精品解析：安徽省皖东南四校联盟2024-2025学年九年级上学期第三次联考数学试题

6学科网列组卷网 皖东南四校2024~2025学年度第一学期期末 学情联合调研九年级数学试题卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1.某斜坡的坡度i=1:V ，则该斜坡的坡角为() 75° B600 450 D300 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了坡度及坡角的知识，解题关键是理解“坡度=坡角的正切值”·根据“坡度=坡 角的正切值”，据此直接解答即可。 【详解】解：设该斜坡的坡角为C, 根据题意，斜坡的坡度i=1:V3, 即有ana=l:V5=5 3, ∴，坡角a=30° 故选：D 2.将抛物线少=-3x2-1 向左平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得到的抛物线为() A.y=-3(x+2)2+1 B.y=-3(x-2)2-3 c.y=-3(x+2)2-3 D.y=-3(x-2)2+1 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象的平移，熟练掌握函数的平移法则是关键.直接根据“上加下减，左加右 减”进行计算即可. 【详解】解：抛物线y=-3x- 向左平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的抛物线的解 第1页/共33页 学科网命组卷网 析式为：y=-3(x+2-1-2,即y=-3(x+2-3. 故选：C 3.在Rt△ABC中，∠C=90°，若cosA=12 l3,则tanB的值为() 5 13 12 5 A.13 B.5 C.5 D.12 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查锐角三角函数，勾股定理，掌握一个角锐角三角函数定义，勾股定理，会利用设参数求 线段长是解题关键. 设AC=12k,AB=13k,,然后利用勾股定理求出BC的长，然后运用正切的定义即可解答. 详解】解：解：在Rt△ABC中，∠C=90°，cos 4=I2 13, AC 12 AB13 BC2+AC2=AB2, 设AC=12k,AB=13k. .BC=VAB2-AC2=V13k)-(12k)2=5k, :amB-2C-1212 BC 5k 5. 故选：C k+1 4.在反比例函数 x的图象上，当x<O时，y随x的减小而增大，则k的取值范围是() A.>0 B k<o ck>-1 D.k<-1 【答案】C 【解析】 第2页/共33页 命学科网命组卷网 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握反比例函数的性质，反比例函 数小=车化0 当k>0时，在每一象限内，y随x的增大而减小；当k<0时，图象位于第二、四象限 内，在每一象限内，y随x的增大而减小，据此即可求解. 【详解】解：，当x<0时，y随x的减小而增大， k+1>0. 解得：k>-1. 故选：C 5.已知二次函数y=x2-4x+m的图象与x轴的交点坐标分别为x1、x2,若1+3x2=6,则m的值为（) A.3 B.-3 C.2 D.-2 【答案】A 【解析】 【分析】由二次函数的性质，求出对称轴x=2,得到+3=4 ,结合已知条件求出=引，即可求出 m的值. 、4 =2 【详解】解：由题意知对称轴为直线2×1 +五=2 2 ,即+x2=4 ∴.x+3x2=x1+x2+2x2=4+2x2=6 解得：1 把，0)代入y=r-4x+m 得1-4+m=0 第3页/共33页 6学科网 组卷网 解得：m=3」 故选：A, 【点睛】本题考查了二次函数的性质，抛物线与坐标轴的交点问题，解题的关键是掌握二次函数的性质， 正确求出戈=1 6.已知二次函数y=+x+c的图象过点A,m）,B(3,m),若点M(-2,）,N(-） K(⑧乃)也在二次函数y=t+r+C的图象上，则下列结论正确的是《） A.片<< B.h<片<为 C片<y<h D.<为<2 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质， 利用A点与B点为抛物线上的对称点得到对称轴为直线=2，然后根据点MN、K离对称轴的远近求解. 【详解】解：：二次函数y=X+br+c的图象过点A(,m)）,B(3,川）， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线x=2, M(-2,).N(-L,)K(8) ∴K点离对称轴最远，N点离对称轴最近， 片<乃<⅓ 故选B, 7.一次函数y=+b与二次西数'=+bx+C在同一坐标系内的图象可能为《) …· 第4页/共33页 6学科网 组卷网 【答案】B 【解析】 b.c 【分析】根据一次函数与二次函数的性质，分析解析式中的的符合，即可求解。 【详解】解：A一次函数'=c+b中c>0,b>0,二次函数y=m+hx+c中，a>0,b<0c>0 矛盾，不合题意； B一次函数y=cx+b中c>0,b<0,二次函数y=a+bx+c中，a>0,b<0,c>0, 符合题意： C一次函数y=cx+b中c>0,b>0,二次函数y=+x+C中，a<0,b>0,c<0 ,矛盾，不合题意： D.一次函数y=cx+b中c>0,b>0,二次函数y=a+bx+C中，a<0,b<0,c>0 矛盾，不合题意： 故选：B 【点睛】本题考查了一次函数与二次函数的性质，熟练掌握一次函数与二次函数的性质是解题的关键。 8.如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AC于点E,交AD于点F,交CD的延长线于点G, BE 若AF=2FD,则EG的值为() 1 2 3 A.2 B.3 C.3 D.4 【答案】C 【解析】 【分析】由AF=2DF,可以假设DF-k,则AF=2k,AD=3k,证明AB=AF=2k,DF=DG=k,再利用 平行线分线段成比例定理即可解决问题： 第5页/共33页 学科网命组卷网 【详解】解：由AF=2DF,可以假设DF-k,则AF=2k,AD=3k, ,四边形ABCD是平行四边形， .AD∥BC,AB∥CD,AB=CD, ∴.∠AFB=∠FBC=∠DFG,∠ABF=∠G, ,BE平分∠ABC, ∴.∠ABF=∠CBG, ∴.∠ABF=∠AFB=∠DFG=∠G, ..AB=CD=2k,DF=DG=k, ∴.CG=CD+DG=3k, ,AB∥DG ∴.△ABE∽△CGE, BE AB 2k 2 .EG CG 3k 3, 故选：C 【点睛】本题考查了比例的性质、相似三角形的判定及性质、等腰三角形的性质、角平分线的性质、平行 四边形的性质、平行线分线段成比例定理，熟练掌握性质及定理是解题的关键、 9.如图，等边△ABC的顶点B恰好落在等边△ADE的边DE上，BC,AE交于点F.若AC=8, AD=9,则EF的长为() B 17 A.3 B. 9 c.3 D. 3-2 【答案】B 【解析】 第6页/共33页 学科网命组卷网 【分析】本题考查了等边三角形的性质，相似三角形的性质与判定；根据题意证明△CAF∽△DAB,根据 相似三角形的性质，即可求解。 【详解】解：：△ABC,△ADE都是等边三角形， :∠C=∠D=∠CAB=∠EAD=60°AB=AC=8,AE=AD=9 :.∠CAB-∠EAB=∠EAD-∠EAB,即∠CAF=∠DAB ∴.△CAF∽ADAB AC AF .AD AB 89-EF .98 解得： bF=17 0 故选：B 10.已知二次函数y=-x2+2x+3,截取该函数图象在0≤4间的部分记为图象G,设经过点(0，t)且平行 于x轴的直线为1，将图象G在直线1下方的部分沿直线1翻折，图象G在直线上方的部分不变，得到一个 新函数的图象M,若函数M的最大值与最小值的差不大于5，则t的取值范围是() A.-1≤s0 B.-1sf-2 ≤t≤0 C.2 D.s-1或20 【答案】A 【解析】 【分析】找到最大值和最小值差刚好等于5的时刻，则t的范围可知. 【详解】解：如图1所示，当t等于0时， 第7页/共33页 命学科网命组卷网 B (0)法 图1 ,y=-(x-1)2+4, ,顶点坐标为(1,4)， 当x=0时，y=3, .A(0,3), 当x=4时，y=-5, .C(4,-5), .当t=0时， D(4,5), ∴.此时最大值为5，最小值为0： 如图2所示，当t=-1时， VA 图2 此时最小值为-1，最大值为4. 综上所述：-1≤K0, 故选：A」 【点睛】此题考查了二次函数与几何图形结合的问题，找到最大值和最小值的差刚好为5的t的值为解题 关键. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 第8页/共33页 学科网命组卷网 a-b 3 b 11.已知a+b5,则a 【答案】4#0.25 【解析】 【分析】本题考查比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键. 由题干可得5a-5b=3a+3b,根据比例的性质即可解得b、a的比值. .a-b_3 【详解】解： a+b 5' :5(a-b)=3(a+b) ∴.5a-5b=3a+3b .2a=8b b 1 .a4. 1 故答案为：4 12己知线段AB=V5+1,P是线段AB的黄金分割点，那么PB= 【答案】 5-1或2 【解析】 【分析】本题主要考查了黄金分割点的知识，理解并掌握黄金分割点的定义是解题关键.黄金分割点是指 5-1 把一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比，其比值为2·根据 黄金分割点的定义，分AP>BP和AP<BP两种情况，分别求解即可. 【详解】解：分两种情况讨论， 第9页/共33页 命学科网组卷网 D若pBP.则P=,AB=2x6+1小2 2 所以PB=AB-AP=V5+1-2=V5-1 即m-510-5+小=2 2 综上所述， PB=5-l或2. 故答案为： 5-1或2. 13.如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点A在x轴正半轴上，OC是△OAB的中线，点B,C在反 6 y= 比例函数x的图象上，则△OAB的面积等于一· A 【答案】9 【解析】 CE AE AC 【分析】过点B、点C、作x轴的垂线，垂足为D、E,则BD∥CE,得出BD AD AB,设 0D=60E=60A=9 CE=x,BD=2x,根据反比例函数的解析式表示出 2x. x, x,然后根据三角形 面积公式求解即可. 【详解】过点B、点C、作x轴的垂线，垂足为D、E,则BD∥CE, 第10页共33页 6学科网命组卷网 CE AE AC .BD AD AB, .OC是△OAB的中线， CE AE AC1 :.BD AD AB 2, B \ O D E Ax 设CE=x,BD=2x, 6 6 .C的横坐标为x,B的横坐标为2x, ,OD=6 0E=6 2x, 尤， :DE=OE-OD=6 x, 4E=DE=6 x, .OA=OE+AE=9 x, 1 19 S.OAB= ×OA×BD=二×-×2x=9 2 故答案为：9. 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数系数k的几何意义，平行线分线段成比 例定理. 第11页/共33页 6学科网命组卷网 14.对于一个函数，当自变量x取a时，函数值y也等于a,则称点(a,a)是这个函数的同值点，已知二 次函数少=r2+3x+m (1)若点(2,2)是此函数的同值点，则m的值为 (2)若此函数有两个相异的同值点(a,)、(b,b),且a<1<b,则m的取值范围为一. 【答案】 ①.-8②.m<-3 【解析】 【分析】(1)根据函数的同值点的定义，代入函数解析式即可求得答案； (2)(a,a,(0,b)在直线=x上，令+3x+m=,整理得+2x+m0,可得A-2-4m >0,解得m<1,再设y=?+2x+m,由a<1<b,可得=1时，y=3+m<0,解得m<-3,即可求 解。 【详解】解：(1)，点(2,2)是此函数的同值点， 抛物线经过(2,2)， 将(2,2)代入y=x2+3x+m 得2=4+6+. 解得m=-8, 故答案为：-8. (2)(a,a),(b,b)在直线y=x上， 令+3x+m-, 2+2x+m=0 整理得 ,函数有两个相异的同值点， A-22-4m-0. 解得m<1, 设y=x2+2x+m ,"a<1<b. 第12页/共33页 6学科网命组卷网 ∴.x=1时，y=3+m<0, 解得m<-3, 综上可知，<-3， 故答案为：m<-3. 【点睛】本题考查二次函数的新定义问题，解题关键是理解题意，掌握二次函数与方程的关系，掌握函数 与方程的转化。 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15.计算： -2sin60°+3tan30°-|1-V3 2 【答案】 5-5 【解析】 【分析】本题主要考查了负整数指数幂、特殊角的三角形函数值、绝对值、二次根式运算等知识，熟练掌 握相关运算法则和特殊角的三角形函数值是解题关键.首先根据负整数指数幂运算法则、特殊角的三角形 函数值、绝对值的性质进行运算，再进行乘法运算，然后相加即可 9-- 【详解】解：原式=4-2×5+3× 2 =4-3+3-5+1 =5-√5 16如图，在平面直角坐标系中，△O1B O(0,0)A(2,1)B1,-2) 顶点坐标分别为 第13页/共33页 6学科网命组卷网 VA (L)以原点O为位似中心，在y轴的右侧画出△0AB的一个位似△0AB,使它与△0AB的相似比为2：1 2)将40AB问左平移2个竿位.再的上平移1个单位后的△0,4品，判断△0A码与△0,4B,能舌 是关于某一点M为位似中心的位似图形？若是，请在图中画出位似中心M,并写出点M的坐标 【答案】(1) △OAB, 所作 如图所示： M:O A B (2)是，如图画出 B B △O,2A,B 第14页/共33页 6学科网命组卷网 A M:TQ2 (-4,2) M的坐标为 【解析】 【分析】本题主要考查了作图位似变换，平移变换，熟练掌握位似变换的性质是解题的关键. (1)根据位似变换的性质找出对应点，再顺次连接对应点，即可解题： △O,AB2 (2)根据平移变换的性质画出 再根据位似中心的性质求解，即可解题. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解： △048与△0,4B是关于某一点M为位似中心的位似图形，如图，M的坐标为-4,2) 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17.已知，如图， AB∥DC∠ABC+∠ADB=180° B F (I)求证：△ABD∽△BDC: (2)若AE平分∠DAB,BF平分∠DBC,且BF=2AE,Sn=3,求Sx ,求 【答案】(1) 第15页/供33页 6学科网 命组卷网 证明：·AB∥DC, ∴.∠ABD=∠BDC∠ABC+∠C=180° ,∠ABC+∠ADB=180° ∴.∠C=∠ADB 在△ABD和△BDC中； ∠ABD=∠BDC∠C=∠ADB ∴.ABDABDC (2)12 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定以及相似三角形的性质： (1)根据AB∥DC可得到∠ABD=∠BDC,∠ABC+∠C=18O°，进而得出∠C=∠ADB,,根据 △ABD△BDC △ABDABDC 和 中有两个角相等即可得到 SABD DC (2)根据相似图形的面积比等于相似比的平方得到S,c =4 BD ，根据比例关系即可求出面积。 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：△ABDP△BDC,AE,BF分别为∠DAB,∠DBC的角平分线，且BF=2AE 第16页/供33页 6学科网 命组卷网 SABD BD S.mc CD 4； :'SABDC =12 18.某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出220件，如果每件商品的售价每上涨1元， 则每个月少卖10件（每件售价不能高于65元），设每件商品的售价上涨x元(x为正整数)，每个月的销 售利润为y元 (1)求y与x的函数关系式： (2)每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？ 【答案】(1)y与x的函数关系式为y=-10r+120x+2200(0≤x≤15) (2)当每件商品的售价定为56元时，每个月可获得最大利润，最大月利润是2560元 【解析】 【分析】本题考查二次函数的实际应用，理解题意，找出等量关系，列出等式是解题关键.掌握二次函数 的性质也是关键。 (1)根据题意可得y=(220-10x)(50+x-40) 整理出一般式，最后再求出x取值范围即可； (2)将(1)所求的二次函数一般式化为顶点式，再根据其性质即可得出答案. 【小问1详解】 解：设每件商品的售价上涨x元，则销售量为(220-10x)件， 根据题意得：y=(220-10x)(50+x-40) 整理，得：y=-10r2+120x+2200 ,每件售价不能高于65元， .x≤65-50=15， w与x的函数关系式为y=-10x2+120x+2200(0≤x≤15) 【小问2详解】 第17页/供33页 命学科网命组卷网 解：将y=-10x+120x+2200化为顶点式为：y=-10(x-6)+2560, .a=-10<0,0≤x≤15， ∴.当x=6时，y有最大值，最大值为2560. .50+6=56(元/件)， .当每件商品的售价定为56元时，每个月可获得最大利润，最大月利润是2560元. 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19.随着科学技术的不断进步，无人机被广泛应用到实际生活中，小星利用无人机来测量翡翠湖某处东西 岸边B,C两点之间的距离.如图所示，小星站在湖边的B处遥控无人机，无人机在A处距离地面的飞行 高度是161.6m,此时从无人机测得岸边C处的俯角为63°，他抬头仰视无人机时，仰角为，若小星的 身高BE=1.6m,EA=200m(点A,E,B,C在同-平面内). --。 63° E人 B (1)求仰角的正弦值： (2)求B,C两点之间的距离（结果精确到1m).(sin63°≈0.89，cos63°≈0.45，tan63°≈1.96， sin27°≈0.45cos27°≈0.89tan27°≈0.51 x 【答案】(1)仰角a的正弦值为5 第18页/供33页 学科网 命组卷网 (2)B,C两点之间的距离约为202m 【解析】 【分析】(I)如图，过A点作ADLBC于D,过E点作EF⊥AD于F,利用四边形BDFE为矩形得到 EF=BD,DF=BE=1.6m,则AF=160m,然后根据正切的定义求解： (2)先利用勾股定理计算出EF120m,再在Rt△ACD中利用正切的定义计算出CD,然后计算BD+CD即 可 【小问1详解】 如图，过A点作AD⊥BC于D,过E点作EF⊥AD于F, 163 E D .∠EBD=∠FDB=∠DFE=90° 四边形BDFE为矩形， .'EF BD,DF=BE=1.6m. :4F=AD-DF=161.6-1.6=160(m 在RtAAEF中， sin∠AEF=AF4 AE 5, .4 ina= 即 5. 4 答：仰角x的正弦值为5： 【小问2详解】 第19页/共33页 命学科网组卷网 在RIAAEF中， EF=VAE2-4AF2=V2002-1602=120(m). 在Rt△ACD中，∠ACD=63°，AD=161.6m, .an∠ACD=D CD, CD=161.6_161.6 82.45(m) tan63°1.96 BC=BD+CD=120+82.45≈202(m) 答：B,C两点之间的距离约为202m. 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题：根据题意画出几何图形，当图形中没有直角三角 形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，把实际问题化归为直角三角形中边角关系问题加以解决. 0北一产与反利数一0叭 的图象交于点A,过点A作AB上y轴于点B, ，点C在线段B OB=4 AC=OC 上，且 (I)求k的值及线段BC的长； (2)点P为B点上方y轴上一点，当△POC与△PAC的面积相等时，请求出点P的坐标. 【答案】(1)k=32,BC的长为3；(2)(0,10). 【解析】 第20页/供33页 6学科网命组卷网 【分析】(1)根据OB=4,求出A点坐标，用待定系数法求出k的值，设BC为a,勾股定理列出方程， 即可求解： (2)设P点坐标，根据面积相等列出方程，解方程即可. 【详解】解：(1).OB=4.AB1y 1 1点纵坐标为4，代入y= 2x得4=2x，解得。。、 k 4= 则4点坐标为(84)，代入y=元，得4=8，解得k=32, 设BC为a,则AC=OC=8-a, 42+a2=(8-a)2 解得，a=3,则BC的长为3： (2)设P点坐标为(0，)， △P0C的面积=2×3n,△PAC的面积-2× -×3n ×(8-3)n-4) ×3n2×8-3)n-4 由题意得， 2 解得，n=l0, P点坐标为(0,10). 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的综合，解题关键是熟练运用待定系数法求解析式，设点的坐 标，建立方程. 六、（本题满分12分) 21.如图，在矩形ABCD中，AB=6,BC=10,点E、F分别是边BC、CD上一动点（不与端点重 合)，且始终保持AE⊥EF. 第21页/供33页 6学科网命组卷网 B E (I)求证：△ABE∽△ECF: (2)设BE的长为x,CF的长为y,试说明当点E从B向C运动的过程中，y的值随x的变化情况； (3)点E从B向C运动的过程中，当△ABE∽△AEF时，求BE的长 【答案】(1) 证明：，四边形ABCD是矩形， .∠B=∠C=90°. .∠BAE+∠AEB=90°， ,AE⊥EF, .∠AEF=90° .∠CEF+∠AEB=90° .∠CEF=∠BAE, .△ABEAECF: (2)y=6+兮x(0<x<10,0<y<6) 1. 5 63 (3)BE=5 【解析】 【分析】此题考查矩形的性质，相似三角形的判定和性质，角平分线的性质，熟练掌握相似三角形的判定 和性质定理是解题的关键. (1)根据矩形的性质得∠B=∠C=90°，利用同角的余角相等得到∠CEF=∠BAE,进而根据两角相 第22页/供33页 6学科网列组卷网 等证得结论： AB BE (2)利用相似三角形的性质推出CECF,代入数值即可得到答案： (3)过点E作EG⊥AF于点G,根据相似三角形的性质推出EG=BE=x,证明∠CFE=∠EFG得到 EG=CE=10-x 进而列得x=10-无 ,求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：AB=6,BC=10,BE=x, .CE=10-x, .△ABE∽△ECF, AB BE ..CE CF, 6= .10-xy, 5 日P=6+3x0<x<I0,0<y<6 【小问3详解】 解：：△ABE∽△AEF, .∠BAE=∠EAF, 过点E作EG⊥AF于点G, 第23页/供33页 6学科网命组卷网 G B E .∠B=∠AGE=90°」 .∠BEA=∠AEG,EG=BE=x, .∠BEA+∠CEF=∠AEG+∠GEF=90°， .∠CEF=∠GEF, .∠C=∠EGF=90°， .∠CFE=∠EFG. ..EG=CE=10-x, .x=10-x, 解得x=5,即BE=5. 七、（本题满分12分） 22.如图，在正方形ABCD中，点E是边CD上的一点（不与点C,D重合），点F在边CB的延长线上， 且AE=AF,连接EF交AB于点M,交AC于点N. D E M B (1)求证：AE⊥AF: 第24页/供33页 6学科网列组卷网 (2)若∠BAC=2∠BA AF2=AM·AC ,求证： EN (3)若DE=1,AB=3,求FN的值. 【答案】(1) 证明：，四边形ABCD是正方形， .AB=AD,∠D=∠ABC=90°， .∠D=∠ABF=90° 在RtABF与Rt△ADE 中， AB=AD AF=AE, :.RtABFS≌RteADE(HL) .∠FAB=∠EAD .∠EAD+∠BAE=90° .∠FAB+∠BAE=90°， .∠FAE=90°， .AE⊥AF: (2) 证明：：∠BAC=45°，∠BAC=2∠BAF, .∠BAF=22.5°， 由(1)知，∠DAE=∠BAF=22.5°， .∠DAC=45°， .∠CAE=22.5°， 第25页/供33页 6学科网 命组卷网 .∠BAF=∠CAE ,AE=AF,AE⊥AF, .∠AFE=∠AEF=45°. .∠AFM=∠ACE, :△AFM∽△ACE AF AM ∴.ACAE, :AF2=AM.AC 8)方 【解析】 【分析】本题是相似形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，相似三角形的判定 与性质，熟练掌握基本几何模型是解题的关键. (1)根据正方形的性质得到AB=AD,∠D=∠ABC=90°，根据全等三角形的性质得到 ∠FAB=∠EAD,根据性质即可得到结论： (2)根据已知条件得到∠BAF=22.5°，由(1)知，∠DAE=∠BAF=22.5°，求得∠BAF=∠CAE, 根据相似三角形的性质即可得到结论； (3)根据正方形的性质及根据全等三角形的性质得到BF=DE=1,然后在求出BM,FM,EF,再 i证△AMN∽△CEN EN FN 根据根据相似三角形的性质分别求出 即可得到结论： 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 第26页/供33页 6学科网列组卷网 ,四边形ABCD是正方形，DE=1,AB=3, .AB=BC=3,CE=2,AB∥CD 由(I)得RtABF≌RtADE(H) .BF DE =1, ..FC=FB+BC=4 .AB∥CD, △BFM∽△CFE BF BM FM 1 .FC CE EF 4 &aw=: AM=5 2, 在Rt△BFM中 FM =BF2+BM2 -w 5 :EF=4x =2V5 2 :AB∥CD .∠BAC=∠DAC,∠AMN=∠CEN, :△AMW∽△CEN 第27页/供33页 6学科网列组卷网 AM_MN_25 ·CEEN24 MN-5EN 4 :.EF=FM+MN+EN=25 V5,5 +EN+EN=25 .24 5+9N-25 .24 :w-26-25 293 Mw=5x25_5V5 436 2V5 ENEN 3 ∴FNFM+MWV5,552. 26 八、（本题满分14分） 23.如图，抛物线y=r+hx+6与x轴交于1(-2,0)，B(4,0)两点，与y轴交于点C,直线h为抛物 线的对称轴，在直线h右侧的抛物线上有一个动点P. 第28页/供33页 6学科网命组卷网 6 (1)求抛物线的表达式. 16 (2)若点P在x轴的上方且横坐标大于2，当△BPC的面积是3时，求△APB的面积： (3)在(2)的条件下，在直线h上是否存在点Q,使点Q到直线AP的距离等于点Q到点A的距离的2？ 若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由. 3 【答案】1)-4+2x+6 (2)14 (3)存在，点0的坐标为16+3V5或1,6-3V5) 【解析】 【分析】1)将点A(-2,0）,B(4,0)代入抛物线y=2+hx+6,利用待定系数法求解即可： (2)首先确定点C坐标，并利用待定系数法解得直线BC的解析式，过点P作PM⊥x轴，交BC于点 子++6 3 M,设 x,一2七+6 ,则“ 易知PM=一 2X+3x,纺合ABPC的面积是 4 1 8 p814 3,可解得=3，进而可知(3’3，然后计算。4PB的面积即可： (3)设直线”与直线1P交于点E,与轴交于点F,作QD1P AO 于点D,连接4 ，利用待定系数 第29页/供33页 命学科网命组卷网 法解得直线AP的解析式，进面可得E(,3),F(,0),易知△ABF、△DE0均为等腰直角三角形，设 点(m川.则0=m-引，D0= =2n-3,所D0=a-3引，在术用段理能 40=9+,结合DQ-4Q解得n的值，即可获得答案. 【小问1详解】 解：将点4(-2,0），B(4,0)代入抛物线y=am2+bx+6, 3 Q= 4 可得∫0=4a-2b+6，解得 3, b= 0=16a+4b+6 2 3 3 y=- 2x2+x+6 .该抛物线的表达式为4 2 【小问2详解】 3 y=- 对于抛物线 4七+与x+6 令=0，可得y=6,即C(0,6). 设直线BC的解析式为y=c+mk≠0)，将点B(4,0),C(0,6)代入， s、3 2 可得 0=4+m,解得 6=m m=61 3 y=一 x+6 ∴.直线BC的解析式为2 过点P作PM⊥x轴，交BC于点M,如下图， 第30页/共33页 6学科网6组卷网 M 子++6.m(+6 16 ,△BPC的面积是3， M=n2+394-q=9 84 解得36=3， ,点P在x轴的上方且横坐标大于2， 8 p=3; r）. ·A(-2,0).B(4,0) :AB=4-(-2)=6 1 3 第31页/共33页 6学科网6组卷网 【小问3详解】 设直线”与直线1P交于点E,与轴交于点F,作0D1MP于 h P于点D,连接 0,如下图， D B h 3 3 y=- 4+x+6 X= -2+4=-1 对于抛物线 2 ,其对称轴为 814 设直线P的解折式为y=Pr+g(p≠0)，将点A(-2,0),P33)代入. [0=-2p+q p=1 可得 33P+g:解得 148 9=2 ∴直线4P 的解析式为 =x+2 :E(,3).F1,0) .AF=EF=3,即△AEF为等腰直角三角形， :∠AE0=45°，AE=VAF2+EF2=32 ∠D0E=90°-∠AB0=45°=∠AB,m△DE 为等腰直角三角形， 设点(m）,则0=n-3, 0-号n-习 第32页/供33页 6学科网命组卷网 D0--3 .AF=3.FO=n 在RIAFO中，可有A0=AF2+FQ=9+ :点Q到直线AD的距离等于点Q到点1的距离的)，即D0 AQ」 2 m-3=0+m）,解得网=6+35.%=6-35. 点2的坐标为1,6+3V5)或，6-35) 【点睛】本题主要考查了求二次函数解析式、求一次函数解析式、二次函数综合应用、勾股定理、等腰直 角三角形的判定与性质等知识，解题关键是运用数形结合的思想分析问题. 第33页/共33页 皖东南四校2024～2025学年度第一学期期末 学情联合调研九年级数学试题卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1. 某斜坡的坡度，则该斜坡的坡角为（ ） A. B. C. D. 2. 将抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得到的抛物线为（ ） A. B. C. D. 3. 在中，，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 4. 在反比例函数的图象上，当时，y随x的减小而增大，则k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 已知二次函数y=x2-4x+m 的图象与x轴的交点坐标分别为x1、x2，若x1+3x2=6，则m的值为（ ） A. 3 B. -3 C. 2 D. -2 6. 已知二次函数的图象过点，，若点，，也在二次函数的图象上，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 一次函数与二次函数在同一坐标系内的图象可能为（　　） A. B. C. D. 8. 如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AC于点E，交AD于点F，交CD的延长线于点G，若AF＝2FD，则的值为（　　） A. B. C. D. 9. 如图，等边的顶点B恰好落在等边的边上，，交于点F．若，，则的长为（ ） A. 3 B. C. D. 10. 已知二次函数y＝﹣x2+2x+3，截取该函数图象在0≤x≤4间的部分记为图象G，设经过点（0，t）且平行于x轴的直线为l，将图象G在直线l下方的部分沿直线l翻折，图象G在直线上方的部分不变，得到一个新函数的图象M，若函数M的最大值与最小值的差不大于5，则t的取值范围是（　　） A. ﹣1≤t≤0 B. ﹣1≤t C. D. t≤﹣1或t≥0 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 已知，则________． 12. 已知线段，是线段的黄金分割点，那么________． 13. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点在轴正半轴上，是的中线，点，在反比例函数的图象上，则的面积等于______． 14. 对于一个函数，当自变量x取a时，函数值y也等于a，则称点（a，a）是这个函数的同值点，已知二次函数． （1）若点（2，2）是此函数的同值点，则m的值为 _____． （2）若此函数有两个相异的同值点（a，a）、（b，b），且a＜1＜b，则m的取值范围为 _____． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 计算： 16. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为、、． （1）以原点O为位似中心，在y轴的右侧画出的一个位似，使它与的相似比为； （2）将向左平移2个单位，再向上平移1个单位后的，判断与，能否是关于某一点M为位似中心的位似图形？若是，请在图中画出位似中心M，并写出点M的坐标． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 已知，如图，， （1）求证：； （2）若平分，平分，且，，求． 18. 某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出220件，如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于65元），设每件商品的售价上涨x元（x为正整数），每个月的销售利润为y元． （1）求y与x的函数关系式； （2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？ 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 随着科学技术的不断进步，无人机被广泛应用到实际生活中，小星利用无人机来测量翡翠湖某处东西岸边，两点之间的距离．如图所示，小星站在湖边的处遥控无人机，无人机在处距离地面的飞行高度是，此时从无人机测得岸边处的俯角为，他抬头仰视无人机时，仰角为，若小星的身高，（点，，，在同一平面内）． （1）求仰角的正弦值； （2）求，两点之间的距离（结果精确到）．（，，，，，） 20. 如图，正比例函数与反比例函数的图象交于点A，过点A作轴于点B，，点C在线段上，且． （1）求k的值及线段的长； （2）点P为B点上方y轴上一点，当与的面积相等时，请求出点P的坐标． 六、（本题满分12分） 21. 如图，在矩形中，，，点E、F分别是边上一动点（不与端点重合），且始终保持． （1）求证：； （2）设的长为x，的长为y，试说明当点E从B向C运动的过程中，y的值随x的变化情况； （3）点E从B向C运动的过程中，当时，求的长． 七、（本题满分12分） 22. 如图，在正方形中，点E是边上的一点（不与点C，D重合），点F在边的延长线上，且，连接交于点M，交于点N． （1）求证：； （2）若，求证： （3）若，，求的值． 八、（本题满分14分） 23. 如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，直线为抛物线的对称轴，在直线右侧的抛物线上有一个动点． （1）求抛物线的表达式． （2）若点在轴的上方且横坐标大于2，当的面积是时，求的面积； （3）在（2）的条件下，在直线上是否存在点，使点到直线的距离等于点到点的距离的？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $