， ， ， 故答案：． 五、解答题（共3小题，共34分）下列各题需要在答题卷指定位置写出文字说明、证明过程、计算步骤或作出图形． 26. 阅读材料：要把多项式分解因式，可以先把它进行分组再分解因式：，这种分解因式的方法叫做分组分解法． （1）请用上述方法分解因式：； （2）已知，，求式子的值； （3）分解因式：______． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，代数式求值，解题的关键是掌握分组分解法． （1）根据分组分解法因式分解即可； （2）先将所求代数式因式分解，再代入值求解即可； （3）根据分组分解法因式分解即可． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 ，， ． 【小问3详解】 ． 故答案为：． 27. （1）在中，点D，E，F分别在边，，上，且满足，． ①如图（1），若为等边三角形，求证：； ②如图（2），若，，且，，求的长； （2）如图（3），在四边形中，，．过点C分别作，的垂线，垂足分别为M，N．若，直接写出的值． 【答案】（1）①详见解析，②；（2）； 【解析】 【分析】（1）①由等边三角形的性质得出，再由三角形外角的定义得出，即可证得，由全等三角形的性质即可得出． ②在取点G，使得，连接．同（1）得，由全等三角形的性质得出，，由直角三角形性质得出，由三角形外角的定义和性质可得出，由等角对等边可得出，设 则，，．由含30度直角三角形的性质得出，代入即可求出x． （2）延长至点E，连接，使得，延长，交于点F，连接．先证明和为等边三角形，由等边三角形的性质进一步证明，由全等三角形的性质可得出，，同理可证，，则，，设，，，，则，，由含30度直角三角形的性质即可得出答案． 【详解】证明：（1）①∵是等边三角形 ∴， ∵，， ∴， 在与中， ∴， ∴ ②解：在取点G，使得，连接． 同（1）得， ∴，， ∵，且． ∴， ∵，即， ∴， ∴， 设， ∵，， ∴，，． ∵，， ∴， ∴， ∴，解得， ∴． （2）延长至点E，连接，使得，延长，与交于点F，连接，如图， ∵，， ∴为等边三角形， ∴，， ∵，， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵，， ∴， 又∵，， ∴ ∴，， 同理可证∶，， ∴，， ∵， 设，，， 则，，， ∵，，， ∴， ∴，， 即：， 解得：， ∴． 【点睛】本题主要考查了全等三角形判定以及性质，等边三角形的判定以及性质，含30度直角三角形的性质，三角形外角的定义和性质，构建等边三角形是解题的关键． 28. 在平面直角坐标系中，，，，且． （1）直接写出点A，B，C的坐标； （2）如图（1），是等腰直角三角形，，A，F，E三点在一条直线上，过点B作于G．若，的面积为15，求的长； （3）如图（2），点，，连接．当最小时，直接写出t的值． 【答案】（1），， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用绝对值和平方式的非负性求解即可； （2）过B作于H，证明是等腰直角三角形得到，，，，再证明，，再证明得到，，，进而得，设，，利用三角形面积公式推导出，进而可求解； （3）将沿着方向平移到，则，，作点B关于直线对称的点，连接，，则，，，当，，三点共线时取等号，此时最小，点N为与直线的交点，利用待定系数法求出直线的表达式为，进而求得点N坐标即可． 【小问1详解】 解：∵，即， ∴，， ∴，， ∴，，； 【小问2详解】 解：过B作于H， ∵是等腰直角三角形， ∴，，，， ∵，，， ∴，又， ∴， ∴，， ∴，又， ∴， ∴，，， ∴， 设，， ∴， ， ∴， ∵，，的面积为15， ∴，即， ∴； 【小问3详解】 解：∵点，，， ∴点N在直线上运动，点M在直线运动， 如图，将沿着方向平移到，则，， 作点B关于直线对称的点，连接，，则，， ，当，，三点共线时取等号，此时最小，点N为与直线的交点， 设直线的表达式为， 将，，代入，得， 解得， ∴直线的表达式为， 当时，由得，则， 由得． 【点睛】本题考查非负数的性质、等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、利用轴对称解决最短距离问题、平移性质、求一次函数的解析式、坐标与图形等知识，涉及知识点多，综合性强，熟练掌握相关知识的联系与运用，第（3）问中得到点N的位置是解答的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$