精品解析：山东省德州市夏津县育中万隆中英文高级中学2024-2025学年高二上学期第二次月考数学试题

夏津育中万隆中英文高级中学 高二上学期第二次月考数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 四名同学报名参加三项课外活动，每人限报其中一项，不同报名方法共有 A. 12 B. 64 C. 81 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】利用分步乘法计数原理进行求解 【详解】每个同学都有三种选择，故总方法数为； 故选：C 2. 一个盒子里装有大小，材质均相同的黑球10个，红球12个，白球3个，从中任取3个，其中白球的个数记为，则等于的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知条件分析概率值、对应的事件，即可得结果. 【详解】由题设，取出的3个球中没有白球的概率为， 取出的3个球中有一个白球的概率， 所以目标式表示. 故选：C 3. 经过点作直线，若直线l与连接、的线段总有公共点，则直线的倾斜角的取值范围为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】因为直线l与连接、的线段总有公共点，可得，再利用斜率公式即可计算得出直线l的斜率的范围，再由直线的斜率与倾斜角之间的关系得出直线的倾斜角的范围. 【详解】因为，所以． 因为直线l与连接、的线段总有公共点， ， ， 设直线l的倾斜角为，所以，所以， 又因为，所以， 故选A. 【点睛】本题考查直线的倾斜角与直线的斜率之间的关系，对于此类问题注意从正切函数的图象与性质着手能快速地求解，属于中档题. 4. 已知盒中装有3个红球、2个白球、5个黑球，它们大小形状完全相同，现需一个红球，甲每次从中任取一个不放回，在他第一次拿到白球的条件下，第二次拿到红球的概率(　 ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】事件A：“第一次拿到白球”，B：“第二拿到红球”，则P(A)＝＝，P(AB)＝·＝，故P(B|A)＝＝. 5. 离散型随机变量X的分布列中部分数据丢失，丢失数据以x，代替，分布列如下：则 （ ） 1 2 3 4 5 6 0.21 0.20 0.10 0.10 A. 0.35 B. 0.45 C. 0.55 D. 0.65 【答案】B 【解析】 【分析】根据概率之和为1得到方程组，求出，得到答案. 【详解】由题意得，解得， ，解得， 故. 故选：B 6. 的展开式中，前项的系数成等差数列，展开式中二项式系数的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出展开式前三项的系数，根据题意可得出关于的方程，解出的值，然后利用二项式系数的基本性质可求得结果. 【详解】展开式的通项公式为， 所以，前三项的系数分别为、、且成等差数列， 所以，，即，整理可得， 由题意可知，且，解得， 故解得，二项式系数的最大值为． 故选：. 7. 高三某班有的学生数学成绩优秀，若从班中随机找出名学生，那么其中数学成绩优秀的学生数，则取最大值时的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据概率公式应用最大值列不等式组计算求出的值. 【详解】由已知，，，，，，， 所以由 得： 解得，又因为，所以． 故选:B． 8. 抛物线上有三点，且直线的斜率大于零，，点为三角形的重心，若直线横截距的范围为，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，，由重心的性质可得，进而，直线方程联立抛物线方程，利用根的判别式和韦达定理可得，，结合直线的横截距为以及一次函数、反比例函数的性质即可求解. 【详解】由题意知，设，则， 又为的重心，所以， 得，代入方程，得①. 设直线AB方程为， ，消去y，得， ，得，， 代入①，得，即，则，解得， 所以，解得. 对于，令，得， 又函数在上单调递增，所以函数在上单调递增， 当时，， 即. 故选：A . 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 若随机变量服从两点分布，其中，，分别为随机变量的均值与方差，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据随机变量服从两点分布推出，根据公式先计算出、，由此分别计算四个选项得出结果． 【详解】随机变量服从两点分布，其中，， ， ， 在A中，，故A正确； 在B中，，故B正确； 在C中，，故C错误； 在D中，，故D正确． 故选：ABD． 10. 已知椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上，且不与椭圆的左、右顶点重合，则下列关于的说法正确的有（ ） A. 的周长为 B. 当时，中 C. 当时，的面积为 D. 椭圆上有且仅有6个点，使得为直角三角形 【答案】AD 【解析】 【分析】根据已知求出的值，结合椭圆的定义，即可得出A项；设，根据已知列出关系式，求解得出的值，即可判断B项；根据余弦定理求出的值，即可根据面积公式得出面积；设，求出满足的点的个数，即可判断D项. 【详解】对于A项，由已知可得，，，， 所以，. 对于A项，由椭圆的定义可得，， 又， 所以，的周长为，故A项正确； 对于B项，如图1，设，由椭圆的定义可知，， 又， 所以， 即，解得，即，故B项错误； 对于C项，在中，由余弦定理可得 ， 所以，， 所以，，故C项错误； 对于D项，设存在点，使得， 设，根据椭圆的定义有， 因为，所以， 即， 整理可得，解得. 如图3，当点位于短轴顶点时有， 所以，满足的点有2个； 分别过点，作轴的垂线，此时与椭圆有4个交点， 即满足以及的点有4个. 综上所述，椭圆上有且仅有6个点，使得为直角三角形，故D项正确. 故选：AD. 11. 已知正方体棱长为2，M为棱CG的中点，P为底面EFGH上的动点，则下列说法正确的是（ ） A. 存在点P，使得； B. 存在唯一点P，使得； C. 当，此时点P的轨迹长度为； D. 当P为底面EFGH的中心时，三棱锥的外接球表面积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，设P点坐标为，利用空间向量逐一求解即可. 【详解】以D为原点，DA，DC，DH所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系 ，，设P点坐标为，，， 为求的最小值，找出点A关于平面EFGH的对称点， 设该点为，则点坐标为， ，故A选项正确； 由可得，故B选项正确； 时，即，而，， 得到， 点P轨迹是连接棱EF中点与棱EH中点的线段，其长度为线段HF的一半，即长为，故C选项错误； 当P为底面EFGH的中心时，由B选项知，显然，， 三棱锥的外接球球心为棱AM的中点，从而求得球半径为，，故D选项正确. 故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：建立空间直角坐标系，利用空间向量坐标法求解立体几何有关轨迹，夹角，距离有关问题是非常有效的方法，能减少思维量. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 展开式中x的一次项系数为，则实数a的值为_____________. 【答案】2 【解析】 【分析】求出二项式展开式的通项公式，然后令的次数为1，求出，从而可表示出一次项系数，列方程可求出a的值 【详解】的展开式通项为（，）， ∴令，解得， ∴的展开式的常数项为， ∴，. 故答案为：2 13. 已知随机事件满足，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】由乘法公式及事件和的概率公式代入数据即可. 【详解】，. 故答案为：. 14. 已知双曲线的左､右作点分别为为坐标原点，倾斜角为的直线过右焦点且与双曲线的左支交于点，若，则双曲线的离心率为__________． 【答案】 【解析】 【分析】由向量的运算将转化为，利用几何性质求得点，代入双曲线方程得的等量关系，求解离心率即可. 【详解】因为 ， 所以，则， 过作轴，垂足为， 由题意知，则，故， 在中，， 故，又点在双曲线上， 则，将代入整理得， 则，解得，又，得到， 所以双曲线的离心率为， 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 从6名男生和5名女生中选出4人去参加某活动的志愿者. （1）若4人中必须既有男生又有女生，则有多少种选法？ （2）先选出4人，再将这4人分配到两个不同的活动场地（每个场地均要有人去，1人只能去一个场地），则有多少种安排方法？ （3）若男､女生各需要2人，4人选出后安排与2名组织者合影留念（站一排），2名女生要求相邻，则有多少种不同的合影方法？ 【答案】（1）310 （2）4620 （3）36000 【解析】 【分析】（1）找对立面，先将总数求出来，后将全男全女减掉就可以了. （2）先选再分组最后分配. （3）捆绑和插空法使用即可解题. 【小问1详解】 从这11人中任选4人的选法有种， 其中只有男生的选法有种，只有女生的选法有种， 故4人中必须既有男生又有女生的选法有种. 【小问2详解】 从这11人中任选4人的选法有种， 若人数按1，3分配，则安排方法有种， 若人数按2，2分配，则安排方法有种， 所以共有种安排方法. 【小问3详解】 因为男､女生各需要2人，所以选出4人的方法有种. 先排2名男生与2名组织者，有种排法， 再将2名女生“捆绑”在一起，放入5个空档中，有种方法， 所以共有种不同的合影方法. 16. 端午假日期间，某商场为了促销举办了购物砸金蛋活动，凡是在该商场购物的顾客都有一次砸金蛋的机会．主持人从编号为1，2，3，4的四个金蛋中随机选择一个，放入奖品，只有主持人事先知道奖品在哪个金蛋里．游戏规则是顾客有两次选择机会，第一次任意选一个金蛋先不砸开，随后主持人随机砸开另外三个金蛋中的一个空金蛋，接下来顾客从三个完好的金蛋中第二次任意选择一个砸开，如果砸中有奖的金蛋直接获奖．现有顾客甲第一次选择了2号金蛋，接着主持人砸开了另外三个金蛋中的一个空金蛋． （1）作为旁观者，请你计算主持人砸4号金蛋的概率； （2）当主持人砸开4号金蛋后，顾客甲重新选择，请问他是坚持选2号金蛋，还是改选1号金蛋或3号金蛋？（以获得奖品的概率最大为决策依据） 【答案】（1） （2）甲应该改选1号金蛋或3号金蛋． 【解析】 【分析】（1）设出事件，根据已知条件得出事件的概率以及条件概率，然后根据全概率公式即可得出答案； （2）根据条件概率，分别求出主持人砸开4号金蛋的条件下，1号金蛋、2号金蛋、3号金蛋里有奖品的概率，再比较概率的大小，即可得出答案. 【小问1详解】 设分别表示1，2，3，4号金蛋里有奖品， 设分别表示主持人砸开1，2，3，4号金蛋， 则，且两两互斥． 由题意可知，事件的概率都是， ，，，． 由全概率公式，得． 【小问2详解】 在主持人砸开4号金蛋的条件下，1号金蛋、2号金蛋、3号金蛋里有奖品的概率分别为 ， ， ， 通过概率大小比较，甲应该改选1号金蛋或3号金蛋． 17. 为了解客户对A，B两家快递公司的配送时效和服务满意度情况，现随机获得了某地区客户对这两家快递公司评价的调查问卷，已知A，B两家公司的调查问卷分别有120份和80份，全部数据统计如下： 快递公司 A快递公司 B快递公司 项目 份数 评价分数 配送时效 服务满意度 配送时效 服务满意度 29 24 16 12 47 56 40 48 44 40 24 20 假设客户对A，B两家快递公司的评价相互独立，用频率估计概率. （1）从该地区选择A快递公司的客户中随机抽取1人，估计该客户对A快递公可配送时效的评价不低于75分的概率： （2）分别从该地区A和B快递公司的样本调查问卷中，各随机抽取1份，记X为这2份问卷中的服务满意度评价不低于75分的份数，求X的分布列和数学期望： （3）记评价分数为“优秀”等级，为“良好”等级，为“一般”等级､已知小王比较看重配送时效的等级，根据该地区A，B两家快递公司配送时效的样本评价分数的等级情况，你认为小王选择A，B哪家快递公司合适？说明理由， 【答案】（1） （2） X 0 1 2 P （3） A快递公司的样本调查问卷中“优秀”等级占比为， “良好”等级占比为，“一般”等级占比为； B快递公司的样本调查问卷中“优秀”等级占比为， “良好”等级占比为，“一般”等级占比为； 其中A快递公司的样本调查问卷中“优秀”或“良好”等级占比为， B快递公司的样本调查问卷中“优秀”或“良好”等级占比为， 我认为小王应该选择B快递公司，因为B快递公司中“优秀”或“良好”等级占比比A公司大. 【解析】 【分析】（1）从表中读取数据后计算即可得； （2）先得出两个公司分别不低于75分的概率，再由离散型随机变量性质计算即可得； （3）得出各个公司等级情况后，言之有理即可. 【小问1详解】 调查问卷中共有120份，其中不低于75分的份数为，则， 故可估计该客户对A快递公可配送时效的评价不低于75分的概率为； 【小问2详解】 A快递公司的样本调查问卷中抽取的1份服务满意度评价不低于75分的概率为： ， B快递公司的样本调查问卷中抽取的1份服务满意度评价不低于75分的概率为： ， X的可能取值为0，1，2， ， ， ， 故其分布列为： X 0 1 2 P 其期望； 【小问3详解】 略 18. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，面为棱上的动点． （1）若为棱中点，证明：面； （2）在棱上是否存在点，使得二面角的余弦值为若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； （3）分别在棱上，，求三棱锥的体积的最大值． 【答案】（1） 连接交于，则为三角形中位线，易知， 又因为上，面，所以面； （2）存在满足条件的点，； （3） 【解析】 【分析】（1）运用中位线性质得到线线平行，进而得到线面平行；（2）建立空间直角坐标系，运用面面夹角得向量法求解即可；（3）在中，由余弦定理，设，则，得到，在用等体积法计算即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以为原点，以所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，可得， 由为棱上一点，设， ． 设平面的法向量为， 由可得 令，则，则． 取平面的法向量为， 则二面角的平面角满足： ， 化简得：，解得：或（舍去）， 故存在满足条件的点，此时． 【小问3详解】 因为， 可知三棱锥体积最大时，即最大，在中，由余弦定理有： 可得， 设，则， 由题可知：该方程有实根，则，解得， 同理可得． 设点到平面的距离为，则由等体积法得到：， ，解得：． 当最大时三棱锥体积最大，即三棱锥体积最大， 最大体积为：． 19. 阅读材料： 极点与极线，是法国数学家吉拉德•笛沙格（Girard Desargues，）于年在射影几何学的奠基之作《圆锥曲线论稿》中正式阐述，它是圆锥曲线的一种基本特征.已知圆锥曲线，则称点和直线是圆锥曲线的一对极点和极线.事实上，在圆锥曲线方程中，以替换，以替换（另一变量也是如此），即可得到点对应的极线方程．特别地，对于椭圆，与点对应的极线方程为；对于双曲线，与点对应的极线方程为；即对于确定的圆锥曲线，每一对极点与极线是一一对应的关系. 其中，极点与极线有以下基本性质和定理 ①当在圆锥曲线上时，其极线是曲线在点处的切线； ②当在外时，其极线是曲线从点所引两条切线的切点所确定的直线（即切点弦所在直线）； ③当在内时，其极线是曲线过点的割线两端点处的切线交点的轨迹. 根据上述材料回答下面问题： 已知双曲线，右顶点到的一条渐近线的距离为， 已知点是直线上的一个动点，点对应的极线与双曲线交于点， （1）若，，证明：极线恒过定点. （2）在（1）的条件下，若该定点为极线的中点，求出此时的极线方程 （3）若，，，极线交的右支于，两点，点在轴上方，点是双曲线的左顶点，直线，直线分别交轴于，两点，点为坐标原点，求的值 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据已知条件，确定双曲线方程，结合题意确定方程即可求解； （2）设，，利用点差法求出直线斜率即可求解； （3）根据已知条件，结合材料，确定为，直曲联立，利用韦达定理得到：，，结合题意有化简整理即可求解. 【小问1详解】 右顶点为，， 双曲线的一条渐近线方程为：， 由，， 双曲线的标准方程 点在直线上， 设， 根据阅读材料可得极线为：， 整理有：， 则由，，定点为. 【小问2详解】 若定点为的中点，设，，则， 由点差法可得： 又因为：，，所以 解得：，所以极线方程为：. 【小问3详解】 ，，，所以直线方程为：， 由题意，设：则极线为：即， 由 设， 由韦达定理可得，， 直线，得， 直线，得， ， 、满足，，， 且，， 所以原式化为： . 【点睛】方法点睛： 解答直线与圆锥曲线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去(或)， 建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件，化简求值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 夏津育中万隆中英文高级中学 高二上学期第二次月考数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 四名同学报名参加三项课外活动，每人限报其中一项，不同报名方法共有 A. 12 B. 64 C. 81 D. 7 2. 一个盒子里装有大小，材质均相同的黑球10个，红球12个，白球3个，从中任取3个，其中白球的个数记为，则等于的是（ ） A. B. C. D. 3. 经过点作直线，若直线l与连接、的线段总有公共点，则直线的倾斜角的取值范围为 A. B. C. D. 4. 已知盒中装有3个红球、2个白球、5个黑球，它们大小形状完全相同，现需一个红球，甲每次从中任取一个不放回，在他第一次拿到白球的条件下，第二次拿到红球的概率(　 ) A. B. C. D. 5. 离散型随机变量X的分布列中部分数据丢失，丢失数据以x，代替，分布列如下：则 （ ） 1 2 3 4 5 6 0.21 0.20 0.10 0.10 A. 0.35 B. 0.45 C. 0.55 D. 0.65 6. 的展开式中，前项的系数成等差数列，展开式中二项式系数的最大值为（ ） A. B. C. D. 7. 高三某班有的学生数学成绩优秀，若从班中随机找出名学生，那么其中数学成绩优秀的学生数，则取最大值时的值为（ ） A. B. C. D. 8. 抛物线上有三点，且直线的斜率大于零，，点为三角形的重心，若直线横截距的范围为，则的值是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 若随机变量服从两点分布，其中，，分别为随机变量的均值与方差，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上，且不与椭圆的左、右顶点重合，则下列关于的说法正确的有（ ） A. 的周长为 B. 当时，中 C. 当时，的面积为 D. 椭圆上有且仅有6个点，使得为直角三角形 11. 已知正方体棱长为2，M为棱CG的中点，P为底面EFGH上的动点，则下列说法正确的是（ ） A. 存在点P，使得； B. 存在唯一点P，使得； C. 当，此时点P的轨迹长度为； D. 当P为底面EFGH的中心时，三棱锥的外接球表面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 展开式中x的一次项系数为，则实数a的值为_____________. 13. 已知随机事件满足，则_______． 14. 已知双曲线的左､右作点分别为为坐标原点，倾斜角为的直线过右焦点且与双曲线的左支交于点，若，则双曲线的离心率为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 从6名男生和5名女生中选出4人去参加某活动的志愿者. （1）若4人中必须既有男生又有女生，则有多少种选法？ （2）先选出4人，再将这4人分配到两个不同的活动场地（每个场地均要有人去，1人只能去一个场地），则有多少种安排方法？ （3）若男､女生各需要2人，4人选出后安排与2名组织者合影留念（站一排），2名女生要求相邻，则有多少种不同的合影方法？ 16. 端午假日期间，某商场为了促销举办了购物砸金蛋活动，凡是在该商场购物的顾客都有一次砸金蛋的机会．主持人从编号为1，2，3，4的四个金蛋中随机选择一个，放入奖品，只有主持人事先知道奖品在哪个金蛋里．游戏规则是顾客有两次选择机会，第一次任意选一个金蛋先不砸开，随后主持人随机砸开另外三个金蛋中的一个空金蛋，接下来顾客从三个完好的金蛋中第二次任意选择一个砸开，如果砸中有奖的金蛋直接获奖．现有顾客甲第一次选择了2号金蛋，接着主持人砸开了另外三个金蛋中的一个空金蛋． （1）作为旁观者，请你计算主持人砸4号金蛋的概率； （2）当主持人砸开4号金蛋后，顾客甲重新选择，请问他是坚持选2号金蛋，还是改选1号金蛋或3号金蛋？（以获得奖品的概率最大为决策依据） 17. 为了解客户对A，B两家快递公司的配送时效和服务满意度情况，现随机获得了某地区客户对这两家快递公司评价的调查问卷，已知A，B两家公司的调查问卷分别有120份和80份，全部数据统计如下： 快递公司 A快递公司 B快递公司 项目 份数 评价分数 配送时效 服务满意度 配送时效 服务满意度 29 24 16 12 47 56 40 48 44 40 24 20 假设客户对A，B两家快递公司的评价相互独立，用频率估计概率. （1）从该地区选择A快递公司的客户中随机抽取1人，估计该客户对A快递公可配送时效的评价不低于75分的概率： （2）分别从该地区A和B快递公司的样本调查问卷中，各随机抽取1份，记X为这2份问卷中的服务满意度评价不低于75分的份数，求X的分布列和数学期望： （3）记评价分数为“优秀”等级，为“良好”等级，为“一般”等级､已知小王比较看重配送时效的等级，根据该地区A，B两家快递公司配送时效的样本评价分数的等级情况，你认为小王选择A，B哪家快递公司合适？说明理由， 18. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，面为棱上的动点． （1）若为棱中点，证明：面； （2）在棱上是否存在点，使得二面角的余弦值为若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； （3）分别在棱上，，求三棱锥的体积的最大值． 19. 阅读材料： 极点与极线，是法国数学家吉拉德•笛沙格（Girard Desargues，）于年在射影几何学的奠基之作《圆锥曲线论稿》中正式阐述，它是圆锥曲线的一种基本特征.已知圆锥曲线，则称点和直线是圆锥曲线的一对极点和极线.事实上，在圆锥曲线方程中，以替换，以替换（另一变量也是如此），即可得到点对应的极线方程．特别地，对于椭圆，与点对应的极线方程为；对于双曲线，与点对应的极线方程为；即对于确定的圆锥曲线，每一对极点与极线是一一对应的关系. 其中，极点与极线有以下基本性质和定理 ①当在圆锥曲线上时，其极线是曲线在点处的切线； ②当在外时，其极线是曲线从点所引两条切线的切点所确定的直线（即切点弦所在直线）； ③当在内时，其极线是曲线过点的割线两端点处的切线交点的轨迹. 根据上述材料回答下面问题： 已知双曲线，右顶点到的一条渐近线的距离为， 已知点是直线上的一个动点，点对应的极线与双曲线交于点， （1）若，，证明：极线恒过定点. （2）在（1）的条件下，若该定点为极线的中点，求出此时的极线方程 （3）若，，，极线交的右支于，两点，点在轴上方，点是双曲线的左顶点，直线，直线分别交轴于，两点，点为坐标原点，求的值 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $