预习专题08 平面向量加、减运算的坐标表示3题型分类（讲+练）-2024-2025学年《解题秘籍》高一数学寒假能力提升精讲精练讲义（人教A版2019）

2024-2025学年《解题秘籍》高一数学寒假能力提升精讲精练讲义（人教A版2019） 预习专题08 平面向量加、减运算的坐标表示3题型分类 一、平面向量加、减运算的坐标表示 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)， 1.向量加法：a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2). 2.向量减法：a－b＝(x1－x2，y1－y2). 3.已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么向量＝(x2－x1，y2－y1)，即任意一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标. 4.若点A坐标为(x1，y1)，点B坐标为(x2，y2)，O为坐标原点则＝(x1，y1)，＝(x2，y2)，＝－＝(x2，y2)－(x1，y1)＝(x2－x1，y2－y1)，即任意一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标. （一） 平面向量加法运算的坐标表示 平面向量坐标运算的技巧 (1)进行平面向量坐标运算前，先要分清向量坐标与向量起点、终点的关系． (2)在进行平面向量的坐标运算时，应先将平面向量用坐标的形式表示出来，再根据向量的坐标运算法则进行计算． 已知A（x1，y1），B（x2，y2），则=（x2–x1，y2–y1）． 已知a=（x1，y1），b=（x2，y2），则a+b=（x1+x2，y1+y2）． (3)在向量的运算中要注意待定系数法、方程思想和数形结合思想的运用．　 题型1：平面向量加法运算的坐标表示 1．（2024高二上·贵州·学业考试）已知向量，，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·贵州·阶段练习）已知向量，，则（    ） A． B． C． D． 3．（2024高三·全国·专题练习）若向量，则（   ） A． B． C． D． 4．（2024高三·全国·专题练习）已知点，，向量，则向量（   ） A． B． C． D． 5．（2024高二上·内蒙古呼伦贝尔·阶段练习）若，求 6．（2024高一下·新疆·期中）已知，，若，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 （二） 平面向量减法运算的坐标表示 已知a=（x1，y1），b=（x2，y2），a–b=（x1–x2，y1–y2） 题型2：平面向量减法运算的坐标表示 7．（2024高二上·黑龙江佳木斯·学业考试）若，则的坐标是（    ） A． B． C． D． 8．（2024高二上·云南·学业考试）若，，则（    ） A． B． C． D． 9．（24-25高一下·全国·课后作业）若向量与相等，已知，，则 . （三） 平面向量加、减法运算的坐标运算的综合应用 1向量的坐标运算主要是利用加法、减法运算法则进行，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，要注意三角形法则及平行四边形法则的应用. 2若是给出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则. 题型3：平面向量加、减法运算的坐标运算的综合应用 10．（2024高一下·安徽合肥·阶段练习）在平面直角坐标系中，若点A(2，3)，B(-3，4)，如图所示，x轴、y轴同方向上的两个单位向量分别为和，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 11．（2024高二上·安徽安庆·阶段练习）如图所示，在平面直角坐标系中，以，，为顶点构造平行四边形，下列各点中不能作为平行四边形顶点坐标的是（    ） A． B． C． D． 12．（2024高二上·甘肃天水·阶段练习）如图，在正方形网格中，向量，满足，则（    ） A． B． C． D． 13．（2024高一下·四川内江·期中）已知梯形中，，，且三个顶点坐标分别为，，，则顶点的坐标为 . 14．（2024高二下·上海松江·期末）已知向量满足，则 ． 一、单选题 1．（2024高二上·安徽淮北·开学考试）已知向量，，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．（2024高一下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知向量，，则（    ）. A． B． C． D． 3．（2024高一·全国·专题练习）已知向量，，则等于（    ） A． B． C． D． 4．（2024高一下·北京朝阳·期末）已知，，若，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 5．（2024高一下·河南省直辖县级单位·阶段练习）平行四边形中，，，则的坐标为（    ） A． B． C． D． 6．（2024高一下·全国·专题练习）已知向量，，则等于（　　） A． B． C． D． 7．（2024高一下·浙江·阶段练习）已知向量，点，则点B的坐标为（   ） A． B． C． D． 8．（2024高一下·湖南邵阳·期中）已知向量，，则（    ） A． B． C． D．1 9．（2024高一下·湖南邵阳·期中）若向量，，则（　　） A． B． C． D． 10．（2024高一下·四川泸州·期中）已知点，的坐标为，则点的坐标为（ ） A． B． C． D． 11．（2024高二·北京·学业考试）已知平面向量，给出下列四个结论： ①；    ②    ③    ④． 其中正确结论的序号是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 12．（2024高一下·全国·随堂练习）已知向量，，则（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 二、多选题 13．（2024高一·全国·课后作业）下列各式不正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 14．（2024高一·全国·课后作业）下列说法中正确的是（    ） A．相等向量的坐标相同，与向量的起点、终点的位置无关 B．当向量的起点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标 C．两向量和的坐标与两向量的顺序无关 D．两向量差的坐标与两向量的顺序无关 15．（2024高一下·湖北·期中）已知平面内四点可构成平行四边形，其中，则点的坐标可能为（    ） A． B． C． D． 三、填空题 16．（2024高三上·福建泉州·期末）在平行四边形中，，则 . 17．（2024高一·全国·单元测试）设､分别是与x轴､y轴的正方向同向的两个单位向量，，，则的面积是 . 18．（2024高一下·上海·期末）在平面直角坐标系内，已知点，向量，则 ． 19．（2024高三上·北京西城·期中）边长为1的正方形ABCD中，设，，，则 ． 20．（2024高一·全国·课前预习）设，，，，则与的坐标分别为 21．（2024高一·全国·课后作业）设，，，若，则 ． 22．（2024高一下·全国·专题练习）已知P，Q分别为的边，的中点，若，，则点C的坐标为 ． 23．（2024高一·福建泉州·期末）若向量，，，则 ． 四、解答题 24．（2024高一下·广东深圳·阶段练习）如图，已知平行四边形ABCD的三个顶点B､C､D的坐标分别是（-1，3）､（3，4）､（2，2）， (1)求向量BC； (2)求顶点A的坐标. 25．（2024高一下·广东云浮·期末）已知点，，，且. (1)求点的坐标； (2)求的面积. 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$2024-2025学年《解题秘籍》高一数学寒假能力提升精讲精练讲义（人教A版2019） 预习专题08 平面向量加、减运算的坐标表示3题型分类 一、平面向量加、减运算的坐标表示 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)， 1.向量加法：a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2). 2.向量减法：a－b＝(x1－x2，y1－y2). 3.已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么向量＝(x2－x1，y2－y1)，即任意一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标. 4.若点A坐标为(x1，y1)，点B坐标为(x2，y2)，O为坐标原点则＝(x1，y1)，＝(x2，y2)，＝－＝(x2，y2)－(x1，y1)＝(x2－x1，y2－y1)，即任意一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标. （一） 平面向量加法运算的坐标表示 平面向量坐标运算的技巧 (1)进行平面向量坐标运算前，先要分清向量坐标与向量起点、终点的关系． (2)在进行平面向量的坐标运算时，应先将平面向量用坐标的形式表示出来，再根据向量的坐标运算法则进行计算． 已知A（x1，y1），B（x2，y2），则=（x2–x1，y2–y1）． 已知a=（x1，y1），b=（x2，y2），则a+b=（x1+x2，y1+y2）． (3)在向量的运算中要注意待定系数法、方程思想和数形结合思想的运用．　 题型1：平面向量加法运算的坐标表示 1．（2024高二上·贵州·学业考试）已知向量，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量加法的坐标运算求解. 【详解】向量，， 所以， 故选：A 2．（24-25高二上·贵州·阶段练习）已知向量，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量的坐标运算计算即可得到结果. 【详解】由，得：， 故选：C. 3．（2024高三·全国·专题练习）若向量，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由即可求解. 【详解】因为，向量，所以， 故选：B. 4．（2024高三·全国·专题练习）已知点，，向量，则向量（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量坐标化的运算即可得到答案. 【详解】由题意得，． 故选：C. 5．（2024高二上·内蒙古呼伦贝尔·阶段练习）若，求 【答案】 【分析】根据平面向量的坐标表示和加法法则计算出答案. 【详解】， . 6．（2024高一下·新疆·期中）已知，，若，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】由平面向量加法的坐标运算求解即可． 【详解】已知向量，， 则，解得． 故选：B． （二） 平面向量减法运算的坐标表示 已知a=（x1，y1），b=（x2，y2），a–b=（x1–x2，y1–y2） 题型2：平面向量减法运算的坐标表示 7．（2024高二上·黑龙江佳木斯·学业考试）若，则的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据减法的坐标运算即可得解. 【详解】， 故选：C 8．（2024高二上·云南·学业考试）若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用平面向量的加减运算的坐标表示可得结果. 【详解】易知. 故选：D 9．（24-25高一下·全国·课后作业）若向量与相等，已知，，则 . 【答案】1 【分析】首先计算出，再利用向量相等得到方程，解出即可. 【详解】，， ，解得. 故答案为：1. （三） 平面向量加、减法运算的坐标运算的综合应用 1向量的坐标运算主要是利用加法、减法运算法则进行，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，要注意三角形法则及平行四边形法则的应用. 2若是给出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则. 题型3：平面向量加、减法运算的坐标运算的综合应用 10．（2024高一下·安徽合肥·阶段练习）在平面直角坐标系中，若点A(2，3)，B(-3，4)，如图所示，x轴、y轴同方向上的两个单位向量分别为和，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据图象，由平面向量的坐标运算求解. 【详解】解：由图知，，，故A正确，B不正确； ，，故C正确，D不正确． 故选：AC 11．（2024高二上·安徽安庆·阶段练习）如图所示，在平面直角坐标系中，以，，为顶点构造平行四边形，下列各点中不能作为平行四边形顶点坐标的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平行四边形的对称性，利用中点坐标公式进行求解即可. 【详解】设第四个顶点为， 当是对角线时，则有， 当是对角线时，则有， 当是对角线时，则有， 故选：A 12．（2024高二上·甘肃天水·阶段练习）如图，在正方形网格中，向量，满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】以为轴，为轴建立坐标系，求出各点坐标即可判断选项． 【详解】以为轴，为轴建立坐标系，则，． ，，，． ． 令．得到，，，． 解得，．所以． 故选：． 13．（2024高一下·四川内江·期中）已知梯形中，，，且三个顶点坐标分别为，，，则顶点的坐标为 . 【答案】 【分析】由题意，结合向量的线性运算即可求解. 【详解】由题意，设顶点的坐标为，则， 所以，解得，所以顶点的坐标为. 故答案为：. 14．（2024高二下·上海松江·期末）已知向量满足，则 ． 【答案】1 【分析】根据，求出，进行计算 【详解】由，则可得， 则. 故答案为：. 一、单选题 1．（2024高二上·安徽淮北·开学考试）已知向量，，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】根据向量减法的坐标化运算和向量模的坐标运算即可得到答案. 【详解】， 所以， 故选：D. 2．（2024高一下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知向量，，则（    ）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用向量线性运算的坐标表示求出的坐标，再利用坐标求出模作答. 【详解】向量，，则， 所以. 故选：B 3．（2024高一·全国·专题练习）已知向量，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用平面向量的坐标运算即可求得结果. 【详解】 故选：D. 4．（2024高一下·北京朝阳·期末）已知，，若，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可得是线段的中点，根据中点坐标公式求解即可. 【详解】因为，所以是线段的中点， 所以点的坐标为，即， 故点的坐标为. 故选:A. 5．（2024高一下·河南省直辖县级单位·阶段练习）平行四边形中，，，则的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量加法的平行四边形法则知，代入坐标即可求得. 【详解】根据向量加法的平行四边形法则 故选：C 6．（2024高一下·全国·专题练习）已知向量，，则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量坐标的加减可得. 【详解】 故选：A 7．（2024高一下·浙江·阶段练习）已知向量，点，则点B的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设为坐标原点，则， 因为，所以，又， 所以， 所以点B的坐标为， 故选：A. 8．（2024高一下·湖南邵阳·期中）已知向量，，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】根据平面向量加法的坐标运算法则计算可得. 【详解】因为，， 所以. 故选：B 9．（2024高一下·湖南邵阳·期中）若向量，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平面向量线性运算法则及线性运算的坐标表示计算可得. 【详解】因为，， 所以. 故选：C 10．（2024高一下·四川泸州·期中）已知点，的坐标为，则点的坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用向量的坐标法表示求解即可. 【详解】设点的坐标为则则则的坐标为. 故选:A. 11．（2024高二·北京·学业考试）已知平面向量，给出下列四个结论： ①；    ②    ③    ④． 其中正确结论的序号是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】D 【分析】根据向量的概念，可判定①不正确；由向量的坐标运算，可判定②③不正确；由向量的模的计算公式，可判定④正确. 【详解】由题意，平面向量，根据向量的概念，可得，所以①不正确； 由向量的坐标运算，可得，所以②不正确； 由向量的坐标运算，可得，所以③不正确； 由向量的模的计算公式，可得，所以④正确. 故选：D. 12．（2024高一下·全国·随堂练习）已知向量，，则（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【分析】首先求出的坐标，根据模的坐标公式，即可得解. 【详解】因为， 所以，所以， 故选：A. 二、多选题 13．（2024高一·全国·课后作业）下列各式不正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】ACD 【分析】向量加、减法的坐标运算逐项排除可得答案． 【详解】对于A，若，，则，A错误； 对于B，若，，则，B正确； 对于C，若，，则，C错误； 对于D，若，，则，D错误. 故选：ACD 14．（2024高一·全国·课后作业）下列说法中正确的是（    ） A．相等向量的坐标相同，与向量的起点、终点的位置无关 B．当向量的起点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标 C．两向量和的坐标与两向量的顺序无关 D．两向量差的坐标与两向量的顺序无关 【答案】ABC 【分析】根据向量的坐标表示及向量的线性运算法则即可得到答案. 【详解】对于A、B：由向量坐标表示的定义，即可判断出A、B正确； 对于C：因为加法满足交换律，所以两向量和的坐标与两向量的顺序无关.故C正确； 对于D：因为减法不满足交换律，所以两向量差的坐标与两向量的顺序有关.故D错误. 故选：ABC 15．（2024高一下·湖北·期中）已知平面内四点可构成平行四边形，其中，则点的坐标可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据平行四边形的性质，设点分情况讨论可分别根据，，，由此求得答案即可； 【详解】因为四点可构成平行四边形，平行四边形有三种可能 当四边形是平行四边形，所以， 设点D的坐标为， 所以,所以,即点D的坐标,A选项正确． 当四边形是平行四边形，所以， 设点D的坐标为， 所以,所以,即点D的坐标,D选项正确． 当四边形是平行四边形，所以， 设点D的坐标为， 所以,所以,即点D的坐标，C选项正确． 故选：ACD. 三、填空题 16．（2024高三上·福建泉州·期末）在平行四边形中，，则 . 【答案】10 【分析】根据向量加减的坐标运算和向量模的坐标运算即可得到答案. 【详解】因为四边形为平行四边形，则， ，则， 故答案为：10. 17．（2024高一·全国·单元测试）设､分别是与x轴､y轴的正方向同向的两个单位向量，，，则的面积是 . 【答案】15 【分析】先由已知条件求出，从而可得，然后求出，进而可求出三角形的面积 【详解】因为，， 所以， 所以， 因为，所以，所以， 因为，, 所以 的面积为 故答案为：15 18．（2024高一下·上海·期末）在平面直角坐标系内，已知点，向量，则 ． 【答案】 【分析】根据及平面向量线性运算的坐标表示计算可得. 【详解】因为，则，又， 所以. 故答案为： 19．（2024高三上·北京西城·期中）边长为1的正方形ABCD中，设，，，则 ． 【答案】2 【分析】建立适当的平面直角坐标系，利用坐标表示向量，求出模长即可． 【详解】解：建立平面直角坐标系，如图所示； 在正方形ABCD中，，，， 则， ∴． 故答案为：2． 20．（2024高一·全国·课前预习）设，，，，则与的坐标分别为 【答案】(2，5)，(4，3) 【分析】先求出，，即可求出与. 【详解】因为，，，， 所以， 所以=(2，5)，=(4，3). 故答案为：(2，5)，(4，3) 21．（2024高一·全国·课后作业）设，，，若，则 ． 【答案】 【分析】应用向量线性关系的坐标表示列方程组求参数x、y，即可得结果. 【详解】由题设， 所以，即，故. 故答案为： 22．（2024高一下·全国·专题练习）已知P，Q分别为的边，的中点，若，，则点C的坐标为 ． 【答案】 【分析】由向量求出的坐标，进而求出点C的坐标. 【详解】由P，Q分别为的边，的中点， ，得， 点为坐标原点，， 因此，所以点C的坐标为 故答案为：. 23．（2024高一·福建泉州·期末）若向量，，，则 ． 【答案】 【分析】利用，即可求出的值. 【详解】因为，即，所以， 所以，解得. 故答案为： 四、解答题 24．（2024高一下·广东深圳·阶段练习）如图，已知平行四边形ABCD的三个顶点B､C､D的坐标分别是（-1，3）､（3，4）､（2，2）， (1)求向量BC； (2)求顶点A的坐标. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由点B､C的坐标即可求解的坐标； （2）设顶点A的坐标为，由四边形ABCD为平行四边形，有，从而即可求解. 【详解】（1）解：因为点B､C的坐标分别是（-1，3）､（3，4）， 所以； （2）解：设顶点A的坐标为， 因为四边形ABCD为平行四边形，D的坐标是（2，2）， 所以，即， 所以，解得， 所以顶点A的坐标为. 25．（2024高一下·广东云浮·期末）已知点，，，且. (1)求点的坐标； (2)求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，表示出、的坐标，根据对应坐标相等得到方程组，解得即可； （2）根据点的坐标的特征，直接求出三角形的面积. 【详解】（1）因为，，， 所以，设，则， 又，所以，解得，即. （2）因为，且轴，到的距离为，    所以. 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$