精品解析：广东省阳江市江城区2024-2025学年八年级上学期期末考试数学试题

2024—2025学年度第一学期期末质量监测试卷 八年级数学 本试卷共6页，23小题，满分120分．考试用时120分钟． 注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的学校、姓名和准考证号填写在答题卡上．将条形码粘贴在答题卡“条形码粘贴处”． 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案． 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4.考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 中国剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹，用于装点生活或配合其他民俗活动的民间艺术．在中国，剪纸具有广泛的群众基础，交融于各族人民的社会生活，是各种民俗活动的重要组成部分．（摘自百度百科）下列剪纸图片中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：B，C，D选项中的标志都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； A选项中的标志能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； 故选：A． 【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 2. 已知三角形两边分别为和，则第三边可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形三边的关系可确定第三边的取值范围，根据取值范围即可确定答案． 【详解】解：设第三边为x，则， 即， 显然第三边只能是选项C， 故选：C． 【点睛】本题考查了构成三角形的三边的条件，掌握这一条件是关键． 3. 若分式的值为0，则x的值为：（ ） A. 0 B. 3 C. 2 D. －2 【答案】D 【解析】 【分析】根据分式为零，分子等于零，且分母不等于零来列式求解． 【详解】解：根据题意得且， 解得． 故选：D． 【点睛】本题考查了分式有意义的条件．可以从以下三个方面透彻理解分式的概念：（1）分式无意义⇔分母为零；（2）分式有意义⇔分母不为零；（3）分式值为零⇔分子为零且分母不为零． 4. 如图，，且与相交于点A，下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据全等三角形的对应角（边）相等的性质及等角对等边进行推理论证． 【详解】解：∵， ∴，，，， ∴． 可知不一定成立， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质，全等三角形的性质是证明线段和角相等的理论依据，应用时要会找对应角和对应边，还考查了等角对等边． 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：A．x2 x3＝ x5， 故A错误； B．(2x2 )2 ＝ 4 x4，故B错误； C．( x3 )2＝ x6 ，正确； D．x5 x ＝ x4，故D错误． 故选C． 6. 2024年3月25日鹊桥二号中继卫星顺利进入环月轨道飞行，其搭载的天线由精细的镀金钼丝编织而成，这些钼丝的直径仅为米，用科学记数法表示该钼丝的直径是（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查科学记数法，解题的关键是熟记科学记数法的定义：将一个数表示成的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于时，是正整数；当原数的绝对值小于时，是负整数． 【详解】解：用科学记数法表示该钼丝的直径是． 故选：D． 7. 如图，，是平分线上一点，，，，则长度为 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据角平分线的性质作PE⊥AB于点E，再结合平行线的性质，求出∠PME，从而求出PM，最后结合等角对等边即可得出结果． 【详解】过点作于点，如图， ∵ 是平分线上一点，， ∴ . ∵ ，， ∴ ，， ∴ . ∵ ， ∴ ， ∴ ． 故选：. 【点睛】本题考查角平分线的性质，含30°角的直角三角形的性质，及等腰三角形的判定与性质，灵活根据角平分线的性质构造辅助线是解题关键． 8. 如图，小明利用4张图①所示的长为a、宽为b的长方形卡片，拼成图②所示的图形，则根据图②的面积关系能验证的恒等式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查对完全平方公式几何意义的理解，关键是能从整体和部分两方面来理解完全平方公式的几何意义，图②的面积可以整体表示为，也可将各部分求和表示为由此可得此题结果． 【详解】解：用整体和各部分求和两种方法表示出图②的面积各为：和， 可得， 故选：B． 9. 中国首列商用磁浮列车平均速度为，计划提速，已知从A地到B地路程为，那么提速后从A地到B地节约的时间为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了列代数式，分式的减法运算．直接根据题意表示出提速前和提速后所用时间，进而得出答案． 【详解】解：由题意可得， 故选：C． 10. 如图，过边长为2的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，当PA＝CQ时，连接PQ交AC边于D，则DE的长为（　　） A. B. 1 C. D. 不能确定 【答案】B 【解析】 【分析】过P作PF∥BC交AC于F，得出等边三角形APF，推出AP=PF=QC，根据等腰三角形性质求出EF=AE，证△PFD≌△QCD，推出FD=CD，推出DE=AC即可． 【详解】解：过P作PF∥BC交AC于F． ∵PF∥BC，△ABC是等边三角形， ∴∠PFD＝∠QCD，△APF是等边三角形， ∴AP＝PF＝AF， ∵PE⊥AC， ∴AE＝EF， ∵AP＝PF，AP＝CQ， ∴PF＝CQ． 在△PFD和△QCD中， ， ∴△PFD≌△QCD（AAS）， ∴FD＝CD， ∵AE＝EF， ∴EF+FD＝AE+CD， ∴AE+CD＝DE＝AC， ∵AC＝2， ∴DE＝1． 故选B． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，平行线的性质等知识点的应用，能综合运用性质进行推理是解此题的关键. 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分．请将下列各题的正确答案填写在答题卡相应的位置上． 11. 因式分解：__． 【答案】 【解析】 【分析】直接利用平方差公式分解即可得． 【详解】解：原式． 故答案为：． 【点晴】本题考查了公式法因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 12. 在平面直角坐标系中，点关于轴的对称点的坐标是__________． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了关于轴对称点的性质，根据关于轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．即点关于轴的对称点的坐标是，进而得出答案． 【详解】解：， 点关于轴的对称点的坐标是． 故答案为：． 13. 计算时，应先通分，则通分的最简公分母为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查最简公分母，熟练掌握最简公分母是解题的关键；因此此题可根据最简公分母进行求解即可． 【详解】解：通分时，最简公分母为； 故答案为． 14. 如图，在三角形纸片中，，，．沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在边上的点E处，折痕为，则的周长为____． 【答案】7 【解析】 【分析】本题考查了翻折变换的性质以及三角形周长；熟练掌握翻折变换的性质的解题的关键．先根据折叠的性质可得，，再求出的长，然后求出的周长，即可得出答案． 【详解】解：由折叠的性质得：，， ， 的周长， 故答案为：7． 15. “三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的．借助如图所示的“三等分角仪”能将任一锐角三等分．这个三等分角仪由两根足够长的、有槽的棒，组成，两根棒在O点相连并可绕O点转动，另有两根固定长度的棒，在棒，之间，C固定，点D，E可在槽中滑动，且，若，则__________． 【答案】##81度 【解析】 【分析】根据，可得，，根据三角形的外角性质可知，即可求出的度数，进一步根据三角形的外角性质可知，进而求出的度数． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， ∴， 则：． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质以及三角形的外角性质，理清各个角之间的关系是解答本题的关键． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（1）先去括号再合并同类项即可； （2）按照完全平方和公式和多项式除以单项式法则去括号，然后合并同类项即可． 【小问1详解】 解：原式 【小问2详解】 原 【点睛】本题考查了整式的计算；解题的关键是熟练掌握完全平方和公式和相关运算法则正确计算． 17. 先化简，再求值：．其中， 【答案】， 【解析】 【分析】根据分式的运算法则即可求出答案． 【详解】解：原式， ， ， 当，时，原式， ， 故答案为：，． 【点睛】本题考查了分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型． 18. 如图，点C、E、F、B在同一直线上，AB∥CD，CE＝BF，∠A＝∠D．求证：AB＝CD． 【答案】见解析 【解析】 【分析】由“AAS”可证△AEB≌△DFC，可得AB＝CD． 【详解】证明：∵ABCD， ∴∠B＝∠C， ∵CE＝BF， ∴CE+EF＝BF+EF， ∴CF＝BE， 在△AEB和△DFC中， ， ∴△AEB≌△DFC（AAS）， ∴AB＝CD． 【点睛】本题考查平行线的性质、全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 八年级数学兴趣小组开展了测量学校教学楼高度的实践活动，测量方案如下表： 课题 测量学校教学楼高度 测量工具 测角仪、皮尺等 测量方案示意图 测量步骤 （1）在教学楼外，选定一点； （2）测量教学楼顶点视线与地面夹角； （3）测的长度； （4）放置一根与长度相同的标杆，垂直于地面； （5）测量标杆顶部视线与地面夹角． 测量数据 ，，， 请你根据兴趣小组测量方案及数据，计算教学楼高度的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的应用．熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 先证明，再证明，得到，即可求解． 【详解】解：，， ， ， 在与中， ， ， ， ， ， 答：教学楼高度为． 20. 某商店第一次用6300元购进某款球鞋，很快卖完，第二次又用4200元购进该款球鞋，但这次每双球鞋的进价是第一次进价的1.2倍，数量比第一次少了40双． （1）求第一次每双球鞋进价是多少元？ （2）若第二次进货后按160元/双的价格销售，恰好销售完一半时，根据市场情况，商店决定对剩余的球鞋按同一标准一次性打折销售，但要求这次的利润不少于2200元，问最低可打几折？ 【答案】（1）第一次每双球鞋的进价是70元 （2）最低打6折 【解析】 【分析】本题主要考查分式方程与一元一次不等式的应用，解题的关键是理解题意； （1）设第一次每双球鞋的进价是x元，由题意易得，然后求解即可； （2）设应打y折，根据题意可得不等式，进而求解即可． 【小问1详解】 解：设第一次每双球鞋的进价是x元， ， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：第一次每双球鞋的进价是70元． 【小问2详解】 解：设应打y折， 依题意得：双， ， 解得：， 答：最低打6折． 21. 如图，在中，，D上一点． （1）过点D作，垂足为点E（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，若，求证：． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）以点为圆心，画弧，交于点，以点为圆心，大于的长为半径，画弧，交于点，连接，交于点，即为所求； （2）根据外角的性质，得到，进而推出，根据角平分线的性质，即可得证． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求； 【小问2详解】 证明：，， ，即是的角平分线 ， ， 又， ． 【点睛】本题考查基本作图，角平分线的判定和性质，三角线的外角．熟练掌握垂线的作图方法，以及角平分线上的点到角两边的距离相等，是解题的关键． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22. 问题背景：“半角模型”问题．如图1，在四边形中，，，，点E，F分别是上的点，且，连接，探究线段之间的数量关系． （1）探究发现：小明同学的方法是延长到点G．使．连结，先证明，再证明，从而得出结论：_____________； （2）拓展延伸：如图2，在四边形中，，，E、F分别是边上的点，且，请问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由． （3）尝试应用：如图3，在四边形中，，，E、F分别是边延长线上的点，且，请探究线段具有怎样的数量关系，并证明． 【答案】（1） （2）成立，理由见解析 （3），证明见解析 【解析】 【分析】（1）延长到点G．使．连接，利用全等三角形的性质解决问题即可； （2）延长到，使，连接．证明，由全等三角形的性质得出，，再得到，再利用全等三角形的性质则可得出结论； （3）在上截取，使，连接．证明．由全等三角形的性质得出．证明，由全等三角形的性质得出结论． 【小问1详解】 解：． 延长到点G．使．连接， ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． 又∵， ∴． ∴． ∵． ∴． 故答案为：； 【小问2详解】 解：（1）中的结论仍然成立． 理由是：如图2，延长到，使，连接． ，， ， 在与中， ， ， ，， ． ． 又， ， ． ． ， 【小问3详解】 解：结论：． 证明：如图③中，在上截取，使，连接． ∵， ∴． 在与中， ， ∴． ∴． ∴． ∴． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了三角形全等的判定和性质等知识，解题的关键是添加辅助线，构造全等三角形解决问题． 23. 已知，是等腰直角三角形，，A点在x轴负半轴上，直角顶点B在y轴上，点C在x轴上方． （1）如图1所示，若A的坐标是，点B的坐标是，求点C的坐标； （2）如图2，过点C作轴于D，证明：； （3）如图3，若x轴恰好平分，与x轴交于点E，过点C作轴于F，问与有怎样的数量关系？并说明理由． 【答案】（1） （2）见解析 （3）．理由见解析 【解析】 【分析】（1）作轴于H，证明，即可求解； （2）先证明，再证明，即可得到结论； （3）设和的延长线相交于点D，先证明，再证明，推出，再证，推出，即可得出． 【小问1详解】 解：作轴于H，如图1： 点A的坐标是，点B的坐标是， ，， 是等腰直角三角形， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ； 【小问2详解】 解：．理由如下：如图2， 等腰直角三角形， ，， ， ， ， 在和中 ， ， ，， 而， ； 小问3详解】 解：．理由如下： 如图3，设和的延长线相交于点D， ， ， ， ， 而， ， 在和中， ， ， ， x轴平分，轴， 在和中， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查坐标与图形，全等三角形的判定和性质，添加合适的辅助线构造全等三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度第一学期期末质量监测试卷 八年级数学 本试卷共6页，23小题，满分120分．考试用时120分钟． 注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的学校、姓名和准考证号填写在答题卡上．将条形码粘贴在答题卡“条形码粘贴处”． 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案． 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4.考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 中国剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹，用于装点生活或配合其他民俗活动的民间艺术．在中国，剪纸具有广泛的群众基础，交融于各族人民的社会生活，是各种民俗活动的重要组成部分．（摘自百度百科）下列剪纸图片中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知三角形两边分别为和，则第三边可能是（ ） A. B. C. D. 3. 若分式的值为0，则x的值为：（ ） A. 0 B. 3 C. 2 D. －2 4. 如图，，且与相交于点A，下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 2024年3月25日鹊桥二号中继卫星顺利进入环月轨道飞行，其搭载的天线由精细的镀金钼丝编织而成，这些钼丝的直径仅为米，用科学记数法表示该钼丝的直径是（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 7. 如图，，是平分线上一点，，，，则长度为 A. B. C. D. 8. 如图，小明利用4张图①所示的长为a、宽为b的长方形卡片，拼成图②所示的图形，则根据图②的面积关系能验证的恒等式为（ ） A B. C. D. 9. 中国首列商用磁浮列车平均速度为，计划提速，已知从A地到B地路程为，那么提速后从A地到B地节约的时间为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，过边长为2的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，当PA＝CQ时，连接PQ交AC边于D，则DE的长为（　　） A. B. 1 C. D. 不能确定 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分．请将下列各题正确答案填写在答题卡相应的位置上． 11. 因式分解：__． 12. 在平面直角坐标系中，点关于轴的对称点的坐标是__________． 13. 计算时，应先通分，则通分的最简公分母为______． 14. 如图，在三角形纸片中，，，．沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在边上的点E处，折痕为，则的周长为____． 15. “三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的．借助如图所示的“三等分角仪”能将任一锐角三等分．这个三等分角仪由两根足够长的、有槽的棒，组成，两根棒在O点相连并可绕O点转动，另有两根固定长度的棒，在棒，之间，C固定，点D，E可在槽中滑动，且，若，则__________． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 计算： （1）； （2）． 17. 先化简，再求值：．其中， 18. 如图，点C、E、F、B同一直线上，AB∥CD，CE＝BF，∠A＝∠D．求证：AB＝CD． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 八年级数学兴趣小组开展了测量学校教学楼高度的实践活动，测量方案如下表： 课题 测量学校教学楼高度 测量工具 测角仪、皮尺等 测量方案示意图 测量步骤 （1）在教学楼外，选定一点； （2）测量教学楼顶点视线与地面夹角； （3）测的长度； （4）放置一根与长度相同的标杆，垂直于地面； （5）测量标杆顶部视线与地面夹角． 测量数据 ，，， 请你根据兴趣小组测量方案及数据，计算教学楼高度的值． 20. 某商店第一次用6300元购进某款球鞋，很快卖完，第二次又用4200元购进该款球鞋，但这次每双球鞋进价是第一次进价的1.2倍，数量比第一次少了40双． （1）求第一次每双球鞋的进价是多少元？ （2）若第二次进货后按160元/双的价格销售，恰好销售完一半时，根据市场情况，商店决定对剩余的球鞋按同一标准一次性打折销售，但要求这次的利润不少于2200元，问最低可打几折？ 21. 如图，在中，，D是上一点． （1）过点D作，垂足为点E（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，若，求证：． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22. 问题背景：“半角模型”问题．如图1，在四边形中，，，，点E，F分别是上的点，且，连接，探究线段之间的数量关系． （1）探究发现：小明同学的方法是延长到点G．使．连结，先证明，再证明，从而得出结论：_____________； （2）拓展延伸：如图2，在四边形中，，，E、F分别是边上点，且，请问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由． （3）尝试应用：如图3，在四边形中，，，E、F分别是边延长线上的点，且，请探究线段具有怎样的数量关系，并证明． 23. 已知，是等腰直角三角形，，A点在x轴负半轴上，直角顶点B在y轴上，点C在x轴上方． （1）如图1所示，若A的坐标是，点B的坐标是，求点C的坐标； （2）如图2，过点C作轴于D，证明：； （3）如图3，若x轴恰好平分，与x轴交于点E，过点C作轴于F，问与有怎样的数量关系？并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $