精品解析： 辽宁省沈阳市于洪区2024-2025学年八年级上学期期末数学试卷

2024-2025学年辽宁省沈阳市于洪区八年级（上）期末数学试卷 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 一个正方体包装盒的体积为10，则它的棱长为（　　） A. B. C. D. 1000 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了立方根，根据正方体的体积公式计算即可，熟练掌握立方根的定义是解题的关键． 【详解】解：一个正方体包装盒的体积为10，则它的棱长为， 故选：C． 2. A地在地球上的位置如图所示，则A地的位置是（　　） A. 东经，北纬 B. 东经，北纬 C. 东经，北纬 D. 东经，北纬 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了在平面内确定物体的位置，正确理解确定的条件是解题关键．在平面内确定物体的位置需要东经与北纬的度数两个数据，确定点在东经的哪一条线上，北纬的哪一条线上，即可写出的位置． 【详解】解：地的位置是东经，北纬， 故选：C． 3. 若二次根式有意义，则的值不可以是（　　） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，解一元一次不等式，理解二次根式有意义的条件是解答关键． 根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式求解． 【详解】解：要使二次根式有意义， 则， 解得， 即不可以是． 故选：A． 4. 生活中常见的探照灯、汽车大灯等灯具都与抛物线有关．如图，从光源P点照射到抛物线上的光线，等反射以后沿着与平行的方向射出，若，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，根据两直线平行，内错角相等可得，又因为，所以，再根据，即可解得． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 5. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的性质与化简，解题关键是熟练掌握二次根式的性质和乘法法则． 根据二次根式的乘法法则、二次根式的性质、立方根的定义、同类二次根式，分别判断即可． 【详解】解：A．∵， ∴此选项的计算正确，故此选项符合题意； B．∵， ∴此选项的计算不正确，故此选项不符合题意； C．∵， ∴此选项的计算不正确，故此选项不符合题意； D．∵不是同类二次根式，不能合并， ∴此选项的计算不正确，故此选项不符合题意； 故选：A． 6. 某物体在力的作用下，沿力的方向移动的距离为，力对物体所做的功与的对应关系如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意及图象可设该函数解析式为，然后把代入求解即可． 【详解】解：由题意及图象可设该函数解析式为，则把代入得： ，解得：， ∴该函数解析式为； 故选C． 【点睛】本题主要考查正比例函数的实际应用，熟练掌握正比例函数的实际应用是解题的关键． 7. 下列命题是真命题的是（　　） A. 相等的角是对顶角 B. 三角形的一个外角大于这个三角形的任何一个内角 C. 三角形任意两边之和大于第三边 D. 两条直线被第三条直线所截，内错角相等 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解有关的定义及定理，难度不大． 利用对顶角的定义、三角形的外角的性质、三角形的三边关系及平行线的性质分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】解：A、相等的角不一定是对顶角，故原命题错误，是假命题，不符合题意； B、三角形的一个外角大于不相邻的任何一个内角，故原命题错误，是假命题，不符合题意； C、三角形的任意两边之和大于第三边，正确，是真命题，符合题意； D、两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等，故原命题错误，是假命题，不符合题意． 故选：C． 8. 如图是一次函数的图象，下列说法正确的是（　　） A. y随x增大而增大 B. 图象经过第三象限 C. ， D. 当时， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是一次函数的图象与性质，一次函数与坐标轴的交点坐标问题，根据一次函数的图象：从左往右逐渐下降，与y轴交于正半轴，再逐项判断即可得，能正确的识图是解本题的关键． 【详解】解：A、由图象可得：y随x增大而减小，原说法错误，不符合题意； B、图象不经过第三象限，原说法错误，不符合题意； C、由图象可得y随x增大而减小，所以，函数图象与y轴的交点的纵坐标为b，则，原说法正确，符合题意； D、由图象可得，当时，，原说法错误，不符合题意． 故选：C． 9. 甲、乙两种商品原来的单价和为元．因市场变化，甲商品降价，乙商品提价，调价后，两种商品的单价和比原来的单价和提高了．设甲种商品原来的单价是元，乙种商品原来的单价是元，可列出的方程组是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的知识点是根据实际问题列二元一次方程组，解题关键是正确理解题意． 根据甲、乙两种商品原来的单价和为元及甲商品降价，乙商品提价后，两种商品的单价和比原来的单价和提高了这两个等量关系即可列式得解． 【详解】解：由题意得：甲种商品原来的单价是元，乙种商品原来的单价是元， 甲、乙两种商品原来的单价和为元， ， 甲商品降价即为， 乙商品提价即为， 调价后，两种商品的单价和比原来的单价和提高了即为， ， 综上，． 故选：． 10. 如图，已知平分，平分，，则下列结论不一定成立的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了平行线的判定与性质、三角形内角和定理以及角平分线的定义等知识，熟练掌握平行线的判定与性质和直角三角形的性质是解题的关键． 根据角平分线的定义、三角形内角和定理以及平行线的判定与性质分别对各个选项进行判断即可． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵平分， ∴， A、∵， ∴， ∴， ∴，故选项A不符合题意； B、题中的条件不能证明，故选项B符合题意； C、∵， ∴，故选项C不符合题意； D、∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，故选项D不符合题意； 故选：B． 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 一个正数的两个平方根分别是3与，则的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平方根的性质； 根据一个正数的两个平方根互为相反数求解即可． 【详解】解：∵一个正数的两个平方根分别是3与， ∴， ∴， 故答案为：． 12. 某鞋店在一周内销售了30双鞋，各种尺码的销售量如图： 尺码（） 22 22.5 23 23.5 24 24.5 25 销量（双） 3 4 5 11 3 3 1 该鞋店下一周进鞋最多尺码应是______． 【答案】23.5 【解析】 【分析】本题考查众数的意义，熟练掌握众数的求法是解题关键．根据众数的意义解答即可．一组数据中出现次数最多的数据叫做众数． 【详解】解：因为众数是在一组数据中出现次数最多数，23.5出现的次数最多， ∴众数是． 故答案为：23.5． 13. 如图，二元一次方程组的解是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组和一次函数的关系，理解两个一次函数的交点坐标就是二元一次方程组的解是解题的关键．两个一次函数的交点坐标就是二元一次方程组的解，从而可得答案． 【详解】解：∵与图象交点为， ∴二元一次方程组的解是， 故答案为：． 14. 在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几．”此问题可理解为：如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地距离长度为1尺．将它往前水平推送10尺，即尺，则此时秋千的踏板离地距离就和身高5尺的人一样高．若运动过程中秋千的绳索始终拉得很直，则绳索长为 _________尺． 【答案】14.5 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的应用，理解题意能力，解题的关键是能构造出直角三角形，用勾股定理来解． 设秋千的绳索长尺，由题意知：尺，尺，尺，根据勾股定理列方程即可得出结论． 【详解】解：设秋千的绳索长为x尺， 由题意知：尺，尺，尺， 在中，， ∴， 解得：， 答：绳索长为14.5尺． 故答案为：14.5． 15. 动点H以每秒的速度沿图1中的长方形的边按从的路径匀速运动，的面积与时间的关系如图2，已知，则_______． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查动点问题的函数图象的相关知识．由图2中点及，可得长方形另一边长的长度，进而根据纵坐标为m的点判断出动点H所在的位置，求得相应的的面积即为m的值． 【详解】解：观察图2可得：当点H运动到点D时，运动路程为，运动时间为14秒， ∵动点H以每秒的速度运动， ∴， ∵，四边形是长方形， ∴，， ∴， ∴当点H运动到点B时，，如图： ∴， ∴． 故答案为：10． 三、解答题（本题共8小题，共75分.解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 计算： （1）； （2）解方程组：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，平方差公式，二元一次方程组． （1）利用平方差公式，二次根式的除法法则计算即可； （2）利用代入法解方程组即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：， 由①得③， 把③代入②得， 解得， 把代入③得， ∴． 17. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，， （1）将的三个顶点的横坐标分别乘，纵坐标保持不变，画出所得三个顶点并依次连接起来，记作（点A，B，C的对应点分别为，，）； （2）与（1）所得的位置关系　　； （3）在y轴上找一点P，使得最小，请直接写出点P的坐标． 【答案】（1）详见解析 （2）关于y轴对称 （3）见解析， 【解析】 【分析】本题是三角形的综合题，主要考查轴对称—最短路径问题，作图—轴对称变换，求一次函数解析式 （1）先写出、、的坐标，再描点得到； （2）利用关于y轴对称的点的坐标特征进行判断； （3）过点B作y的对称点，连接交y轴于点P，即为所求，然后求出所在直线的表达式，将代入求解即可． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求； 【小问2详解】 解：与（1）所得的位置关系是关于y轴对称； 故答案为：关于y轴对称； 【小问3详解】 解：如图所示，作点B关于y轴的对称点，连接交y轴于P， 则此时最小， ∵， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴点P的坐标为． 18. 某校举办“学生讲堂”，八年级为了选出一位同学代表年级参赛，先后进行了笔试和面试．在笔试中，甲、乙、丙三位同学脱颖而出，他们的笔试成绩（满分100分）分别是95分，94分，88分．在面试中，十位评委对甲、乙、丙三位同学的表现进行打分，每位评委最高打10分，面试成绩等于十位评委打分之和．对甲、乙、丙三位同学的面试数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息． 信息一：评委给甲同学打分的条形统计图： 信息二：评委给乙、丙两位同学打分的折线统计图： 信息三：甲、乙、丙三位同学面试情况统计表： 同学 面试成绩 评委打分的中位数 评委打分的众数 甲 78 8 n 乙 86 9 10 丙 87 m 8 根据以上信息，回答下列问题： （1）填空： 　　分， 　　分； （2）在面试中，如果评委给某位同学的打分的方差越小，则认为评委对该同学面试的评价越一致．据此推断：甲、乙、丙三位同学中，评委对 　　的评价更一致（填“甲”、“乙”或“丙”）； （3）按笔试成绩占，面试成绩占确定甲、乙、丙三位同学的综合成绩，综合成绩最高者将代表年级参赛，请你通过计算确定参赛同学． 【答案】（1）8.5，8 （2）丙 （3）乙 【解析】 【分析】本题考查折线统计图，条形统计图，中位数、众数、方差以及加权平均数，理解中位数、方差的意义和计算方法是正确解答的前提． （1）根据中位数和众数的定义可得答案； （2）根据方差的意义解答即可； （3）根据加权平均数公式计算即可． 【小问1详解】 解：把丙的得分从小到大排列，排在中间的两个数分别是8，9，故中位数， 由条形统计图可知甲的得分的最多的是8分，故众数； 故答案为：8.5，8； 【小问2详解】 由题意可知，甲的数据在5和10之间波动，乙的数据在6和10之间波动，丙的数据在8和10之间波动，所以评委对丙同学的评价更一致； 故答案为：丙； 【小问3详解】 甲的综合成绩为：（分）， 乙的综合成绩为：（分）， 丙的综合成绩为：（分）， ， 所以综合成绩最高的是乙． 故答案为：乙． 19. 随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某公司计划购进一批新能源汽车，通过调查，将获取的相关数据整理如下表： 购买数量（单位：辆） 总费用（单位：万元） 甲型汽车 乙型汽车 2 1 60 3 4 115 （1）求甲、乙两种型号的汽车每辆分别为多少万元？ （2）若该公司计划正好用150万元购进甲、乙两种型号的汽车若干辆（两种型号汽车均购买），请直接写出该公司的购买方案． 【答案】（1）甲万元，乙万元 （2）共有种购买方案： 方案：甲辆，乙辆 方案：甲辆，乙辆 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用及二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组（或二元一次方程）是解题的关键． （1）设甲型汽车的单价是x万元，乙型汽车的单价是y万元，根据“总价单价数量”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解方程组即可得出答案； （2）设购买m辆甲型汽车，n辆乙型汽车，根据“总价单价数量”，可列出关于m，n二元一次方程，结合m，n均为正整数，即可得出各购买方案． 【小问1详解】 解：设甲型汽车的单价是x万元，乙型汽车的单价是y万元， 根据题意得：， 解得：， 答：甲型汽车的单价是25万元，乙型汽车的单价是10万元； 【小问2详解】 解：设购买m辆甲型汽车，n辆乙型汽车， 根据题意得：， ∴，，， 又∵m，n均为正整数， ∴或， ∴该公司共有2种购买方案， 方案1：购买4辆甲型汽车，5辆乙型汽车； 方案2：购买2辆甲型汽车，10辆乙型汽车． 20. 小李同学探索的近似值的过程如下： ∵面积为86的正方形的边长是，且， ∴设，其中，画出示意图，如图所示． 根据示意图，可得图中正方形的面积， 又∵，∴． 当时，可忽略，得，解得，∴． （1）填空：的整数部分的值为　　； （2）仿照上述方法，探究的近似值（结果精确到0.01） （答题要求：画出示意图，标明数据，并写出求解过程） 【答案】（1）12 （2）12.54 【解析】 【分析】本题考查估算无理数的大小，掌握算术平方根的定义是正确解答的关键 （1）根据算术平方根的定义进行计算即可； （2）根据题目所提供的方法进行解答即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， 即， ∴的整数部分的值为12， 故答案为：12； 【小问2详解】 解：如图，图中正方形的面积， 又∵， ∴． 当时，可忽略，得， 解得， ∴． 21. 小明到某景区游玩，他从景区入口处步行到达小憩屋，休息片刻后继续前行，此时观光车从景区入口处出发，沿相同路线与小明先后到达观景点．如图折线和线段分别表示小明和观光车离开景区入口的距离与小明步行时间之间的关系．根据图象解决下列问题： （1）观光车的行驶速度为 　　，点D的坐标为 　　； （2）求线段对应的函数表达式； （3）当观光车到达观景点时，小明距观景点还有多远？ 【答案】（1）300， （2） （3）当观光车到达观景点时，小明距观景点还有 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用、函数的图象． （1）根据速度路程时间求出观光车的行驶速度，再由时间路程速度求出观光车从景区入口到达观景点所用的时间，从而求出点D的坐标； （2）利用待定系数法解答并写出自变量x的取值范围即可； （3）将代入线段对应的函数表达式，求出对应y的值，即小明已走的路程，再根据“景区入口与观景点的距离当观光车到达观景点时小明已走的路程”列式计算即可． 【小问1详解】 解：观光车的行驶速度为， ， ， ∴点D的坐标为， 故答案为：300，； 【小问2详解】 解：设线段对应的函数表达式为（k、b为常数，且）， 将坐标和分别代入， 得， 解得， ∴线段对应的函数表达式为； 【小问3详解】 解：当时，， ． 答：当观光车到达观景点时，小明距观景点还有． 22. 在中，，，点D是边上一点，连接，过点B作的垂线，垂足为E． （1）如图1，求证：； （2）如图2，以为直角边作等腰直角（B，E，F三点按顺时针排列），，连接，过点C作交直线于点G，猜想与的数量关系并证明； （3）若，，求的长． 【答案】（1）详见解析 （2）详见解析 （3）的长为或 【解析】 【分析】（1）由，得到，根据垂直的定义得到，求得，等量代换得到结论； （2）过C作于H，得到，由（1）知，，根据全等三角形的性质得到，根据平行线的性质得到，推出是等腰直角三角形，得到，求得； （3）①根据等腰直角三角形的性质得到，如图2，过A作于M，求得，根据勾股定理得到，求得，根据三角形的面积公式求出，根据勾股定理求出，根据即可求解；②如图3，过C作于H，过A作于M，根据等腰直角三角形的性质得到，根据勾股定理求出，求出，根据三角形的面积公式求出，根据即可求解． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解： ， 证明：过C作于H， ∴， 由（1）知，， ∵， ∴， ∴， 等腰直角中，∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴； 【小问3详解】 ①∵，， ∴， 如图2，过A作于M， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； ②如图3，过C作于H，过A作于M， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上所述，长为或． 【点睛】本题是三角形的综合题，考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质定理，平行线的性质，正确地作出辅助线是解题的关键． 23. 在平面直角坐标系中，对于图形给出如下定义：将图形上的一点变为点（称点为点的关联点．图形上所有点按上述方法变化后得到的点组成的图形记为图形，称图形为图形的关联图形． （1）点的关联点的坐标为　　； （2）点在直线上，点的关联点在直线，求点的坐标； （3）如图1，若点在第一象限，且，点的关联点，判断的形状并证明； （4）已知，点，，，若四边形与其关联图形重合部分的面积为2，直线经过点，且与该关联图形有交点、请直接写出的最小值． 【答案】（1） （2） （3）为等腰直角三角形，详见解析 （4） 【解析】 【分析】（1）直接根据关联点的定义代入求解即可； （2）先根据点所在直线解析式设出点坐标，再根据关联点定义求出点坐标，进而代入点所在直线的解析式求解即可； （3）画出图形，根据图形很容易猜想为等腰直角三角形，则可作垂直，将坐标转化为线段长度，证全等，逆向证明三垂直即可得证； （4）先求出各点的关联点，在坐标系中画出图形可发现重叠部分为等腰直角三角形，进而求出值，继而发现当直线经过时，倾斜程度最小，即值最小，代入坐标即可得解． 【小问1详解】 解：根据关联点的定义可知：，， 点的关联点的坐标为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：点在直线上， 可设点的坐标为， 又，， 点的关联点的坐标为， 点在直线， ， 解得， ， 点的坐标为； 【小问3详解】 解：为等腰直角三角形，证明如下： ， 点和点在坐标系中的位置如图所示， 过作轴，交轴于点，过作于点，则， ， ， ，，，， ，， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 为等腰直角三角形； 【小问4详解】 解：，，，， 点关联点，点关联点，点关联点，点关联点， 如图，在平面直角坐标系画出图形， 由图易知，重叠部分为等腰直角三角形， ， 解得（负值舍去）， ，，， 直线经过点， 设直线， 若直线与该关联图形有交点，则两个临界点为和， 当该直线经过点时，可有，解得， 当该直线经过点时，可有，解得， 即最小值为． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形、一次函数的点的坐标特征、全等三角形的判定和性质、新定义等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年辽宁省沈阳市于洪区八年级（上）期末数学试卷 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 一个正方体包装盒的体积为10，则它的棱长为（　　） A. B. C. D. 1000 2. A地在地球上的位置如图所示，则A地的位置是（　　） A. 东经，北纬 B. 东经，北纬 C. 东经，北纬 D. 东经，北纬 3. 若二次根式有意义，则的值不可以是（　　） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 4. 生活中常见的探照灯、汽车大灯等灯具都与抛物线有关．如图，从光源P点照射到抛物线上的光线，等反射以后沿着与平行的方向射出，若，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 无法确定 5. 下列计算正确的是（　　） A B. C. D. 6. 某物体在力的作用下，沿力的方向移动的距离为，力对物体所做的功与的对应关系如图所示，则下列结论正确的是（ ） A B. C. D. 7. 下列命题是真命题的是（　　） A. 相等角是对顶角 B. 三角形的一个外角大于这个三角形的任何一个内角 C. 三角形任意两边之和大于第三边 D. 两条直线被第三条直线所截，内错角相等 8. 如图是一次函数的图象，下列说法正确的是（　　） A. y随x增大而增大 B. 图象经过第三象限 C. ， D. 当时， 9. 甲、乙两种商品原来的单价和为元．因市场变化，甲商品降价，乙商品提价，调价后，两种商品的单价和比原来的单价和提高了．设甲种商品原来的单价是元，乙种商品原来的单价是元，可列出的方程组是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，已知平分，平分，，则下列结论不一定成立的是（　　） A. B. C. D. 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 一个正数的两个平方根分别是3与，则的值为___________． 12. 某鞋店在一周内销售了30双鞋，各种尺码的销售量如图： 尺码（） 22 22.5 23 23.5 24 24.5 25 销量（双） 3 4 5 11 3 3 1 该鞋店下一周进鞋最多的尺码应是______． 13. 如图，二元一次方程组的解是_______． 14. 在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几．”此问题可理解为：如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地距离长度为1尺．将它往前水平推送10尺，即尺，则此时秋千的踏板离地距离就和身高5尺的人一样高．若运动过程中秋千的绳索始终拉得很直，则绳索长为 _________尺． 15. 动点H以每秒的速度沿图1中的长方形的边按从的路径匀速运动，的面积与时间的关系如图2，已知，则_______． 三、解答题（本题共8小题，共75分.解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 计算： （1）； （2）解方程组：． 17. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，， （1）将的三个顶点的横坐标分别乘，纵坐标保持不变，画出所得三个顶点并依次连接起来，记作（点A，B，C的对应点分别为，，）； （2）与（1）所得的位置关系　　； （3）在y轴上找一点P，使得最小，请直接写出点P坐标． 18. 某校举办“学生讲堂”，八年级为了选出一位同学代表年级参赛，先后进行了笔试和面试．在笔试中，甲、乙、丙三位同学脱颖而出，他们的笔试成绩（满分100分）分别是95分，94分，88分．在面试中，十位评委对甲、乙、丙三位同学的表现进行打分，每位评委最高打10分，面试成绩等于十位评委打分之和．对甲、乙、丙三位同学的面试数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息． 信息一：评委给甲同学打分的条形统计图： 信息二：评委给乙、丙两位同学打分的折线统计图： 信息三：甲、乙、丙三位同学面试情况统计表： 同学 面试成绩 评委打分的中位数 评委打分的众数 甲 78 8 n 乙 86 9 10 丙 87 m 8 根据以上信息，回答下列问题： （1）填空： 　　分， 　　分； （2）在面试中，如果评委给某位同学的打分的方差越小，则认为评委对该同学面试的评价越一致．据此推断：甲、乙、丙三位同学中，评委对 　　的评价更一致（填“甲”、“乙”或“丙”）； （3）按笔试成绩占，面试成绩占确定甲、乙、丙三位同学的综合成绩，综合成绩最高者将代表年级参赛，请你通过计算确定参赛同学． 19. 随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某公司计划购进一批新能源汽车，通过调查，将获取的相关数据整理如下表： 购买数量（单位：辆） 总费用（单位：万元） 甲型汽车 乙型汽车 2 1 60 3 4 115 （1）求甲、乙两种型号的汽车每辆分别为多少万元？ （2）若该公司计划正好用150万元购进甲、乙两种型号的汽车若干辆（两种型号汽车均购买），请直接写出该公司的购买方案． 20. 小李同学探索的近似值的过程如下： ∵面积为86的正方形的边长是，且， ∴设，其中，画出示意图，如图所示． 根据示意图，可得图中正方形的面积， 又∵，∴． 当时，可忽略，得，解得，∴． （1）填空：的整数部分的值为　　； （2）仿照上述方法，探究的近似值（结果精确到0.01） （答题要求：画出示意图，标明数据，并写出求解过程） 21. 小明到某景区游玩，他从景区入口处步行到达小憩屋，休息片刻后继续前行，此时观光车从景区入口处出发，沿相同路线与小明先后到达观景点．如图折线和线段分别表示小明和观光车离开景区入口的距离与小明步行时间之间的关系．根据图象解决下列问题： （1）观光车的行驶速度为 　　，点D的坐标为 　　； （2）求线段对应的函数表达式； （3）当观光车到达观景点时，小明距观景点还有多远？ 22. 在中，，，点D是边上一点，连接，过点B作的垂线，垂足为E． （1）如图1，求证：； （2）如图2，以为直角边作等腰直角（B，E，F三点按顺时针排列），，连接，过点C作交直线于点G，猜想与的数量关系并证明； （3）若，，求的长． 23. 在平面直角坐标系中，对于图形给出如下定义：将图形上的一点变为点（称点为点的关联点．图形上所有点按上述方法变化后得到的点组成的图形记为图形，称图形为图形的关联图形． （1）点的关联点的坐标为　　； （2）点在直线上，点的关联点在直线，求点的坐标； （3）如图1，若点在第一象限，且，点的关联点，判断的形状并证明； （4）已知，点，，，若四边形与其关联图形重合部分的面积为2，直线经过点，且与该关联图形有交点、请直接写出的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $