精品解析：广东省深圳外国语学校2024—2025学年八年级上学期期末考试数学试题

2024−2025学年深圳外国语学校八年级（上）期末 数学试卷 一、选择题（共8小题，共24分） 1. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的知识，把一个图形绕某一点旋转后，能够与原图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，熟练掌握中心对称图形的概念，是解题的关键． 【详解】解：A、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形，故不符合题意； B、绕某一点旋转后，能够与原图形重合，是中心对称图形，故符合题意； C、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形，故不符合题意； D、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形，故不符合题意； 故选：B． 2. 若，则下列各式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了不等式的性质，根据不等式的性质逐项分析即可得解，熟练掌握不等式的性质是解此题的关键． 【详解】解：A、∵，∴，故原选项错误，不符合题意； B、∵，∴，故原选项错误，不符合题意； C、∵，∴，故原选项错误，不符合题意； D、∵，∴，故原选项正确，符合题意． 故选：D． 3. 如表记录了甲、乙、丙、丁四名跳高运动员最近几次选拔赛成绩的平均数与方差，根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择（ ） 甲 乙 丙 丁 平均数（） 方差 A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了平均数和方差，正确理解方差与平均数的意义是解题关键． 首先比较平均数，平均数相同时选择方差较小的运动员参加即可． 【详解】解：∵， ∴从甲和丙中选择一人参加比赛， ∵， ∴选择甲参赛； 故选：A． 4. 下列说法，错误的是（ ） A. 一个三角形两边的垂直平分线的交点到这个三角形三个顶点的距离相等 B. “若，则”的逆命题是真命题 C. 在角的内部，到角的两边距离相等的点一定在这个角的平分线上 D. 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了逆命题，以及命题的真假判断，根据线段垂直平分线的性质、乘方运算、角平分线的性质、反证法等知识点逐项判断即可解答，掌握线段垂直平分线的性质、有理数的乘方、角平分线的性质定理、反证法的应用是解题的关键． 【详解】解：、一个三角形两边的垂直平分线的交点到这个三角形三个顶点的距离相等，原选项说法正确，不符合题意； 、“若，则”的逆命题是若“，则”是假命题，如，则，原选项说法错误，符合题意； 、在角的内部，到角的两边距离相等的点一定在这个角的平分线上，原选项说法正确，不符合题意； 、斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，原选项说法正确，不符合题意； 故选：． 5. 如图，一次函数与的图象相交于点，则关于x的一元一次不等式的解集为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与不等式之间的关系，根据函数图象找到一次函数的图象在一次函数的图象下方时自变量的取值范围即可得到答案． 【详解】解：当时，，得， 要使得，只需，即：一次函数在的图象的下方， 由函数图象可知，关于x的不等式的解集为， 故选：C． 6. 如图，点F在射线上，，点E在的角平分线上，，．若，则的面积是（ ） A. 4 B. 8 C. 16 D. 18 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线、含角直角三角形、等腰三角形的判定和性质以及平行线的性质等知识点．过点E作，交于点D，根据角平分线的性质可得和，再根据含角直角三角形的性质计算求得的长，利用平行线的性质证明，求得，利用三角形面积公式即可解答． 【详解】解：如图，过点E作，交于点D，如图所示： ∵点E在的平分线上，， ∴，， ∵，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴的面积是， 故选：C． 7. 如图，已知是等边三角形，，E在上，交于点F，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、三角形外角的定义及性质，连接，由等边三角形的性质可得，，由等边对等角可得，证明垂直平分，得出，由等边对等角结合三角形外角的定义及性质可得，推出为等边三角形，再由三角形外角的定义及性质计算即可得解． 【详解】解：如图，连接， ， ∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴，垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 8. 如图，是由四个全等的直角三角形拼成的“赵爽弦图”，得到正方形与正方形，连接．若，，则正方形的面积为（ ） A. 16 B. 9 C. 8 D. 12 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，线段垂直平分线的性质与判定．由全等三角形的性质得到，进而证明，则垂直平分线，可得，再利用正方形的面积计算公式即可得到答案． 【详解】解：由题意得，， ∵， ∴， 又∵， ∴垂直平分线， ∴， ∴， 故选：D． 二、填空题（共5小题，共15分） 9. 已知中，，求证：，用反证法证明：第一步是：假设_____成立． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是反证法的应用，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，的反面是． 【详解】解：已知中，， 求证：， 运用反证法证明这个结论，第一步应先假设， 故答案为：． 10. 如图，已知A，B的坐标分别为，，将沿x轴正方向平移，使B平移到点E，得到，若，则点C的坐标为 _______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—平移，由可得，进而得到，即将沿x轴正方向平移1个单位得到，然后将A向右平移1个单位得到C，最后根据平移法则即可解答． 【详解】解：∵ ∴， ∵， ∴， ∴将沿x轴正方向平移1个单位得到， ∴点C是将A向右平移1个单位得到的 ∴点C是的坐标是，即． 故答案为：． 11. 定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值称为这个等腰三角形的“特征值”．若在等腰中，，则它的特征值等于______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，根据等腰三角形的两底角相等，则可求得底角的度数，从而可求解，熟记等腰三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵在等腰中，， ∴， ∴它的特征值等于， 故答案为：． 12. 已知关于x的不等式组无解，则a的取值范围为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，分别求出每一个不等式的解集，再根据原不等式组无解可得，求解即可． 【详解】解：， 解不等式①可得：， 解不等式②得：， ∵关于x的不等式组无解， ∴， 解得：， 故答案为：． 13. 如图，在中，，平分交边于点．将绕点逆时针旋转一定角度使边落在边上，得到，连接．若，则的长为________________ ． 【答案】 【解析】 【分析】先通过三角形内角和求出，由平分，得到，由旋转得到，进而推出，得到，作辅助线构造直角三角形，根据推出，最后用勾股定理可得到结果． 【详解】解：， ， 平分， ， 由题意得：，， 在与中， ， ， ， 过点作，如图： ， ， 设， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查三角形内角和定理、角平分线的定义、图形旋转的性质、全等三角形的判定以及勾股定理（或等腰三角形的性质和判定），添加辅助线构造直角三角形解决问题的关键． 三、解答题（共7小题，共61分） 14. （1）解不等式：，并写出该不等式的最大整数解． （2）解不等式组：，并在数轴上表示它的解集． 【答案】（1），最大整数解为7；（2），图见解析 【解析】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． （1）根据解一元一次不等式的解法求解即可． （2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集，表示在数轴上即可． 详解】解：（1）去分母得，， 即， ∴ ∴ ∴最大整数解为7 （2）解：解①得：， 解②得：， ∴不等式组的解集为，在数轴上表示为： 15. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，，． （1）操作与实践】 ①步骤一：将以点C为旋转中心旋转，画出旋转后对应的；（点A、B的对应点分别为、） ②步骤二：平移，点A的对应点的坐标为，画出平移后对应的；（点A、B、C的对应点分别为、、） （2）【应用与求解】 将绕某一点M旋转可以得到，则旋转中心M的坐标为 ． 【答案】（1）①见解析②见解析；（2） 【解析】 【分析】本题考查了作图—平移变换、旋转变换，熟练掌握旋转的性质和平移的性质是解此题的关键． （1）根据旋转和平移的性质作图即可； （2）连接、、，交点即为所求． 【详解】解：（1）如图，和为所作； （2）如图，绕点旋转得到．旋转中心的坐标为． 故答案． 16. 为了解八年级学生英语口语情况，某测试中心从甲、乙两校各随机抽取1个班级进行测试，两班人数恰好相同．测试成绩分为，，，四个等级，其中相应等级的得分依次记为分、分、分、分，测试中心将甲、乙两所学校测试班级的成绩整理并绘制成如下统计图，已知乙学校测试班级有人的成绩是级． 请根据以上提供的信息，解答下列问题： （1）直接将甲校测试班级的成绩统计图补充完整． （2）补全下面的表格中的数据：________，________，________． 学校 平均数/分 中位数/分 众数/分 甲校测试班级 乙校测试班级 （3）若甲校八年级有学生人，根据以上信息，估计甲校八年级学生中测试成绩为级及以上的学生有多少人？ 【答案】（1）见解析； （2），，； （3）人 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图和扇形统计图，平均数、中位数与众数、用样本估计总体，从统计图中获取数据求出中位数和众数是解题的关键． 根据乙学校测试班级有人的成绩是级，占总人数的，可以求出乙校参加测试的总人数人，从而可知甲校参加测试的总人数为人，用减去获得、、等于级的人数，可得获得级的人数，根据获得级的人数补全统计图； 根据平均数、中位数、众数的定义分别求出、、的值即可； 利用样本估计总体，用甲校参加测试的同学中级及以上同学占测试总人数的百分比代表全年级同学中级及以上人数占全年级人数的百分比计算即可． 【小问1详解】 解：乙学校测试班级有人的成绩是级， 从乙校测试班级成绩统计图中可以看出乙学校成绩是级的占总人数的， 乙校参加测试的学生的总人数为(人)， 甲校参加测试的学生总数也是人， 甲校成绩为级的人数为(人)， 补全甲校测试班级成绩统计图如下： ： 【小问2详解】 解：甲校参加测试的共有人，按照成绩从高到低排列第名学生应在级， 甲校测试班级的中位数是分， 即， 乙校测试成绩获得组的人数为(人)，获得级的有(人)， 获得级的有(人)，获得级的有(人)， 乙校测试成绩的平均数为：， 乙校测试成绩中获得级的人数最多， 乙校测试成绩的众数是， 故答案为：，，； 【小问3详解】 解：甲校测试成绩为级的人数占测试总人数的， 甲校测试成绩为级的人数占测试总人数的， 甲校测试成绩为级及以上的人数占测试总人数的， 利用样本估计总体，可得：甲校测试成绩达到级及以上的人数为(人)， 答：估计甲校八年级学生中测试成绩为级及以上的学生有人． 17. 如图，已知点、在的边上，，． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）过点作于，利用等腰三角形三线合一的性质得到，，相加后即可得到正确的结论； （2）根据等边三角形的判定得到是等边三角形，根据等边三角形的性质、等腰三角形的性质以及角的和差关系即可求解． 【小问1详解】 证明：如图，过点作于， ，， ， ，， ， ， 即； 【小问2详解】 解：， 是等边三角形， ， ， ， 又， ， ． 18. 根据以下素材，探索完成任务． 背景 深外初中部与南科大物理系联合开发“高阶科学实验之旅”拓展课程，学校拟向公交公司租借A、B两种车共8辆，带领学生走进南科大，了解量子物理全球前沿发展动态，参观高精尖实验室． 素材1 A型车最大载客量是60人，B型车的最大载客量是40人，已知A型车每辆的租金是500元，B型车每辆的租金是350元． 素材2 八年级的师生共有360人，根据学校预算，租车的费用需要控制在3300元（包含3300元）以内． 问题解决 任务1 根据素材2中该校八年级师生的实际情况，该如何租车？请给出所有满足条件的租车方案．（用一元一次不等式组求解） 任务2 在所有满足条件的租车方案中，花费最少的方案比预算3300元省多少钱？ 【答案】任务一：共有2种租车方案，详见解析；任务二：200元钱 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的实际应用——方案问题，熟练掌握并利用一元一次不等式解决实际问题是解题的关键； 任务1：设租用A型车a辆，则租用B型车辆，根据总载客量不少于360人且总租金不超过3300元，可列出关于a的一元一次不等式组，解之可得出a的取值范围，再结合a为正整数，即可得出租车方案； 任务2：求出选择每种租车方案所需总租金，比较后，用3300元减去花费最少的总租金，即可得出结论． 【详解】解：任务1：设租用A型车a辆，则租用B型车辆， 根据题意得： 解得： 又∵a整数， ∴或3 ∴共有2种租车方案， 方案1：租用A型车2辆，B型车6辆； 方案2：租用A型车3辆，B型车5辆； 任务2：选择方案1所需总租金为（元）； 选择方案2所需总租金为（元）． ∵，则（元）， ∴花费最少的方案比预算3300元省200元钱． 19. 若一个不等式组有解且解集为（），则称为的解集中点值，若的解集中点值是不等式组的解（即中点值满足不等式组），则称不等式组对于不等式组中点包含． （1）已知关于的不等式组：，以及不等式组：， ①的解集中点值为 ． ②不等式组对于不等式组 （填“是”或“不是”）中点包含． （2）已知关于的不等式组：和不等式组：，若不等式组对于不等式组中点包含，求的取值范围． （3）关于的不等式组：（）和不等式组：，若不等式组对于不等式组中点包含，且所有符合要求的整数之积为，求的取值范围． 【答案】（1）①； ②是 （2） （3） 【解析】 【分析】（）①求出不等式组的解集，再根据解集中点值的定义求出的解集中点值即可；②根据不等式组的解集判断即可求解； （）求出不等式组和的解集，进而得到，据此即可求解； （）求出不等式组和的解集，进而可得，再根据所有符合要求的整数之积为，可得，即得到，据此即可求解； 本题考查了解一元一次不等式组，由不等式组的解集情况求参数，理解新定义是解题的关键． 【小问1详解】 解：①解不等式组得，， ∴不等式组的解集中点值为， 故答案为：； ②∵不等式组：，不等式组的解集中点值为， ∴不等式组对于不等式组是中点包含， 故答案为：是； 【小问2详解】 解：解不等式组得，， ∴不等式组的解集中点值为 解不等式组得，， ∵不等式组对于不等式组中点包含， ∴ 解得； 【小问3详解】 解：解不等式组得，， ∴不等式组的解集中点值为， 解不等式组得，， ∵不等式组对于不等式组中点包含， ∴， 解得， ∵所有符合要求的整数之积为， ∴可取或可取， ∴或， 即． 20. 初二年级学生以“图形的旋转”为主题开展数学探究． 【操作探究】 （1）和都是等腰直角三角形，，，． 如图，当点是上一点时， ； 如图，当点在延长线上时，求的长； 【迁移探究】 （2）如图，是等腰直角三角形，，，过点作直线，点为直线上一动点，点为直线上一动点，，点都不与点重合．当为等腰三角形时，直接写出的长． 【答案】（）；；（）或或． 【解析】 【分析】（）由和都是等腰直角三角形，则，，，通过角度和差可以得到，再证明，所以通过性质可求，最后由勾股定理即可求解； 连接，由和都是等腰直角三角形，则，，，通过角度和差可以得到，再证明，所以通过性质可求，最后由勾股定理即可求解； （）分当在左侧，且时，当在左侧，且时，当在左侧，且时三种情况分析求解即可； 本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，掌握知识点的应用及分类讨论思想是解题的关键。 【详解】解：（）∵和都是等腰直角三角形， ∴，，， ∴，，， ∴， 和中， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴由勾股定理得：； 如图，连接， ∵和都是等腰直角三角形， ∴，，， ∴，，， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴由勾股定理得：； （）如图，当在左侧，且时， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴； 如图，当在左侧，且时， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴； 如图，当在左侧，且时， 由上得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 综上可知：的长为或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024−2025学年深圳外国语学校八年级（上）期末 数学试卷 一、选择题（共8小题，共24分） 1. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 若，则下列各式一定成立的是（ ） A. B. C D. 3. 如表记录了甲、乙、丙、丁四名跳高运动员最近几次选拔赛成绩平均数与方差，根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择（ ） 甲 乙 丙 丁 平均数（） 方差 A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 4. 下列说法，错误的是（ ） A. 一个三角形两边的垂直平分线的交点到这个三角形三个顶点的距离相等 B. “若，则”的逆命题是真命题 C. 在角的内部，到角的两边距离相等的点一定在这个角的平分线上 D. 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等 5. 如图，一次函数与图象相交于点，则关于x的一元一次不等式的解集为（　　） A. B. C. D. 6. 如图，点F在射线上，，点E在的角平分线上，，．若，则的面积是（ ） A. 4 B. 8 C. 16 D. 18 7. 如图，已知是等边三角形，，E在上，交于点F，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，是由四个全等的直角三角形拼成的“赵爽弦图”，得到正方形与正方形，连接．若，，则正方形的面积为（ ） A. 16 B. 9 C. 8 D. 12 二、填空题（共5小题，共15分） 9. 已知中，，求证：，用反证法证明：第一步是：假设_____成立． 10. 如图，已知A，B的坐标分别为，，将沿x轴正方向平移，使B平移到点E，得到，若，则点C的坐标为 _______． 11. 定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值称为这个等腰三角形的“特征值”．若在等腰中，，则它的特征值等于______． 12. 已知关于x的不等式组无解，则a的取值范围为__________． 13. 如图，在中，，平分交边于点．将绕点逆时针旋转一定角度使边落在边上，得到，连接．若，则的长为________________ ． 三、解答题（共7小题，共61分） 14. （1）解不等式：，并写出该不等式的最大整数解． （2）解不等式组：，并在数轴上表示它的解集． 15. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，，． （1）【操作与实践】 ①步骤一：将以点C为旋转中心旋转，画出旋转后对应的；（点A、B的对应点分别为、） ②步骤二：平移，点A的对应点的坐标为，画出平移后对应的；（点A、B、C的对应点分别为、、） （2）【应用与求解】 将绕某一点M旋转可以得到，则旋转中心M的坐标为 ． 16. 为了解八年级学生英语口语情况，某测试中心从甲、乙两校各随机抽取1个班级进行测试，两班人数恰好相同．测试成绩分为，，，四个等级，其中相应等级的得分依次记为分、分、分、分，测试中心将甲、乙两所学校测试班级的成绩整理并绘制成如下统计图，已知乙学校测试班级有人的成绩是级． 请根据以上提供的信息，解答下列问题： （1）直接将甲校测试班级的成绩统计图补充完整． （2）补全下面的表格中的数据：________，________，________． 学校 平均数/分 中位数/分 众数/分 甲校测试班级 乙校测试班级 （3）若甲校八年级有学生人，根据以上信息，估计甲校八年级学生中测试成绩为级及以上的学生有多少人？ 17. 如图，已知点、在边上，，． （1）求证：； （2）若，求的度数． 18 根据以下素材，探索完成任务． 背景 深外初中部与南科大物理系联合开发“高阶科学实验之旅”拓展课程，学校拟向公交公司租借A、B两种车共8辆，带领学生走进南科大，了解量子物理全球前沿发展动态，参观高精尖实验室． 素材1 A型车最大载客量是60人，B型车的最大载客量是40人，已知A型车每辆的租金是500元，B型车每辆的租金是350元． 素材2 八年级的师生共有360人，根据学校预算，租车的费用需要控制在3300元（包含3300元）以内． 问题解决 任务1 根据素材2中该校八年级师生的实际情况，该如何租车？请给出所有满足条件的租车方案．（用一元一次不等式组求解） 任务2 在所有满足条件的租车方案中，花费最少的方案比预算3300元省多少钱？ 19. 若一个不等式组有解且解集为（），则称为的解集中点值，若的解集中点值是不等式组的解（即中点值满足不等式组），则称不等式组对于不等式组中点包含． （1）已知关于的不等式组：，以及不等式组：， ①的解集中点值为 ． ②不等式组对于不等式组 （填“是”或“不是”）中点包含． （2）已知关于的不等式组：和不等式组：，若不等式组对于不等式组中点包含，求的取值范围． （3）关于的不等式组：（）和不等式组：，若不等式组对于不等式组中点包含，且所有符合要求的整数之积为，求的取值范围． 20. 初二年级学生以“图形的旋转”为主题开展数学探究． 【操作探究】 （1）和都是等腰直角三角形，，，． 如图，当点是上一点时， ； 如图，当点在延长线上时，求的长； 【迁移探究】 （2）如图，是等腰直角三角形，，，过点作直线，点为直线上一动点，点为直线上一动点，，点都不与点重合．当为等腰三角形时，直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $