2025届中考复习专题05：全等三角形模型综合（截长补短，半角模型，婆罗摩笈多，绝配角等19类题型）

2025届中考复习 2025届中考复习专题：全等三角形模型综合 总览 题型解读 模块一 常考几何模型 【题型1】手拉手模型 【题型2】一线三等角模型 【题型3】平行线夹中点 【题型4】构造一线三垂直 【题型5】倍长中线法 【题型6】截长补短法 模块二 角平分线模型 【题型1】角平分线+垂一边 【题型2】作角平分线的垂线 【题型3】角平分线的截长补短 【题型4】角平分线+平行线得等腰 【题型5】角平分线分线段成比例 模块三 旋转模型 【题型1】半角模型 【题型2】邻边相等+对角互补 【题型3】鸡爪模型 模块四 辅助线构造综合 【题型1】作平行线 【题型2】以手拉手模型为背景的综合题 【题型3】婆罗摩及多模型 【题型4】脚蹬脚 【题型5】绝配角模型 题型汇编 知识梳理与常考题型 模型1 倍长中线模型 （一）基本模型 已知：在△ABC中，AD是BC边上的中线， 方法：延长AD到点E，使ED＝AD，连接BE． 结论1：△ACD≌△EBD． 已知：在△ABC中，点D是BC边的中点，点E是AB边上一点， 方法：连接ED，延长ED到点F，使DF＝DE，连接CF． 结论2：△BDE≌△CDF． 已知：在△ABC中，点D是BC边的中点， 方法：作CE⊥AD于E，BF⊥AD于F， 结论3：易证：△CDE≌△BDF（SAS） （二）结论推导 结论1：△ACD≌△EBD． 证明：∵AD是BC边上的中线，∴CD＝BD．∵∠ADC＝∠EDB，AD＝ED，∴△ACD≌△EBD． 结论2：△BDE≌△CDF． 证明：∵点D是BC边的中点，∴BD＝CD．∵∠BDE＝∠CDF，DE＝DF，∴△BDE≌△CDF． （三）解题技巧 遇到中点或中线，则考虑使用“倍长中线模型”，即延长中线，使所延长部分与中线相等，然后连接相应的顶点，构造出全等三角形． 模型2 一线三等角模型 （一）基本模型 已知：点P在线段AB上，∠1＝∠2＝∠3，AP＝BD（或AC＝BP或CP＝PD）． 同 侧 型 结论1：△CAP≌△PBD． 异 侧 型 结论2：△APC≌△BDP （二）结论推导 图1图2证明：∵∠1＋∠C＋∠APC＝180°，∠2＋∠BPD＋∠APC＝180°，∠1＝∠2，∴∠C＝∠BPD ∵∠1＝∠3，AP＝BD（或AC＝BP或CP＝PD），∴△CAP≌△PBD． 结论2：△APC≌△BDP． 证明：∵∠1＝∠C＋∠APC，∠2＝∠BPD＋∠D，∠3＝∠BPD＋∠APC，∠1＝∠2＝∠3， ∴∠C＝∠BPD，∠APC＝∠D．∵AP＝BD（或AC＝BP或CP＝PD），∴△APC≌△BDP． （三）解题技巧 在一条线段上出现三个相等的角，且有一组边相等时，则考虑使用一线三等角全等模型．找准三个等角，再根据平角性质、三角形内角和进行等角代换，判定三角形全等，然后利用全等三角形的性质解题．一线三等角模型常以等腰三角形、等边三角形、四边形（正方形或矩形）为背景，在几何综合题中考查． 特殊的：一线三垂直模型 已知 ∠ABC=∠ACE=∠CDE=90°，AC=CE ∠ABC=∠ACE=∠CDE=90°，AC=CE 图示 结论 模型3 半角模型 （一）基本模型 半角模型 等边三角形含半角 已知：△ABC是等边三角形，D为△ABC外一点， ∠BDC＝120°，BD＝CD，点E，F分别在AB，AC上， ∠EDF＝60°． 结论1：EF＝BE＋CF， ∠DEB＝∠DEF，∠DFC＝∠DFE． 正方形含半角 已知：四边形ABCD是正方形，点E，F分别在BC，CD上，∠EAF＝45°． 结论2：EF＝BE＋DF， ∠AEB＝∠AEF，∠AFD＝∠AFE． 等腰直角三角形含半角 已知：△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°， 点D，E在BC上，∠DAE＝45°． 结论3：DE 2＝BD 2＋CE 2． （二）结论推导 结论1：EF＝BE＋CF，∠DEB＝∠DEF，∠DFC＝∠DFE． 证明：延长AC到点G，使CG＝BE，连接DG． ∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°． ∵∠BDC＝120°，BD＝CD，∴∠DBC＝∠DCB＝30°， ∴∠DBE＝∠DCF＝90°，∴∠DBE＝∠DCG＝90°， ∴△BDE≌△CDG，∴DE＝DG，∠DEB＝∠G，∠BDE＝∠CDG． ∵∠EDF＝60°，∴∠BDE＋∠CDF＝60°， ∴∠CDG＋∠CDF＝60°，即∠GDF＝60°． ∵DF＝DF，∴△DEF≌△DGF，∴EF＝FG，∠DEF＝∠G，∠DFC＝∠DFE． ∴∠DEB＝∠DEF．∵FG＝CG＋CF，∴EF＝BE＋CF． 结论2：EF＝BE＋DF， ∠AEB＝∠AEF，∠AFD＝∠AFE． 证明：延长CB到点G，使BG＝DF，连接AG． ∵正方形ABCD，∴∠ABG＝∠D＝90°，AB＝AD， ∴△ABG≌△ADF，∴AG＝AF，∠G＝∠AFD，∠BAG＝∠DAF． ∵∠EAF＝45°，∴∠BAE＋∠DAF＝45°，∴∠BAE＋∠BAG＝45°，即∠EAG＝45°． ∵AE＝AE，∴△AEF≌△AEG，∴EF＝EG，∠AEB＝∠AEF，∠AFE＝∠G． ∴∠AFD＝∠AFE．∵EG＝BE＋BG，∴EF＝BE＋DF． 结论3：DE 2＝BD 2＋CE 2． 证明：将△ABD绕点A逆时针旋转90°到△ACF，连接EF． ∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°， ∴∠B＝∠ACB＝45°，∴∠ACF＝∠B＝45°， ∴∠ECF＝90°，∴EF 2＝CF 2＋CE 2＝BD 2＋CE 2， ∵∠DAE＝45°，∴∠BAD＋∠CAE＝45°， ∴∠CAF＋∠CAE＝45°，即∠FAE＝45°． ∵AE＝AE，∴△AEF≌△AED，∴EF＝DE，∴DE 2＝BD 2＋CE 2． （三）解题技巧 对于半角模型，一般情况下都需要做辅助线（延长或旋转），构造全等，通过等量代换得到相关的结论． 模型4 手拉手模型 （一）基本模型 已知：在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，连接BD，CE相交于O，连接OA． 结论1：△ABD≌△ACE，BD＝CE， 结论2：∠BOC＝∠BAC， 结论3：OA平分∠BOE． （二）结论推导 结论1：△ABD≌△ACE，BD＝CE． 证明：∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE． ∵AB＝AC，AD＝AE，∴△ABD≌△ACE， ∴BD＝CE． 结论2：∠BOC＝∠BAC． 证明：设OB与AC相交于点F． ∵△ABD≌△ACE，∴∠ABD＝∠ACE． ∵∠AFB＝∠OFC，∴∠BOC＝∠BAC． 结论3：OA平分∠BOE． 证明：过点A分别做BD，CE的垂线，垂足为G，H． ∵△ABD≌△ACE，∴S△ABD ＝S△ACE， ∴＝． ∵BD＝CE，∴AG＝AH， ∴OA平分∠BOE． （三）解题技巧 如果题目中出现两个等腰三角形，可以考虑连接对应的顶点，用旋转全等模型；如果只出现一个等腰三角形，可以用旋转的方法构造旋转全等． 模型5 对角互补+邻边相等模型 模型解读：通过做垂线或者利用旋转构造全等三角形解决问题。 已知：，，利用旋转构造全等 结论：OC平分∠AOB 作垂线 旋转 拓展 模型6 平行线夹中点模型 已知：AB//CD，点E是BC的中点 【模型分析】口诀：有中点，有平行，轻轻延长就能行 如图①，延长DE交AB于点F，易证：△DCE≌△FBE（AAS）。 如图②，延长AE交CD延长线于点F，易证：△ABE≌△FCE（AAS） 模型7 角平分线相关模型 一、模型介绍 （1）角平分线基本性质 已知：OP平分∠MON，过点P作PA⊥OM于点A，PB⊥ON于点B． 结论：PA＝PB，OA＝OB． （2）结论推导 结论：PA＝PB，OA＝OB． 证明：∵OP平分∠MON，∴∠AOP＝∠BOP． ∵∠OAP＝∠OBP＝90°，OP＝OP， ∴△AOP≌△BOP，∴PA＝PB，OA＝OB． 二、解题技巧 如果图形中有角平分线，可以考虑用角平分线模型．一般直接用角平分线的性质，即角平分线上的点到角两边的距离相等，或者作平行线构造等腰三角形，或者截相等的线段构造全等三角形． 1、尺规作角平分线（SSS） 第一步：在纸上画一个角，作为要被平分的角∠AOB。 第二步：以角的顶点O为圆心，任意长度为半径画圆弧，交角的两边OA、OB于C、D两点。 第三步：以C为圆心，大于OC且小于OD（或反之）长度为半径画圆弧。 第四步：以D为圆心，与第三步相同的半径画圆弧。 第五步：两圆弧交于E点，连接顶点O和E，OE即为∠AOB的平分线。 2、角平分线常见模型及辅助线作法 （1）过角平分线上的点作角两边的垂线，构造全等三角形 （2）角平分线上任意一点作角平分线的垂线，构造全等三角形. (即角平分线+垂线得等腰三角形) （3）角平分线+平行线得等腰三角形 （4）截取构造对称全等(截长补短) （5）角平分线分线段成比例:(常用二级结论) 简证：∵， ∴,∴ （6）旁心：三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点 结论：AD平分∠CAD 简证 模型8 截长补短模型 方法 截长法 补短法 条件 在△ABC中AD平分∠BAC,∠C=2∠B,求证：AB=AC+CD 图示 方法 在AB上截取AE=AC,连接DE 延长AC到点E，使CD=CE,连接DE 结论 △DEB是等腰三角形 △CDE是等腰三角形 【总结】 （1）“截长补短法”是初中几何题中一种添加辅助线的方法，也是把几何题化难为易的一种靠略，截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短就是通过延长或旋转等方式使两条短边拼合到一起，从而解决问题. （2）截长或补短后，如果出现的全等三角形或特殊三角形能推动证明，那么辅助线是成功的，否则，就应该换一个截长或补短的方式，甚至换一种解题思路. 模型9 鸡爪模型（构造手拉手） 半角模型 等 边 三 角 形 点在内部 做法：将△ABD绕点A逆时针旋转60°， 得到等边△AEC，连接DE 结论：△DEC的三条边长就是AD，BD，CD． 点在外部 ∠BDC=120° 做法：将△ACD绕点A逆时针旋转60°， 得到等边△AEC，连接DE． 结论：． 等 腰 直 角 三 角 形 点D在△ABC内部 做法：将△ABD绕点A逆时针旋转90°， 得到等腰直角△AEC，连接DE． 结论：△DEC的三条边长就是AD，BD，CD． 点D在外部 ∠BDC=90° 做法：将△ACD绕点A逆时针旋转60°， 得到等边△AEC，连接DE． 结论： 模型10 绝配角模型 （一）基本模型 已知：在△ABC中，∠ABC＝90°，点D为边BC上一点，∠C＝2∠BAD，延长DB到点E，使BE＝BD，连接AE． 结论：AC＝EC． （二）结论推导 结论：AC＝EC． 证明：∵∠ABC＝90°，BE＝BD，∴AE＝AD，∴∠E＝∠ADE，∠BAE＝∠BAD，∴∠EAD＝2∠BAD． ∵∠C＝2∠BAD，∴∠EAD＝∠C，∴∠CAE＝∠ADE＝∠E，∴AC＝EC． （三）解题技巧 如果题目中出现二倍角，可以考虑用绝配角模型，构造等腰三角形，绝配角＋等腰三角形＋全等三角形一般同时出现，然后用勾股定理或相似求解．构造等腰三角形是这类绝配角问题的重要方法． 模型11 婆罗摩笈模型 题目特征 共直角顶点的正方形或等腰直角三角形，出现垂直. 共直角顶点的正方形或等腰直角三角形，出现中点. 条件 四边形ABCD、CEFG为正方形，连接BE、DG，I、C、H三点共线,CH⊥BE 四边形ABCD、CEFG为正方形，连接BE、DG，I、C、H三点共线,点I为DG中点 图示 作法 分别过点D、G作DM⊥CI与点M，NG⊥CI于点N 延长IC到点P，使PI＝IC，连接PG 结论 ① DI＝IG(知垂直得中点) 2 3 BE＝2IC ①CH⊥BE(知中点得垂直) ②BE＝2IC ③ 如图，△ABC和△DBE是等腰直角三角形，连接AD，CE，M，N分别在AD，CE上，且MN经过点B 【性质1：垂直得中点】若MN⊥CE，则①点N是AD的中点，②＝，③CE＝2BN． 【性质2：中点得垂直】若点N是AD的中点，则①MN⊥CE． 【证明】如图，（知中点得垂直，倍长中线） 证明：延长BN至点P，使BN＝PN，连结PN， 易证：△PAD≌BDA,∴BC＝PD，BE=PA ∵PA∥BD，∴∠PAB＋∠ABD＝180°， 又∵∠ABC＝∠DBE＝90°∴∠CBE＋∠ABD＝180°，∴∠CBE＝∠PAB， 易证：△CBE≌△PAB， ∴∠BCM＝∠ABN，∵∠ABN＋∠CBM＝90°∴∠BCM＋∠CBM＝90°∴∠BMC＝90° 模型12 脚蹬脚模型（海盗埋宝藏） 模型成立条件：等腰三角形顶角互补 已知：△ABC、△ADE为等腰直角三角形，∠B=∠D=90°，AB=CB，AD=ED，点F为CE的中点， 则△BFD是等腰直角三角形． A B C E D A B C E D F 【证明】法一：倍长中线 延长DF至点G，使得FG=FD，易证△DEF≌△GCF（SAS）； 所以CG=ED=AD，∠2=∠7； 又∠1+∠2+∠3=360°，∠3+∠4+∠5+∠6+∠7=540°（五边形内角和）， ∠4=∠6=90°； 所以∠3+∠5+∠7=∠1+∠2+∠3，所以∠1=∠5；则△BCG≌△BAD（SAS）， 所以∠DBG=90°，BG=BD；所以BF=DG=DF，BF⊥DF. 法二：构造手拉手模型 将△ABC沿AB 对称，将△ADE 沿AD对称 连接PE，CQ，易知△ACQ≌△APE，进而得出PE=CQ且PE⊥CQ，而BE是△CPE的中位线，CD是△CQE的中位线，故BF=DF，且BF⊥FD 模块一 常考几何模型 【题型1】手拉手模型 【例题1】如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转后得到，则阴影部分面积为 ． 【例题2】（青海·中考真题）两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来，则形成一组全等的三角形，把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形. (1)问题发现： 如图1，若和是顶角相等的等腰三角形，BC，DE分别是底边.求证：；           图1 图2 (2)解决问题：如图2，若和均为等腰直角三角形，，点A，D，E在同一条直线上，CM为中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系并说明理由. 【例题3】（山东烟台·中考真题）如图，在等边三角形ABC中，点E是边AC上一定点，点D是直线BC上一动点，以DE为一边作等边三角形DEF，连接CF． 【问题解决】 （1）如图1，若点D在边BC上，求证：CE+CF＝CD； 【类比探究】 （2）如图2，若点D在边BC的延长线上，请探究线段CE，CF与CD之间存在怎样的数量关系？并说明理由． 【巩固练习1】（2022·山东烟台·中考真题）   (1)【问题呈现】如图1，△ABC和△ADE都是等边三角形，连接BD，CE．求证：BD＝CE． (2)【类比探究】如图2，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°．连接BD，CE．请直接写出的值． (3)【拓展提升】如图3，△ABC和△ADE都是直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，且＝＝．连接BD，CE． ①求的值； ②延长CE交BD于点F，交AB于点G．求sin∠BFC的值． 【巩固练习2】（2023·四川自贡·中考真题）如图1，一大一小两个等腰直角三角形叠放在一起，，分别是斜边，的中点，．    (1)将绕顶点旋转一周，请直接写出点，距离的最大值和最小值； (2)将绕顶点逆时针旋转（如图），求的长． 【巩固练习3】（山东潍坊·中考真题）如图1，在中，，点D，E分别在边上，且，连接．现将绕点A顺时针方向旋转，旋转角为，如图2，连接． （1）当时，求证：； （2）如图3，当时，延长交于点，求证：垂直平分； （3）在旋转过程中，求的面积的最大值，并写出此时旋转角的度数． 【巩固练习4】（广西贵港·中考真题）已知在ABC中，O为BC边的中点，连接AO，将AOC绕点O顺时针方向旋转（旋转角为钝角），得到EOF，连接AE，CF． （1）如图1，当∠BAC＝90°且AB＝AC时，则AE与CF满足的数量关系是 ； （2）如图2，当∠BAC＝90°且AB≠AC时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由； （3）如图3，延长AO到点D，使OD＝OA，连接DE，当AO＝CF＝5，BC＝6时，求DE的长．    【题型2】一线三等角模型 【例题1】（2023·山东聊城·中考真题）如图，在四边形中，点E是边上一点，且，．    (1)求证：； (2)若，时，求的面积． 【例题2】（2023·湖北荆州·中考真题）如图1，点是线段上与点，点不重合的任意一点，在的同侧分别以，，为顶点作，其中与的一边分别是射线和射线，的两边不在直线上，我们规定这三个角互为等联角，点为等联点，线段为等联线． (1)如图2，在个方格的纸上，小正方形的顶点为格点、边长均为1，为端点在格点的已知线段．请用三种不同连接格点的方法，作出以线段为等联线、某格点为等联点的等联角，并标出等联角，保留作图痕迹； (2)如图3，在中，，，延长至点，使，作的等联角和．将沿折叠，使点落在点处，得到，再延长交的延长线于，连接并延长交的延长线于，连接． ①确定的形状，并说明理由； ②若，，求等联线和线段的长（用含的式子表示）． 【巩固练习1】（2024·山东威海·中考真题）将一张矩形纸片（四边形）按如图所示的方式对折，使点C落在上的点处，折痕为，点D落在点处，交于点E．若，，，则 ． 【巩固练习2】（2023·广西·中考真题）如图，是边长为4的等边三角形，点D，E，F分别在边，，上运动，满足．    (1)求证：； (2)设的长为x，的面积为y，求y关于x的函数解析式； (3)结合（2）所得的函数，描述的面积随的增大如何变化． 【巩固练习3】（2024·重庆·中考真题）如图，在中，延长至点，使，过点作，且，连接交于点．若，，则 ． 【巩固练习4】（湖北鄂州·中考真题）如图，在边长为6的等边△ABC中，D、E分别为边BC、AC上的点，AD与BE相交于点P，若BD=CE=2，则△ABP的周长为 ． 【题型3】平行线夹中点 【例题1】如图，AB∥CD，∠BCD＝60°，点E为AD的中点，若AB＝2，BC＝6，CD＝8，则BE的长为_________． 【巩固练习1】（四川泸州·中考真题）如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E是BC的中点，点F在CD上，且CF=3DF，AE，BF相交于点G，则AGF的面积是 ． 【巩固练习2】（深圳中考）如图，已知四边形ABCD为等腰梯形，AD∥BC，AB=CD，AD=，E为CD中点，连接AE，且AE=2，∠DAE=30°，作AE⊥AF交BC于F，则BF=（　　） A．1 B．3﹣ C．﹣1 D．4﹣2 【题型4】构造一线三垂直 【例题1】（广西河池·中考真题）如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E，F分别在CD，AC上，，，则AF的长是（   ） A． B． C． D． 【例题2】（2024·山东烟台·中考真题）在等腰直角中，，，D为直线上任意一点，连接．将线段绕点D按顺时针方向旋转得线段，连接． 【尝试发现】 （1）如图1，当点D在线段上时，线段与的数量关系为________； 【类比探究】 （2）当点D在线段的延长线上时，先在图2中补全图形，再探究线段与的数量关系并证明； 【联系拓广】 （3）若，，请直接写出的值． 【巩固练习1】（2024·江苏南通·中考真题）如图，在中，，．正方形的边长为，它的顶点D，E，G分别在的边上，则的长为 ． 【巩固练习2】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D为AC上一点，CE⊥BD于点E，连接AE，若CE＝4，则△ACE的面积为_________． A E D B C 【巩固练习3】（2024·重庆·中考真题）如图，在正方形的边上有一点，连接，把绕点逆时针旋转，得到，连接并延长与的延长线交于点．则的值为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习4】（2023·江苏南通·中考真题）正方形中，点在边，上运动（不与正方形顶点重合）．作射线，将射线绕点逆时针旋转45°，交射线于点．    (1)如图，点在边上，，则图中与线段相等的线段是___________； (2)过点作，垂足为，连接，求的度数； (3)在（2）的条件下，当点在边延长线上且时，求的值． 【巩固练习5】（2023·江苏南通·中考真题）正方形中，点在边，上运动（不与正方形顶点重合）．作射线，将射线绕点逆时针旋转45°，交射线于点．    (1)如图，点在边上，，则图中与线段相等的线段是___________； (2)过点作，垂足为，连接，求的度数； (3)在（2）的条件下，当点在边延长线上且时，求的值． 【巩固练习6】（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）综合与实践：如图1，这个图案是3世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，受这幅图的启发，数学兴趣小组建立了“一线三直角模型”．如图2，在中，，将线段绕点顺时针旋转得到线段，作交的延长线于点．    (1)【观察感知】如图2，通过观察，线段与的数量关系是______； (2)【问题解决】如图3，连接并延长交的延长线于点，若，，求的面积； (3)【类比迁移】在(2)的条件下，连接交于点，则______； (4)【拓展延伸】在(2)的条件下，在直线上找点，使，请直接写出线段的长度． 【题型5】倍长中线法 【例题】（2024·四川达州·模拟预测）[问题背景]在中，，求边上的中线的取值范围，小组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图1）：延长到E，使得，再连接，把集中在中． (1)利用上述方法求出的取值范围是_________； (2)[探究]如图2，在中，为边上的中线，点D在的延长线上，且，与相交于点O，若四边形的面积为20，求的面积； (3)[拓展]如图3，在四边形中，，E为的中点，G、F分别为边上的点，若，，，求的长． 【巩固练习1】（2024·重庆渝北·模拟预测）如图， 在中，， 若，为的中线， 点E在边上(不与端点重合)，与交于点 F， 若， 则 ． 【巩固练习2】（2024·山东菏泽·二模）【方法回顾】 如图1，在中，D，E分别是边的中点，小明在证明“三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半”时，通过延长到点F，使，连接，证明，再证四边形是平行四边形即得证． （1）上述证明过程中： ①证明的依据是（_____） A．    B．    C．    D． ②证明四边形是平行四边形的依据是_______； 【类比迁移】 （2）如图2，是的中线，交于点E，交于点F，且，求证：．小明发现可以类比材料中的思路进行证明． 证明：如图2，延长至点G，使，连接，请根据小明的思路完成证明过程； 【理解运用】 （3）如图3，四边形与四边形均为正方形，连接，点P是的中点，连接．请判断线段与的数量关系及位置关系．（不要求证明） 【巩固练习3】（山东泰安·中考真题）若和均为等腰三角形，且． （1）如图（1），点B是的中点，判定四边形的形状，并说明理由； （2）如图（2），若点G是的中点，连接并延长至点F，使．求证：①，②． 【题型6】截长补短法 【例题1】课堂上，老师提出了这样一个问题： 如图1，在中，平分交于点D，且，求证：，小明的方法是：如图2，在上截取，使，连接，构造全等三角形来证明． (1)小天提出，如果把小明的方法叫做“截长法”，那么还可以用“补短法”通过延长线段构造全等三角形进行证明．辅助线的画法是：延长至F，使=______，连接请补全小天提出的辅助线的画法，并在图1中画出相应的辅助线； (2)小芸通过探究，将老师所给的问题做了进一步的拓展，给同学们提出了如下的问题： 如图3，点D在的内部，分别平分，且．求证：．请你解答小芸提出的这个问题（书写证明过程）； (3)小东将老师所给问题中的一个条件和结论进行交换，得到的命题如下： 如果在中，，点D在边上，，那么平分小东判断这个命题也是真命题，老师说小东的判断是正确的．请你利用图4对这个命题进行证明． 【例题2】如图，正方形中，是的中点，交外角的平分线于．    （1）求证：； （2）如图，当是上任意一点，而其它条件不变，是否仍然成立？若成立，请证明，若不成立，请说明理由． 【例题3】（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）数学老师在课堂上给出了一个问题，让同学们探究．在中，，点D在直线上，将线段绕点A顺时针旋转得到线段，过点E作，交直线于点F． （1）当点D在线段上时，如图①，求证：； 分析问题：某同学在思考这道题时，想利用构造全等三角形，便尝试着在上截取，连接，通过证明两个三角形全等，最终证出结论： 推理证明：写出图①的证明过程： 探究问题：　　 （2）当点D在线段的延长线上时，如图②：当点D在线段的延长线上时，如图③，请判断并直接写出线段，，之间的数量关系； 拓展思考： （3）在（1）（2）的条件下，若，，则______． 【巩固练习1】如图，和是等腰三角形，且，，，，以为顶点作一个角，角的两边分别交边，于点、，连接，点、分别在、CA延长线上，则、、之间存在什么样的关系？并说明理由． 【巩固练习2】如图，△ABC为等腰直角三角形，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D在线段AB上，连接CD，∠ADC＝60°，AD＝2，过C作CE⊥CD，且CE＝CD，连接DE，交BC于F． （1）求△CDE的面积；（2）证明：DF+CF＝EF． 【巩固练习3】在中，BE，CD为的角平分线，BE，CD交于点F． （1）求证：； （2）已知． ①如图1，若，，求CE的长； ②如图2，若，求的大小． 模块二 角平分线模型 【题型1】角平分线+垂一边 【例题1】如图，在中，以顶点A为圆心，以适当长为半径画弧，分别交于点，，再分别以点M，N为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点，作于点，若，，的面积为13，则AC的长为（    ）    A．4 B．5 C．6 D．8 【例题2】如图，在中，，，点为上任意一点，连接，，，则线段，，之间的数量关系为　　． 【例题3】如图，的外角的平分线与内角的平分线交于点，若，则　　 A． B． C． D． 【例题4】（2024·内蒙古·中考真题）如图，，平分，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)过点B作于点G，若，请直接写出四边形的形状． 【巩固练习1】（2024·西藏·中考真题）如图，在中，，以点B为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点D，E，再分别以点D，E为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点P，作射线交于点F．已知，，则的长为 ． 【巩固练习2】如图，中，、的角平分线、交于点，延长、，则下列结论中正确的个数　　 ①平分； ②； ③； ④若，，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【巩固练习3】（2023·四川·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知点，点，点在轴上，且点在点右方，连接，，若，则点的坐标为 ．    【巩固练习4】如图，在直角坐标系中，以坐标原点，，为顶点的，其两个锐角对应的外角角平分线相交于点，且点恰好在反比例函数的图象上，则的值为　　． 【题型2】作角平分线的垂线 【例题1】如图，在等腰中，，，为的角平分线，过点作交的延长线与点，若，则的长为 ．    【巩固练习1】如图，中，，点D是边上的一个动点，连接并延长，过点B作交延长线于点F,平分，，求的值．    【巩固练习2】 【巩固练习3】 【题型3】角平分线的截长补短 【例题1】如图，在四边形中，E是边的中点，平分且，若，，则 ．      【例题2】（2024·内蒙古通辽·中考真题）【实际情境】 手工课堂上，老师给每个制作小组发放一把花折伞和制作花折伞的材料及工具．同学们认真观察后，组装了花折伞的骨架，粘贴了彩色伞面，制作出精美的花折伞． 【模型建立】 （1）如图1，从花折伞中抽象出“伞形图”．，．求证：． 【模型应用】 （2）如图2，中，的平分线交于点．请你从以下两个条件： ①；②中选择一个作为已知条件，另一个作为结论，并写出结论成立的证明过程．（注：只需选择一种情况作答） 【拓展提升】 （3）如图3，为的直径，，的平分线交于点，交于点，连接．求证：． 【巩固练习1】已知：如图，四边形中，，平分，且．求证：． 【巩固练习2】（2024·河南信阳·一模）数学兴趣小组利用角平分线构造全等模型开展探究活动，请仔细阅读完成相应的任务． 活动1：用尺规作已知角的平分线、如图1所示，则由，可得． 活动2：如图2，在中，，是的平分线，在上截取，则． 完成以下任务： (1)在活动1和2中，判定三角形全等的依据分别是________（填序号）； ①    ②    ③   ④    ⑤ (2)如图3，在中，，是的两条角平分线，且交于点P，试猜想与之间的数量关系，并说明理由； (3)如图4，在四边形中，，，的平分线和的平分线恰好交于边上的点P，若，，当有一个内角是时，请直接写出的长：________． 【题型4】角平分线+平行线得等腰 【例题1】（2022·内蒙古鄂尔多斯·中考真题）如图，∠AOE＝15°，OE平分∠AOB，DE∥OB交OA于点D，EC⊥OB，垂足为C．若EC＝2，则OD的长为（　　） A．2 B．2 C．4 D．4+2 【例题2】（2024·陕西·中考真题）如图，在中，，E是边上一点，连接，在右侧作，且，连接．若，，则四边形的面积为 ． 【巩固练习1】（2022·四川南充·中考真题）如图，在中，的平分线交于点D，DE//AB，交于点E，于点F，，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【巩固练习2】（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，在四边形中，连接，已知，，，，则（   ） A． B．5 C． D．2 【巩固练习3】（2023·山东·中考真题）已知：射线平分为上一点，交射线于点，交射线于点，连接．    (1)如图1，若，试判断四边形的形状，并说明理由； (2)如图2，过点作，交于点；过点作，交于点．求证：． 【题型5】角平分线分线段成比例 【例题】如图1，AD是∠BAC的角平分线，P为AD上任意一点，PM⊥AB于M，PN⊥AC于N． 求证：PM＝PN； 如图2，在△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若AB＝5，AC＝3，求的值； 如图3，在△ABC中，AD是∠BAC的外角平分线，若AB＝5，AC＝3，求BC与CD的数量关系． A P B C D M N A D B C F E A B C D 图1 图2 图3 模块三 旋转模型 【题型1】半角模型 【例题1】（2024·重庆·中考真题）如图，在边长为4的正方形中，点是上一点，点是延长线上一点，连接，，平分．交于点．若，则的长度为（　　） A．2 B． C． D． 【例题2】（2024·四川乐山·中考真题）在一堂平面几何专题复习课上，刘老师先引导学生解决了以下问题： 【问题情境】 如图1，在中，，，点D、E在边上，且，，，求的长． 解：如图2，将绕点A逆时针旋转得到，连接．    由旋转的特征得，，，． ∵，， ∴． ∵， ∴，即． ∴． 在和中， ，，， ∴___①___． ∴． 又∵， ∴在中，___②___． ∵，，    ∴___③___． 【问题解决】 上述问题情境中，“①”处应填：______；“②”处应填：______；“③”处应填：______． 刘老师进一步谈到：图形的变化强调从运动变化的观点来研究，只要我们抓住了变化中的不变量，就能以不变应万变． 【知识迁移】 如图3，在正方形中，点E、F分别在边上，满足的周长等于正方形的周长的一半，连结，分别与对角线交于M、N两点．探究的数量关系并证明．    【拓展应用】 如图4，在矩形中，点E、F分别在边上，且．探究的数量关系：______（直接写出结论，不必证明）．    【问题再探】 如图5，在中，，，，点D、E在边上，且．设，，求y与x的函数关系式．    【巩固练习1】如图，在四边形ABDC中，∠B+∠C＝180°，DB＝DC，∠BDC＝120°，以D为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB、AC于E、F两点，连接EF，探索线段BE、CF、EF之间的数量关系，并加以证明． 【巩固练习2】（黑龙江齐齐哈尔·中考真题）综合与实践 数学实践活动，是一种非常有效的学习方式．通过活动可以激发我们的学习兴趣，提高动手动脑能力，拓展思推空间，丰富数学体验．让我们一起动手来折一折、转一转、剪一剪，体会活动带给我们的乐趣． 折一折：将正方形纸片ABCD折叠，使边AB、AD都落在对角线AC上，展开得折痕AE、AF，连接EF，如图1． （1）_________，写出图中两个等腰三角形：_________（不需要添加字母）； 转一转：将图1中的绕点A旋转，使它的两边分别交边BC、CD于点P、Q，连接PQ，如图2． （2）线段BP、PQ、DQ之间的数量关系为_________； （3）连接正方形对角线BD，若图2中的的边AP、AQ分别交对角线BD于点M、点N．如图3，则________； 剪一剪：将图3中的正方形纸片沿对角线BD剪开，如图4． （4）求证：． 【巩固练习3】（福建龙岩·模拟预测）如图，正方形的边长为a，点E在边上运动（不与点A、B重合），，点F在射线上，且，与相交于点G连接、、．则下列结论：①；②的周长为a；③；④的面积的最大值是；⑤当时，G是线段的中点．其中正确的结论是 ．（填写序号） 【巩固练习4】（吉林长春·中考真题）实践与探究 操作一：如图①，已知正方形纸片ABCD，将正方形纸片沿过点A的直线折叠，使点B落在正方形ABCD的内部，点B的对应点为点M，折痕为AE，再将纸片沿过点A的直线折叠，使AD与AM重合，折痕为AF，则 度． 操作二：如图②，将正方形纸片沿EF继续折叠，点C的对应点为点N．我们发现，当点E的位置不同时，点N的位置也不同．当点E在BC边的某一位置时，点N恰好落在折痕AE上，则 度． 在图②中，运用以上操作所得结论，解答下列问题： （1）设AM与NF的交点为点P．求证：． （2）若，则线段AP的长为 ． 【题型2】邻边相等+对角互补 【例题1】如图，在四边形ABCD中，∠ECF＝α（0°＜α＜90°），∠B+∠D＝180，CB＝CD，且BE+DF＝EF，则∠BCD＝　 　（用含α的代数式表示）. 【巩固练习1】如图，在四边形中，，，，，则四边形的面积等于 ． 【巩固练习2】如图，已知中，，以斜边为边向外作正方形，且正方形的对角线交于点，连接．已知，，则另一直角边的长为 ．    【题型3】鸡爪模型 【例题1】如图，点O是等边三角形ABC内一点，OA＝2，OB＝1，OC＝，则△AOB与△BOC的面积之和为（ ）． A． B． C． D． 【例题2】(贵阳中考)如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点E，AC＝BC＝6，∠ACB＝∠ADB＝90°，若BE＝2AD，则△ABE的面积是_________． 模块四 辅助线构造综合 【题型1】作平行线 【例题1】如图，△ABC是边长为4的等边三角形，点P在AB上，过点P作PE⊥AC，垂足为E，延长BC至点Q，使CQ＝PA，连接PQ交AC于点D，则DE的长为（　　） A．1 B．1.8 C．2 D．2.5 【例题2】【阅读材料】 教材习题 如图，、相交于点，是中点，，求证：是中点．   问题分析 由条件易证，从而得到，即点是的中点 方法提取 构造“平行字型”全等三角形模型是证明线段相等的一种常用方法    请运用上述阅读材料中获取的经验和方法解决下列问题． 【基础应用】已知中，，点在边上，点在边的延长线上，连接交于点． (1)如图1，若，，求证：点是的中点； (2)如图2，若，，探究与之间的数量关系； 【灵活应用】如图3，是半圆的直径，点是半圆上一点，点是上一点，点在延长线上，，，，当点从点运动到点，点运动的路径长为______，扫过的面积为______． 【巩固练习1】（2024齐齐哈尔模拟）如图，在等边中，点为边上任意一点，点在边的延长线上，且．    (1)当点为的中点时（如图1），则有______（填“”“”或“”）； (2)猜想如图2，与的数量关系，并证明你的猜想． 【巩固练习2】【阅读理解】构造“平行八字型”全等三角形模型是证明线段相等的一种方法，我们常用这种方法证明线段的中点问题． 例如：如图，是边上一点，是的中点，过点作，交的延长线于点，则易证是线段的中点．    【经验运用】 请运用上述阅读材料中所积累的经验和方法解决下列问题．    （1）如图1，在正方形中，点在上，点在的延长线上，且满足，连接交于点． 求证：①是的中点； ②CG与BE之间的数量关系是：____________________________； 【拓展延伸】 （2）如图2，在矩形中，，点在上，点在的延长线上，且满足，连接交于点．探究和之间的数量关系是：____________________________； 【题型2】以手拉手模型为背景的综合题 【例题1】如图，△ABC是等边三角形，D为△ABC外一点，∠ADC＝30°，AD＝3，CD＝2，则BD的长为_________． 【例题2】（黑龙江·中考真题）和都是等边三角形． (1)将绕点A旋转到图①的位置时，连接BD，CE并延长相交于点P（点P与点A重合），有（或）成立；请证明． (2)将绕点A旋转到图②的位置时，连接BD，CE相交于点P，连接PA，猜想线段PA、PB、PC之间有怎样的数量关系？并加以证明； (3)将绕点A旋转到图③的位置时，连接BD，CE相交于点P，连接PA，猜想线段PA、PB、PC之间有怎样的数量关系？直接写出结论，不需要证明． 【例题3】（2023·山东东营·一模）（1）问题：如图①，在中，，D为边上一点（不与点B，C重合），将线段绕点A逆时针旋转得到，连接，则线段和线段的数量关系是______，位置关系是______； （2）探索：如图②，在与中，，，将绕点A旋转，使点D落在边上，试探索线段，，之间满足的等量关系，并证明结论； （3）应用：如图3，在四边形中，．若，，求的长． 【例题4】（2023·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）综合与实践 数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用的基本途径．通过探究图形的变化规律，再结合其他数学知识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地．    (1)发现问题：如图1，在和中，，，，连接，，延长交于点．则与的数量关系：______，______； (2)类比探究：如图2，在和中，，，，连接，，延长，交于点．请猜想与的数量关系及的度数，并说明理由； (3)拓展延伸：如图3，和均为等腰直角三角形，，连接，，且点，，在一条直线上，过点作，垂足为点．则，，之间的数量关系：______； (4)实践应用：正方形中，，若平面内存在点满足，，则______． 【巩固练习1】如图，在中，，，，将线段绕着点逆时针旋转60°得到，，则的面积为 ． 【巩固练习2】（2023·甘肃武威·中考真题）【模型建立】 （1）如图1，和都是等边三角形，点关于的对称点在边上． ①求证：； ②用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由． 【模型应用】 （2）如图2，是直角三角形，，，垂足为，点关于的对称点在边上．用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由． 【模型迁移】 （3）在（2）的条件下，若，，求的值．    【巩固练习3】（山东济南·中考真题）如图1，△ABC是等边三角形，点D在△ABC的内部，连接AD，将线段AD绕点A按逆时针方向旋转60°，得到线段AE，连接BD，DE，CE． (1)判断线段BD与CE的数量关系并给出证明； (2)延长ED交直线BC于点F． ①如图2，当点F与点B重合时，直接用等式表示线段AE，BE和CE的数量关系为_______； ②如图3，当点F为线段BC中点，且ED＝EC时，猜想∠BAD的度数，并说明理由． 【巩固练习4】（2023·黑龙江大庆·中考真题）如图，在中，将绕点A顺时针旋转至，将绕点A逆时针旋转至，得到，使，我们称是的“旋补三角形”，的中线叫做的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”．下列结论正确的有 ． ①与面积相同； ②； ③若，连接和，则； ④若，，，则． 【巩固练习5】（2024·江苏扬州·中考真题）在综合实践活动中，“特殊到一般”是一种常用方法，我们可以先研究特殊情况，猜想结论，然后再研究一般情况，证明结论． 如图，已知，， 是的外接圆，点在上（），连接、、． 【特殊化感知】 （1）如图1，若，点在延长线上，则与的数量关系为________； 【一般化探究】 （2）如图2，若，点、在同侧，判断与的数量关系并说明理由； 【拓展性延伸】 （3）若，直接写出、、满足的数量关系．（用含的式子表示） 【题型3】 婆罗摩及多模型 【例题1】(武汉·中考真题)如图，在中，，，分别以的三边为边向外作三个正方形，，，连接．过点作的垂线，垂足为，分别交，于点，．若，，则四边形的面积是 ． 【例题2】（江苏宿迁·中考真题）【感知】（1）如图①，在四边形ABCD中，∠C=∠D=90°，点E在边CD上，∠AEB=90°，求证：=． 【探究】（2）如图②，在四边形ABCD中，∠C=∠ADC=90°，点E在边CD上，点F在边AD的延长线上，∠FEG=∠AEB=90°，且=，连接BG交CD于点H．求证：BH=GH． 【拓展】（3）如图③，点E在四边形ABCD内，∠AEB+∠DEC=180°，且=，过E作EF交AD于点F，若∠EFA=∠AEB，延长FE交BC于点G．求证：BG=CG． 【巩固练习1】综合与实践 以的两边、为边，向外作正方形和正方形，连接，过点A作于M，延长交于点N.    (1)如图①，若，证明：； (2)如图②，，（1）中结论，是否成立，若成立，请证明；若不成立，写出你的结论，并说明理由； (3)如图③，，，，且，则________________. 【巩固练习2】如图1，2，3，△ABC中，分别以AB，AC为边作Rt△ABE和Rt△ACD，AB＝AE，AC＝AD，∠BAE＝∠CAD＝90°，则有下列结论： ①图1中S△ABC＝S△ADE； ②如图2中，若AM是边BC上的中线，则ED＝2AM；   ③如图3中，若AM⊥BC，则MA的延长线平分ED于点N． （1）上述三个结论中请你选择一个感兴趣的结论进行证明，写出证明过程； （2）能力拓展：将上述图形中的某一个直角三角形旋转到如图4所示的位置：△ABC与△ADE均为等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，连接BD，CE，若F为BD的中点，连接AF，求证：2AF＝CE． 【巩固练习3】我们定义：如图1，在中，把绕点A顺时针旋转α()得到，把绕点A逆时针旋转β得到，连接．当时，我们称是的“旋补三角形”，边上的中线叫做的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”．    (1)【探索一】如图1，是的“旋补三角形”，是的“旋补中线”，探索与的数量关系． 在探索这个问题之前，请先阅读材料： 【材料】如图2在中，若，．求边上的中线的取值范围．是这样思考的：延长至E，使，连结．利用全等将边转化到，在中利用三角形三边关系即可求出中线的取值范围．中线的取值范围是　 ． 请仿照上面材料中的方法，猜想图1中与的数量关系，并给予证明． (2)【探索二】如图3，当时，是的“旋补三角形”，，垂足为点E，的反向延长线交于点D，探索是否是的“旋补中线”，如果是，请给出证明，如果不是，请说明理由． 【题型4】脚蹬脚 【例题1】已知正方形ABCD与正方形CEFG，M是AF的中点，连接DM，EM． （1）如图1，点E在CD上，点G在BC的延长线上，请判断DM，EM的数量关系与位置关系，并直接写出结论； （2）如图2，点E在DC的延长线上，点G在BC上，（1）中结论是否仍然成立？请证明你的结论． 【例题2】（2023·湖南·中考真题）问题情境：小红同学在学习了正方形的知识后，进一步进行以下探究活动：在正方形的边上任意取一点G，以为边长向外作正方形，将正方形绕点B顺时针旋转．      特例感知： （1）当在上时，连接相交于点P，小红发现点P恰为的中点，如图①．针对小红发现的结论，请给出证明； （2）小红继续连接，并延长与相交，发现交点恰好也是中点P，如图②，根据小红发现的结论，请判断的形状，并说明理由； 规律探究： （3）如图③，将正方形绕点B顺时针旋转，连接，点P是中点，连接，，，的形状是否发生改变？请说明理由． 【巩固练习1】如图，△ABC和△CDE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DEC＝90°，A，D，E三点在一条直线上，求证：∠BDC＝90°． 【巩固练习2】如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，点D是线段AC上一点，连接BD．以BD直角边作等腰直角△BDE，∠DBE＝90°，连接AE，点F为AE中点，若AB＝4，BF＝1，则AD的长为 　 　． 【巩固练习3】已知两个等腰有公共顶点C，，连接，M是的中点，连接． (1)如图1，当C，B，E三点共线时，若，B为中点，求的长； (2)如图1， 探索线段与的关系，并说明理由； (3)将图1中绕点C顺时针旋转至图2所示，（2）中的结论是否仍然成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 【题型5】绝配角模型 【例题1】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D，E分别为BC，AC上的点，∠B＝2∠CDE，∠ADE＝45°，AB＝5，AE＝3，则BD的长为_________． 【巩固练习1】如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，点D在边AC上，∠ABD＝∠C，求AD的长． 【巩固练习2】如图，在中，，点为中点，，则的值为 ．（后续计算用到相似） 3 / 61 学科网（北京）股份有限公司 $$2025届中考复习 2025届中考复习专题：全等三角形模型综合 总览 题型解读 模块一 常考几何模型 【题型1】手拉手模型 【题型2】一线三等角模型 【题型3】平行线夹中点 【题型4】构造一线三垂直 【题型5】倍长中线法 【题型6】截长补短法 模块二 角平分线模型 【题型1】角平分线+垂一边 【题型2】作角平分线的垂线 【题型3】角平分线的截长补短 【题型4】角平分线+平行线得等腰 【题型5】角平分线分线段成比例 模块三 旋转模型 【题型1】半角模型 【题型2】邻边相等+对角互补 【题型3】鸡爪模型 模块四 辅助线构造综合 【题型1】作平行线 【题型2】以手拉手模型为背景的综合题 【题型3】婆罗摩及多模型 【题型4】脚蹬脚 【题型5】绝配角模型 题型汇编 知识梳理与常考题型 模型1 倍长中线模型 （一）基本模型 已知：在△ABC中，AD是BC边上的中线， 方法：延长AD到点E，使ED＝AD，连接BE． 结论1：△ACD≌△EBD． 已知：在△ABC中，点D是BC边的中点，点E是AB边上一点， 方法：连接ED，延长ED到点F，使DF＝DE，连接CF． 结论2：△BDE≌△CDF． 已知：在△ABC中，点D是BC边的中点， 方法：作CE⊥AD于E，BF⊥AD于F， 结论3：易证：△CDE≌△BDF（SAS） （二）结论推导 结论1：△ACD≌△EBD． 证明：∵AD是BC边上的中线，∴CD＝BD．∵∠ADC＝∠EDB，AD＝ED，∴△ACD≌△EBD． 结论2：△BDE≌△CDF． 证明：∵点D是BC边的中点，∴BD＝CD．∵∠BDE＝∠CDF，DE＝DF，∴△BDE≌△CDF． （三）解题技巧 遇到中点或中线，则考虑使用“倍长中线模型”，即延长中线，使所延长部分与中线相等，然后连接相应的顶点，构造出全等三角形． 模型2 一线三等角模型 （一）基本模型 已知：点P在线段AB上，∠1＝∠2＝∠3，AP＝BD（或AC＝BP或CP＝PD）． 同 侧 型 结论1：△CAP≌△PBD． 异 侧 型 结论2：△APC≌△BDP （二）结论推导 图1图2证明：∵∠1＋∠C＋∠APC＝180°，∠2＋∠BPD＋∠APC＝180°，∠1＝∠2，∴∠C＝∠BPD ∵∠1＝∠3，AP＝BD（或AC＝BP或CP＝PD），∴△CAP≌△PBD． 结论2：△APC≌△BDP． 证明：∵∠1＝∠C＋∠APC，∠2＝∠BPD＋∠D，∠3＝∠BPD＋∠APC，∠1＝∠2＝∠3， ∴∠C＝∠BPD，∠APC＝∠D．∵AP＝BD（或AC＝BP或CP＝PD），∴△APC≌△BDP． （三）解题技巧 在一条线段上出现三个相等的角，且有一组边相等时，则考虑使用一线三等角全等模型．找准三个等角，再根据平角性质、三角形内角和进行等角代换，判定三角形全等，然后利用全等三角形的性质解题．一线三等角模型常以等腰三角形、等边三角形、四边形（正方形或矩形）为背景，在几何综合题中考查． 特殊的：一线三垂直模型 已知 ∠ABC=∠ACE=∠CDE=90°，AC=CE ∠ABC=∠ACE=∠CDE=90°，AC=CE 图示 结论 模型3 半角模型 （一）基本模型 半角模型 等边三角形含半角 已知：△ABC是等边三角形，D为△ABC外一点， ∠BDC＝120°，BD＝CD，点E，F分别在AB，AC上， ∠EDF＝60°． 结论1：EF＝BE＋CF， ∠DEB＝∠DEF，∠DFC＝∠DFE． 正方形含半角 已知：四边形ABCD是正方形，点E，F分别在BC，CD上，∠EAF＝45°． 结论2：EF＝BE＋DF， ∠AEB＝∠AEF，∠AFD＝∠AFE． 等腰直角三角形含半角 已知：△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°， 点D，E在BC上，∠DAE＝45°． 结论3：DE 2＝BD 2＋CE 2． （二）结论推导 结论1：EF＝BE＋CF，∠DEB＝∠DEF，∠DFC＝∠DFE． 证明：延长AC到点G，使CG＝BE，连接DG． ∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°． ∵∠BDC＝120°，BD＝CD，∴∠DBC＝∠DCB＝30°， ∴∠DBE＝∠DCF＝90°，∴∠DBE＝∠DCG＝90°， ∴△BDE≌△CDG，∴DE＝DG，∠DEB＝∠G，∠BDE＝∠CDG． ∵∠EDF＝60°，∴∠BDE＋∠CDF＝60°， ∴∠CDG＋∠CDF＝60°，即∠GDF＝60°． ∵DF＝DF，∴△DEF≌△DGF，∴EF＝FG，∠DEF＝∠G，∠DFC＝∠DFE． ∴∠DEB＝∠DEF．∵FG＝CG＋CF，∴EF＝BE＋CF． 结论2：EF＝BE＋DF， ∠AEB＝∠AEF，∠AFD＝∠AFE． 证明：延长CB到点G，使BG＝DF，连接AG． ∵正方形ABCD，∴∠ABG＝∠D＝90°，AB＝AD， ∴△ABG≌△ADF，∴AG＝AF，∠G＝∠AFD，∠BAG＝∠DAF． ∵∠EAF＝45°，∴∠BAE＋∠DAF＝45°，∴∠BAE＋∠BAG＝45°，即∠EAG＝45°． ∵AE＝AE，∴△AEF≌△AEG，∴EF＝EG，∠AEB＝∠AEF，∠AFE＝∠G． ∴∠AFD＝∠AFE．∵EG＝BE＋BG，∴EF＝BE＋DF． 结论3：DE 2＝BD 2＋CE 2． 证明：将△ABD绕点A逆时针旋转90°到△ACF，连接EF． ∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°， ∴∠B＝∠ACB＝45°，∴∠ACF＝∠B＝45°， ∴∠ECF＝90°，∴EF 2＝CF 2＋CE 2＝BD 2＋CE 2， ∵∠DAE＝45°，∴∠BAD＋∠CAE＝45°， ∴∠CAF＋∠CAE＝45°，即∠FAE＝45°． ∵AE＝AE，∴△AEF≌△AED，∴EF＝DE，∴DE 2＝BD 2＋CE 2． （三）解题技巧 对于半角模型，一般情况下都需要做辅助线（延长或旋转），构造全等，通过等量代换得到相关的结论． 模型4 手拉手模型 （一）基本模型 已知：在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，连接BD，CE相交于O，连接OA． 结论1：△ABD≌△ACE，BD＝CE， 结论2：∠BOC＝∠BAC， 结论3：OA平分∠BOE． （二）结论推导 结论1：△ABD≌△ACE，BD＝CE． 证明：∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE． ∵AB＝AC，AD＝AE，∴△ABD≌△ACE， ∴BD＝CE． 结论2：∠BOC＝∠BAC． 证明：设OB与AC相交于点F． ∵△ABD≌△ACE，∴∠ABD＝∠ACE． ∵∠AFB＝∠OFC，∴∠BOC＝∠BAC． 结论3：OA平分∠BOE． 证明：过点A分别做BD，CE的垂线，垂足为G，H． ∵△ABD≌△ACE，∴S△ABD ＝S△ACE， ∴＝． ∵BD＝CE，∴AG＝AH， ∴OA平分∠BOE． （三）解题技巧 如果题目中出现两个等腰三角形，可以考虑连接对应的顶点，用旋转全等模型；如果只出现一个等腰三角形，可以用旋转的方法构造旋转全等． 模型5 对角互补+邻边相等模型 模型解读：通过做垂线或者利用旋转构造全等三角形解决问题。 已知：，，利用旋转构造全等 结论：OC平分∠AOB 作垂线 旋转 拓展 模型6 平行线夹中点模型 已知：AB//CD，点E是BC的中点 【模型分析】口诀：有中点，有平行，轻轻延长就能行 如图①，延长DE交AB于点F，易证：△DCE≌△FBE（AAS）。 如图②，延长AE交CD延长线于点F，易证：△ABE≌△FCE（AAS） 模型7 角平分线相关模型 一、模型介绍 （1）角平分线基本性质 已知：OP平分∠MON，过点P作PA⊥OM于点A，PB⊥ON于点B． 结论：PA＝PB，OA＝OB． （2）结论推导 结论：PA＝PB，OA＝OB． 证明：∵OP平分∠MON，∴∠AOP＝∠BOP． ∵∠OAP＝∠OBP＝90°，OP＝OP， ∴△AOP≌△BOP，∴PA＝PB，OA＝OB． 二、解题技巧 如果图形中有角平分线，可以考虑用角平分线模型．一般直接用角平分线的性质，即角平分线上的点到角两边的距离相等，或者作平行线构造等腰三角形，或者截相等的线段构造全等三角形． 1、尺规作角平分线（SSS） 第一步：在纸上画一个角，作为要被平分的角∠AOB。 第二步：以角的顶点O为圆心，任意长度为半径画圆弧，交角的两边OA、OB于C、D两点。 第三步：以C为圆心，大于OC且小于OD（或反之）长度为半径画圆弧。 第四步：以D为圆心，与第三步相同的半径画圆弧。 第五步：两圆弧交于E点，连接顶点O和E，OE即为∠AOB的平分线。 2、角平分线常见模型及辅助线作法 （1）过角平分线上的点作角两边的垂线，构造全等三角形 （2）角平分线上任意一点作角平分线的垂线，构造全等三角形. (即角平分线+垂线得等腰三角形) （3）角平分线+平行线得等腰三角形 （4）截取构造对称全等(截长补短) （5）角平分线分线段成比例:(常用二级结论) 简证：∵， ∴,∴ （6）旁心：三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点 结论：AD平分∠CAD 简证 模型8 截长补短模型 方法 截长法 补短法 条件 在△ABC中AD平分∠BAC,∠C=2∠B,求证：AB=AC+CD 图示 方法 在AB上截取AE=AC,连接DE 延长AC到点E，使CD=CE,连接DE 结论 △DEB是等腰三角形 △CDE是等腰三角形 【总结】 （1）“截长补短法”是初中几何题中一种添加辅助线的方法，也是把几何题化难为易的一种靠略，截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短就是通过延长或旋转等方式使两条短边拼合到一起，从而解决问题. （2）截长或补短后，如果出现的全等三角形或特殊三角形能推动证明，那么辅助线是成功的，否则，就应该换一个截长或补短的方式，甚至换一种解题思路. 模型9 鸡爪模型（构造手拉手） 半角模型 等 边 三 角 形 点在内部 做法：将△ABD绕点A逆时针旋转60°， 得到等边△AEC，连接DE 结论：△DEC的三条边长就是AD，BD，CD． 点在外部 ∠BDC=120° 做法：将△ACD绕点A逆时针旋转60°， 得到等边△AEC，连接DE． 结论：． 等 腰 直 角 三 角 形 点D在△ABC内部 做法：将△ABD绕点A逆时针旋转90°， 得到等腰直角△AEC，连接DE． 结论：△DEC的三条边长就是AD，BD，CD． 点D在外部 ∠BDC=90° 做法：将△ACD绕点A逆时针旋转60°， 得到等边△AEC，连接DE． 结论： 模型10 绝配角模型 （一）基本模型 已知：在△ABC中，∠ABC＝90°，点D为边BC上一点，∠C＝2∠BAD，延长DB到点E，使BE＝BD，连接AE． 结论：AC＝EC． （二）结论推导 结论：AC＝EC． 证明：∵∠ABC＝90°，BE＝BD，∴AE＝AD，∴∠E＝∠ADE，∠BAE＝∠BAD，∴∠EAD＝2∠BAD． ∵∠C＝2∠BAD，∴∠EAD＝∠C，∴∠CAE＝∠ADE＝∠E，∴AC＝EC． （三）解题技巧 如果题目中出现二倍角，可以考虑用绝配角模型，构造等腰三角形，绝配角＋等腰三角形＋全等三角形一般同时出现，然后用勾股定理或相似求解．构造等腰三角形是这类绝配角问题的重要方法． 模型11 婆罗摩笈模型 题目特征 共直角顶点的正方形或等腰直角三角形，出现垂直. 共直角顶点的正方形或等腰直角三角形，出现中点. 条件 四边形ABCD、CEFG为正方形，连接BE、DG，I、C、H三点共线,CH⊥BE 四边形ABCD、CEFG为正方形，连接BE、DG，I、C、H三点共线,点I为DG中点 图示 作法 分别过点D、G作DM⊥CI与点M，NG⊥CI于点N 延长IC到点P，使PI＝IC，连接PG 结论 ① DI＝IG(知垂直得中点) 2 3 BE＝2IC ①CH⊥BE(知中点得垂直) ②BE＝2IC ③ 如图，△ABC和△DBE是等腰直角三角形，连接AD，CE，M，N分别在AD，CE上，且MN经过点B 【性质1：垂直得中点】若MN⊥CE，则①点N是AD的中点，②＝，③CE＝2BN． 【证明】如图，（知垂直得中点，一线三垂直） 过A作AP⊥MN，垂足为P，过D作DQ⊥MN交MN的延长线于Q， 易证：△ABP≌△BCM，AP＝BM，△DQB≌△BME，DQ＝BM，∴AP＝DQ 易证：△APN≌△DQN，∴AN＝DN ②如图，由①知，S＝S ，S＝S，S＝S ∴S＝S＋S＝S＋S＋S－S ＝S＋S＝S＋S＝S，即S＝S，得证． ③如图，由①得，PN＝QN， ∴CE＝CM＋EM＝BP＋BQ＝BN－NP＋BN＋QN＝2BN，得证． 【性质2：中点得垂直】若点N是AD的中点，则①MN⊥CE． 【证明】如图，（知中点得垂直，倍长中线） 证明：延长BN至点P，使BN＝PN，连结PN， 易证：△PAD≌BDA,∴BC＝PD，BE=PA ∵PA∥BD，∴∠PAB＋∠ABD＝180°， 又∵∠ABC＝∠DBE＝90°∴∠CBE＋∠ABD＝180°，∴∠CBE＝∠PAB， 易证：△CBE≌△PAB， ∴∠BCM＝∠ABN，∵∠ABN＋∠CBM＝90°∴∠BCM＋∠CBM＝90°∴∠BMC＝90° 模型12 脚蹬脚模型（海盗埋宝藏） 模型成立条件：等腰三角形顶角互补 已知：△ABC、△ADE为等腰直角三角形，∠B=∠D=90°，AB=CB，AD=ED，点F为CE的中点， 则△BFD是等腰直角三角形． A B C E D A B C E D F 【证明】法一：倍长中线 延长DF至点G，使得FG=FD，易证△DEF≌△GCF（SAS）； 所以CG=ED=AD，∠2=∠7； 又∠1+∠2+∠3=360°，∠3+∠4+∠5+∠6+∠7=540°（五边形内角和）， ∠4=∠6=90°； 所以∠3+∠5+∠7=∠1+∠2+∠3，所以∠1=∠5；则△BCG≌△BAD（SAS）， 所以∠DBG=90°，BG=BD；所以BF=DG=DF，BF⊥DF. 法二：构造手拉手模型 将△ABC沿AB 对称，将△ADE 沿AD对称 连接PE，CQ，易知△ACQ≌△APE，进而得出PE=CQ且PE⊥CQ，而BE是△CPE的中位线，CD是△CQE的中位线，故BF=DF，且BF⊥FD 模块一 常考几何模型 【题型1】手拉手模型 【例题1】如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转后得到，则阴影部分面积为 ． 【答案】16 【详解】解：∵在△ABC中，AB=8，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转30°后得到△A1BC1， ∴△ABC≌△A1BC1，∴A1B=AB=8，∴△A1BA是等腰三角形，∠A1BA=30°，过点A1作于点D ∴ ∴×8×4=16， 又∵，，∴=16． 【例题2】（青海·中考真题）两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来，则形成一组全等的三角形，把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形. (1)问题发现： 如图1，若和是顶角相等的等腰三角形，BC，DE分别是底边.求证：；           图1 图2 (2)解决问题：如图2，若和均为等腰直角三角形，，点A，D，E在同一条直线上，CM为中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系并说明理由. 【答案】(1)见解析 (2)； 【分析】（1）先判断出∠BAD=∠CAE，进而利用SAS判断出△BAD≌△CAE，即可得出结论； （2）同（1）的方法判断出△BAD≌△CAE，得出AD=BE，∠ADC=∠BEC，最后用角的差，即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵和是顶角相等的等腰三角形， ∴，，，∴，∴． 在和中，，∴，∴． （2）解：，， 理由如下：由（1）的方法得，， ∴，， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵，， ∴． ∵， ∴， ∴． ∴． 【例题3】（山东烟台·中考真题）如图，在等边三角形ABC中，点E是边AC上一定点，点D是直线BC上一动点，以DE为一边作等边三角形DEF，连接CF． 【问题解决】 （1）如图1，若点D在边BC上，求证：CE+CF＝CD； 【类比探究】 （2）如图2，若点D在边BC的延长线上，请探究线段CE，CF与CD之间存在怎样的数量关系？并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）FC＝CD+CE，见解析 【分析】（1）在CD上截取CH＝CE，易证△CEH是等边三角形，得出EH＝EC＝CH，证明△DEH≌△FEC（SAS），得出DH＝CF，即可得出结论； （2）过D作DG∥AB，交AC的延长线于点G，由平行线的性质易证∠GDC＝∠DGC＝60°，得出△GCD为等边三角形，则DG＝CD＝CG，证明△EGD≌△FCD（SAS），得出EG＝FC，即可得出FC＝CD+CE． 【详解】（1）证明：在CD上截取CH＝CE，如图1所示： ∵△ABC是等边三角形， ∴∠ECH＝60°， ∴△CEH是等边三角形， ∴EH＝EC＝CH，∠CEH＝60°， ∵△DEF是等边三角形， ∴DE＝FE，∠DEF＝60°， ∴∠DEH+∠HEF＝∠FEC+∠HEF＝60°， ∴∠DEH＝∠FEC， 在△DEH和△FEC中， ， ∴△DEH≌△FEC（SAS）， ∴DH＝CF， ∴CD＝CH+DH＝CE+CF， ∴CE+CF＝CD； （2）解：线段CE，CF与CD之间的等量关系是FC＝CD+CE；理由如下： ∵△ABC是等边三角形， ∴∠A＝∠B＝60°， 过D作DG∥AB，交AC的延长线于点G，如图2所示： ∵GD∥AB， ∴∠GDC＝∠B＝60°，∠DGC＝∠A＝60°， ∴∠GDC＝∠DGC＝60°， ∴△GCD为等边三角形， ∴DG＝CD＝CG，∠GDC＝60°， ∵△EDF为等边三角形， ∴ED＝DF，∠EDF＝∠GDC＝60°， ∴∠EDG＝∠FDC， 在△EGD和△FCD中， ， ∴△EGD≌△FCD（SAS）， ∴EG＝FC， ∴FC＝EG＝CG+CE＝CD+CE． 【巩固练习1】（2022·山东烟台·中考真题）   (1)【问题呈现】如图1，△ABC和△ADE都是等边三角形，连接BD，CE．求证：BD＝CE． (2)【类比探究】如图2，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°．连接BD，CE．请直接写出的值． (3)【拓展提升】如图3，△ABC和△ADE都是直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，且＝＝．连接BD，CE． ①求的值； ②延长CE交BD于点F，交AB于点G．求sin∠BFC的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3)①；② 【分析】（1）证明△BAD≌△CAE，从而得出结论； （2）证明△BAD∽△CAE，进而得出结果； （3）①先证明△ABC∽△ADE，再证得△CAE∽△BAD，进而得出结果； ②在①的基础上得出∠ACE＝∠ABD，进而∠BFC＝∠BAC，进一步得出结果． 【详解】（1）证明：∵△ABC和△ADE都是等边三角形， ∴AD＝AE，AB＝AC，∠DAE＝∠BAC＝60°， ∴∠DAE﹣∠BAE＝∠BAC﹣∠BAE， ∴∠BAD＝∠CAE， ∴△BAD≌△CAE（SAS）， ∴BD＝CE； （2）解：∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形， ，∠DAE＝∠BAC＝45°， ∴∠DAE﹣∠BAE＝∠BAC﹣∠BAE， ∴∠BAD＝∠CAE， ∴△BAD∽△CAE， ； （3）解：①，∠ABC＝∠ADE＝90°， ∴△ABC∽△ADE， ∴∠BAC＝∠DAE，， ∴∠CAE＝∠BAD， ∴△CAE∽△BAD， ； ②由①得：△CAE∽△BAD， ∴∠ACE＝∠ABD， ∵∠AGC＝∠BGF， ∴∠BFC＝∠BAC， ∴sin∠BFC． 【巩固练习2】（2023·四川自贡·中考真题）如图1，一大一小两个等腰直角三角形叠放在一起，，分别是斜边，的中点，．    (1)将绕顶点旋转一周，请直接写出点，距离的最大值和最小值； (2)将绕顶点逆时针旋转（如图），求的长． 【答案】(1)最大值为，最小值为 (2) 【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线，得出的值，进而根据题意求得最大值与最小值即可求解； （2）过点作，交的延长线于点，根据旋转的性质求得，进而得出，进而可得，勾股定理解，即可求解． 【详解】（1）解：依题意，，， 当在的延长线上时，的距离最大，最大值为， 当在线段上时，的距离最小，最小值为；    （2）解：如图所示，过点作，交的延长线于点，    ∵绕顶点逆时针旋转， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， 在中，， ∴． 【巩固练习3】（山东潍坊·中考真题）如图1，在中，，点D，E分别在边上，且，连接．现将绕点A顺时针方向旋转，旋转角为，如图2，连接． （1）当时，求证：； （2）如图3，当时，延长交于点，求证：垂直平分； （3）在旋转过程中，求的面积的最大值，并写出此时旋转角的度数． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）的面积的最大值为，旋转角的度数为 【分析】（1）利用 “SAS”证得△ACE△ABD即可得到结论； （2）利用 “SAS”证得△ACE△ABD，推出∠ACE=∠ABD，计算得出AD=BC=，利用等腰三角形“三线合一”的性质即可得到结论； （3）观察图形，当点D在线段BC的垂直平分线上时，的面积取得最大值，利用等腰直角三角形的性质结合三角形面积公式即可求解． 【详解】（1）根据题意：AB=AC，AD=AE，∠CAB=∠EAD=90， ∵∠CAE+∠BAE =∠BAD+∠BAE =90， ∴∠CAE=∠BAD， 在△ACE和△ABD中，， ∴△ACE△ABD(SAS)， ∴CE=BD； （2）根据题意：AB=AC，AD=AE，∠CAB=∠EAD=90， 在△ACE和△ABD中，， ∴△ACE△ABD(SAS)， ∴∠ACE=∠ABD， ∵∠ACE+∠AEC=90，且∠AEC=∠FEB， ∴∠ABD+∠FEB=90， ∴∠EFB=90， ∴CF⊥BD， ∵AB=AC=，AD=AE=1，∠CAB=∠EAD=90， ∴BC=AB =，CD= AC+ AD=， ∴BC= CD， ∵CF⊥BD， ∴CF是线段BD的垂直平分线； （3）中，边BC的长是定值，则BC边上的高取最大值时的面积有最大值， ∴当点D在线段BC的垂直平分线上时，的面积取得最大值，如图： ∵∵AB=AC=，AD=AE=1，∠CAB=∠EAD=90，DG⊥BC于G， ∴AG=BC=，∠GAB=45， ∴DG=AG+AD=，∠DAB=180-45=135， ∴的面积的最大值为：， 旋转角． 【巩固练习4】（广西贵港·中考真题）已知在ABC中，O为BC边的中点，连接AO，将AOC绕点O顺时针方向旋转（旋转角为钝角），得到EOF，连接AE，CF． （1）如图1，当∠BAC＝90°且AB＝AC时，则AE与CF满足的数量关系是 ； （2）如图2，当∠BAC＝90°且AB≠AC时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由； （3）如图3，延长AO到点D，使OD＝OA，连接DE，当AO＝CF＝5，BC＝6时，求DE的长．    【答案】（1）；（2）成立，证明见解析；（3） 【分析】（1）结论．证明，可得结论． （2）结论成立．证明方法类似（1）． （3）首先证明，再利用相似三角形的性质求出，利用勾股定理求出即可． 【详解】解：（1）结论：． 理由：如图1中，    ，，， ，， ， ， ，， ， ． （2）结论成立． 理由：如图2中，      ，， ， ， ， ，， ， ． （3）如图3中，    由旋转的性质可知， ， ， ， ，，， ， ， ， ， ， ， ． 【题型2】一线三等角模型 【例题1】（2023·山东聊城·中考真题）如图，在四边形中，点E是边上一点，且，．    (1)求证：； (2)若，时，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由求出，然后利用证明，可得，再由等边对等角得出结论； （2）过点E作于F，根据等腰三角形的性质和含直角三角形的性质求出和，然后利用勾股定理求出，再根据三角形面积公式计算即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴，即， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴； （2）解：过点E作于F， 由（1）知， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴．    【例题2】（2023·湖北荆州·中考真题）如图1，点是线段上与点，点不重合的任意一点，在的同侧分别以，，为顶点作，其中与的一边分别是射线和射线，的两边不在直线上，我们规定这三个角互为等联角，点为等联点，线段为等联线． (1)如图2，在个方格的纸上，小正方形的顶点为格点、边长均为1，为端点在格点的已知线段．请用三种不同连接格点的方法，作出以线段为等联线、某格点为等联点的等联角，并标出等联角，保留作图痕迹； (2)如图3，在中，，，延长至点，使，作的等联角和．将沿折叠，使点落在点处，得到，再延长交的延长线于，连接并延长交的延长线于，连接． ①确定的形状，并说明理由； ②若，，求等联线和线段的长（用含的式子表示）． 【答案】(1)见解析 (2)①等腰直角三角形，见解析；②； 【分析】（1）根据新定义，画出等联角； （2）①是等腰直角三角形，过点作交的延长线于．由折叠得，，，证明四边形为正方形，进而证明，得出即可求解； ②过点作于，交的延长线于，则．证明，得出，在中，，，进而证明四边形为正方形，则，由，得出，根据相似三角形的性质得出，根据即可求解． 【详解】（1）解：如图所示（方法不唯一） （2）①是等腰直角三角形．理由为： 如图，过点作交的延长线于． 由折叠得，， ，， 四边形为正方形 又， ，而， 是等腰直角三角形． ②过点作于，交的延长线于，则． ， ， 由是等腰直角三角形知：， ， ，，而， ， 在中，，， ， ， ， 由，， ∴四边形为正方形，， 由，得：， ∴， ，而， 即，解得：， 由①知：，， ． 【巩固练习1】（2024·山东威海·中考真题）将一张矩形纸片（四边形）按如图所示的方式对折，使点C落在上的点处，折痕为，点D落在点处，交于点E．若，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查矩形的折叠问题，全等三角形的判定和性质，勾股定理，先根据勾股定理求出，然后证明，得到，，即可得到，，然后在中，利用解题即可． 【详解】解：在中，， 由折叠可得，， 又∵是矩形， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴，， 设，则， 在中，，即， 解得： 【巩固练习2】（2023·广西·中考真题）如图，是边长为4的等边三角形，点D，E，F分别在边，，上运动，满足．    (1)求证：； (2)设的长为x，的面积为y，求y关于x的函数解析式； (3)结合（2）所得的函数，描述的面积随的增大如何变化． 【答案】(1)见详解 (2) (3)当时，的面积随的增大而增大，当时，的面积随的增大而减小 【分析】（1）由题意易得，，然后根据“”可进行求证； （2）分别过点C、F作，，垂足分别为点H、G，根据题意可得，，然后可得，由（1）易得，则有，进而问题可求解； （3）由（2）和二次函数的性质可进行求解． 【详解】（1）证明：∵是边长为4的等边三角形， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：分别过点C、F作，，垂足分别为点H、G，如图所示：    在等边中，，， ∴， ∴， 设的长为x，则，， ∴， ∴， 同理（1）可知， ∴， ∵的面积为y， ∴； （3）解：由（2）可知：， ∴，对称轴为直线， ∴当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小； 即当时，的面积随的增大而增大，当时，的面积随的增大而减小． 【巩固练习3】（2024·重庆·中考真题）如图，在中，延长至点，使，过点作，且，连接交于点．若，，则 ． 【答案】 【分析】先根据平行线分线段成比例证，进而得，，再证明，得，从而即可得解． 【详解】解：∵，过点作，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴ 【巩固练习4】（湖北鄂州·中考真题）如图，在边长为6的等边△ABC中，D、E分别为边BC、AC上的点，AD与BE相交于点P，若BD=CE=2，则△ABP的周长为 ． 【答案】 【分析】如图所示，过点E作EF⊥AB于F，先解直角三角形求出AF，EF，从而求出BF，利用勾股定理求出BE的长，证明△ABD≌△BCE得到∠BAD=∠CBE，AD=BE，再证明△BDP∽△ADB，得到，即可求出BP，PD，从而求出AP，由此即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点E作EF⊥AB于F， ∵△ABC是等边三角形， ∴AB=BC，∠ABD=∠BAC=∠BCE=60°， ∵CE=BD=2，AB=AC=6， ∴AE=4， ∴， ∴BF=4， ∴， 又∵BD=CE， ∴△ABD≌△BCE（SAS）， ∴∠BAD=∠CBE，AD=BE， 又∵∠BDP=∠ADB， ∴△BDP∽△ADB， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴△ABP的周长， 故答案为：． 【题型3】平行线夹中点 【例题1】如图，AB∥CD，∠BCD＝60°，点E为AD的中点，若AB＝2，BC＝6，CD＝8，则BE的长为_________． 【答案】3 【解析】延长BE交CD于点F． ∵AB∥CD，∴∠A＝∠D，∠ABE＝∠DFE． ∵点E为AD的中点，∴AE＝DE，∴△ABE≌△DFE，∴BE＝EF，DF＝AB＝2． ∵CD＝8，∴CD＝6．∵BC＝6，∠BCD＝60°，∴△BCF是等边三角形，∴BF＝BC＝6，∴BE＝3． 【巩固练习1】（四川泸州·中考真题）如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E是BC的中点，点F在CD上，且CF=3DF，AE，BF相交于点G，则AGF的面积是 ． 【答案】． 【分析】延长AG交DC延长线于M，过G作GH⊥CD，交AB于N，先证明△ABE≌△MCE，由CF=3DF，可求DF=1，CF=3，再证△ABG∽△MFG，则利用相似比可计算出GN，再利用两三角形面积差计算S△DEG即可． 【详解】解：延长AG交DC延长线于M，过G作GH⊥CD，交AB于N，如图， ∵点E为BC中点， ∴BE=CE， 在△ABE和△MCE中， ， ∴△ABE≌△MCE（ASA）， ∴AB=MC=4， ∵CF=3DF，CF+DF=4， ∴DF=1，CF=3，FM=FC+CM=3+4=7， ∵AB∥MF， ∴∠ABG=∠MFG，∠AGB=∠MGF， ∴△ABG∽△MFG， ∴， ∵， ∴， S△AFG=S△AFB-S△AGB=， 故答案为． 【巩固练习2】（深圳中考）如图，已知四边形ABCD为等腰梯形，AD∥BC，AB=CD，AD=，E为CD中点，连接AE，且AE=2，∠DAE=30°，作AE⊥AF交BC于F，则BF=（　　） A．1 B．3﹣ C．﹣1 D．4﹣2 【答案】D 【详解】试题分析：如答图，延长AE交BC的延长线于G， ∵E为CD中点，∴CE=DE． ∵AD∥BC，∴∠DAE=∠G=30°． ∵在△ADE和△GCE中，∠DAE=∠G，∠AED=∠GEC，CE=DE， ∴△ADE≌△GCE（AAS）．∴CG=AD=，AE=EG=2．∴AG=AE+EG=2+2=4． ∵AE⊥AF，∴AF=AGtan30°=，GF=AG÷cos30°=． 过点A作AM⊥BC于M，过点D作DN⊥BC于N，则MN=AD=， ∵四边形ABCD为等腰梯形，∴BM=CN． ∵MG=AG•cos30°=，∴CN=MG﹣MN﹣CG=6﹣﹣=6﹣2． ∵AF⊥AE，AM⊥BC，∴∠FAM=∠G=30°．∴FM=AF•sin30°=． ∴BF=BM﹣MF=6﹣2﹣2=4﹣2． 故选D． 【题型4】构造一线三垂直 【例题1】（广西河池·中考真题）如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E，F分别在CD，AC上，，，则AF的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过作的垂线分别交于,由，证明，设，根据，求得，在中，利用勾股定理即可求得． 【详解】如图，过作的垂线分别交于， 四边形是正方形， ， ， 四边形是矩形， ，， ， ， ， ， 四边形是正方形， ， ， ， 在和中， （AAS）， ， 设，则， ， 即， 解得， ， 四边形是正方形，， ， ， ． 【例题2】（2024·山东烟台·中考真题）在等腰直角中，，，D为直线上任意一点，连接．将线段绕点D按顺时针方向旋转得线段，连接． 【尝试发现】 （1）如图1，当点D在线段上时，线段与的数量关系为________； 【类比探究】 （2）当点D在线段的延长线上时，先在图2中补全图形，再探究线段与的数量关系并证明； 【联系拓广】 （3）若，，请直接写出的值． 【答案】（1）；（2），补图及证明见解析；（3）或 【分析】本题考查三角形全等的判定与性质，三角函数，掌握一线三垂直全等模型是解题的关键． （1）过点作延长线于点，利用一线三垂直全等模型证明，再证明即可； （2）同（1）中方法证明，再证明即可； （3）分两种情况讨论：过点作延长线于点，求出，即可． 【详解】解：（1）如图，过点作延长线于点， 由旋转得，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （2）补全图形如图： ，理由如下： 过点作交于点， 由旋转得，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）如图，当在的延长线上时，过点作于点，连接， 由（2）得，， ∴， ∴， ∴． 当在的延长线上时，过点作于点，如图，连接， 同理可得：， ∴，， ∴， ∴， ∴； 综上：或 【巩固练习1】（2024·江苏南通·中考真题）如图，在中，，．正方形的边长为，它的顶点D，E，G分别在的边上，则的长为 ． 【答案】 【分析】过点作，易得为等腰直角三角形，设，得到，证明，得到，进而得到，，在中，利用勾股定理求出的值，根据平行线分线段成比例，求出的长即可． 【详解】解：过点作，则：， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 设，则：， ∵正方形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理，得：， ∴，解得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ 【巩固练习2】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D为AC上一点，CE⊥BD于点E，连接AE，若CE＝4，则△ACE的面积为_________． A E D B C 【答案】8 【解析】过点A作AF⊥CE，交CE的延长线于点F． A E D B C F ∵CE⊥BD，AF⊥CE，∴∠BEC＝∠CFA＝90°， ∴∠EBC＋∠BCE＝90°． ∵∠ACB＝90°，∴∠FCA＋∠BCE＝90°， ∴∠FCA＝∠EBC． ∵AC＝BC，∴△CAF≌△BCE， ∴AF＝CE＝4，∴S△ACE ＝CE·AF＝×4×4＝8． 【巩固练习3】（2024·重庆·中考真题）如图，在正方形的边上有一点，连接，把绕点逆时针旋转，得到，连接并延长与的延长线交于点．则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点F作延长线的垂线，垂足为点H，则，证明，则，设，得到，则，故，同理可求，则，因此． 【详解】解：过点F作延长线的垂线，垂足为点H，则， 由旋转得， ∵四边形是正方形， ∴，，，设， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，，设， 则， ∴， ∴，而， ∴， ∴， ∵， ∴， 同理可求， ∴， ∴ 【巩固练习4】（2023·江苏南通·中考真题）正方形中，点在边，上运动（不与正方形顶点重合）．作射线，将射线绕点逆时针旋转45°，交射线于点．    (1)如图，点在边上，，则图中与线段相等的线段是___________； (2)过点作，垂足为，连接，求的度数； (3)在（2）的条件下，当点在边延长线上且时，求的值． 【答案】(1) (2)的度数为或 (3) 【分析】（1）根据正方形的性质和已知条件得到，即可得到答案； （2）当点在边上时，过点作，垂足为，延长交于点，证明，得到，推出为等腰直角三角形，得到答案； 当点在边上时，过点作，垂足为，延长交延长线于点，则四边形是矩形，同理得到，得到为等腰直角三角形得到答案； （3）由平行的性质得到分线段成比例． 【详解】（1）． 正方形， ， ， ， ． （2）解：①当点在边上时（如图）， 过点作，垂足为，延长交于点． ， 四边形是矩形． ． ，， ， 为等腰直角三角形，． ． ． ． ， ． 为等腰直角三角形，． ．    ②当点在边上时（如图）， 过点作，垂足为，延长交延长线于点，则四边形是矩形， 同理，． ． 为等腰直角三角形，． ．    综上，的度数为45°或135°． （3）解：当点在边延长线上时，点在边上（如图）， 设，则． ． ． ，． 【巩固练习5】（2023·江苏南通·中考真题）正方形中，点在边，上运动（不与正方形顶点重合）．作射线，将射线绕点逆时针旋转45°，交射线于点．    (1)如图，点在边上，，则图中与线段相等的线段是___________； (2)过点作，垂足为，连接，求的度数； (3)在（2）的条件下，当点在边延长线上且时，求的值． 【答案】(1) (2)的度数为或 (3) 【分析】（1）根据正方形的性质和已知条件得到，即可得到答案； （2）当点在边上时，过点作，垂足为，延长交于点，证明，得到，推出为等腰直角三角形，得到答案； 当点在边上时，过点作，垂足为，延长交延长线于点，则四边形是矩形，同理得到，得到为等腰直角三角形得到答案； （3）由平行的性质得到分线段成比例． 【详解】（1）． 正方形， ， ， ， ． （2）解：①当点在边上时（如图）， 过点作，垂足为，延长交于点． ， 四边形是矩形． ． ，， ， 为等腰直角三角形，． ． ． ． ， ． 为等腰直角三角形，． ．    ②当点在边上时（如图）， 过点作，垂足为，延长交延长线于点，则四边形是矩形， 同理，． ． 为等腰直角三角形，． ．    综上，的度数为45°或135°． （3）解：当点在边延长线上时，点在边上（如图），设，则． ． ． ， ． 【巩固练习6】（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）综合与实践：如图1，这个图案是3世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，受这幅图的启发，数学兴趣小组建立了“一线三直角模型”．如图2，在中，，将线段绕点顺时针旋转得到线段，作交的延长线于点．    (1)【观察感知】如图2，通过观察，线段与的数量关系是______； (2)【问题解决】如图3，连接并延长交的延长线于点，若，，求的面积； (3)【类比迁移】在(2)的条件下，连接交于点，则______； (4)【拓展延伸】在(2)的条件下，在直线上找点，使，请直接写出线段的长度． 【答案】(1) (2)10 (3) (4)或 【分析】（1）根据旋转的性质可得，，进而证明，即可求解； （2）根据（1）的方法证明，进而证明，求得，则，然后根据三角形的面积公式，即可求解． （3）过点作于点，证明得出，证明，设，则，代入比例式，得出，进而即可求解； （4）当在点的左侧时，过点作于点，当在点的右侧时，过点作交的延长线于点，分别解直角三角形，即可求解． 【详解】（1）解：∵将线段绕点顺时针旋转得到线段，作交的延长线于点．   ， ， ， ， ， 又且 ， ； （2）解：， ， ， ， ， 又且， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：如图所示，过点作于点，    ∵， ∴ ∴， 即，即， 又∵ ∴ ∴， 设，则， 解得： ∴； （4）解：如图所示，当在点的左侧时，过点作于点    ∵ ∴，设，则， 又∵， ∴， ∴ ∴ ∴ ∴， 解得： 在中， ∴ ∴ 如图所示，当在点的右侧时，过点作交的延长线于点，    ∵ ∴ ∵ ∴ 设，则，， ∵， ∴ 解得： ∴ ∴ 综上所述， 或． 【题型5】倍长中线法 【例题】（2024·四川达州·模拟预测）[问题背景]在中，，求边上的中线的取值范围，小组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图1）：延长到E，使得，再连接，把集中在中． (1)利用上述方法求出的取值范围是_________； (2)[探究]如图2，在中，为边上的中线，点D在的延长线上，且，与相交于点O，若四边形的面积为20，求的面积； (3)[拓展]如图3，在四边形中，，E为的中点，G、F分别为边上的点，若，，，求的长． 【答案】(1) (2)50 (3) 【分析】（1）证明得，再根据三角形三边关系求得的取值范围，进而完成解答； （2）连接．过点A作交的延长线于点T．证明得出，证出，设的面积为x，由四边形面积列出方程求解即可； （3）延长至点M，使得，连接，过点M作，交的延长线于点N，证明，得到，，求出，则，继而证明为等腰直角三角形，得到，则，利用勾股定理求出，同理可得． 【详解】（1）解：根据题意：延长到点E，使，再连接， ∴， ∵是边上的中线， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． （2）解：如图：连接．过点A作交的延长线于点T． ∴， ∵为边上的中线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 设的面积为x, ∵， ∴的面积为， ∵， ∴的面积为,的面积为， ∵， ∴的面积=的面积=, ∴四边形的面积的面积的面积， ∴． ∴的面积为50． （3）解：如图，延长至点M，使得，连接，过点M作，交的延长线于点N， ∵E为中点， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴． 【巩固练习1】（2024·重庆渝北·模拟预测）如图， 在中，， 若，为的中线， 点E在边上(不与端点重合)，与交于点 F， 若， 则 ． 【答案】 【分析】如图，倍长至，使，连接，易证，设，在中，，则，，利用勾股定理求出，证明，得到，设，由相似三角形，得，从而可得答案． 【详解】解：如图，倍长至，使，连接， ∵为的中线， ∴，而， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴，而， ∴， ∴， ∴，设， 在中，， 则， 解得：， ∵，，，为的中线， ∴，， ， ， ， ， ， ∴， 设， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得．经检验符合题意； ， 【巩固练习2】（2024·山东菏泽·二模）【方法回顾】 如图1，在中，D，E分别是边的中点，小明在证明“三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半”时，通过延长到点F，使，连接，证明，再证四边形是平行四边形即得证． （1）上述证明过程中： ①证明的依据是（_____） A．    B．    C．    D． ②证明四边形是平行四边形的依据是_______； 【类比迁移】 （2）如图2，是的中线，交于点E，交于点F，且，求证：．小明发现可以类比材料中的思路进行证明． 证明：如图2，延长至点G，使，连接，请根据小明的思路完成证明过程； 【理解运用】 （3）如图3，四边形与四边形均为正方形，连接，点P是的中点，连接．请判断线段与的数量关系及位置关系．（不要求证明） 【答案】（1）①A；②一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；（2）见解析；（3）， 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质，正确作出辅助线是解题的关键． （1）①根据判断全等三角形的方法，证明，即可解答； ②利用全等三角形的性质，得到，，可得，，即可解答； （2）证明，即可解答； （3）延长交于点，延长使得，证明，再利用全等三角形的性质和正方形的性质，证明，利用角度转换即可得到，． 【详解】（1）①解： D，E分别是边的中点， ， 在与中， ， ， 故选：A； ②， ，， ， 点是的中点， ， 四边形是平行四边形， 故答案为：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； （2）证明：在和中， ， ， ， , , ； （3）如图，延长交于点，延长使得， 根据（2）中原理，可得， ，， 四边形与四边形均为正方形， ，，， ， ， ，， ， ， ，． 【巩固练习3】（山东泰安·中考真题）若和均为等腰三角形，且． （1）如图（1），点B是的中点，判定四边形的形状，并说明理由； （2）如图（2），若点G是的中点，连接并延长至点F，使．求证：①，②． 【答案】（1）四边形BEAC是平行四边形，证明见解析；（2）①见解析；②见解析 【分析】（1）利用等腰直角三角形的性质证得，，推出，再根据平行于同一直线的两直线平行即可推出结论； （2）①利用“SAS”证得，即可证明结论； ②延长至点H，使，证得，推出，利用①的结论即可证明． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形． 理由如下： ∵为等腰三角形且， ∴， ∵B是的中点， ∴， ∴， ∵是等腰三角形，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴． ∴． ∴四边形是平行四边形． （2）证明：①∵和为等腰三角形， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∴； ②延长至点H，使． ∵G是中点， ∴， 又， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【题型6】截长补短法 【例题1】课堂上，老师提出了这样一个问题： 如图1，在中，平分交于点D，且，求证：，小明的方法是：如图2，在上截取，使，连接，构造全等三角形来证明． (1)小天提出，如果把小明的方法叫做“截长法”，那么还可以用“补短法”通过延长线段构造全等三角形进行证明．辅助线的画法是：延长至F，使=______，连接请补全小天提出的辅助线的画法，并在图1中画出相应的辅助线； (2)小芸通过探究，将老师所给的问题做了进一步的拓展，给同学们提出了如下的问题： 如图3，点D在的内部，分别平分，且．求证：．请你解答小芸提出的这个问题（书写证明过程）； (3)小东将老师所给问题中的一个条件和结论进行交换，得到的命题如下： 如果在中，，点D在边上，，那么平分小东判断这个命题也是真命题，老师说小东的判断是正确的．请你利用图4对这个命题进行证明． 【分析】（1）延长至F，使，连接，根据三角形的外角性质得到，则可利用证明，根据全等三角形的性质可证明结论； （2）在上截取，使，连接，则可利用证明，根据全等三角形的性质即可证明结论； （3）延长至G，使，连接，则可利用证明，根据全等三角形的性质、角平分线的定义即可证明结论． 【解析】（1）证明：（1）如图1，延长至F，使，连接，则， ∴， ∵平分 ∴，   ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． （2）证明：如图3，在上截取，使，连接 ∵分别平分， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴，   ∴， ∴， ∴． （3）证明：如图4：延长至G，使，连接，则， ∴， ∵， ∴， ∵，   ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴ ∴，即平分． 【例题2】如图，正方形中，是的中点，交外角的平分线于．    （1）求证：； （2）如图，当是上任意一点，而其它条件不变，是否仍然成立？若成立，请证明，若不成立，请说明理由． 【分析】（1）取的中点，连接，根据已知及正方形的性质利用判定，从而得到；（2）成立，在上取，连接，根据已知及正方形的性质利用判定，从而得到． 【详解】 （1）证明：取的中点，连接，如图； 是正方形，； ， ， ， ∴， 又∵，， 在和中， ，； （2）解：成立． 在上取，连接，如图， 为正方形， ，，，又∵， ∴，在和中，，． 【例题3】（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）数学老师在课堂上给出了一个问题，让同学们探究．在中，，点D在直线上，将线段绕点A顺时针旋转得到线段，过点E作，交直线于点F． （1）当点D在线段上时，如图①，求证：； 分析问题：某同学在思考这道题时，想利用构造全等三角形，便尝试着在上截取，连接，通过证明两个三角形全等，最终证出结论： 推理证明：写出图①的证明过程： 探究问题：　　 （2）当点D在线段的延长线上时，如图②：当点D在线段的延长线上时，如图③，请判断并直接写出线段，，之间的数量关系； 拓展思考： （3）在（1）（2）的条件下，若，，则______． 【答案】（1）见解析；（2）图②：，图③：；（3）10或18 【分析】（1）在边上截取，连接，根据题意证明出，得到，然后证明出是等边三角形，得到，进而求解即可； （2）图②：在上取点H，使，连接并延长到点G使，连接，首先证明出是等边三角形，得到，然后求出，然后证明出，得到，，然后证明出是等边三角形，得到，进而求解即可； 图③：在上取点H使，同理证明出，得到，，进而求解即可； （3）根据勾股定理和含角直角三角形的性质求出，，然后结合，分别（1）（2）的条件下求出的长度，进而求解即可． 【详解】（1）证明：在边上截取，连接． 在中，． ， ． 又， ． 又，， ． 又， ． ． ． ． ， ． 是等边三角形． ， ， ； （2）图②：当点D在线段的延长线上时，，证明如下： 如图所示，在上取点H，使，连接并延长到点G使，连接， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵线段绕点A顺时针旋转得到线段， ∴，， ∴， ∴，即， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴； 图③：当点D在线段的延长线上时，，证明如下∶ 如图所示，在上取点H使， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵将线段绕点A顺时针旋转得到线段， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴； （3）如图所示， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 由（1）可知，， ∴； 如图所示，当点D在线段的延长线上时， ∵，与矛盾， ∴不符合题意； 如图所示，当点D在线段的延长线上时， ∵，， ∴， 由（2）可知，， ∵， ∴． 综上所述，或18． 【巩固练习1】如图，和是等腰三角形，且，，，，以为顶点作一个角，角的两边分别交边，于点、，连接，点、分别在、CA延长线上，则、、之间存在什么样的关系？并说明理由． 【答案】）EF=FC-BE． 【分析】在CA上截取CG=BE,连接DG，由等腰三角形的性质，可得，，进而证明 得到，据此方法再证明 ，最后根据全等三角形的性质解题即可． 【详解】在CA上截取CG=BE,连接DG 是等腰三角形， 在和中， CG=BE， 在和中， FD=FD， 【巩固练习2】如图，△ABC为等腰直角三角形，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D在线段AB上，连接CD，∠ADC＝60°，AD＝2，过C作CE⊥CD，且CE＝CD，连接DE，交BC于F． （1）求△CDE的面积；（2）证明：DF+CF＝EF． （1）解：在Rt△ADC中，∵AD＝2，∠ADC＝60°， ∴∠ACD＝30°，∴CD＝CE＝2AD＝4， ∵EC⊥CD，∴∠ECD＝90°， ∴S△ECD＝•CD•CE＝×4×4＝8． （2）证明：在EF上取一点M，使得EM＝DF， ∵EC＝CD，∠E＝∠CDF＝45°， ∴△ECM≌△DCF， ∴CM＝CF， ∵∠ADC＝60°， ∠FDB＝180°﹣60°﹣45°＝75°， ∴∠DFB＝∠CFM＝180°﹣75°﹣45°＝60°， ∴△CFM是等边三角形， ∴CF＝MF，∴EF＝EM+MF＝DF+CF． 【巩固练习3】在中，BE，CD为的角平分线，BE，CD交于点F． （1）求证：； （2）已知． ①如图1，若，，求CE的长； ②如图2，若，求的大小． 【答案】（1）证明见解析；（2）2.5；（3）100°． 【详解】解：（1）、分别是与的角平分线， ， ， ， （2）如解（2）图，在BC上取一点G使BG=BD， 由（1）得， ， ， ∴， 在与中， ， ∴（SAS） ∴， ∴， ∴， ∴ 在与中， ， ， ， ， ； ∵，， ∴ （3）如解（3）图，延长BA到P，使AP=FC， ， ∴， 在与中， ， ∴（SAS） ∴，， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， 模块二 角平分线模型 【题型1】角平分线+垂一边 【例题1】如图，在中，以顶点A为圆心，以适当长为半径画弧，分别交于点，，再分别以点M，N为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点，作于点，若，，的面积为13，则AC的长为（    ）    A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】B 【分析】过点作于点F，根据角平分线的尺规作图方法可知：平分，再根据角平分线的性质，可得，再根据，求解即可． 【详解】解：如图，过点作于点F，      由题意可知：平分， ∵，， ∴， ∵，， ，∴，∴． 【例题2】如图，在中，，，点为上任意一点，连接，，，则线段，，之间的数量关系为　　． 【解答】解：如图作于，交的延长线于． 是直径， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ，，， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ． 故答案为． 【例题3】如图，的外角的平分线与内角的平分线交于点，若，则　　 A． B． C． D． 【解答】解：延长，作，，， 设， 平分， ，， 平分， ，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ． 故选：． 【例题4】（2024·内蒙古·中考真题）如图，，平分，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)过点B作于点G，若，请直接写出四边形的形状． 【答案】(1)证明见详解 (2)四边形为正方形 【分析】（1）由角平分线的定义可得出，由平行线的性质可得出，等量代换可得出，利用证明 ，由全等三角形的性质得出，结合已知条件可得出四边形是平行四边形． （2）由已知条件可得出，由平行四边形的性质可得出，，根据平行线的性质可得出，，由全等三角形的性质可得出，等量代换可得出， 即可得出四边形为正方形． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 由∵， ∴四边形是平行四边形． （2）四边形是正方形． 过点B作于点G， ∴， ∵四边形是平行四边形． ∴，， ∴，， ∴，， 由（1）， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是正方形． 【巩固练习1】（2024·西藏·中考真题）如图，在中，，以点B为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点D，E，再分别以点D，E为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点P，作射线交于点F．已知，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了作图基本作图：作角平分线，角平分线的性质定理，勾股定理及全等三角形的判定与性质等知识．根据基本作图可判断平分，过F作于G，再利用角平分线的性质得到，根据勾股定理求出，证明，得出，设，则，，根据勾股定理得出，求出，根据勾股定理求出． 【详解】解：过F作于G， 由作图得：平分，，， ∴， 在中根据勾股定理得：， ，， ， ， 设，则，， 在中，根据勾股定理得： ， 即：， 解得：， ， 在中根据勾股定理得：． 【巩固练习2】如图，中，、的角平分线、交于点，延长、，则下列结论中正确的个数　　 ①平分； ②； ③； ④若，，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【解答】解：①作于，于，于， 平分，平分，，， ，， ， 点在的角平分线上，故①正确； ②，， ， ， 在和中，， ， ， 同理：， ， ， ，②正确； ③平分，平分， ，， ，③正确； ④， ， 同理：， ， ，④正确； 故选：． 【巩固练习3】（2023·四川·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知点，点，点在轴上，且点在点右方，连接，，若，则点的坐标为 ．    【答案】 【分析】根据已知条件得出，根据等面积法得出，设，则，进而即可求解． 【详解】解：∵点，点， ∴， ， ∵， ∴， 过点作于点，    ∵，是的角平分线， ∴ ∵ ∴ 设，则， ∴ 解得：或（舍去） ∴ 【巩固练习4】如图，在直角坐标系中，以坐标原点，，为顶点的，其两个锐角对应的外角角平分线相交于点，且点恰好在反比例函数的图象上，则的值为　　． 【答案】 【解答】解：过分别作、轴、轴的垂线，垂足分别为、、，如图， ，， ，， ， 的两个锐角对应的外角角平分线相交于点， ，， ， 设，则， ， ， 解得， ， 把代入得． 故答案为． 【题型2】作角平分线的垂线 【例题1】如图，在等腰中，，，为的角平分线，过点作交的延长线与点，若，则的长为 ．    【答案】4 【分析】延长与的延长线相交于点，利用证明和全等，进而利用全等三角形的性质解答即可． 【详解】解：如图，延长与的延长线相交于点，    ，， ， 在和中， ， ， ， 是的平分线， ． 在和中， ， ， ， ， ． 【巩固练习1】如图，中，，点D是边上的一个动点，连接并延长，过点B作交延长线于点F,平分，，求的值．    【答案】3 【分析】如图，分别延长，交于点．证明，得到，再证明，即可得到； 【详解】解：如图，分别延长，交于点．    ∵， ∴， 又∵， ∴． 在和中， ∴． ∴； ∵， ∴， ∵平分， ∴． 在和中， ∴． ∴ 【巩固练习2】 【巩固练习3】 【题型3】角平分线的截长补短 【例题1】如图，在四边形中，E是边的中点，平分且，若，，则 ．      【答案】6 【分析】方法一：在上截取，使得，证明，可得，，再证明，得，进而可求出的长； 方法二：延长、交于点G，证明得，，再证明得，进而可求出的长． 【详解】方法一：在上截取，使得      ∵平分， ∴， ∵， ∴ ∴， 又∵， ∴ ∵E是边的中点， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 方法二：延长、交于点G      ∵平分且 ∴ ∵ ∴ ∴， ∵， ∴ ∴ ∴ ∴ 【例题2】（2024·内蒙古通辽·中考真题）【实际情境】 手工课堂上，老师给每个制作小组发放一把花折伞和制作花折伞的材料及工具．同学们认真观察后，组装了花折伞的骨架，粘贴了彩色伞面，制作出精美的花折伞． 【模型建立】 （1）如图1，从花折伞中抽象出“伞形图”．，．求证：． 【模型应用】 （2）如图2，中，的平分线交于点．请你从以下两个条件： ①；②中选择一个作为已知条件，另一个作为结论，并写出结论成立的证明过程．（注：只需选择一种情况作答） 【拓展提升】 （3）如图3，为的直径，，的平分线交于点，交于点，连接．求证：． 【答案】（1）见解析；（2）选择②为条件，①为结论或选择①为条件，②为结论；证明见解析；（3）见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，直角三角形斜边上的中线性质，三角形的外角性质等： （1）利用证明，即可； （2）选择②为条件，①为结论：在取点N，使，连接，证明，可得，，再由，可得，从而得到，即可；选择①为条件，②为结论：在取点N，使，连接，证明，可得，，再由，可得，从而得到，即可； （3）连接，取的中点F，连接，根据圆周角定理可得，从而得到，再由为的直径，可得，从而得到，然后根据，可得，可证明，从而得到，即可． 【详解】解：（1）在和中， ∵，，， ∴， ∴； （2）解：选择②为条件，①为结论 如图，在取点N，使，连接， ∵平分， ∴， 在和中， ∵，，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； 选择①为条件，②为结论 如图，在取点N，使，连接， ∵平分， ∴， 在和中， ∵，，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）如图，连接，取的中点F，连接， ∵的平分线， ∴， ∴， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【巩固练习1】已知：如图，四边形中，，平分，且．求证：． 【解答】证明：在边上取点，使，连接． 平分 在和中 ． ，． ， ． ． 即． 【巩固练习2】（2024·河南信阳·一模）数学兴趣小组利用角平分线构造全等模型开展探究活动，请仔细阅读完成相应的任务． 活动1：用尺规作已知角的平分线、如图1所示，则由，可得． 活动2：如图2，在中，，是的平分线，在上截取，则． 完成以下任务： (1)在活动1和2中，判定三角形全等的依据分别是________（填序号）； ①    ②    ③   ④    ⑤ (2)如图3，在中，，是的两条角平分线，且交于点P，试猜想与之间的数量关系，并说明理由； (3)如图4，在四边形中，，，的平分线和的平分线恰好交于边上的点P，若，，当有一个内角是时，请直接写出的长：________． 【答案】(1)④① (2)，理由见解析 (3)6或 【分析】（1）活动1：根据判断；活动2根据可判断； （2）由，，则；在上截取，连接，先证明，得，，所以，再证明，得，所以； （3）证明，延长，交于点，根据三角函数的定义求得，，分三种情况讨论，由角平分线的性质和锐角三角函数可求解． 【详解】（1）解：活动1：由作图知，，又， ∴， ∴； 活动2：由作图知， ∵是的平分线， ∴，又， ∴， 故答案为：④①； （2）解：，理由如下： 如图③，在上截取，连接， ， ， ，是的两条角平分线， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ； （3）解：∵， ， 的平分线和的平分线交于边上点， ，， ， ， ， ∵，， ∴， ， ， ，． 如图，延长，交于点， ∵， ， ， ， ， 若时，则， （不合题意舍去）； 若时，则， 过点作于，于， ， ， ， ∴， ∴； 若时， 过点作于， ， ， ， ， ， ，， ，， ， ， ∴； 综上，的长为6或． 故答案为：6或． 【题型4】角平分线+平行线得等腰 【例题1】（2022·内蒙古鄂尔多斯·中考真题）如图，∠AOE＝15°，OE平分∠AOB，DE∥OB交OA于点D，EC⊥OB，垂足为C．若EC＝2，则OD的长为（　　） A．2 B．2 C．4 D．4+2 【答案】C 【分析】过点E作EH⊥OA于点H，根据角平分线的性质可得EH＝EC，再根据平行线的性质可得∠ADE的度数，再根据含30°角的直角三角形的性质可得DE的长度，再证明OD＝DE，即可求出OD的长． 【详解】解：过点E作EH⊥OA于点H，如图所示： ∵OE平分∠AOB，EC⊥OB， ∴EH＝EC， ∵∠AOE＝15°，OE平分∠AOB， ∴∠AOC＝2∠AOE＝30°， ∵DE∥OB， ∴∠ADE＝30°， ∴DE＝2HE＝2EC， ∵EC＝2， ∴DE＝4， ∵∠ADE＝30°，∠AOE＝15°， ∴∠DEO＝15°， ∴∠AOE＝∠DEO， ∴OD＝DE＝4， 故选：C． 【例题2】（2024·陕西·中考真题）如图，在中，，E是边上一点，连接，在右侧作，且，连接．若，，则四边形的面积为 ． 【答案】60 【分析】本题考查等边对等角，平行线的性质，角平分线的性质，勾股定理：过点作，，根据等边对等角结合平行线的性质，推出，进而得到，得到，进而得到四边形的面积等于，设，勾股定理求出的长，再利用面积公式求出的面积即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分， 过点作，， 则：， ∵，且， ∴， ∴四边形的面积， ∵， ∴， 设，则：， 由勾股定理，得：， ∴， 解：， ∴， ∴， ∴四边形的面积为60． 【巩固练习1】（2022·四川南充·中考真题）如图，在中，的平分线交于点D，DE//AB，交于点E，于点F，，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据角平分线的性质得到CD=DF=3，故B正确；根据平行线的性质及角平分线得到AE=DE=5，故C正确；由此判断D正确；再证明△BDF∽△DEC，求出BF，故A错误． 【详解】解：在中，的平分线交于点D，， ∴CD=DF=3，故B正确； ∵DE=5， ∴CE=4， ∵DE//AB， ∴∠ADE=∠DAF， ∵∠CAD=∠BAD， ∴∠CAD=∠ADE， ∴AE=DE=5，故C正确； ∴AC=AE+CE=9，故D正确； ∵∠B=∠CDE，∠BFD=∠C=90°， ∴△BDF∽△DEC，     ∴, ∴，故A错误 【巩固练习2】（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，在四边形中，连接，已知，，，，则（   ） A． B．5 C． D．2 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理，角平分线的性质，全等三角形的性质与判定，等边对等角等等，过点C作交的延长线于点E，先由等边对等角和平行线的性质证明，即平分．再由角平分线的性质得到，则可证明得到，则，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，过点C作交的延长线于点E． ∵， ． ∵， ， ，即平分． ∵，即，且， ． ∴ ， ． 在中，由勾股定理得， ． 故选A． 【巩固练习3】（2023·山东·中考真题）已知：射线平分为上一点，交射线于点，交射线于点，连接．    (1)如图1，若，试判断四边形的形状，并说明理由； (2)如图2，过点作，交于点；过点作，交于点．求证：． 【答案】(1)四边形是菱形，理由见解析 (2)见解析 【分析】（1）过点A作于F，于G，先由角平分线性质得，再证明，得，证明，得，从而得出，再根据平行线性质与角平分线定义证明，得，从而得，即可得出结论； （2）连接，过点A作于H，作于G，证明，得，证明，得，证明，得，从而得，根据平行线等分线段定理即可得出结论． 【详解】（1）解：四边形是菱形，理由如下： 过点A作于F，于G，如图1，    ∵平分，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∵平分， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴， ∴四边形是菱形． （2）证明：连接，过点A作于H，作于G，如图2，    ∵平分，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ， ∴， ∴，   ∴， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， ∴，   ∵，， ∴， ∵， ∴． 【题型5】角平分线分线段成比例 【例题】如图1，AD是∠BAC的角平分线，P为AD上任意一点，PM⊥AB于M，PN⊥AC于N． 求证：PM＝PN； 如图2，在△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若AB＝5，AC＝3，求的值； 如图3，在△ABC中，AD是∠BAC的外角平分线，若AB＝5，AC＝3，求BC与CD的数量关系． A P B C D M N A D B C F E A B C D 图1 图2 图3 【解析】（1）∵AD是∠BAC的角平分线，∴∠PAM＝∠PAN． ∵PM⊥AB，PN⊥AC，∴∠AMP＝∠ANP＝90°． ∵AP＝AP，∴△APM≌△APN，∴PM＝PN． （2）∵AD是∠BAC的角平分线，∴∠DAE＝∠DAF． ∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠AED＝∠AFD＝90°． ∵AD＝AD，∴△ADE≌△ADF，∴DE＝DF， ∴＝＝＝＝． 过点D作DG⊥AB于点G，DH⊥AC于点H． A B C D G H ∵AD是∠BAC的外角平分线，∴∠DAG＝∠DAH． ∵DG⊥AB，DH⊥AC，∴∠G＝∠H＝90°． ∵AD＝AD，∴△ADG≌△ADH，∴DG＝DH， ∴＝＝＝，∴＝＝． 模块三 旋转模型 【题型1】半角模型 【例题1】（2024·重庆·中考真题）如图，在边长为4的正方形中，点是上一点，点是延长线上一点，连接，，平分．交于点．若，则的长度为（　　） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，先由正方形的性质得到，再证明得到，进一步证明得到，设，则， 在中，由勾股定理得，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴ 【例题2】（2024·四川乐山·中考真题）在一堂平面几何专题复习课上，刘老师先引导学生解决了以下问题： 【问题情境】 如图1，在中，，，点D、E在边上，且，，，求的长． 解：如图2，将绕点A逆时针旋转得到，连接．    由旋转的特征得，，，． ∵，， ∴． ∵， ∴，即． ∴． 在和中， ，，， ∴___①___． ∴． 又∵， ∴在中，___②___． ∵，，    ∴___③___． 【问题解决】 上述问题情境中，“①”处应填：______；“②”处应填：______；“③”处应填：______． 刘老师进一步谈到：图形的变化强调从运动变化的观点来研究，只要我们抓住了变化中的不变量，就能以不变应万变． 【知识迁移】 如图3，在正方形中，点E、F分别在边上，满足的周长等于正方形的周长的一半，连结，分别与对角线交于M、N两点．探究的数量关系并证明．    【拓展应用】 如图4，在矩形中，点E、F分别在边上，且．探究的数量关系：______（直接写出结论，不必证明）．    【问题再探】 如图5，在中，，，，点D、E在边上，且．设，，求y与x的函数关系式．    【答案】【问题解决】①；②；③5；【知识迁移】，见解析；【拓展应用】；【问题再探】 【分析】【问题解决】根据题中思路解答即可； 【知识迁移】如图，将绕点逆时针旋转，得到．过点作交边于点，连接．由旋转的特征得．结合题意得．证明，得出．根据正方形性质得出．结合，得出．证明，得出．证明．得出．在中，根据勾股定理即可求解； 【拓展应用】如图所示，设直线交延长线于点，交延长线于点，将绕着点顺时针旋转，得到，连接．则．则，，根据，证明，得出，过点H作交于点O，过点H作交于点M，则四边形为矩形．得出，证明是等腰直角三角形，得出，，在中，根据勾股定理即可证明； 【问题再探】如图，将绕点逆时针旋转，得到，连接．过点作，垂足为点，过点作，垂足为．过点作，过点作交于点、交于点．由旋转的特征得．根据，得出，证明，得出，根据勾股定理算出，根据，表示出，证明，根据相似三角形的性质表示出，，同理可得．，证明四边形为矩形．得出，，在中，根据勾股定理即可求解； 【详解】【问题解决】解：如图2，将绕点A逆时针旋转得到，连接．    由旋转的特征得，，，． ∵，， ∴． ∵， ∴，即． ∴． 在和中，，，， ∴①． ∴． 又∵， ∴在中，②． ∵，， ∴③． 【知识迁移】． 证明：如图，将绕点逆时针旋转，得到． 过点作交边于点，连接．    由旋转的特征得． 由题意得， ∴． 在和中，， ∴． ∴． 又∵为正方形的对角线， ∴． ∵， ∴． 在和中，， ∴， ∴． 在和中，， ∴． ∴． 在中，， ∴． 【拓展应用】． 证明：如图所示，设直线交延长线于点，交延长线于点，    将绕着点顺时针旋转，得到，连接． 则． 则，， ， ， 在和中 ， ， ∴， 过点H作交于点O，过点H作交于点M，则四边形为矩形． ∴， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， 在中，，， ∴， 即， 又∴， ∴， 即， 【问题再探】如图，将绕点逆时针旋转，得到，连接．过点作，垂足为点，过点作，垂足为．过点作，过点作交于点、交于点．    由旋转的特征得． ， ， ，即， 在和中，， ， ， ， ， 又， ， ， ， ， ，即， ， 同理可得． ， ， ， 又∵， ∴四边形为矩形． ， ， 在中，． ， 解得． 【巩固练习1】如图，在四边形ABDC中，∠B+∠C＝180°，DB＝DC，∠BDC＝120°，以D为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB、AC于E、F两点，连接EF，探索线段BE、CF、EF之间的数量关系，并加以证明． 【解答】如图，结论：EF＝EB+FC，理由如下：延长AB到M，使BM＝CF， ∵∠ABD+∠C＝180°，又∠ABD+∠MBD＝180°，∴∠MBD＝∠C，在△BDM和△CDF中，，∴△BDM≌△CDF（SAS），∴DM＝DF，∠BDM＝∠CDF，∴∠EDM＝∠EDB+∠BDM＝∠EDB+∠CDF＝∠CDB﹣∠EDF＝120°﹣60°＝60°＝∠EDF， 在△DEM和△DEF中，，∴△DEM≌△DEF（SAS），∴EF＝EM，∴EF＝EM＝BE+BM＝EB+CF 【巩固练习2】（黑龙江齐齐哈尔·中考真题）综合与实践 数学实践活动，是一种非常有效的学习方式．通过活动可以激发我们的学习兴趣，提高动手动脑能力，拓展思推空间，丰富数学体验．让我们一起动手来折一折、转一转、剪一剪，体会活动带给我们的乐趣． 折一折：将正方形纸片ABCD折叠，使边AB、AD都落在对角线AC上，展开得折痕AE、AF，连接EF，如图1． （1）_________，写出图中两个等腰三角形：_________（不需要添加字母）； 转一转：将图1中的绕点A旋转，使它的两边分别交边BC、CD于点P、Q，连接PQ，如图2． （2）线段BP、PQ、DQ之间的数量关系为_________； （3）连接正方形对角线BD，若图2中的的边AP、AQ分别交对角线BD于点M、点N．如图3，则________； 剪一剪：将图3中的正方形纸片沿对角线BD剪开，如图4． （4）求证：． 【答案】（1）45，，；（2）；（3）；（4）见解析 【分析】（1）由翻折的性质可知：，，根据正方形的性质：, ，则，为等腰三角形； （2）如图：将顺时针旋转，证明全等，即可得出结论； （3）证明即可得出结论； （4）根据半角模型，将顺时针旋转，连接，可得，通过得出，为直角三角形，结合勾股定理即可得出结论． 【详解】（1）由翻折的性质可知： 为正方形 ， 为等腰三角形 （2）如图：将顺时针旋转， 由旋转的性质可得：， 由（1）中结论可得 为正方形， 在和中 （3）为正方形对角线 ， ， （4）如图：将顺时针旋转，连接， 由（2）中的结论可证 根据旋转的性质可得：， 在中有 【巩固练习3】（福建龙岩·模拟预测）如图，正方形的边长为a，点E在边上运动（不与点A、B重合），，点F在射线上，且，与相交于点G连接、、．则下列结论：①；②的周长为a；③；④的面积的最大值是；⑤当时，G是线段的中点．其中正确的结论是 ．（填写序号） 【答案】①④⑤ 【分析】①正确．如图1中，在上截取，连接．证明即可解决问题．②③错误．如图2中，延长到H，使得，则，再证明即可解决问题．④正确．设，则，构建二次函数，利用二次函数的性质解决最值问题．⑤正确．当时，设，则，利用勾股定理构建方程可得即可解决问题． 【详解】解：如图1中，在上截取，连接． ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故①正确，    如图2中，延长到H，使得，则， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，故③错误，    ∴的周长，故②错误，设，则， ∴， ∵，∴时，的面积的最大值为．故④正确， 当时，设，则， 在中，则有， 解得，∴，即G是线段的中点，故⑤正确， 故答案为：①④⑤． 【巩固练习4】（吉林长春·中考真题）实践与探究 操作一：如图①，已知正方形纸片ABCD，将正方形纸片沿过点A的直线折叠，使点B落在正方形ABCD的内部，点B的对应点为点M，折痕为AE，再将纸片沿过点A的直线折叠，使AD与AM重合，折痕为AF，则 度． 操作二：如图②，将正方形纸片沿EF继续折叠，点C的对应点为点N．我们发现，当点E的位置不同时，点N的位置也不同．当点E在BC边的某一位置时，点N恰好落在折痕AE上，则 度． 在图②中，运用以上操作所得结论，解答下列问题： （1）设AM与NF的交点为点P．求证：． （2）若，则线段AP的长为 ． 【答案】操作一：45°，操作二：60°；（1）证明见解析；（2） 【分析】操作一：直接利用折叠的性质，得出两组全等三角形，从而得出,,从而得出∠EAF的值； 操作二：根据折叠的性质得出 ,从而得出，即可求得的度数； （1）首先利用 ,得出 ,则,从而得出△ANF为等腰直角三角形，即可证得； （2）利用三角函数或者勾股定理求出BE的长，则,设DF=x，那么FC=，在Rt△EFC中，利用勾股定理得出DF的长，也就是MF的长，即可求得EF的长，进而可得结果． 【详解】操作一：45°，证明如下： ∵折叠得到 , 折叠得到 , ∴ , ∴ , ∴ , 故填：45°； 操作二：60°，证明如下： ∵， ∴ , 又∵沿着EF折叠得到 , ∴， ∴ , ∴ , 故填：60°； （1）证明： 由上述证明得,, ∴ , ∵四边形ABCD为正方形， ∴∠C=∠D=90°， ∴ ,, 又∵ , ∴, 在和中， ∵ , ∴ , ∴ , ∴ ， ∴ , ∴为等腰直角三角形， 即AN=NF, 在和中： ∵ ∴ （2）由题可知是直角三角形，,∴ , 解得BE=1,∴BE=EM=1,,设DF=x，则MF=x，CF=，在Rt△CEF中， ， ，解得x=，则，∵，∴AP=EF=． 【题型2】邻边相等+对角互补 【例题1】如图，在四边形ABCD中，∠ECF＝α（0°＜α＜90°），∠B+∠D＝180，CB＝CD，且BE+DF＝EF，则∠BCD＝　 　（用含α的代数式表示）. 【解答】如图，延长AB至点G，使BG＝DF，连接CG， 可得△CBG≌△CDF，∴CG＝CF，∠BCG＝∠DCF， 若BE+DF＝EF，则EG＝EF，∴△ECF≌△ECG（SSS）， ∴∠ECG＝∠ECF，∴∠BCD＝2∠ECF＝2α 【巩固练习1】如图，在四边形中，，，，，则四边形的面积等于 ． 【答案】 【详解】解：∵，，将绕点逆时针旋转，得，如图所示， ∴，， ∴， ∵，则， ∴点在的延长线上，且，， ∴是等边三角形，过点作于，， ∴，，∴， ∴ 【巩固练习2】如图，已知中，，以斜边为边向外作正方形，且正方形的对角线交于点，连接．已知，，则另一直角边的长为 ．    【答案】 【详解】解：如图，过点作于F，过点作于M，    四边形为正方形， ，， ， 由， ， ， 在和中， ， ， ，， 又， 四边形为矩形， ，， ，为等腰直角三角形， ，，解得：， ，则 【题型3】鸡爪模型 【例题1】如图，点O是等边三角形ABC内一点，OA＝2，OB＝1，OC＝，则△AOB与△BOC的面积之和为（ ）． A． B． C． D． 【答案】C 【解析】将△AOB绕点B顺时针旋转60°得到△CDB，连接OD． 则CD＝OA＝2，△BOD是等边三角形，∴OD＝OB＝1． ∵OC＝，∴OC 2＋OD 2＝CD 2， ∴∠DOC＝90°，∴S△COD ＝＝，S△BOD ＝＝， ∴S△AOB ＋S△BOC ＝S△CDB ＋S△BOC ＝S△BOD ＋S△COD ＝． 【例题2】(贵阳中考)如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点E，AC＝BC＝6，∠ACB＝∠ADB＝90°，若BE＝2AD，则△ABE的面积是_________． 【答案】 【解析】过点C作CF⊥CD，交BE于点F． 则△ACD≌△BCF，∴AD＝BF，CD＝CF， ∴∠CDF＝∠CFD＝45°． ∵BE＝2AD，∴BE＝2BF，∴BF＝EF， ∴CF＝BF，∴∠BCF＝∠CBF＝22.5°， ∴∠ABF＝∠CBF＝22.5°． 过点E作EG⊥AB于点G． ∴EG＝EC，∴AE＝＝， ∴S△ABE ＝S△ABC ＝＝． 模块四 辅助线构造综合 【题型1】作平行线 【例题1】如图，△ABC是边长为4的等边三角形，点P在AB上，过点P作PE⊥AC，垂足为E，延长BC至点Q，使CQ＝PA，连接PQ交AC于点D，则DE的长为（　　） A．1 B．1.8 C．2 D．2.5 【答案】C 【分析】过作的平行线交于，通过证明≌，得，再由是等边三角形，即可得出． 【详解】解：过作的平行线交于， ， 是等边三角形， ，， 是等边三角形， ， ∵CQ＝PA， ∴ 在中和中， ， ≌， ， 于，是等边三角形， ， ， ， ， 【例题2】【阅读材料】 教材习题 如图，、相交于点，是中点，，求证：是中点．   问题分析 由条件易证，从而得到，即点是的中点 方法提取 构造“平行字型”全等三角形模型是证明线段相等的一种常用方法    请运用上述阅读材料中获取的经验和方法解决下列问题． 【基础应用】已知中，，点在边上，点在边的延长线上，连接交于点． (1)如图1，若，，求证：点是的中点； (2)如图2，若，，探究与之间的数量关系； 【灵活应用】如图3，是半圆的直径，点是半圆上一点，点是上一点，点在延长线上，，，，当点从点运动到点，点运动的路径长为______，扫过的面积为______． 【答案】(1)见解析；(2)；【灵活应用】， 【分析】（1）过点作，证，即可得点是的中点； （2）过点作，可证，得，由，，得，再证，可得，由平行线分线段成比例得，由，可得，，即可得出； [灵活应用]：由题意可得，过点作，则，可得，进而可得，证，可知，过点作，则，，可得点在以为直径的半圆上运动，可求得运动的路径长度，过点作，则，，则点在以为直径的半圆上运动，可知扫过的面积为以为直径的半圆与以为直径的半圆的面积之差，即可求得答案． 【详解】解：（1）证明：，， ， 过点作，则，，    是等腰直角三角形，则， ， ， ， ， 又， ， ， 点是的中点； （2）过点作，则，    ，，则， ， ， ，， ， 又， ， ， ， ， 则， ， ； [灵活应用]： 是半圆的直径，点是半圆上一点， ， 过点作，则，    ， ， ， ， ， 又， ， ， 过点作，则，， ， ，， ，则 ， ， 点在以为直径的半圆上运动， 运动的路径长为： 过点作，则，，    ， ， 点在以为直径的半圆上运动， 则扫过的面积为以为直径的半圆与以为直径的半圆的面积之差， 即：扫过的面积为 故答案为：，． 【巩固练习1】（2024齐齐哈尔模拟）如图，在等边中，点为边上任意一点，点在边的延长线上，且．    (1)当点为的中点时（如图1），则有______（填“”“”或“”）； (2)猜想如图2，与的数量关系，并证明你的猜想． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】（1）由是等边三角形，得到，，由三线合一得到， ，由，得，由外角的性质得到，得到，则，证得； （2）过作交于，先证明是等边三角形，得到，再用证明，得到，进而证得猜想 【详解】（1）∵是等边三角形， ∴，． ∵E为的中点， ∴， ， ∵， ∴是等腰三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为： （2）解：．理由如下： 过E作交于F，    ∵是等边三角形， ∴，． ∴，，即． ∴是等边三角形． ∴． ∵， ∴，． ∵， ∴． ∴． 在和中， ∴． ∴，即． 【巩固练习2】【阅读理解】构造“平行八字型”全等三角形模型是证明线段相等的一种方法，我们常用这种方法证明线段的中点问题． 例如：如图，是边上一点，是的中点，过点作，交的延长线于点，则易证是线段的中点．    【经验运用】 请运用上述阅读材料中所积累的经验和方法解决下列问题．    （1）如图1，在正方形中，点在上，点在的延长线上，且满足，连接交于点． 求证：①是的中点； ②CG与BE之间的数量关系是：____________________________； 【拓展延伸】 （2）如图2，在矩形中，，点在上，点在的延长线上，且满足，连接交于点．探究和之间的数量关系是：____________________________； 【答案】（1）①见解析② （2） 【分析】（1）①过点作交于点，证明，得出即可； ②由等腰直角三角形的性质得出，由平行线得出，证出，由全等三角形的性质得出，即可得出结论； （2）作 交于点，由三角函数证出，得出，证，得出，，设，则，求出，则，得出，即可得出结果． 【详解】解：证明：①过点作交于点，如图1所示：   四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ， ， ，， 在和中，， ， ， 是的中点； ②在中，，， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， 即． （2）解：和之间的数量关系为：；理由如下：    过点作 交于点，如图2所示： 四边形是矩形， ，，， 在和中，，， ， ， ， ， ， ，， 在和中，， ， ，， 设，则， 在中，， ，， 即， ， ， ， ， ， ． 【题型2】以手拉手模型为背景的综合题 【例题1】如图，△ABC是等边三角形，D为△ABC外一点，∠ADC＝30°，AD＝3，CD＝2，则BD的长为_________． 【答案】 【解析】将△BCD绕点C顺时针旋转60°到△ACE，连接DE． 则BD＝AE，△CDE为等边三角形，DE＝CD＝2，∴∠ADE＝∠ADC＋∠CDE＝30°＋60°＝90°， ∴BD＝AE＝＝＝ 【例题2】（黑龙江·中考真题）和都是等边三角形． (1)将绕点A旋转到图①的位置时，连接BD，CE并延长相交于点P（点P与点A重合），有（或）成立；请证明． (2)将绕点A旋转到图②的位置时，连接BD，CE相交于点P，连接PA，猜想线段PA、PB、PC之间有怎样的数量关系？并加以证明； (3)将绕点A旋转到图③的位置时，连接BD，CE相交于点P，连接PA，猜想线段PA、PB、PC之间有怎样的数量关系？直接写出结论，不需要证明． 【答案】(1)证明见解析 (2)图②结论：，证明见解析 (3)图③结论： 【分析】（1）由△ABC是等边三角形，得AB=AC，再因为点P与点A重合，所以PB=AB，PC=AC，PA=0，即可得出结论； （2）在BP上截取，连接AF，证明（SAS），得，再证明（SAS），得，，然后证明是等边三角形，得，即可得出结论； （3）在CP上截取，连接AF，证明（SAS），得，再证明（SAS），得出，，然后证明是等边三角形，得，即可得出结论：． 【详解】（1）证明：∵△ABC是等边三角形， ∴AB=AC， ∵点P与点A重合， ∴PB=AB，PC=AC，PA=0， ∴或； （2）解：图②结论： 证明：在BP上截取，连接AF， ∵和都是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴（SAS）， ∴， ∵AC=AB，CP=BF，   ∴（SAS）， ∴，， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴； （3）解：图③结论：， 理由：在CP上截取，连接AF， ∵和都是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴（SAS）， ∴， ∵AB=AC，BP=CF， ∴（SAS），   ∴，， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 即． 【例题3】（2023·山东东营·一模）（1）问题：如图①，在中，，D为边上一点（不与点B，C重合），将线段绕点A逆时针旋转得到，连接，则线段和线段的数量关系是______，位置关系是______； （2）探索：如图②，在与中，，，将绕点A旋转，使点D落在边上，试探索线段，，之间满足的等量关系，并证明结论； （3）应用：如图3，在四边形中，．若，，求的长． 【答案】（1），；（2），理由见解析；（3）8 【分析】（1）证明，根据全等三角形的性质解答； （2）证明，得到，根据勾股定理计算即可； （3）如图3，作辅助线，构建全等三角形，证明，得到，证明是直角三角形，根据勾股定理计算即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∵线段绕点A逆时针旋转得到， ∴，， ∴， ∴，即， 又，， ∴， ∴，， ∴， ∴； （2）解：； 理由如下：连接：， ∵， ∴，即， 又，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴； （3）将线段绕点A逆时针旋转得到，连接，， ， 则，， ∴是等腰直角三角形，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 又， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 又，， ∴， 又， ∴， ∴. 【例题4】（2023·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）综合与实践 数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用的基本途径．通过探究图形的变化规律，再结合其他数学知识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地．    (1)发现问题：如图1，在和中，，，，连接，，延长交于点．则与的数量关系：______，______； (2)类比探究：如图2，在和中，，，，连接，，延长，交于点．请猜想与的数量关系及的度数，并说明理由； (3)拓展延伸：如图3，和均为等腰直角三角形，，连接，，且点，，在一条直线上，过点作，垂足为点．则，，之间的数量关系：______； (4)实践应用：正方形中，，若平面内存在点满足，，则______． 【答案】(1)， (2)，，证明见解析 (3) (4)或 【分析】（1）根据已知得出，即可证明，得出，，进而根据三角形的外角的性质即可求解； （2）同（1）的方法即可得证； （3）同（1）的方法证明，根据等腰直角三角形的性质得出，即可得出结论； （4）根据题意画出图形，连接，以为直径,的中点为圆心作圆，以点为圆心，为半径作圆，两圆交于点，延长至，使得，证明，得出，勾股定理求得，进而求得，根据相似三角形的性质即可得出，勾股定理求得，进而根据三角形的面积公式即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 设交于点，    ∵ ∴， 故答案为：，． （2）结论：，； 证明：∵， ∴，即， 又∵，， ∴ ∴， ∵，， ∴， ∴， （3），理由如下， ∵， ∴， 即， 又∵和均为等腰直角三角形 ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴； （4）解：如图所示，    连接，以为直径,的中点为圆心作圆，以点为圆心，为半径作圆，两圆交于点， 延长至，使得， 则是等腰直角三角形，    ∵, ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∵， 在中，， ∴ ∴ 过点作于点， 设，则， 在中，， 在中， ∴ ∴ 解得：，则， 设交于点，则是等腰直角三角形， ∴ 在中， ∴ ∴ 又， ∴ ∴ ∴， ∴ ∴， 在中，， ∴， 综上所述，或 故答案为：或． 【巩固练习1】如图，在中，，，，将线段绕着点逆时针旋转60°得到，，则的面积为 ． 【答案】 【详解】过点作交延长线于点，连接，如图，    根据旋转有：，， ∵，， ∴， ∵， ∴，即， ∴，即， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， 又， ∴为等腰直角三角形，   ∴， ∴， ∴， ∴ 【巩固练习2】（2023·甘肃武威·中考真题）【模型建立】 （1）如图1，和都是等边三角形，点关于的对称点在边上． ①求证：； ②用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由． 【模型应用】 （2）如图2，是直角三角形，，，垂足为，点关于的对称点在边上．用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由． 【模型迁移】 （3）在（2）的条件下，若，，求的值．    【答案】（1）①见解析；②，理由见解析；（2），理由见解析；（3） 【分析】（1）①证明：，再证明即可；②由和关于对称，可得．证明，从而可得结论； （2）如图，过点作于点，得，证明，．可得，证明，，可得，则，可得，从而可得结论； （3）由，可得，结合，求解，，如图，过点作于点．可得，，可得，再利用余弦的定义可得答案． 【详解】（1）①证明：∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∴． ∴．    ②．理由如下： ∵和关于对称， ∴． ∵， ∴． ∴． （2）．理由如下： 如图，过点作于点，得．      ∵和关于对称， ∴，． ∵， ∴， ∴． ∴． ∵是直角三角形，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴，即． （3）∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 如图，过点作于点．    ∵， ∴， ． ∴． ∴． 【巩固练习3】（山东济南·中考真题）如图1，△ABC是等边三角形，点D在△ABC的内部，连接AD，将线段AD绕点A按逆时针方向旋转60°，得到线段AE，连接BD，DE，CE． (1)判断线段BD与CE的数量关系并给出证明； (2)延长ED交直线BC于点F． ①如图2，当点F与点B重合时，直接用等式表示线段AE，BE和CE的数量关系为_______； ②如图3，当点F为线段BC中点，且ED＝EC时，猜想∠BAD的度数，并说明理由． 【答案】(1)，理由见解析 (2)①；②，理由见解析 【分析】（1）利用等边三角形的性质和旋转的性质易得到，再由全等三角形的性质求解； （2）①根据线段绕点A按逆时针方向旋转得到得到是等边三角形， 由等边三角形的性质和（1）的结论来求解；②过点A作于点G，连接AF，根据等边三角形的性质和锐角三角函数求值得到，，进而得到，进而求出，结合，ED＝EC得到，再用等腰直角三角形的性质求解． 【详解】（1）解：． 证明：∵是等边三角形， ∴，． ∵线段绕点A按逆时针方向旋转得到， ∴，， ∴， ∴， 即． 在和中 ， ∴， ∴； （2）解：① 理由：∵线段绕点A按逆时针方向旋转得到， ∴是等边三角形， ∴， 由（1）得， ∴； ②过点A作于点G，连接AF，如下图． ∵是等边三角形，， ∴， ∴． ∵是等边三角形，点F为线段BC中点， ∴，，， ∴， ∴，， ∴， 即， ∴， ∴． ∵，， ∴， 即是等腰直角三角形， ∴． 【巩固练习4】（2023·黑龙江大庆·中考真题）如图，在中，将绕点A顺时针旋转至，将绕点A逆时针旋转至，得到，使，我们称是的“旋补三角形”，的中线叫做的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”．下列结论正确的有 ． ①与面积相同； ②； ③若，连接和，则； ④若，，，则． 【答案】①②③ 【分析】延长，并截取，连接，证明，得出，，根据，，得出，证明，得出，即可判断①正确；根据三角形中位线性质得出，根据，得出，判断②正确；根据时，， 得出，，，，根据四边形内角和得出 ，求出，判断③正确；根据②可知，，根据勾股定理得出，求出，判断④错误． 【详解】解：延长，并截取，连接，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 根据旋转可知，，， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 即与面积相同，故①正确； ∵，， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴，故②正确； 当时，， ∴，，，， ∵， ∴， 即，故③正确； ∵，∴根据②可知，， ∵当时，，为中线， ∴，∴，∴， ∴，故④错误；综上分析可知，正确的是①②③． 【巩固练习5】（2024·江苏扬州·中考真题）在综合实践活动中，“特殊到一般”是一种常用方法，我们可以先研究特殊情况，猜想结论，然后再研究一般情况，证明结论． 如图，已知，， 是的外接圆，点在上（），连接、、． 【特殊化感知】 （1）如图1，若，点在延长线上，则与的数量关系为________； 【一般化探究】 （2）如图2，若，点、在同侧，判断与的数量关系并说明理由； 【拓展性延伸】 （3）若，直接写出、、满足的数量关系．（用含的式子表示） 【答案】（1）；（2）（3）当在上时，；当在上时， 【分析】（1）根据题意得出是等边三角形，则，进而由四边形是圆内接四边形，设交于点，则，设，则，分别求得，即可求解； （2）在上截取，证明，根据全等三角形的性质即得出结论； （3）分两种情况讨论，①当在上时，在上截取，证明，，得出，作于点，得出，进而即可得出结论；②当在上时，延长至，使得，连接，证明，，同①可得，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴是等边三角形，则 ∵是的外接圆， ∴是的角平分线，则 ∴ ∵四边形是圆内接四边形， ∴ ∴ 设交于点，则， 设，则 在中， ∴ ∴， ∵是直径，则， 在中， ∴ ∴ （2）如图所示，在上截取， ∵ ∴ ∴是等边三角形， ∴，则 ∴ ∵四边形是圆内接四边形， ∴ ∴； ∵，， ∴是等边三角形，则 ∴， 又∵ ∴ 在中 ∴ ∴， ∴ 即； （3）解：①如图所示，当在上时， 在上截取， ∵ ∴ 又∵ ∴，则 ∴即 又∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ 如图所示，作于点， 在中，， ∴ ∴ ∴，即 ②当在上时，如图所示，延长至，使得，连接， ∵四边形是圆内接四边形， ∴ 又∵ ∴，则 ∴即， 又∵ ∴ ∴ ∴， ∵ 同①可得 ∴ ∴ 综上所述，当在上时，；当在上时，． 【题型3】 婆罗摩及多模型 【例题1】(武汉·中考真题)如图，在中，，，分别以的三边为边向外作三个正方形，，，连接．过点作的垂线，垂足为，分别交，于点，．若，，则四边形的面积是 ． 【答案】80 【详解】连接LC、EC、EB，LJ， 在正方形，，中 ． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴四边形是矩形， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴． ∵， ∴． ∴ ∴． ∵. ∴, ∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵, ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 设， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴， ∴． 【例题2】（江苏宿迁·中考真题）【感知】（1）如图①，在四边形ABCD中，∠C=∠D=90°，点E在边CD上，∠AEB=90°，求证：=． 【探究】（2）如图②，在四边形ABCD中，∠C=∠ADC=90°，点E在边CD上，点F在边AD的延长线上，∠FEG=∠AEB=90°，且=，连接BG交CD于点H．求证：BH=GH． 【拓展】（3）如图③，点E在四边形ABCD内，∠AEB+∠DEC=180°，且=，过E作EF交AD于点F，若∠EFA=∠AEB，延长FE交BC于点G．求证：BG=CG． 【答案】（1）见解析  （2）见解析    （3）见解析 【分析】（1）证得∠BEC=∠EAD，证明Rt△AED∽Rt△EBC，由相似三角形的性质得出，则可得出结论； （2）过点G作GM⊥CD于点M，由（1）可知，证得BC=GM，证明△BCH≌△GMH（AAS），可得出结论； （3）在EG上取点M，使∠BME=∠AFE，过点C作CN∥BM，交EG的延长线于点N，则∠N=∠BMG，证明△AEF∽△EBM，由相似三角形的性质得出，证明△DEF∽△ECN，则，得出，则BM=CN，证明△BGM≌△CGN（AAS），由全等三角形的性质可得出结论． 【详解】（1）∵∠C=∠D=∠AEB=90°， ∴∠BEC+∠AED=∠AED+∠EAD=90°， ∴∠BEC=∠EAD， ∴Rt△AED∽Rt△EBC， ∴； （2）如图1，过点G作GM⊥CD于点M， 同（1）的理由可知：， ∵，， ∴， ∴CB=GM， 在△BCH和△GMH中， ， ∴△BCH≌△GMH（AAS）， ∴BH=GH； （3）证明：如图2，在EG上取点M，使∠BME=∠AFE， 过点C作CN∥BM，交EG的延长线于点N，则∠N=∠BMG， ∵∠EAF+∠AFE+∠AEF=∠AEF+∠AEB+∠BEM=180°，∠EFA=∠AEB， ∴∠EAF=∠BEM， ∴△AEF∽△EBM， ∴， ∵∠AEB+∠DEC=180°，∠EFA+∠DFE=180°， 而∠EFA=∠AEB， ∴∠CED=∠EFD， ∵∠BMG+∠BME=180°， ∴∠N=∠EFD， ∵∠EFD+∠EDF+∠FED=∠FED+∠DEC+∠CEN=180°， ∴∠EDF=∠CEN， ∴△DEF∽△ECN， ∴， 又∵， ∴， ∴BM=CN， 在△BGM和△CGN中， ， ∴△BGM≌△CGN（AAS）， ∴BG=CG． 【巩固练习1】综合与实践 以的两边、为边，向外作正方形和正方形，连接，过点A作于M，延长交于点N.    (1)如图①，若，证明：； (2)如图②，，（1）中结论，是否成立，若成立，请证明；若不成立，写出你的结论，并说明理由； (3)如图③，，，，且，则________________. 【详解】（1）∵，， ∴ ∵以的两边、为边，向外作正方形和正方形， ∴，， ∴， ∴； （2）过点E作交的延长线于P，过点G作 于Q，    ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； 同理可得， ∴； 在和中， ， ∴， ∴； 即（1）中的结论成立； （3）在中，，， ∴， 在中，，， ∴， 过点E作交的延长线于P，过点G作 于Q，    ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴ ∴，， 同理可得， ∴； 在和中， ∴ ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ 【巩固练习2】如图1，2，3，△ABC中，分别以AB，AC为边作Rt△ABE和Rt△ACD，AB＝AE，AC＝AD，∠BAE＝∠CAD＝90°，则有下列结论： ①图1中S△ABC＝S△ADE； ②如图2中，若AM是边BC上的中线，则ED＝2AM；   ③如图3中，若AM⊥BC，则MA的延长线平分ED于点N． （1）上述三个结论中请你选择一个感兴趣的结论进行证明，写出证明过程； （2）能力拓展：将上述图形中的某一个直角三角形旋转到如图4所示的位置：△ABC与△ADE均为等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，连接BD，CE，若F为BD的中点，连接AF，求证：2AF＝CE． 【答案】（1）①证明见详解；②证明见详解；③证明见详解；（2）证明见详解． 【详解】（1）①图1中S△ABC＝S△ADE； 证明：取DE中点F，过E作EG∥AD，交射线AF于G， ∵点F为DE中点， ∴EF=DF， ∵EG∥AD， ∴∠GEF=∠ADF，∠GEA+∠EAD=180°， 在△GEF和△ADF中， ， ∴△GEF≌△ADF（AAS）， ∴GE=AD，∠G=∠DAF， ∴S△GEF=S△ADF， ∴S△EAD=S△GEA， ∵∠BAE＝∠CAD＝90°， ∴∠BAC+∠EAD=360°-∠BAE-∠CAD=180° ∴∠BAC+∠EAD=∠GEA+∠EAD=180° ∴∠BAC =∠GEA， ∴GE=AD=AC， 在△GEA和△CAB中， ， ∴△GEA≌△CAB（SAS）， ∴S△ABC＝S△GEA=S△ADE； ②如图2中，若AM是边BC上的中线，则ED＝2AM； 证明：取DE中点F，过E作EG∥AD，交射线AF于G， ∵点F为DE中点， ∴EF=DF， ∵EG∥AD， ∴∠GEF=∠ADF，∠GEA+∠EAD=180°， 在△GEF和△ADF中， ， ∴△GEF≌△ADF（AAS）， ∴GE=AD，GF=AF= ∵∠BAE＝∠CAD＝90°， ∴∠BAC+∠EAD=360°-∠BAE-∠CAD=180° ∴∠BAC+∠EAD=∠GEA+∠EAD=180° ∴∠BAC =∠GEA， ∴GE=AD=AC， 在△GEA和△CAB中， ， ∴△GEA≌△CAB（SAS）， ∴∠EAG=∠ABC，AC=AG， ∵AM是边BC上的中线， ∴BM=CM=， 在△EAF和△ABM中， ， ∴△EAF≌△ABM（SAS）， ∴EF=AM， ∵点F为DE中点， ∴DE=2EF=2AM， ③如图3中，若AM⊥BC，则MA的延长线平分ED于点N． 证明：过E作EP⊥MN交MN延长线于O，过D作DO⊥MN于O， ∵∠BAE=90°，∠DAC=90°， ∴∠BAM+∠EAP=90°，∠MAC+∠DAO=90°， ∵AM⊥BC， ∴∠ABM+∠BAM=90°，∠MCA+∠MAC=90° ∴∠ABM=∠EAP，∠MCA=∠OAD， ∵EP⊥MN， ∴∠EPA=90° 在△EAP和△ABM中， ， ∴△EAP≌△ABM（AAS）， ∴EP=AM， ∵DO⊥MN， ∴∠AOD=90°， 在△CAM和△ADO中， ， ∴△CAM≌△ADO（AAS） ∴AM=DO， ∴EP=DO=AM， 在△EPN和△DON中， ∴△EPN≌△DON（AAS）， ∴EN=DN， ∴MA的延长线平分ED于点N． （2）延长AF，使FQ=AF，连接DQ，将△ACE绕点A逆时针旋转90°，得△ARD ∵点F为BD中点， ∴DF=BF， 在△DQF和△BAF中， ∴△DQF≌△BAF（SAS）， ∴DQ=BA=AC，∠FDQ=∠FBA， ∴DQ∥BA， ∵△ACE绕点A逆时针旋转90°得△ARD ∴△ACE≌△ARD，∠RAC=90°， ∴AR=AC=AB=QD，RD=CE， ∵∠CAB=90°， ∴∠RAB=∠RAC+∠CAB=90°+90°=180°， ∴R、A、B三点共线， ∵DQ∥BA， ∴∠QDA=∠RAD， 在△DQA和△ARD中， ∴△DQA≌△ARD（SAS）， ∴AQ=DR， ∴2AF=AG=DR=CE， ∴2AF=CE． 【巩固练习3】我们定义：如图1，在中，把绕点A顺时针旋转α()得到，把绕点A逆时针旋转β得到，连接．当时，我们称是的“旋补三角形”，边上的中线叫做的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”．    (1)【探索一】如图1，是的“旋补三角形”，是的“旋补中线”，探索与的数量关系． 在探索这个问题之前，请先阅读材料： 【材料】如图2在中，若，．求边上的中线的取值范围．是这样思考的：延长至E，使，连结．利用全等将边转化到，在中利用三角形三边关系即可求出中线的取值范围．中线的取值范围是　 ． 请仿照上面材料中的方法，猜想图1中与的数量关系，并给予证明． (2)【探索二】如图3，当时，是的“旋补三角形”，，垂足为点E，的反向延长线交于点D，探索是否是的“旋补中线”，如果是，请给出证明，如果不是，请说明理由． 【答案】(1)；，证明见解析；(2)是的“旋补中线”， 证明见解析 【详解】（1）解：材料：由题意得：，，， 由三角形三边关系可得：，即， ∴， 故答案为：； 探索一：； 证明：如图1，延长至点E使，连接，    ∵是的“旋补中线”， ∴是的中线，即， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵是的“旋补中线”， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴． （2）是的“旋补中线”； 证明：如图，作于H，作交延长线于F，    ∵， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴是的中线， ∴是的“旋补中线”． 【题型4】脚蹬脚 【例题1】已知正方形ABCD与正方形CEFG，M是AF的中点，连接DM，EM． （1）如图1，点E在CD上，点G在BC的延长线上，请判断DM，EM的数量关系与位置关系，并直接写出结论； （2）如图2，点E在DC的延长线上，点G在BC上，（1）中结论是否仍然成立？请证明你的结论． 【解答】解：（1）结论：DM⊥EM，DM＝EM． 理由：如图1中，延长EM交AD于H． ∵四边形ABCD是正方形，四边形EFGC是正方形， ∴∠ADE＝∠DEF＝90°，AD＝CD， ∴AD∥EF， ∴∠MAH＝∠MFE， ∵AM＝MF，∠AMH＝∠FME， ∴△AMH≌△FME（AAS）， ∴MH＝ME，AH＝EF＝EC， ∴DH＝DE， ∵∠EDH＝90°， ∴DM⊥EM，DM＝ME； （2）如图2中，结论不变．DM⊥EM，DM＝EM． 理由：如图2中，延长EM交DA的延长线于H． ∵四边形ABCD是正方形，四边形EFGC是正方形， ∴∠ADE＝∠DEF＝90°，AD＝CD， ∴AD∥EF， ∴∠MAH＝∠MFE， ∵AM＝MF，∠AMH＝∠FME， ∴△AMH≌△FME， ∴MH＝ME，AH＝EF＝EC， ∴DH＝DE， ∵∠EDH＝90°， ∴DM⊥EM，DM＝ME． 【例题2】（2023·湖南·中考真题）问题情境：小红同学在学习了正方形的知识后，进一步进行以下探究活动：在正方形的边上任意取一点G，以为边长向外作正方形，将正方形绕点B顺时针旋转．      特例感知： （1）当在上时，连接相交于点P，小红发现点P恰为的中点，如图①．针对小红发现的结论，请给出证明； （2）小红继续连接，并延长与相交，发现交点恰好也是中点P，如图②，根据小红发现的结论，请判断的形状，并说明理由； 规律探究： （3）如图③，将正方形绕点B顺时针旋转，连接，点P是中点，连接，，，的形状是否发生改变？请说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）是等腰直角三角形，理由见解析；（3）的形状不改变，见解析 【分析】（1）连接，，，根据正方形的性质求出，证明，推出，再利用余角的性质求出，推出即可； （2）根据正方形的性质直接得到，推出，得到是等腰直角三角形； （3）延长至点M，使，连接，证明，得到，推出，设交于点H，交于点N，得到，由得到，推出，进而得到，再证明，得到，，证得，再由，根据等腰三角形的三线合一的性质求出，即可证得是等腰直角三角形． 【详解】（1）证明：连接，，，如图，    ∵四边形，都是正方形， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即点P恰为的中点； （2）是等腰直角三角形，理由如下： ∵四边形，都是正方形， ∴ ∴， ∴是等腰直角三角形； （3）的形状不改变， 延长至点M，使，连接，    ∵四边形、四边形都是正方形， ∴，， ∵点P为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， 设交于点H，交于点N， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴，即， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形． 【巩固练习1】如图，△ABC和△CDE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DEC＝90°，A，D，E三点在一条直线上，求证：∠BDC＝90°． 【解析】证明：过点B作BF⊥AE交EA的延长线于点F． 则∠F＝∠AEC＝90°，∴∠ABF＋∠BAF＝90°． ∵∠BAC＝90°，∴∠BAF＋∠CAE＝90°， ∴∠ABF＝∠CAE． ∵AB＝AC，∴△ABF≌△CAE， ∴AF＝CE，BF＝AE， ∵DE＝CE，∴AF＝DE，∴DF＝AE， ∴BF＝DF，∴∠BDF＝45°． ∵∠DEC＝90°，DE＝CE，∴∠CDE＝45°， ∴∠BDC＝90°． 【巩固练习2】如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，点D是线段AC上一点，连接BD．以BD直角边作等腰直角△BDE，∠DBE＝90°，连接AE，点F为AE中点，若AB＝4，BF＝1，则AD的长为 　 　． 解：连接CE，延长AB、CE交于T， ∵∠ABC＝∠DBE， ∴∠ABD＝∠CBE， ∵AB＝BC，DB＝EB， ∴△ABD≌△CBE（SAS）， ∴∠BCE＝∠BAD＝45°，∠ADB＝∠BEC， ∴BC＝BT＝AB， ∵点F是AE的中点， ∴BT是△AET的中位线， ∴TE＝2BF＝2， ∵∠ADB＝∠BEC， ∴∠BDC＝∠BET， ∵∠T＝∠BCD，BT＝BC， ∴△BDC≌△BET（AAS）， ∴CD＝ET＝2， ∴AD＝AC﹣CD＝4﹣2， 故答案为：4﹣2． 【巩固练习3】已知两个等腰有公共顶点C，，连接，M是的中点，连接． (1)如图1，当C，B，E三点共线时，若，B为中点，求的长； (2)如图1， 探索线段与的关系，并说明理由； (3)将图1中绕点C顺时针旋转至图2所示，（2）中的结论是否仍然成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 【答案】(1)；(2)，理由见解析；(3)成立，证明见解析 【详解】（1）解：∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∵，B为中点， ∴，， ∴，， ∴， ∵M是的中点， ∴； （2）解：，理由如下： 如图，延长交于点D， ∵， ∴， ∴， ∵M是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴； （3）解：成立，证明如下： 如图，延长交于点D，连接， 根据题意得：， ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵M是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴． 【题型5】绝配角模型 【例题1】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D，E分别为BC，AC上的点，∠B＝2∠CDE，∠ADE＝45°，AB＝5，AE＝3，则BD的长为_________． 【答案】2 【解析】在BA上截取BF＝BD，连接DF． 则∠BFD＝∠BDF＝90°－∠B＝90°－∠CDE＝∠CED， ∴∠AFD＝∠AED，∠BDF＋∠CDE＝90°， ∴∠EDF＝90°，∠ADF＝∠ADE＝45°． ∵AD＝AD，∴△ADF≌△ADE， ∴AF＝AE＝3，∴BD＝BF＝AB－AF＝5－3＝2． 【巩固练习1】如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，点D在边AC上，∠ABD＝∠C，求AD的长． 解：延长DA到点E，使AE＝AD，连接BE． ∵∠BAC＝90°，∴BE＝BD， ∴∠E＝∠BDE，∠ABE＝∠ABD， ∴∠ABD＝∠EBD． ∵∠ABD＝∠C，∴∠EBD＝∠C， ∴∠EBC＝∠BDE，∴∠E＝∠EBC， ∴EC＝BC＝＝＝5， ∴AD＝AE＝EC－AC＝5－4＝1． 考点分析：线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、勾股定理． 思路点拨：延长DA到点E，使AE＝AD，连接BE，证∠E＝∠EBC． 【巩固练习2】如图，在中，，点为中点，，则的值为 ．（后续计算用到相似） 【答案】 【详解】解：延长至E，使，连接，设， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴，又， ∴，故答案为：． 18 / 171 学科网（北京）股份有限公司 $$