精品解析： 河北省石家庄市行唐县2024—2025学年上学期期末学业质量检测九年级数学试题

2024-2025学年度第一学期期末学业质量检测九年级 数学试卷（人教版） 一、单选题（本大题有12个小题，每小题3分，共36分） 1. 下列函数不是反比例函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的定义，掌握反比例函数的定义是解答本题的关键． 根据反比例函数的定义分别进行分析即可，形如：或或的函数是反比例函数． 【详解】解：A、是反比例函数，故该选项不符合题意； B、是反比例函数，故该选项不符合题意； C、不是反比例函数，故该选项符合题意； D、是反比例函数，故该选项不符合题意； 故选：C． 2. 下列事件中，是必然事件的是（ ） A. 任意买一张电影票，座位号是奇数 B. 13个人中至少有两个人出生月份相同 C. 车辆随机到达一个路口，遇到绿灯 D. 冬天的某一天一定会下雪 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了事件的分类，必然事件是指在一定条件下，一定会发生的事件，掌握相关结论即可． 【详解】解：任意买一张电影票，座位号是奇数是随机事件，不符合题意； 因为一年有十二个月，所以13个人中至少有两个人出生月份相同，符合题意； 车辆随机到达一个路口，遇到绿灯是随机事件，不符合题意； 冬天的某一天一定会下雪是随机事件，不符合题意； 故选：B ． 3. 如图在中，点、分别在的边、上，不一定能使与相似的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定：“①有两个对应角相等的两个三角形相似；②有两个对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；③三组对应边的比相等的两个三角形相似”．根据相似三角形的判定方法逐一判断即可． 【详解】解：由题意得：， A. ，能使与相似，不符合题意； B. ，能使与相似，不符合题意； C. ，不能使与相似，符合题意； D. ，能使与相似，不符合题意． 故选：C． 4. 如图，内接于，若，则的大小为（ ） A. 32° B. 58° C. 65° D. 40° 【答案】A 【解析】 【分析】如图所示，连接，利用圆周角定理求出，再根据等边对等角和三角形内角和定理求出的度数即可． 【详解】解：如图所示，连接， ∵， ∴， ∵， ∴ ， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理，等边对等角，三角形内角和定理，熟知同圆中同弧所对的圆周角是圆心角的一半是解题的关键． 5. 已知点，在反比例函数的图象上，若，则有（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键．根据点，在反比例函数图象上，则满足关系式，横纵坐标的积等于2，结合即可得出答案． 【详解】解： 点，在反比例函数的图象上， ，， ， ，， ． 故选：A． 6. 将抛物线先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，则经过这两次平移后所得抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，利用平移可求得平移后的抛物线的解析式，可求得其顶点坐标． 【详解】解：将抛物线先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度后抛物线解析式为，即， ∴顶点坐标为， 故选：D． 7. 如图，某小区规划在一个长，宽的矩形场地上修建同样宽的小路，使其中两条与平行，另一条与平行，其余部分种草，如果使草坪部分的总面积为，设小路的宽为，那么x满足的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的运用，弄清“草坪的总长度和总宽度”是解决本题的关键．如果设小路的宽度为，那么草坪的总长度和总宽度应该为，；那么根据题意即可得出方程． 【详解】解：设小路的宽度为， 那么草坪的总长度和总宽度应该为，； 根据题意即可得出方程为：， 整理得：． 故选：C． 8. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理，如图1，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图2，已知圆心O在水面上方，且被水面截得的弦长为4米，半径长为3米．若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦所在直线的距离是（ ） A. 1米 B. 米 C. 3米 D. 米 【答案】D 【解析】 【分析】连接交于D，根据圆的性质和垂径定理可知，，根据勾股定理求得的长，由即可求解． 【详解】解：根据题意和圆的性质知点C为的中点， 连接交于D， 则，， 在中，，， ∴， ∴， 即点C到弦所在直线的距离是米， 故选：D． 【点睛】本题考查圆的性质、垂径定理、勾股定理，熟练掌握垂径定理是解答的关键． 9. 已知二次函数y＝ax2+bx+c的y与x的部分对应值如下表： x ﹣2 ﹣1 0 1 3 y 5 0 ﹣3 ﹣4 0 下列结论：①抛物线开口向上；②抛物线对称轴为直线x＝1；③ax2+bx+c＝5的另一个解是x＝4；④当﹣1＜x＜3时，y＞0；⑤抛物线与x轴的两个交点间的距离是4，其中，正确的个数（　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】设抛物线解析式为：，将（0，-3）代入得，根据可判断结论①正确；抛物线的解析式为，即可得抛物线的对称轴为直线，可判断结论②正确；根据所给的表格可得，当时，，再根据抛物线的对称性得的另一个解为4，可判断结论③正确；根据所给表格可判断结论④错误；根据所给表格可得，抛物线于x轴的两个交点为（-1，0），（3，0），则抛物线于x轴的两个交点间的距离是4，可判断结论⑤正确，即可得． 【详解】解：设抛物线解析式为：， 将（0，-3）代入得：， 解得：， ∵， ∴抛物线开口向上，故①正确； 抛物线的解析式为：， ∴抛物线的对称轴为直线，故②正确； 根据所给的表格可得，当时，， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴的另一个解为4，故③正确； 根据所给表格可得，当时，，故④错误； 根据所给表格可得，抛物线于x轴的两个交点为（-1，0），（3，0）， 则抛物线于x轴的两个交点间的距离是：，故⑤正确； 综上，①②③⑤正确，正确的个数有4个； 故选C． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，解题的关键是掌握二次函数的图象与性质． 10. 如图，一块材料的形状是等腰，底边，高．若把这块材料加工成正方体零件（阴影部分为正方体展开图），则正方体的边长为（ ） A. 20 B. 24 C. 28 D. 32 【答案】B 【解析】 【分析】设正方形边长为，根据平行线的性质得到，根据相似三角形的性质得到结论． 【详解】解：设正方形边长为， 为的高， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：B． 【点睛】本题考查了相似三角形的应用，正方形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键． 11. 如图，将绕点顺时针旋转得到．若，，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由旋转的性质可得，，，然后可证得，和为等腰直角三角形，进而可求得，，，的长，然后根据图中阴影部分的面积即可求得答案． 【详解】解： ，， ， ， 绕点顺时针旋转得到， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 图中阴影部分的面积 ， 故选：． 【点睛】本题主要考查了等边对等角，三角形的内角和定理，勾股定理，旋转的性质，等角对等边，等式的性质，对顶角相等，垂线的定义，三线合一，三角形的面积公式，二次根式的混合运算，完全平方公式等知识点，熟练掌握上述知识点并能加以综合运用是解题的关键． 12. 把两个全等的等腰直角三角形透明纸片如图1放置（点与点重合），若将绕点在平面内旋转，分别交边于点（点均不与点重合）．设，在旋转过程中，与的函数关系图象如图2所示，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形中的动点与函数图象，勾股定理和旋转根据题意若点与点重合，则， ，确定的值，判断选项；证明，判断选项和，由，，，则，，，从而判断，解题的关键是通过函数图象获取信息及熟练掌握知识点的应用． 【详解】由题意可知，若点与点重合，则， ， ∴，故选项中的结论不正确， 由可得， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，故选项中的结论不正确，选项中的结论正确， ∵，，， ∴，，， ∵，， ∴，故选项中的结论不正确， 故选：． 二、填空题（本大题有4个小题，每小题3分，共12分） 13. 已知，则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了比例的性质、代数式求值等知识点．由，设，，然后代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴设，， ∴． 故答案为：． 14. 如图，与位似，其位似中心为点，且，若的周长为5，则的周长为________． 【答案】12.5 【解析】 【分析】本题考查位似图形，根据两个位似图形一定相似，且相似比等于位似比，再根据两个相似三角形的周长比等于相似比，进行求解即可． 【详解】解：∵与位似，且， ∴，， ∴与的相似比为：， ∴与的周长比为：， ∵的周长为5， ∴的周长为12.5； 故答案为：12.5． 15. 反比例函数的图象如图所示．若轴，且的面积为3，则k的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，连接，推导出 ，然后根据反比例函数性质的几何意义即可求得． 【详解】解：连接，   ∵轴， ， ∴， ， ∵反比例函数在第二象限， ∴， ， 故答案为：． 16. 如图，左图是一组光圈闭合过程的示意图，其中每个叶片形状和大小相同，光圈内是一个正六边形．小明同学根据示意图绘制了右图，若AM的延长线恰好过点C，圆的半径为3cm，则叶片所占区域（阴影部分）的面积是___． 【答案】 【解析】 【分析】如图（见解析），连接OA、OD，作于H，则H是AC的中点，因正六边形的每个角等于，因此可知是等边三角形，因此，设，则，在中，，在中利用勾股定理可求出的值，最后根据所求面积等于圆的面积减去正六边形的面积即可得. 【详解】如图，连接OA、OD，作于H，则H是AC的中点 因正六边形的每个角等于 则 是等边三角形 设，则 在中， 在中利用勾股定理得： 即，解得： 则 故 故答案为：. 【点睛】本题考查了正六边形的性质、等边三角形的性质、勾股定理、圆的面积公式，理解题意，从正六边形着手是解题关键. 三、解答题（本大题共8道小题，共72分） 17. 已知关于x的一元二次方程． （1）若方程有一个根为0，求实数a的值； （2）当时，等腰的底边长和腰长分别是一元二次方程的两个根，请求出的周长． 【答案】（1）或 （2）13或11 【解析】 【分析】本题主要考查了方程的解，解一元二次方程，等腰三角形的性质以及三角形三边关系等知识点， （1）将代入原方程可得出关于a的一元二次方程，解方程求出a的值； （2）结合（1）以及等腰三角形的性质和三角形的三边关系，即可找出三角形的腰长，再根据三角形的周长公式即可得出结论，将方程的解代入原方程求出a值是解题的关键． 【小问1详解】 ∵方程有一个根为0， ∴把代入方程得， ∴或； 【小问2详解】 当时，方程为， 整理得， 配方得， 直接开平方得或， 解得， 当的底为3时，则该三角形的三边长为3，5，5，其周长为13， 当的底为5时，则该三角形的三边长为5，3，3，其周长为11， 纵上所述，的周长为13或11． 18. 一个不透明的盒子里装有4张书签，分别描绘“春”，“夏”，“秋”，“冬”四个季节，书签除图案外都相同，并将4张书签充分搅匀． （1）若从盒子中任意抽取1张书签，恰好抽到“夏”的概率为______； （2）若从盒子中任意抽取2张书签（先抽取1张书签，且这张书签不放回，再抽取1张书签），求抽取的书签恰好1张为“春”，1张为“秋”的概率．（请用画树状图或列表等方法说明理由） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了利用画树状图或列表的方法求两次事件的概率，解题的关键是： （1）用标有“夏”书签的张数除以书签的总张数即得结果； （2）利用树状图画出所有出现的结果数，再找出1张为“春”，1张为“秋”的结果数，然后利用概率公式计算即可． 【小问1详解】 解：∵有4张书签，分别描绘“春”，“夏”，“秋”，“冬”四个季节， ∴恰好抽到“夏”的概率为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：用树状图列出所有等可的结果： 等可能的结果：（春，夏），（春，秋），（春，冬），（夏，春），（夏，秋），（夏，冬），（秋，春），（秋，夏），（秋，冬），（冬，春），（冬，夏），（冬，秋）． 在12个等可能的结果中，抽取的书签1张为“春”，1张为“秋”出现了2次， P（抽取的书签价好1张为“春”，1张为“秋”）． 19. 在平面直角坐标系中，已知点，在二次函数的图象上． （1）当时，求的值； （2）在（1）的条件下，当时，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将点，代入可得，，结合，再建立方程求解即可； （2）由可得函数最小值，再分别计算，时的函数值，从而可得答案. 【小问1详解】 解：将点，代入， 得，， ∵， ∴， ∴． 【小问2详解】 ∵， ∴当时，最小值， 当时，， 当时，， ∴当时，的取值范围为． 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数的图象与性质，熟练的利用图象性质求解函数值的取值范围是解本题的关键. 20. 如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线相交于两点． （1）求对应的函数表达式； （2）过点作轴交轴于点，求的面积； （3）根据函数图象，直接写出关于的不等式的解集． 【答案】（1）， （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）将代入，可求，则，将代入得，，可求，即，待定系数法求一次函数解析式即可； （2）由题意知，，则，根据，计算求解即可； （3）根据的解集为一次函数图象在反比例函数图象上方（或交点）部分所对应的的取值范围，结合图象作答即可． 【小问1详解】 解：将代入得，， 解得，， ∴， 将代入得，， 解得，， ∴， 将，代入得，， 解得，， ∴； 【小问2详解】 解：由题意知，，， ∴， ∴的面积为； 【小问3详解】 解：由题意知，的解集为一次函数图象在反比例函数图象上方部分（或交点）所对应的的取值范围， 由图象可知，的解集为或． 【点睛】本题考查了一次函数解析式，反比例函数解析式，坐标与图形，反比例函数与一次函数综合等知识．熟练掌握一次函数解析式，反比例函数解析式，坐标与图形，反比例函数与一次函数综合是解题的关键． 21. 如图，为的直径，弦于点E，于点F，且． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：如图，连接，则， ∴， ∵于点E，于点F，且， ∴点C在的平分线上， ∴平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵经过的半径的外端，且， ∴是的切线． （2）的长是 【解析】 【分析】（1）先证明平分，得出，证明，说明，得出，从而得出，即可证明结论； （2）根据为的直径，弦于点E，得出，，，根据直角三角形性质求出，根据勾股定理求出，最后根据直角三角形性质求出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵为的直径，弦于点E， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的长是． 【点睛】本题主要考查了切线的判定，角平分线的判定，平行线的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，垂径定理，圆周角定理，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的性质和定理，数形结合． 22. 飞虹塔是山西省非常有名的一座塔楼，这座塔的位置位于山西省洪洞县广胜寺景区周边的景色都很美．某实践小组欲测量飞虹塔的高度，利用双休日进行了实地测量，测量过程见下表． 主题 测量“飞虹塔”的高度 成员 组长：×××，组员：××× 测量方案及示意图 测量步骤 步骤1：把长为2米的标杆垂直立于地面点D处，塔尖点A和标杆顶端C确定的直线交水平于点Q，测得米； 步骤2：将标杆沿着的方向平移到点F处，塔尖点A和标杆顶端E确定的直线交直线于点P，测得米，米 根据表格信息，求飞虹塔的高度． 【答案】飞虹塔的高度为47米 【解析】 【分析】此题考查相似三角形的应用，关键是根据相似三角形的判定和性质得出边的大小解答．证明，得到对应边成比例，列方程解决即可． 【详解】解：设米，米． ∵， ∴， ∴． ∵，，， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 经检验，是原方程的解， ∴， ∴． 经检验，是原方程的解， 答：飞虹塔的高度为47米． 23. 近年来，古城内的普洱咖啡受到越来越多游客的喜爱，其种植规模与销量均在逐年增加．一咖啡园现种植甲、乙两种咖啡树，其中种植x棵甲咖啡树，每年所获得的利润（元）与x（棵）之间的函数解析式为，且当时，（元），种植z棵乙咖啡树，已知乙咖啡树每年的成本y（元）与种植乙咖啡树数量z（棵）之间满足函数关系（，），若乙咖啡树每棵每年可收入800元，种植乙咖啡树每年所获得的利润为（元），经过统计获得如下数据： Z（棵） 10 40 （元） 4920 7920 （1）求与x之间的函数解析式，并求的最大值； （2）求与z之间的函数解析式； （3）若该咖啡园计划种植甲咖啡树的数量是乙咖啡树数量的一半，求当种植多少棵甲咖啡树时，两种咖啡树所获得的年总利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1），的最大值为7140元 （2） （3）当种植17棵或18甲咖啡树时，两种咖啡树所获得的年总利润最大，最大利润是14548元 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，掌握利润=总收入总支出的关系式和待定系数法是解题的关键． （1）利用待定系数法和二次函数的性质解答即可； （2）利用利润=总收入-总支出得到，再利用待定系数法解答即可； （3）设每年的总利润为W元，则，利用题意得到W与x的函数关系式，利用二次函数的性质解答即可． 【小问1详解】 解：∵当时，元， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当时，有最大值，的最大值为7140元； 【小问2详解】 解：由题意得：， 由表格可得：当时，，当时，， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：设每年的总利润为W元，则， 由题意：， ∴ ， ∵， ∴当时，W有最大值，但x为正整数，抛物线的对称轴为直线， ∴当或18时，W有最大值，W的最大值为14548元， ∴当种植17棵或18甲咖啡树时，两种咖啡树所获得的年总利润最大，最大利润是14548元． 24. 某校数学兴趣小组的同学在学习了图形的相似后，对三角形的相似进行了深入研究． （一）拓展探究 如图1，在中，，垂足为． （1）兴趣小组的同学得出．理由如下： ①______ ②______ 请完成填空：①______；②______； （2）如图2，为线段上一点，连接并延长至点，连接，当时，请判断的形状，并说明理由． （二）学以致用 （3）如图3，是直角三角形，，平面内一点，满足，连接并延长至点，且，当线段的长度取得最小值时，求线段的长． 【答案】（1）①；②； （2）是直角三角形；理由如下： ， ， ， 由（1）得， ， ， ， ， ， 是直角三角形． （3） 【解析】 【分析】（1）根据余角的性质和三角形相似的性质进行解答即可； （2）证明，得出，证明，得出，即可得出答案； （3）证明，得出，求出，以点为圆心，2为半径作，则都在上，延长到，使，交于，连接，证明，得出，说明点在过点且与垂直的直线上运动，过点作，垂足为，连接，根据垂线段最短，得出当点E在点处时，最小，根据勾股定理求出结果即可． 【详解】解：（1）， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）略 （3）， ， ， ， 如图，以点为圆心，2为半径作，则都在上，延长到，使，交于，连接， 则， ∵为的直径， ∴， ， ∴， ， ， ， 点在过点且与垂直的直线上运动， 过点作，垂足为，连接， ∵垂线段最短， ∴当点E在点处时，最小， 即的最小值为的长， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 在中根据勾股定理得：， 即当线段的长度取得最小值时，线段的长为． 【点睛】本题主要考查了三角形相似的判定和性质，圆周角定理，矩形的判定和性质，勾股定理，垂线段最短，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形相似的判定方法． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度第一学期期末学业质量检测九年级 数学试卷（人教版） 一、单选题（本大题有12个小题，每小题3分，共36分） 1. 下列函数不是反比例函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列事件中，是必然事件的是（ ） A. 任意买一张电影票，座位号是奇数 B. 13个人中至少有两个人出生月份相同 C. 车辆随机到达一个路口，遇到绿灯 D. 冬天的某一天一定会下雪 3. 如图在中，点、分别在的边、上，不一定能使与相似的条件是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，内接于，若，则的大小为（ ） A. 32° B. 58° C. 65° D. 40° 5. 已知点，在反比例函数的图象上，若，则有（ ） A. B. C. D. 6. 将抛物线先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，则经过这两次平移后所得抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，某小区规划在一个长，宽的矩形场地上修建同样宽的小路，使其中两条与平行，另一条与平行，其余部分种草，如果使草坪部分的总面积为，设小路的宽为，那么x满足的方程是（ ） A. B. C. D. 8. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理，如图1，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图2，已知圆心O在水面上方，且被水面截得的弦长为4米，半径长为3米．若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦所在直线的距离是（ ） A. 1米 B. 米 C. 3米 D. 米 9. 已知二次函数y＝ax2+bx+c的y与x的部分对应值如下表： x ﹣2 ﹣1 0 1 3 y 5 0 ﹣3 ﹣4 0 下列结论：①抛物线开口向上；②抛物线对称轴为直线x＝1；③ax2+bx+c＝5的另一个解是x＝4；④当﹣1＜x＜3时，y＞0；⑤抛物线与x轴的两个交点间的距离是4，其中，正确的个数（　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 10. 如图，一块材料的形状是等腰，底边，高．若把这块材料加工成正方体零件（阴影部分为正方体展开图），则正方体的边长为（ ） A. 20 B. 24 C. 28 D. 32 11. 如图，将绕点顺时针旋转得到．若，，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 12. 把两个全等的等腰直角三角形透明纸片如图1放置（点与点重合），若将绕点在平面内旋转，分别交边于点（点均不与点重合）．设，在旋转过程中，与的函数关系图象如图2所示，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题有4个小题，每小题3分，共12分） 13. 已知，则的值是______． 14. 如图，与位似，其位似中心为点，且，若的周长为5，则的周长为________． 15. 反比例函数的图象如图所示．若轴，且的面积为3，则k的值为______． 16. 如图，左图是一组光圈闭合过程的示意图，其中每个叶片形状和大小相同，光圈内是一个正六边形．小明同学根据示意图绘制了右图，若AM的延长线恰好过点C，圆的半径为3cm，则叶片所占区域（阴影部分）的面积是___． 三、解答题（本大题共8道小题，共72分） 17. 已知关于x的一元二次方程． （1）若方程有一个根为0，求实数a的值； （2）当时，等腰的底边长和腰长分别是一元二次方程的两个根，请求出的周长． 18. 一个不透明的盒子里装有4张书签，分别描绘“春”，“夏”，“秋”，“冬”四个季节，书签除图案外都相同，并将4张书签充分搅匀． （1）若从盒子中任意抽取1张书签，恰好抽到“夏”的概率为______； （2）若从盒子中任意抽取2张书签（先抽取1张书签，且这张书签不放回，再抽取1张书签），求抽取的书签恰好1张为“春”，1张为“秋”的概率．（请用画树状图或列表等方法说明理由） 19. 在平面直角坐标系中，已知点，在二次函数的图象上． （1）当时，求的值； （2）在（1）的条件下，当时，求的取值范围． 20. 如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线相交于两点． （1）求对应的函数表达式； （2）过点作轴交轴于点，求的面积； （3）根据函数图象，直接写出关于的不等式的解集． 21. 如图，为的直径，弦于点E，于点F，且． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 22. 飞虹塔是山西省非常有名的一座塔楼，这座塔的位置位于山西省洪洞县广胜寺景区周边的景色都很美．某实践小组欲测量飞虹塔的高度，利用双休日进行了实地测量，测量过程见下表． 主题 测量“飞虹塔”的高度 成员 组长：×××，组员：××× 测量方案及示意图 测量步骤 步骤1：把长为2米的标杆垂直立于地面点D处，塔尖点A和标杆顶端C确定的直线交水平于点Q，测得米； 步骤2：将标杆沿着的方向平移到点F处，塔尖点A和标杆顶端E确定的直线交直线于点P，测得米，米 根据表格信息，求飞虹塔的高度． 23. 近年来，古城内的普洱咖啡受到越来越多游客的喜爱，其种植规模与销量均在逐年增加．一咖啡园现种植甲、乙两种咖啡树，其中种植x棵甲咖啡树，每年所获得的利润（元）与x（棵）之间的函数解析式为，且当时，（元），种植z棵乙咖啡树，已知乙咖啡树每年的成本y（元）与种植乙咖啡树数量z（棵）之间满足函数关系（，），若乙咖啡树每棵每年可收入800元，种植乙咖啡树每年所获得的利润为（元），经过统计获得如下数据： Z（棵） 10 40 （元） 4920 7920 （1）求与x之间的函数解析式，并求的最大值； （2）求与z之间的函数解析式； （3）若该咖啡园计划种植甲咖啡树的数量是乙咖啡树数量的一半，求当种植多少棵甲咖啡树时，两种咖啡树所获得的年总利润最大？最大利润是多少？ 24. 某校数学兴趣小组的同学在学习了图形的相似后，对三角形的相似进行了深入研究． （一）拓展探究 如图1，在中，，垂足为． （1）兴趣小组的同学得出．理由如下： ①______ ②______ 请完成填空：①______；②______； （2）如图2，为线段上一点，连接并延长至点，连接，当时，请判断的形状，并说明理由． （二）学以致用 （3）如图3，是直角三角形，，平面内一点，满足，连接并延长至点，且，当线段的长度取得最小值时，求线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $