精品解析：湖北省荆楚联盟2024-2025学年上学期九年级期末数学考试题卷

荆楚联盟2024～2025学年上学期九年级期末考试 数学（A卷） 本试卷共6页，满分120分（附加题另15分），考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效，作图一律用2B铅笔或黑色签字笔． 4．考试结束后，请将答题卡交回，试卷自行留存，由学校自行安排． 一、选择题（共10题，每题3分，共30分．在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 一元二次方程的解是（　　） A. B. C. D. 2. 2024年巴黎奥运会，我国体育健儿顽强拼搏、追求卓越，取得了优异的成绩，为国争光．以下奥运会图标中不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知关于x的一元二次方程x2+bx﹣1＝0，则下列关于该方程根的判断，正确的是（　　） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 实数根的个数与实数b的取值有关 4. 将抛物线向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，所得到的抛物线为（ ）. A. ； B. ； C. ； D. . 5. 下列事件为必然事件的是（　　） A. 打开电视机，正在播放新闻 B. 任意画一个三角形，其内角和是 C. 买一张电影票，座位号是奇数号 D. 掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上 6. 如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转得到．若点恰好落在边上，且，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，线段是半圆O的直径，分别以点A和点O为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于M，N两点，作直线，交半圆O于点C，交于点E，连接，若，则的长是（ ） A. 4 B. C. 6 D. 8. 如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长35米、宽20米的矩形．为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为600平方米，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为米，则根据题意，列方程为（ ） A. B. C. D. 9. 赵州桥是当今世界上建造最早，保存最完整的中国古代单孔敞肩石拱桥.如图，主桥拱呈圆弧形，跨度约为，拱高约为，则赵州桥主桥拱半径R约为（ ） A. B. C. D. 10. 二次函数的图象如图所示，下列结论①，②，③，④．其中正确的是（ ） A. ①④ B. ②④ C. ②③ D. ①②③④ 二、填空题（共5题，每题3分，共15分） 11. 设方程的两根分别是，，则的值为______． 12. 按一定规律排列的代数式：，，，，…，第个代数式是______． 13. 从喷水池喷头喷出的水珠，在空中形成一条抛物线，如图所示，在抛物线各个位置上，水珠的竖直高度（单位：）与它距离喷头的水平距离（单位：）之间满足函数关系式，喷出水珠的最大高度是______． 14. 如图，在中，半径互相垂直，点在劣弧上．若，则的度数是______． 15. 正方形，点，在边，上，沿折叠正方形，使点恰好落在边的中点处，点是的中点，若，则______． 三、解答题（共9题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 解方程： （1） （2） 17. 在一个不透明的袋子中分别装有红色、黄色、蓝色的3个小球，除颜色外无其它差别．随机摸出一个小球后，放回并摇均，再随机摸出一个． （1）“第一次摸出红色小球”的概率是______； （2）请用画树状图法或列表法，求“两次摸到相同颜色小球”的概率． 18. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，格点（网格线的交点）A、B，C、D的坐标分别为，，，． （1）以点D为旋转中心，将旋转得到，画出； （2）直接写出以B，，，C为顶点的四边形的面积； （3）在所给的网格图中确定一个格点E，使得射线平分，写出点E的坐标． 19. 如图，铁路和公路在点O处交会，，在点A处有一栋居民楼，．如果火车行驶时，周围以内会受到噪声的影响，那么火车在铁路上沿方向行驶时，居民楼是否会受到噪声的影响？如果火车行驶的速度为．居民楼受噪声影响的时间约为多少秒（结果保留小数点后一位）？ 20. 如图，函数的图象与轴交于点，（点在点的左边），与轴交于点． （1）求点，，的坐标； （2）若是函数图象上的点，且点在第一象限，线段交轴于点，的面积是的面积的2倍，求点的坐标． 21. 如图，是的直径，，是上两点，且，连接，，过点作交的延长线于点． （1）判定直线与的位置关系，并说明理由； （2）若，，求劣弧的长． 22. 如图，用一根的铁丝制作一个“日”字型矩形框架，的长不超过的长，且铁丝全部用完．设矩形框架的长为（单位：），的长为（单位：），所围成的矩形框架的面积为（单位：）． （1）直接写出与，与之间的函数解析式（不要求写出的取值范围）； （2）若所围成的矩形框架的面积为，求出的值； （3）当的值是多少时，矩形框架面积最大？最大面积是多少？ 23. 综合探究：在中，，把绕点逆时针旋转得到，点的对应点为点，点的对应点为点． （1）如图1，若交于点，延长线交于点．求证： （2）如图2，延长交于点，判断是否为线段的中点，并说明理由． （3）如图3，与，分别交于点，．当，时，若，直接写出的长． 24. 抛物线与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点，点是抛物线上一点，点的横坐标为，轴，交直线于点． （1）求，的值； （2）如图，若点在第一象限，当线段长度最大时，求的值； （3）点是轴右侧抛物线上一点，点的横坐标为，过点作轴的平行线交直线于点．设以点，，，为顶点的四边形面积记为． ①直接写出关于的函数关系式； ②直接写出当随的增大而增大时的取值范围． 25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点（点A在点的左侧），与轴交于点，且． （1）求的坐标及抛物线的解析式； （2）如图1，若点是第二象限抛物线上一点，连接，将线段绕点逆时针旋转得线段，点恰好在直线上，求点的坐标； （3）如图2，若点是抛物线上一点（点与点不重合），连接，直线交轴于点，交轴于点，在点的运动过程中，线段的长度是否会变化？若不变，求其值；若变化，求变化范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 荆楚联盟2024～2025学年上学期九年级期末考试 数学（A卷） 本试卷共6页，满分120分（附加题另15分），考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效，作图一律用2B铅笔或黑色签字笔． 4．考试结束后，请将答题卡交回，试卷自行留存，由学校自行安排． 一、选择题（共10题，每题3分，共30分．在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 一元二次方程的解是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用完全平方公式变形，从而得出方程的解． 【详解】∵， ∴， 则， 解得， 故选C． 【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 2. 2024年巴黎奥运会，我国体育健儿顽强拼搏、追求卓越，取得了优异的成绩，为国争光．以下奥运会图标中不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．根据定义逐项判断即可得到答案，正确掌握相关概念是解题关键． 【详解】解：解：A、该图形是中心对称图形，故此选项不符合题意； B、该图形是中心对称图形，故此选项不符合题意； C、该图形不是中心对称图形，故此选项符合题意； D、该图形是中心对称图形，故此选项不符合题意． 故选：C． 3. 已知关于x的一元二次方程x2+bx﹣1＝0，则下列关于该方程根的判断，正确的是（　　） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 实数根的个数与实数b的取值有关 【答案】A 【解析】 【分析】先计算出判别式的值，再根据非负数的性质判断△＞0，然后利用判别式的意义对各选项进行判断． 【详解】解：∵△＝b2﹣4×（﹣1）＝b2+4＞0， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根． 4. 将抛物线向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，所得到的抛物线为（ ）. A. ； B. ； C. ； D. . 【答案】B 【解析】 【分析】根据抛物线图像的平移规律“左加右减，上加下减”即可确定平移后的抛物线解析式. 【详解】解：将抛物线向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式为， 故选B． 【点睛】本题考查了二次函数的平移规律，熟练掌握其平移规律是解题的关键. 5. 下列事件为必然事件的是（　　） A. 打开电视机，正在播放新闻 B. 任意画一个三角形，其内角和是 C. 买一张电影票，座位号是奇数号 D. 掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上 【答案】B 【解析】 【分析】必然事件就是一定发生的事件，即发生的概率是1的事件. 【详解】∵A，C，D选项为不确定事件，即随机事件，故不符合题意． ∴一定发生的事件只有B，任意画一个三角形，其内角和是，是必然事件，符合题意． 故选B． 【点睛】本题考查的是对必然事件的概念的理解.解决此类问题，要学会关注身边的事物，并用数学的思想和方法去分析、看待、解决问题，提高自身的数学素养.用到的知识点为：必然事件指在一定条件下一定发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件. 6. 如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转得到．若点恰好落在边上，且，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据旋转的性质得出边和角相等，找到角之间的关系，再根据三角形内角和定理进行求解，即可求出答案． 【详解】解：设=x°. 根据旋转的性质，得∠C=∠= x°，=AC, =AB. ∴∠=∠B. ∵，∴∠C=∠CA=x°. ∴∠=∠C+∠CA=2x°. ∴∠B=2x°. ∵∠C+∠B+∠CAB=180°，， ∴x+2x+108=180. 解得x=24. ∴的度数为24°. 故选：C. 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，旋转的性质的应用及等腰三角形得性质. 7. 如图，线段是半圆O的直径，分别以点A和点O为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于M，N两点，作直线，交半圆O于点C，交于点E，连接，若，则的长是（ ） A. 4 B. C. 6 D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接，根据作图知垂直平分，即可得，，根据圆的半径得，，根据圆周角的推论得，根据勾股定理即可求解． 【详解】解：连接，根据作图知垂直平分， ∴，， ∴， 即， ∵线段是半圆O的直径， ∴， 在中，根据勾股定理得， ， 故选B． 【点睛】本题考查了圆，勾股定理，圆周角推论，解题的关键是掌握这些知识点． 8. 如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长35米、宽20米的矩形．为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为600平方米，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为米，则根据题意，列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】把阴影部分分别移到矩形的上边和左边，可得种植面积为一个矩形，根据种植的面积为600列出方程即可． 【详解】解：如图，设小道的宽为， 则种植部分的长为，宽为 由题意得：． 故选C． 【点睛】考查一元二次方程的应用；利用平移的知识得到种植面积的形状是解决本题的突破点；得到种植面积的长与宽是解决本题的关键． 9. 赵州桥是当今世界上建造最早，保存最完整的中国古代单孔敞肩石拱桥.如图，主桥拱呈圆弧形，跨度约为，拱高约为，则赵州桥主桥拱半径R约为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可知，，，主桥拱半径R，根据垂径定理，得到，再利用勾股定理列方程求解，即可得到答案． 【详解】解：如图，由题意可知，，，主桥拱半径R， ， 是半径，且， ， 在中，， ， 解得：， 故选B 【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，利用直角三角形求解是解题关键． 10. 二次函数的图象如图所示，下列结论①，②，③，④．其中正确的是（ ） A. ①④ B. ②④ C. ②③ D. ①②③④ 【答案】A 【解析】 【分析】①抛物线与x轴由两个交点，则，即，所以①正确；②由二次函数图象可知，，，，所以，故②错误； ③对称轴：直线，，所以，，故③错误； ④对称轴为直线，抛物线与x轴一个交点，则抛物线与x轴另一个交点，当时，，故④正确． 【详解】解：①∵抛物线与x轴由两个交点， ∴， 即， 所以①正确； ②由二次函数图象可知， ，，， ∴， 故②错误； ③∵对称轴：直线， ∴， ∴， ∵，， ，， ∴， 故③错误； ④∵对称轴为直线，抛物线与x轴一个交点， ∴抛物线与x轴另一个交点， 当时，， 故④正确． 故选A． 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，熟练掌握二次函数图象的性质是解题的关键． 二、填空题（共5题，每题3分，共15分） 11. 设方程的两根分别是，，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，关于x的一元二次方程的两个实数根，和系数，，，有如下关系：，，由题意可得，，代入计算即可得解． 【详解】解：∵方程的两根分别是，， ∴，， ∴， 故答案为：． 12. 按一定规律排列的代数式：，，，，…，第个代数式是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了单项式规律探索，由题意可得单项式的系数是偶数，即，单项式的次数是，即可得解，正确得出规律是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得：单项式的系数是偶数，即，单项式的次数是， ∴第个代数式是， 故答案为：． 13. 从喷水池喷头喷出的水珠，在空中形成一条抛物线，如图所示，在抛物线各个位置上，水珠的竖直高度（单位：）与它距离喷头的水平距离（单位：）之间满足函数关系式，喷出水珠的最大高度是______． 【答案】3 【解析】 【分析】把二次函数化为顶点式，进而即可求解． 【详解】解：∵， ∴当x=1时，， 故答案是：3． 【点睛】本题主要考查二次函数的图像和性质，掌握二次函数的顶点式，是解题的关键． 14. 如图，在中，半径互相垂直，点在劣弧上．若，则的度数是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，三角形内角和定理，在优弧上任取一点，连接，由圆周角定理以及圆内接四边形对角互补可得，，由三角形内角和定理即可得到的度数． 【详解】解：如图所示，在优弧上任取一点，连接， ∵， ∴， ∴ ∴ ∵， ∴， 故答案为：． 15. 正方形，点，在边，上，沿折叠正方形，使点恰好落在边的中点处，点是的中点，若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】由正方形的性质可得，，结合题意可得，作于，令交于，由折叠的性质可得，，，，，设，则，由勾股定理可得，，证明，求出，，进而可得，设，则，证明，可得，，，求出， ，证明得出，，从而可得，最后再由勾股定理计算即可得解． 【详解】解：∵四边形为正方形， ∴，， ∵为的中点， ∴， 如图，作于，令交于， ， 由折叠的性质可得：，，，，， 设，则， 由勾股定理可得：，即， 解得：， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， 设，则， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∴，，， ∵为的中点， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质、折叠的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 三、解答题（共9题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 解方程： （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，选择合适的方法进行计算是解此题的关键． （1）利用因式分解法解一元二次方程即可； （2）利用公式法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴或， ∴，； 【小问2详解】 解：∵， ∴，，， ∴， ∴， ∴，． 17. 在一个不透明的袋子中分别装有红色、黄色、蓝色的3个小球，除颜色外无其它差别．随机摸出一个小球后，放回并摇均，再随机摸出一个． （1）“第一次摸出红色小球”的概率是______； （2）请用画树状图法或列表法，求“两次摸到相同颜色小球”的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查的是用列表法或树状图法求概率，列表法可以重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比． （1）根据概率公式计算即可得解； （2）列表得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：由题意可得：“第一次摸出红色小球”的概率是； 【小问2详解】 解：列表可得： 第一次 第二次 红 黄 蓝 红 红，红 黄，红 蓝，红 黄 红，黄 黄，黄 蓝，黄 蓝 红，蓝 黄，蓝 蓝，蓝 由表格可得，共有9种等可能出现的结果，其中“两次摸到相同颜色小球”的情况有种， ∴“两次摸到相同颜色小球”的概率为． 18. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，格点（网格线的交点）A、B，C、D的坐标分别为，，，． （1）以点D为旋转中心，将旋转得到，画出； （2）直接写出以B，，，C为顶点的四边形的面积； （3）在所给的网格图中确定一个格点E，使得射线平分，写出点E的坐标． 【答案】（1） 解：如下图所示： （2）40 （3）(答案不唯一) 【解析】 【分析】本题主要考查了画旋转图形，平行四边形的判定以及性质，等腰三角形的判定以及性质等知识，结合网格解题是解题的关键． （1）将点A，B，C分别绕点D旋转得到对应点，即可得出． （2）连接，，证明四边形是平行四边形，利用平行四边形的性质以及网格求出面积即可． （3）根据网格信息可得出，，即可得出是等腰三角形，根据三线合一的性质即可求出点E的坐标． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 连接，， ∵点B与，点C与分别关于点D成中心对称， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴． 【小问3详解】 ∵根据网格信息可得出，， ∴是等腰三角形， ∴也是线段的垂直平分线， ∵B，C的坐标分别为，， ∴点， 即．（答案不唯一） 19. 如图，铁路和公路在点O处交会，，在点A处有一栋居民楼，．如果火车行驶时，周围以内会受到噪声的影响，那么火车在铁路上沿方向行驶时，居民楼是否会受到噪声的影响？如果火车行驶的速度为．居民楼受噪声影响的时间约为多少秒（结果保留小数点后一位）？ 【答案】居民楼会受到噪声的影响，17.3s 【解析】 【分析】过点A作AB⊥MN，利用锐角三角函数的定义求出AB的长与200m相比较即可；过点A作AD=OA=200m，求出OD的长即可得出居民楼受噪音影响的时间． 【详解】解：过点A作AB⊥MN，AB是火车在行驶的过程中，距离居民楼最近的地方， ∵∠QON=30°，AO=200m， ∴AB=OA=200×=100m＜200m， ∴居民楼会受到噪音的影响； ∵OA=200m， ∴以A为圆心，OA为半径作圆，交MN于D， 则OA=AD=200(m)， ∵AB⊥OD， ∴OB=BD， ∵在Rt△AOB中，OB==100(m)， ∴OD=2BO=200(m)， ∵火车行驶的速度为72km/h=20m/s， ∴≈17.3(s)． 答：居民楼受噪音影响的时间为17.3 s． 【点睛】本题是解直角三角形的应用，主要考查的是垂径定理的应用及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键． 20. 如图，函数的图象与轴交于点，（点在点的左边），与轴交于点． （1）求点，，的坐标； （2）若是函数图象上的点，且点在第一象限，线段交轴于点，的面积是的面积的2倍，求点的坐标． 【答案】（1），， （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与坐标轴的交点问题，二次函数综合—面积问题，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）令，则，即可得出点的坐标，令，则，求解即可得出点，的坐标； （2）由题意可得，，结合题意得出，代入二次函数求解即可． 【小问1详解】 解：令，则，即， 令，则，解得：，， ∵点在点的左边， ∴，； 【小问2详解】 解：由题意可得：，， ∵的面积是的面积的2倍， ∴， ∴， 在中，令，则， 解得：或， ∵点在第一象限， ∴，即． 21. 如图，是的直径，，是上两点，且，连接，，过点作交的延长线于点． （1）判定直线与的位置关系，并说明理由； （2）若，，求劣弧的长． 【答案】（1） 解：直线与的位置关系为相切，理由如下： 如图，连接， ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵为的半径， ∴直线与的位置关系为相切； （2） 【解析】 【分析】（1）连接，由圆周角定理结合等边对等角可得，从而得出，由平行线的性质可得，即可得证； （2）连接，连接交于，由圆周角定理可得，由等腰三角形的性质可得，，证明四边形为矩形，得出，由圆周角定理可得，求出，再由弧长公式计算即可得解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接，连接交于， ， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∵，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∵为直径， ∴， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴劣弧的长． 【点睛】本题考查了切线的判定定理、圆周角定理、等边三角形的判定与性质、弧长公式、等腰三角形的性质、矩形的判定与性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 22. 如图，用一根的铁丝制作一个“日”字型矩形框架，的长不超过的长，且铁丝全部用完．设矩形框架的长为（单位：），的长为（单位：），所围成的矩形框架的面积为（单位：）． （1）直接写出与，与之间的函数解析式（不要求写出的取值范围）； （2）若所围成的矩形框架的面积为，求出的值； （3）当的值是多少时，矩形框架面积最大？最大面积是多少？ 【答案】（1）， （2） （3）当时，的值最大，为 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用、一元二次方程的应用、一元一次不等式的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由题意可得，，计算即可得解； （2）由题意可得，解方程即可得解，结合的长不超过的长求出，选择合适的值即可； （3）根据二次函数的性质即可得解． 【小问1详解】 解：由题意可得：， ∴； ∴； 【小问2详解】 解：由题意可得：， 解得：，， ∵的长不超过的长， ∴， 解得：， ∴； 【小问3详解】 解：， 由（2）可得：， ∴当时，的值最大，为． 23. 综合探究：在中，，把绕点逆时针旋转得到，点的对应点为点，点的对应点为点． （1）如图1，若交于点，延长线交于点．求证： （2）如图2，延长交于点，判断是否为线段的中点，并说明理由． （3）如图3，与，分别交于点，．当，时，若，直接写出的长． 【答案】（1） 证明：如图，连接， 由旋转的性质可得：，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2） 解：是线段的中点，理由如下： 如图，作交的延长线于， 则， 由旋转的性质可得：，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是线段的中点； （3） 【解析】 【分析】（1）连接，由旋转的性质可得，，再证明，即可得证； （2）作交的延长线于，则，由旋转的性质可得：，，，证明，得出，即可得解； （3）设，则，，令交于，作于，由旋转的性质可得：，，，证明，得出，，证明，得出，由勾股定理可得，作交的延长线于，得出四边形为矩形，推出，，，由勾股定理可得，求出，即可得解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵， ∴设，则， ∴， 如图，令交于，作于， ， 由旋转的性质可得：，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 作交的延长线于， 则， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了旋转的性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 24. 抛物线与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点，点是抛物线上一点，点的横坐标为，轴，交直线于点． （1）求，的值； （2）如图，若点在第一象限，当线段长度最大时，求的值； （3）点是轴右侧抛物线上一点，点的横坐标为，过点作轴的平行线交直线于点．设以点，，，为顶点的四边形面积记为． ①直接写出关于的函数关系式； ②直接写出当随的增大而增大时的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） ① ②或或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）可求得直线的表达式为，则，，进而可得，再化为顶点式求最值即可； （3）①先表示出，，然后分四种情况讨论：当时，此时在M下方，Q在N上方；当时，点，都在上方；当时，P在M上方，Q在N下方；当时，，都在下方；分别表示出，，而高为2，由此即可建立关于的函数关系式；②由上可得：当时，，则随着的增大而减小；当时，，而对称轴为直线，抛物线开口向下，则当时，随着的增大而增大；当时，随着的增大而减小；当时，，随着的增大而增大；当时，，而对称轴为直线，抛物线开口向上，，故随着的增大而增大；综合以上，即可得出当随的增大而增大时的取值范围． 【小问1详解】 解：∵抛物线与轴交于点，， ∴， 解得：； 【小问2详解】 解：由（1）可得：抛物线表达式为， ∴当时，， ∴， 设直线表达式为：， 则：， 解得：， ∴直线表达式为：， 则，， ， ∵，， ∴当时，取得最大值； 【小问3详解】 解：①∵， ∴， ∴， ∴，即：， 当点Q在y轴右侧时，，即：， ∴当时，此时在M下方，Q在N上方，如图， ∴，， 此时高为：， ∴； 当时，点，都在上方，如图， 此时，， 此时高为：， ∴； 当时，P在M上方，Q在N下方，如图， 此时，， 高为：， ∴； 当时，，都在下方，如图， 此时，， 而高为：， ∴； 综上所述，关于的函数关系式为：； ②由上可得：当时，， ∵， ∴随着的增大而减小； 当时，， 而对称轴为直线，抛物线开口向下， ∴当时，随着的增大而增大；当时，随着的增大而减小； 当时，， ∵， ∴随着的增大而增大； 当时，， 而对称轴为直线，抛物线开口向上，， ∴随着的增大而增大； 综上所述，当随的增大而增大时的取值范围为：或或． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合（面积问题），待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图像与性质，求一次函数解析式，二次函数的最值等知识点，运用分类讨论思想是解题的关键． 25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点（点A在点的左侧），与轴交于点，且． （1）求的坐标及抛物线的解析式； （2）如图1，若点是第二象限抛物线上一点，连接，将线段绕点逆时针旋转得线段，点恰好在直线上，求点的坐标； （3）如图2，若点是抛物线上一点（点与点不重合），连接，直线交轴于点，交轴于点，在点的运动过程中，线段的长度是否会变化？若不变，求其值；若变化，求变化范围． 【答案】（1），，， （2） （3）线段的长度不会改变，线段的长度为 【解析】 【分析】（1）由图象可知∶，根据二次函数的性质可得点，即，然后再根据二次函数和一元二次方程的关系并结合题意可得、，即；然后根据求得a的值，进而确定点C的坐标及函数解析式； （2）如图：过P作垂直于直线于N，过P作于M，即，四边形是矩形，则；再根据旋转的性质可得、，进而得到，再证明可得；设点，则，，进而可得，；再根据列方程求解即可； （3）设点，先运用待定系数法求得直线的解析式为，即；再求得直线的解析式为，进而得到直线的解析式为，则，最后根据求得的长度即可解答． 【小问1详解】 解：由图象可知∶， 将代入中，得， ∴点，即， 令，即， ∴， ∴，解得：，， ∵点A在点B的左侧， ∴点，， ， ∵， ∴，解得：， ∴，抛物线的解析式为； ∴，，，． 【小问2详解】 解：如图：过P作垂直于直线于N，过P作于M，即，四边形是矩形，则， ∵将线段绕点逆时针旋转得线段， ∴， ∴，即， ∴， ∴ 设点，则，， ∴，， ∴，解得：或（不合题意舍弃）， ∴． 【小问3详解】 解：设点， ， ∴设直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线的解析式为， ， 同理可得：直线的解析式为：， ∵， ∴设直线的解析式为， ， ∴，解得：， ∴直线的解析式为， ∴， ∴线段的长度为， ∴线段的长度不会改变，线段的长度为． 【点睛】本题主要考查了运用待定系数法求直线及抛物线的解析式、三角形的面积、勾股定理、求直线与抛物线的交点坐标等知识点，掌握数形结合的思想把代数和几何图形结合起来以及利用点的坐标的意义表示线段的长度是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $