精品解析： 广东省广州市天河区2024-2025学年九年级上学期数学期末考试试卷

2024学年第一学期学业水平调研 九年级数学 本试卷共6页，满分120分．考试时间120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生必须用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的学校、姓名、班级、座位号和考生号填写在答题卡相应的位置上，再用2B铅笔把考号的对应数字涂黑． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动、先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔或涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保证答题卡的整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题一本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列几何图形是国际通用的交通标志，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 彩票是公平公正的机会游戏，国家发行彩票的目的是筹集社会公益资金，促进社会公益事业发展．已知某种彩票的中奖概率为，则下列说法正确的是（ ） A 买张这种彩票，不可能中奖 B. 买张这种彩票，可能有张中奖 C. 买张这种彩票，一定有张中奖 D. 若人每人买张这种彩票，一定会有一人中奖 3. 如图，正五边形内接于，连结，则（　　） A. B. C. D. 4. 已知点与点关于原点对称，则值为（ ） A. B. C. D. 5. 下列关于二次函数的说法正确的是（ ） A. 图象是一条开口向下的抛物线 B. 顶点坐标是 C. 函数图象与轴交于正半轴 D. 有最大值，最大值为 6. 如图，在中，，，点为的中点，若以点为圆心，5为半径作，则下列判断正确的是（　　） A. 点在外 B. 点在上 C. 点在内 D. 无法判断 7. 设点，，是抛物线上的三点，则、、的大小关系为（ ） A B. C. D. 8. 如图，某校团委准备在艺术节期间举办学生绘画展览，为美化画面，在长为30cm、宽为20cm的矩形画面四周镶上宽度相等的彩纸，并使美化后整个图形的面积恰好是原画面面积的2倍，若设彩纸的宽度为，根据题意可列方程（ ） A. B. C. D. 9. 如图，已知中，，，以为直径作半圆（圆心为点），分别交，于点，．若，则的长为（ ）． A. B. C. D. 10. 在同一平面直角坐标系中，画出直线与抛物线，这个图形可能（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 设，是方程的两个根，则_____． 12. 如图，把绕点逆时针旋转得到．若，则的度数为_____． 13. 某厂生产了1000只灯泡.为了解这1000只灯泡的使用寿命，从中随机抽取了50只灯泡进行检测，获得了它们的使用寿命（单位：小时），数据整理如下： 使用寿命 灯泡只数 5 10 12 17 6 根据以上数据，估计这1000只灯泡中使用寿命不小于2200小时的灯泡的数量为______只． 14. 如图，AB是的直径，AC与相切，A为切点，连接BC交于点D．已知，则的度数为______． 15. 在认识圆锥主题活动课上，芳芳用半径，圆心角的扇形纸板，做了一个圆锥形的生日帽，如图所示．在不考虑接缝的情况下，这个圆锥形生日帽的高是____． 16. 在平面直角坐标系中，已知点，，若是坐标轴上的一点，且，则满足条件的点的坐标为_____． 三、解答题（本大题共9题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 解方程． 18. 如图，在中，，且点的坐标为，将绕点逆时针旋转得到． （1）画出； （2）求在旋转过程中，线段扫过的面积（结果保留）． 19. 校体育节即将开幕，篮球、排球、拔河比赛将同时开展，三项比赛均需要多名志愿者协助，小聪和小明分别被随机分配到其中一项比赛担任志愿者． （1）求小聪被分配到篮球比赛当志愿者的概率． （2）请用画树状图或列表的方法，求出小聪和小明被分配到同一比赛当志愿者的概率． 20. 已知二次函数中的，满足下表： ．．． 0 1 2 3 4 ．．． ．．． 3 0 ■ 3 ．．． （1）求这个二次函数的解析式； （2）直接写出当时，的取值范围． 21. 关于的一元二次方程有实数根． （1）求的取值范围； （2）如果是符合条件的最大整数，且一元二次方程与方程有一个相同的根，求此时的值． 22. 在一次数学活动课中，某数学小组探究求环形花坛（同心圆）面积的方法．现有以下工具（图1）：①卷尺：②直棒：③型尺（所在的直线垂直平分线段）． 【活动1】找出大圆的圆心． 小天同学选择用型尺找到大圆圆心，操作方法如图2所示： 小河同学说：“类似小天的方法，我发现可以利用没有刻度的直尺和圆规找到任意一个圆的圆心．” 【活动2】求环形花坛面积． 如图3，小河说：“我只用一根直棒和一个卷尺就可以求出环形花坛的面积，具体做法是：将直棒与小圆相切，用卷尺量出此时直棒与大圆两交点，之间的距离，就可求出环形花坛的面积．” 小天思考后，说：“如图4，如果直线与大圆两交点分别为，，与小圆两交点分别为，，只要测出，的长度，也可求出环形花坛的面积．” 【解决问题】 （1）利用尺规在图5中找到圆心（保留作图痕迹，不写作法）： （2）图3中，如果测得，求这个环形花坛面积； （3）填空：图4中，如果测得，，用含，的式子表示环形花坛的面积_____． 23. 大棚经济“金钥匙”，激活乡村产业振兴新引擎．刘叔叔计划在自家菜地修建一个蔬菜大棚，图1是其横截面的示意图，其中，为两段垂直于地面的墙体，两段墙体之间的水平距离为9米，大棚的顶部用抛物线形铝合金骨架作支撑．已知骨架的一端固定在离地面3.5米的墙体处，另一端固定在墙体处，骨架最高点到墙体的水平距离为2米，且点离地面的高度为3.75米． 请尝试数学建模解决以下问题： （1）在图1中，以为原点，水平直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系．设大棚顶部骨架上某处离地面的高度为（米），该处离墙体的水平距离为（米），求与之间的函数关系式； （2）为了大棚顶部更加稳固，刘叔叔计划在棚顶安装铝合金支架，如图2所示，支架可以看成是由线段，组成，其中点，在顶棚抛物线形骨架上，交于点．为不影响耕作，将点到地面的距离定为1.5米．求做这一个支架所需铝合金材料的最大长度． 24. 如图，将锐角的边绕点顺时针旋转得到线段，过作，交边的延长线上于点，连接，作的外接圆，交边于点，连接． （1）若，且，求的度数，并求的长； （2）求证：． 25. 已知关于的函数． （1）当，时， ①求当时，该函数的最小值； ②当时，有最小值为，求当时，的最大值． （2）当时，若该函数图象与坐标轴有两个交点，求的值； （3）当，且时，若该函数图象与轴有两个不同交点，试说明该图象与直线始终有两个交点，并求出这两点之间距离的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024学年第一学期学业水平调研 九年级数学 本试卷共6页，满分120分．考试时间120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生必须用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的学校、姓名、班级、座位号和考生号填写在答题卡相应的位置上，再用2B铅笔把考号的对应数字涂黑． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动、先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔或涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保证答题卡的整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题一本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列几何图形是国际通用的交通标志，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的概念：中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．根据中心对称图形的概念求解． 【详解】解：A、不是中心对称图形，不符合题意； B、不是中心对称图形，不符合题意； C、是中心对称图形，符合题意； D、不是中心对称图形，不符合题意。 故选：C． 2. 彩票是公平公正的机会游戏，国家发行彩票的目的是筹集社会公益资金，促进社会公益事业发展．已知某种彩票的中奖概率为，则下列说法正确的是（ ） A. 买张这种彩票，不可能中奖 B. 买张这种彩票，可能有张中奖 C. 买张这种彩票，一定有张中奖 D. 若人每人买张这种彩票，一定会有一人中奖 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了概率的意义，根据概率的意义，反映了事件发生的机会的大小，不一定会发生，解题的关键是正确理解概率的意义． 【详解】、买张这种彩票，可能中奖，原选项不符合题意； 、买张这种彩票，可能有张中奖，可能会发生，原选项符合题意； 、买张这种彩票，不一定有张中奖，原选项不符合题意； 、人每人买张这种彩票，不一定会有一人中奖，原选项不符合题意； 故选：． 3. 如图，正五边形内接于，连结，则（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查正多边形内接于圆的知识．根据周角等于，正五边形内接于，因此，是该圆的五等分角，即可求得该角度数． 【详解】解：∵该五边形正五边形 ∴． 故答案为：A． 4. 已知点与点关于原点对称，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标，根据点关于原点对称的点的坐标为进行解答即可，熟知关于原点对称的点的坐标变换规律是解题的关键． 【详解】解：∵点与点关于原点对称， ∴，， ∴， 故选：． 5. 下列关于二次函数的说法正确的是（ ） A. 图象是一条开口向下的抛物线 B. 顶点坐标是 C. 函数图象与轴交于正半轴 D. 有最大值，最大值为 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象性质．由二次函数解析式可得抛物线开口方向、对称轴、顶点坐标，二次函数的最值，由此解答即可． 【详解】解：A、，图象是一条开口向上的抛物线，故此选项不符合题意； B、，图象的顶点坐标是，故此选项不符合题意； C、当时，，函数图象与轴交于正半轴，故此选项符合题意； D、，开口向上，有最小值，最大值为，故此选项不符合题意； 故选：C． 6. 如图，在中，，，点为的中点，若以点为圆心，5为半径作，则下列判断正确的是（　　） A. 点在外 B. 点在上 C. 点在内 D. 无法判断 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了点与圆的位置关系，直角三角形斜边上的中线性质，理解点与圆的位置关系是解题关键． 连接，根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可得，与圆的半径相等，即可得出结论． 【详解】解：连接， ，，点O为的中点， ， 的半径为5， 点在上． 故选：B． 7. 设点，，是抛物线上的三点，则、、的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上的点的坐标特征，二次函数的增减性，利用增减性比较函数值的大小，由题意可得对称轴为轴，则关于轴的对称点为，根据二次函数的增减性可得函数值的大小关系． 【详解】解：抛物线解析式为， 对称轴为轴 ∵关于对称轴轴对称点为， ∴是抛物线上点， 又∵， 当时，随的增大而减小， ，点，，是抛物线上的三点， ， 故选：D． 8. 如图，某校团委准备在艺术节期间举办学生绘画展览，为美化画面，在长为30cm、宽为20cm的矩形画面四周镶上宽度相等的彩纸，并使美化后整个图形的面积恰好是原画面面积的2倍，若设彩纸的宽度为，根据题意可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题关键． 根据原画的长、宽及四周彩纸的宽，可得出原画四周镶上彩纸后的长为，宽为，再结合原画四周镶上彩纸后的面积等于原画面面积的2倍，即可得出关于的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：原画面是长为，宽为的矩形，且彩纸的宽度为， 原画四周镶上彩纸后的长为，宽为． 根据题意得：， 即． 故选：D． 9. 如图，已知中，，，以为直径作半圆（圆心为点），分别交，于点，．若，则的长为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理、弧长公式、等边对等角，连接、，由等边对等角可得，求出，再由圆周角定理可得，从而得出，再由弧长公式计算即可得解． 【详解】解：如图，连接、， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的长为， 故选：B． 10. 在同一平面直角坐标系中，画出直线与抛物线，这个图形可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与一次函数的图象的综合判断，根据两个函数的性质和图象的特征，结合选项中的图象逐项判断即可． 【详解】解：当时，，则抛物线过原点，故选项B不符合题意， A、直线中，，，抛物线中，，，即，矛盾，故本选项不符合题意； C、直线中，，，抛物线中，，，即，矛盾，故本选项不符合题意； D、直线中，，，抛物线中，，，即，一致，故本选项符合题意； 故选：D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 设，是方程的两个根，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键：关于x的一元二次方程的两个实数根，和系数，，有如下关系：，． 根据一元二次方程根与系数的关系即可直接得出答案． 【详解】解：∵，是方程的两个根， ∴， 故答案为：． 12. 如图，把绕点逆时针旋转得到．若，则的度数为_____． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，由旋转的性质可得，再由计算即可得解． 【详解】解：由旋转的性质可得：， ∴， 故答案为：． 13. 某厂生产了1000只灯泡.为了解这1000只灯泡的使用寿命，从中随机抽取了50只灯泡进行检测，获得了它们的使用寿命（单位：小时），数据整理如下： 使用寿命 灯泡只数 5 10 12 17 6 根据以上数据，估计这1000只灯泡中使用寿命不小于2200小时的灯泡的数量为______只． 【答案】460 【解析】 【分析】用1000乘以抽查的灯泡中使用寿命不小于2200小时的灯泡所占的比例即可． 【详解】解：估计这1000只灯泡中使用寿命不小于2200小时的灯泡的数量为（只）， 故答案为：460． 【点睛】本题考查了用样本估计总体，用样本估计总体时，样本容量越大，样本对总体的估计也就越精确． 14. 如图，AB是的直径，AC与相切，A为切点，连接BC交于点D．已知，则的度数为______． 【答案】##50度 【解析】 【分析】此题考查了切线的性质以及圆周角定理推论．熟练掌握圆的切线垂直于经过切点的半径，直径对的圆周角是直角，是解决问题的关键． 根据圆切线性质得到，得到，根据直径性质得到，得到． 【详解】解：∵与相切， ∴． 又∵， ∴． ∵是的直径， ∴． ∴． 故答案为：． 15. 在认识圆锥主题活动课上，芳芳用半径，圆心角的扇形纸板，做了一个圆锥形的生日帽，如图所示．在不考虑接缝的情况下，这个圆锥形生日帽的高是____． 【答案】 【解析】 【分析】先利用弧长公式得到圆心角为，半径为的扇形的弧长为，根据圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥的底面圆的周长，则可计算出圆锥的底面圆的半径为，然后根据勾股定理可计算出圆锥的高． 本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥的底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了弧长公式和勾股定理． 【详解】解：∵半径，圆心角的扇形纸板， ∴扇形的弧长为， 设圆锥的底面圆半径为r， ∴， 解得， 故圆锥的高为：， 故答案为：． 16. 在平面直角坐标系中，已知点，，若是坐标轴上的一点，且，则满足条件的点的坐标为_____． 【答案】或或 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形、勾股定理，由题意结合勾股定理可得，再分两种情况：当点在轴上时，设；当点在轴上时，设；分别计算即可得解． 【详解】解：∵点，， ∴轴，， ∵， ∴， ∴， 当点在轴上时，设，则，， ∴， 解得：或，即或； 当点在轴上时，设，则，， ∴， 解得：，即； 综上所述，点的坐标为或或， 故答案为：或或． 三、解答题（本大题共9题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 解方程． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法，是解题的关键．用公式法解一元二次方程即可． 【详解】解：， ∵，，， ∴， ∴， 即，． 18. 如图，在中，，且点的坐标为，将绕点逆时针旋转得到． （1）画出； （2）求在旋转过程中，线段扫过面积（结果保留）． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质、勾股定理、扇形面积公式，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据旋转的性质作图即可； （2）由题意可得，由勾股定理可得，再由扇形面积公式计算即可得解． 【小问1详解】 解：如图：即为所作， ； 【小问2详解】 解：由题意可得：，， ∴线段扫过的面积为． 19. 校体育节即将开幕，篮球、排球、拔河比赛将同时开展，三项比赛均需要多名志愿者协助，小聪和小明分别被随机分配到其中一项比赛担任志愿者． （1）求小聪被分配到篮球比赛当志愿者的概率． （2）请用画树状图或列表的方法，求出小聪和小明被分配到同一比赛当志愿者的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法求概率． （1）直接利用概率公式可得答案； （2）画树状图得出所有等可能的结果数以及小聪和小明被分配到同一比赛当志愿者的结果数，再利用概率公式可得出答案． 小问1详解】 小聪随机分配到被篮球、排球、拔河三个项目中，因此被分配到篮球比赛当志愿者的概率为． 【小问2详解】 将篮球、排球、拔河分别记为A，B，C， 画树状图如下： 共有9种等可能的结果，其中小聪和小明被分配到同一比赛当志愿者的结果有3种， ∴小聪和小明被分配到同一比赛当志愿者的概率为． 20. 已知二次函数中的，满足下表： ．．． 0 1 2 3 4 ．．． ．．． 3 0 ■ 3 ．．． （1）求这个二次函数的解析式； （2）直接写出当时，的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的性质，正确求得二次函数解析式是解答的关键． （1）利用待定系数法求解二次函数解析式即可； （2）根据二次函数的开口方向及二次函数图像与轴交点坐标可得答案． 【小问1详解】 解：根据表格数据，该二次函数图象的顶点坐标为， 故设该二次函数的解析式为， 将代入，得， 解得， 该二次函数的解析式为； 【小问2详解】 在二次函数中，令，得， 解得：， 二次函数的图象与轴交点分别为， 由中，，可得二次函数图象开口向上， 当时，的取值范围是． 21. 关于的一元二次方程有实数根． （1）求的取值范围； （2）如果是符合条件的最大整数，且一元二次方程与方程有一个相同的根，求此时的值． 【答案】（1）；（2）的值为． 【解析】 【分析】（1）利用判别式的意义得到，然后解不等式即可； （2）利用（1）中的结论得到的最大整数为2，解方程解得，把和分别代入一元二次方程求出对应的，同时满足． 详解】解：（1）根据题意得， 解得； （2）的最大整数为2， 方程变形为，解得， ∵一元二次方程与方程有一个相同的根， ∴当时，，解得； 当时，，解得， 而， ∴的值为． 【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 22. 在一次数学活动课中，某数学小组探究求环形花坛（同心圆）面积的方法．现有以下工具（图1）：①卷尺：②直棒：③型尺（所在的直线垂直平分线段）． 【活动1】找出大圆的圆心． 小天同学选择用型尺找到大圆圆心，操作方法如图2所示： 小河同学说：“类似小天的方法，我发现可以利用没有刻度的直尺和圆规找到任意一个圆的圆心．” 【活动2】求环形花坛面积． 如图3，小河说：“我只用一根直棒和一个卷尺就可以求出环形花坛的面积，具体做法是：将直棒与小圆相切，用卷尺量出此时直棒与大圆两交点，之间的距离，就可求出环形花坛的面积．” 小天思考后，说：“如图4，如果直线与大圆两交点分别为，，与小圆两交点分别为，，只要测出，的长度，也可求出环形花坛的面积．” 【解决问题】 （1）利用尺规在图5中找到圆心（保留作图痕迹，不写作法）： （2）图3中，如果测得，求这个环形花坛的面积； （3）填空：图4中，如果测得，，用含，的式子表示环形花坛的面积_____． 【答案】（1）见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查作图与应用，线段的垂直平分线的性质、垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． （1）先作出两条不平行的弦，再作出的垂直平分线，其交点即为所求的点． （2）设切点为，连接，．利用勾股定理即可解决问题； （3）连接，，过点O作，由垂径定理得由勾股定理得，，从而得出，最后由求解即可． 【小问1详解】 解：如图点即为所求； 【小问2详解】 解：如图，设切点为，连接，． 是切线， ， ， ， ． 【小问3详解】 解：如图，连接，，过点O作， ， 中，， 中，， ， ， 故答案为： 23. 大棚经济“金钥匙”，激活乡村产业振兴新引擎．刘叔叔计划在自家菜地修建一个蔬菜大棚，图1是其横截面的示意图，其中，为两段垂直于地面的墙体，两段墙体之间的水平距离为9米，大棚的顶部用抛物线形铝合金骨架作支撑．已知骨架的一端固定在离地面3.5米的墙体处，另一端固定在墙体处，骨架最高点到墙体的水平距离为2米，且点离地面的高度为3.75米． 请尝试数学建模解决以下问题： （1）在图1中，以为原点，水平直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系．设大棚顶部骨架上某处离地面的高度为（米），该处离墙体的水平距离为（米），求与之间的函数关系式； （2）为了大棚顶部更加稳固，刘叔叔计划在棚顶安装铝合金支架，如图2所示，支架可以看成是由线段，组成，其中点，在顶棚抛物线形骨架上，交于点．为不影响耕作，将点到地面的距离定为1.5米．求做这一个支架所需铝合金材料的最大长度． 【答案】（1） （2）做这一个支架所需铝合金材料的最大长度为米． 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，求一次函数关系式及勾股定理，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． （1）设与之间的函数关系式，将点代入，用待定系数法求解即可； （2）先求得，再求出，然后求得直线的函数关系式为，设，则，可得出，最后由二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：由题意可得， 设与之间的函数关系式，将点代入， 得，解得． 水流所在抛物线的函数表达式为； 【小问2详解】 解：点到地面的距离定为1.5米， 将代入得： ， 解得：， ， ， 设直线的函数关系式为，将点，代入得， ，解得：， 直线的函数关系式为， 设， ， ， ， ， 当时，有最大值，为1， 做这一个支架所需铝合金材料的最大长度为米． 24. 如图，将锐角的边绕点顺时针旋转得到线段，过作，交边的延长线上于点，连接，作的外接圆，交边于点，连接． （1）若，且，求的度数，并求的长； （2）求证：． 【答案】（1）， （2）见解析 【解析】 【分析】（1）由平行线的性质可得，有内接四边形的性质可得，由旋转的性质可得，，从而得出，由直角三角形的性质可得，求出，再结合，求解即可； （2）作交圆于，连接、，由旋转的性质可得：，，证明四边形为矩形，得出，，进而得出，，由圆周角定理可得，证明，得出，再证明，即可得出，再由全等三角形的性质即可得解． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∵作的外接圆，交边于点， ∴， ∴， 由旋转的性质可得：，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 证明：如图，作交圆于，连接、， ， 由旋转的性质可得：，， ∴，为圆的直径， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵作的外接圆，交边于点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了圆周角定理、圆内接四边形的性质、全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、旋转的性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 25. 已知关于的函数． （1）当，时， ①求当时，该函数的最小值； ②当时，有最小值为，求当时，的最大值． （2）当时，若该函数图象与坐标轴有两个交点，求的值； （3）当，且时，若该函数图象与轴有两个不同交点，试说明该图象与直线始终有两个交点，并求出这两点之间距离的取值范围． 【答案】（1）①；②的最大值为 （2）或 （3）见解析，这两点之间距离大于 【解析】 【分析】（1）①当时，把二次函数解析式化为顶点式，可得二次函数的对称轴为直线，结合，得出二次函数开口向上，进而可得当时，随着的增大而减小，由二次函数的性质计算即可得解；②由当时，有最小值为，求出，即可得出，再由二次函数的性质求解即可； （2）当时，，再分两种情况：当时；当且过原点时，分别求解即可得解； （3）当时，，由该函数图象与轴有两个不同交点，求出，联立可得，求出，即可得出该图象与直线始终有两个交点，设两个交点为，，由一元二次方程根与系数的关系可得：，，表示出，结合计算即可得解． 【小问1详解】 解：①当时，， ∴二次函数的对称轴为直线， ∵， ∴二次函数开口向上， ∴当时，随着的增大而减小， ∴当，该函数的值最小，为； ②∵， ∴当时，有最小值为， 解得：， ∴， 当时，，当时，， ∴当时，的最大值为； 【小问2详解】 解：当时，， ∵当时，该函数图象与坐标轴有两个交点， ∴当时， 解得：或， 当时，，与坐标轴只有一个交点，不符合题意； 当时，，符合题意； 当且过原点时， 将代入得：， ∴， ∴此时函数解析式为，符合题意； 综上所述，或； 【小问3详解】 解：当时，， ∵该函数图象与轴有两个不同交点， ∴， ∵， ∴， ∴； 联立可得：， ∴， ∴该图象与直线始终有两个交点， 设两个交点为，， 由一元二次方程根与系数的关系可得：，， ∴ ， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数的最值、二次函数与一元二次方程、勾股定理求两点之间的距离等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $