湖北武汉黄陂区2025届高三1月月考数学试题

高三数学 考生注意： 1本成春分选择是和难选协题两邮分。满分10分，青议时同0分钟， 二签指前，考生寿必用直径05童米黑色氢水鉴李笔持需封线内项可填写请能。 玉者生作答时，请特答金誉在答超卡上，滤择题年小超域出答安后，用出行笔化答题卡上对位随日的 多案标号涂黑：珍滋择题请洞直径机5柔来黑色墨水警字笔在答题中上春题的然题三减内作答，超 出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。 L本寒命烟范国：高考花期 一，选择题：本媚共格小题，每小题5分，共和分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 1已知集合A=女0gx1),B=6,1,2,3,4.则A门B的非空子集的个数为 B.3 C.5 D.7 之么已知1+（其中为室数单位）是关于工的方程x一一b=0(,bER)的一个根，则w+标 A.2 B.2 立某市政府为了减少水资源的浪费，计划对摆民生活用水费用实益命桃式水价，即确定一户居花月均用 水量标准：，用水量不短过。的每分按平价收费，屈出：的部分花议价收费，通过检样失得了1四户标 民的月均拥水数据（单位：，制成如下领率分布表 分为知2到0助出6k世马道温可 如果以国民月均用水量不班过：的占0%，大于口的占知g为标准，根湖率分市表估计，下列最接 近：的数是 A市 B14 C15 D12 4已知m+15-一umD,期，n A.4 B2 c n 五已如第形AD的长为4，宽为3，将△A0沿对角线AC面折，得到三战推B-ACD,则三旋雅 B-ACD的外接球的体积为 A警 B草 c草 n 【高三)月预量检测，数学第1页（共项】 已知道减的等比数列a,满是a.≥0，d西+2aa十aa,=36a4=8,若么=a则数列么的 前12项和T A9 B12 C18 D.27 。天文学家卡西尼在研究士星及其卫里运行规律时发现了到两定点距房之积为定值的盒的软连是一条 曲线，我们称该曲线为卡西尼哪形线已知两定点（一么.0，R(2,0),动点P,》辆足P吓· PF=4,设P的轨迹为曲线C,则下列结论不正确的是 A,C既是抽对称离形，又是中心对称图形 且士22 C△PFE的面积大于2 D.lyic 8已知集合D=江eR70,定义在D上的丽版e)满是，，ED,号-学+学，当 >1时，fx)>0,则不梦式(2一1)fx)>f2-1)的解集为 A(-∞.0U(a,)U1,+o) 且1，+∞) C-e,ou(o,2)u(}) ()u(吃 二，选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小是给出的选项中，有多项符合题目要求。全都 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得心分。 9.设。P是阵个不同的平面，1，州是两条不问的直战，则下列为股命题的是 A若a⊥AmM,则m1 B若mCe二3e,则两阳 C.若∥a∥a门2-m,则m D,若m1∥0，w1,则日 10.设数x)=2+9x一4，则 A.fx)的极大值为0 且f代x)在(0.3)上单调递增 C当0<x<登味，0+mx)<f1+m0D一≤2一D0的解集为zr2 且已知双曲线C后一言=a>0,6>0的左右焦点分猎为术，R,且FF一么过点F目料率为 一是的直线1交C干点P,交C的一条渐近线于点Q,测 A若以FF为直径的画经过点Q,则C的离心率为 其若以下，F为直径的圆经过点P,则C的离心率为2，国 C者Q-2Q,期C的渐近线方程为y=士与 D.若点P不在调E(一十y一号并，则C的新近线的斜率的笔对值不大于1 三，填空瓶：本题共3小鹏，每小题5分，共15分。 2(一)广魔开式的常数为一用剂 13,拼数)-2Emm一的零点个数为 14.血图，在平行四边形ACD中，O,E分别为AC,BC的中点，F为E上 点，且4=FB,AD=2AB=4,则.市 【商三1月质量检洞·教学第：真（共4项】 四、解答题：本题共5小题，共刀分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤： 15.(本小题满分13分) 在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b.c,且满足ainB=in2L (1)求A: (2)若∠BAC的角平分线与BC交于点D,AD=2,b=23,求a+e 16(本小题满分15分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，AD⊥AB,CD⊥BC,∠ABD=∠CBD,∠ADC-12O,△PAB为等边 三角形，PD=BD I)求证：平面PAB⊥平面ABCD: (2)设E为酸PD上一点，AB=2,四棱排E-ABCD的体积为音，求平面ABE 与平面PAD的夹角的余弦值。 1.(体小题情分15分) 已知函数fx)=2aP十x十1(mER) 1)求f()的单调区间： 〔)着VxER:Jx)+(m十2)e<,求整数u的最大值 【高三1月成城检将·数学第3到（共卡取】 18.(本小随满分17分) 已知F为抛物线C:3了=2px>0)的焦点过F的直线与C交于A,B两点，当线段AB的长为6时 弦AB的中点到y轴的距离是2， )求C的方程： (2)已知D为C上一点，C的准线交x轴于点E, ①若D位于第-象限，且阳-号来证，DE与C相切： ②若D异于坐标原点O.】是△DOF的内心，求△IOF面积的最大值， 1.(本小题满分17分) 近年来，数学标准化衡试中出现了一种斯题而：多项选择题.该类型题目是在A,B,C,D这4个选项 中仅有两个或三个为正确选项随目得分规则为：全部选对的得6分，部分选对得部分分（有两个远项 正确的每个正确选项得3分，有三个远项正确的，每个正确选项得2分)，有选情的得0分. ()某考生有一道正确答案为AC的多项选释题不会做，他给出的答鉴可以只含一个选项，只含两个 选项或只含三个选项，记该考生本题得分为X,求X的分布列和数学期望： (2)若某次测试共（≥2）道多项远择题，已知测试过程中随机地从四个远项中作适择，每个遮项是 否为正确选项相互独立记事件乙=2,3)为正确选项有1个，第∈N且长m)题正确适项为 :个的概率为P,(乙)(=2,3)，正确选项设计如下，第一题正确选项为两个的餐事为号若第 k=1,2,…两一)医正确迹项为两个，期第k十1题正调选项为两个的概率为是，第=1， 2,”,一1)题正确选项为三个，则第十1意正确迹项为三个的概半为气 ①证明：P(2)是引为等比数列，求出北(2 ②若第是愿只选择，C两个连项，设Y表示第大蓝的得分，证刚：<E门<号高三数学参考答案、提示及评分细则 1.B由log.x≤1，得0<x≤2，所以A=(0,2],所以A∩B={1,2},A∩B的非空子集的个数为2-1=3.故选B. -a十b=0, (a=2 2.C法1：由题意得(1十i)2一a(1+i)+b=(-a+b)+(2-a)i=0,故 解得 则|a+bi=|2+2i= 2-a=0, b=2. √22+2=22.故选C 法2：由题意得1一i也是方程x2一ax十b=0的根，再由根与系数的关系，得a=(1+i)+(1一i)=2,b=(1十i)(1一i)= 2,则1a+i1=|2+2i=√22+2=22.故选C 3.B由题意易求得用水量在1.2t~13.21间的频率为0.77，在1.2t~16.2t间的频率为0.86，故80%分位数在13.2~ 16,2之间，因为在此区间的频率为0.09，故估计80%分位数为13.2+08007×3=142，故选项中与4最接近的数 0.09 为14.故选B 4.B sin 8sin(+15"15)sin(B+15")cos 15"cos(8+15")sin 15 tan(8+15")-tan 15-4tan 15" sin(3+30)sin(3+15+15)sin(B+15)cos 15"+cos(3+15)sin 15 tan(3+15)+tan 15" -2an1f=2. 故选B 5.A取AC的中点O,连接OB,OD,因为AB⊥BC,AD⊥CD,所以OB=OD=OA=OC,所以O为三棱锥B-ACD 的外接球的球心，所以外接球半径R-之4C-号，故外接球的体积为V=专x×(多）》'一1曾放选A 6.C法1：因为a1a+2aas十aag=36,所以a5+2aa5十a=(da十a)2=36,又am>0,所以aa+a5=6,又a2a6=8,所以 aa6=8.因为an}是递诚数列，所以 2设公比为g则=鲁=受又a,>0,所以g-号所以a,=a:·g=2X a= (号)=2学，所以么=72，令A≥0.则1≤n<7,令<0，则m>7.所以Ta=(6+h十…+h)-(+6十…+十 )=[76+7×(-)门-[56+5×(-)]=18故选c 法2：设公比为g,由题意得di0+2ai+ai对=36，aid=8,两式相除得2+2+寸=号，解得=号，或g=2,又a} 递减且>0，所以9-号df=号-64，所以a-8所以a,=a(=8X(号)厂=宁，余下过程与法1相同故 选C 7.C由PF|·|PF2=4,得√(x+2)+y·√(x-2)+y=4,即[(x2+y2+4)+4x][(.x2+y2+4)-4x]=16,整 理得y=4√云+I一x2一4，用一x代替x,方程不变，则C关于y轴对称：用一y代替y,方程不变，则C关于x轴对称： 用一x代替x,同时用一y代替y,方程不变，C关于原点对称，故A正确：由4√+1一x2-4>0,解得|x≤2√2，故B 正确：Sam,=PF,PE,sin∠RPE<号PE,PE,=之X4=2,故C错误：令1=VF+∈[，3]，则y=4 一t-3=-(t-2)2+1,0≤y2≤1，所以y≤1，故D正确.故选C 对于选项C还可用下面的方法：5am5=之FF×y=2,而一0时y0,则Sam5→0，故C错误，故选C 8.D令x=y=1,得f(1)=2f(1),所以f(1)=0.令x=y=-1,得f(1)=2f(-1).所以f(-1)=0.令y=-1,得 一)=fr),所以fx)是偶函数.令g)=f四，则g()=gx)十g(.设n>>0,则g>1,且f(货）>0， 所以g >0,则g)=·丹)=g)+g(）>g,所以gx)在(0，+∞)上单调递增.由题意 【高三1月质量检测·数学参考答案第1页（共6页）】 知0r≠此时2-1re>r2-D学2==ge>e2r-1D=g>g2-1D.又 g)在(0，十o∞)上单调递增，所以x>2x-1,解得}<x1.再考虑到x≠号所以号<<1，且x≠.故选D 9.ABD在选项A中，m,l可能平行，也可能相交或异面，故A错误：在选项B中，m,l可能异面，也可能平行，故B错误： 在选项D中，，3可能平行，也可能相交，故D错误：由线面平行性质可知C正确.故选ABD, 10.AC由题意得f(x)的定义域为R,(x)=3.x2-12x+9=3(x一1)(x一3)，当x∈(1,3)时，∫(x)<0:当x∈(-∞，1) 或x∈(3，十∞)时，f(x)>0,所以f(x)在（一o∞，1），(3，十∞)上单调递增，在(1,3)上单调递减，所以1是f(x)的极大 值点，所以f八)的极大值为f1)=0,故A正确.B错误；因为0<<交，所以0<sim<sinx1,所以1<1十sim1+ 血r2,因为在1,3)上单调递减，所以1+血0<+s),故C正确：因为/号）=-容∈（一4,0），即 x=号为不等式-4Kf2x-1)<0的解，但x=号在(1,2)，所以-4Kf2z-1)<0的解集不为x1<r<2,故D错 误.故选AC.还可以这样处理：因为f(0)=f(3)=一4，f1)=f(4)=0,考虑f(x)的单调性，一4<f(2.x-1)<0=0 2x-1<1.或1<2x-1<3.或3<2x-1<4号<x<1,或1<x<2,或2<<号，显然D错误故选AC ar. y= 11,ACD由题意知直线1的方程为y=一么(x一c),则1与C的渐近线y=一么x平行，联立方程 解得 a y b(z-c), 2 即Q(号，%)若以FF为直径的圆经过点Q则Qr上QF.因为Fà-（受，%），Fà-(-专，会)，故 y-2a FQ.F0--3+g 44a2 =0,所以=3a2,c2=42,c=2a,所以e=￡=2，故A正确：若以 FF为直径的圆经过点P,则PF⊥PF,故|PFI=|FF|sin∠QFO-|F F2 lsin∠QOF =2c×=2h.PF,|=|FF:cos∠QF,0=FF:lcos∠QOF,=2cX4=2a,由双曲线定 义知PR一PK=2弘-2a=2a,得名=2.故e=后-1+（合）=5放B错误：若 Q=2Q成则P为线段Qr的中点，所以P(￥，%)又点P在C上，则 a () -1,解得后-2，所以名√（台）-1=1，则C的渐近线方程为y=士，故C正确：因为P5一PR一 2a,即1PE=Ps,+2a,且os∠QF,0=EE,PEPE,即4+PE+PF少-4，解得 2FF2·PF2 4c·PF2T PF,=-艺因为点P不在圆E外，则P:≤号，即号≤号，即户≤1，所以C的渐近钱的斜率的绝对值不 大于1，D正确.故选ACD. 12.84 T=G(-后)广=(-1rCr,令9-号=0.得r=6.则T=(-1C=84,即展开式中的常数项 为84. 13.4令f(x)=0,得x=0或2cosx=√：.设y一2cosx,=√x,画出这两个函数的大致图象，如图所示，可知两个 函数的图象共有3个交点，所以(x)有4个零点. 【高三1月质量检测·数学参考答案第2页（共6页）】 14.1连接OB,易知B,O,D三点共线，且O为BD的中点，所以O市-Bd过点F作FGL AB于G,令∠PA-,南FA-FB得AG-吉AB-1.市-码-点由O,E分 别为AC,BC的中点，得B=AB1=2,∠AEB=,所以A示.O币=AF.B0=A, (成+动=.成+.而-亦.成-号亦.店=×2Xs0-号× ×2×cos0=1. G 15.解：(1)因为asin B=bsin2A,由正弦定理，得sin Asin B=sin Bsin2A,…2分 所以sin Asin B=2 sin Bsin Acos A,… …4分 因为A,B∈(0，x,可得sinA≠0，sinB≠0，所以c0sA=之： 又A∈(0x),所以A=受 …6分 (2)法1：如图，由题意得S么0十S么XD=S么，…7分 2 又b=25,所以=5.… …10分 由余弦定理，得d2=f+2-2kc0s哥=(23)2+(W52-2X23X5X7=9,即a=3,… 12分 所以a十c=3十√5.… 13分 法2：如图，在△ACD中，因为AD=2,AC=2/3,∠CAD=若 由余弦定理，得CD=2+(2)2-2×2×23cos吾=4，… …8分 所以CD=AD=2,所以C=∠CAD=否， 所以B=一A-C=受 10分 所以a=kms吾=25×号=3.c=m吾=25×名-5. 12分 所以a十c=3十√3。… 006000140000000004.00 13分 16.(1)证明：证法1：因为∠ABD=∠CBD,且AD⊥AB,CD⊥BC,BD=BD, 所以△ADB≌△CDB,又∠ADC=120°，所以∠ADB=∠CDB=60°， …1分 所以BD=2AD,AB=3AD,所以PD=BD=2AD.… …2分 因为△PAB为正三角形，所以PA=AB=3AD.… …3分 在△PAD中，因为PD=AD+PA,所以AD⊥PA.… ……4分 又AD⊥AB,PA∩AB=A,PA,ABC平面PAB.所以AD⊥平面PAB. …5分 又AD汇平面ABCD,所以平面PAB⊥平面ABCD.…6分 证法2：取PB的中点F,连接AF,DF……1分 在△PBD中，因为PD=BD,F为PB的中点，所以PB⊥DF…2分 在△PAB中，因为PA=AB,F为PB的中点，所以PB⊥AF.…3分 又AF∩DF=F,AF,DFC平面ADF,所以PB⊥平面ADF,又ADC平面ADF,所以PB⊥AD.·4分 又AD⊥AB,PB门AB=B,PB.ABC平面PAB,所以ADL平面PAB.…5分 又ADC平面ABCD,所以平面PAB⊥平面ABCD.… …6分 2)解：由AB=2,得AD-号-后，设点E到平面ABCD的距离为h,因为四棱锥-ABCDE的体积为多 即V网装维E仪D一 S5mh=号×2S四Xh=号×2X号×2X看×=号，解得A- 1 3 …7分 3 【高三1月质量检测·数学参考答案第3页（共6页）】 取AB的中点O,连接OP,OC,AC,则POLAB, 因为平面PAB⊥平面ABCD,平面PAB∩平面ABCD=AB,POC平面PAB,所以PO⊥平面ABCD.·8分 又因为P0-号AB=5,A-得，所以PE=2ED 因为OCC平面ABCD,所以POLOC,… …9分 因为△ADB≌△CDB,所以AB=CB, 又∠ABC=180-120=60.所以△ABC为等边三角形，所以0CLAB.且0C-号C=原.10分 以{OB,OC,OP)为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系Oxy2, 则A(-1,0.0.B1,00,D(-1,250）.P0.0,3. 而O元-Oi+Di-Oi+D-Oi+(ò+O) -ò+币-(-号5)则(-号9)。 所以=2.00.a市-(o.25o-(34,号）-1.0w. 11分 m·AB=0. 2.r=0, 设平面ABE的一个法向量m=(xy,x),则 即 m·A它=0， ++ 1 =0, 令y=3,则x=0,x=一4，所以m=(0,3,一4). 12分 n·Ap=0,a+3c=0, 设平面PAD的一个法向量n=(a,b,c),则 即 令a=3,则b=0,c=一√3，所以n=(3,0,一3)，……13分 设平面ABE与平面PAD的夹角为0， 则cos0=cos(m,>1=m·m=4E=2 mn5×255 即平面ABE与平面PAD夹角的余弦值为号 15分 17.解：(1)由题意得f(x)的定义域为R,且f(x)=1十4ae2,… …1分 当a≥0时，(x)>0恒成立，f(x)在R上单调递增：… …2分 当a<0时，由fx)>0,得<号n(-),由f(x)<0,得x>号n(-) 所以)在(-，2n(-)）上单调递增，在(2ln(-),十o∞）上单调递减. …4分 综上所述，当a>0时，f(x)的单调递增区间为（一o∞，十∞），无单调递减区间： 当a<0时，x)的单调递增区间为(-9，n(-)）,单调递减区间为（合（一），+)： …5分 (2)由题意知2ae2十x+1+(a+2)e<ae, 即x十ae之十(a十2)e十1<0对x∈R恒成立.… …6分 令h(x)=x十ae+(a十2)e+l,x∈R,问题转化为Vx∈R,h(x)<0恒成立， h'(x)=1+2ae2+(a+2)c=(ae+1D(2e+1), …7分 当a≥0时，h'(x)>0对Hx∈R恒成立，故h(x)在R上单调递增，h(0)=2a十3>0，与Hx∈R,h(x)<0矛盾，故a≥0 不满足题意；… …9分 【高三1月质量检测·数学参考答案第4页（共6页）】 当a<0时，因为2e+1>0,由)>0，得x<n(-）,由(x)<0,得>n(-日）， 所以h()在(-∞，ln(-)上单调递增，在((-)，+∞)上单调递减， …11分 则h)a=h(a(-)）=ln(-）+a(-）广'+a+2(-a）+1<0. 整理得n(-）-<0, 13分 设m)=h(一）一子0则m)=一士+号=子>0，所以m在(-e,0上单调递增.…14分 又m(-1D=1>0,m(-2)=h号+2<0=-ln2<-号-h2>2台2>ca4>e, 因为4>e,m(一2)<0，由零点存在定理及m(x)在（一∞，0）上单调递增，知m(.x)在（一oo,0)上存在唯一零点∈（一2， -1),当xxo时，m(x)<0:当xo<x<0时，m(x)>0, 又因为m(a)<0,所以a<∈（一2，-1），又a∈Z,所以a的最大值为-2.…15分 18.(1)解：设点A,B的横坐标分别为0，由AB的中点到y轴的距离是2，得西于至=2，即西十0=4，…1分 2 由抛物线了=2px的弦AB过其焦点，得1AB=十号十十号=4十力=6，…2分 解得p=2, 所以C的方程为y2=4江。… …4分 (2)①证明：设点D(为)，由(1)知F(1,0),所以C的准线方程为x=一1，所以E(一1,0)，…5分 由附-号，得爱受-号化商，得名-++1=0，… …6分 √(x+1)+话 又坊=4x,所以0-6.x十4十1=0，即x-2.+1=0,所以%=1， …7分 2 所以D1,2),所以直线DE的斜率k=--D=1, 所以直线DE的方程为y=x十1，… …8分 y=x+1, 由 得y2=4y-4,即y2-4y+4=0, y=4x. 所以△=（一4）2一4×4=0，所以DE与C相切.… …9分 ②解：由)知，F1,0),故△DOF的面积Sam=合w, 设△DOF的内切圆半径为r,则5ae=号OF,Sam=专DF,Sam=号ODr 所以Sam=号(OF+DF+OD1)r, OF 1 所以Sa#=1OF+DF+TOD SAM#= 1 11分 V6+听十x十2 因为D是C上一点C不同于坐标原点O,所以=兰0， 所以S△本F +6++高 13分 √倍+++2 构造函数f(x)=√+16+x十8(x>0),则f(x)= 2x +1- +1-8 2√x2+16 显然f(x)在(0，十∞)上单调递增. 令∫(x)=0,解得.x=A …15分 【高三1月质量检测·数学参考答案第5页（共6页）】 所以当(o:看)时，f0,)单调递减：当r(信+)时，f>0.单调递增 所以当青时，：)取得最小值，其最小值为（特）=63。 所以(Sr后号即△OF面积的量大值为得 …17分 19.(1)解：该考生可能的选项有：A,B,C,D,AB,AC,AD,BC,BD,CD,ABC,ABD,ACD,BCD,共14个样本点， …1分 故考生得0分包含的样本点有D,AD,BD,CD,ABD,ACD,BCD,共7个：…2分 得2分包含的样本点有A,B,C,共3个：得4分包含的样本点有AB,AC,BC共3个；…3分 得6分包含的样本点有ABC,… …4分 所以PX=0)=7=PGX=2)=是PX==PX=6)= …5分 故X的分布列为 X 0 2 所以5X0=0x+2×是+4×是+6×-号 …6分 (2)证明：①由题意知P(2)=3P(2)+号PZ)=号1-P(2)]+号P乙)=号+号P(Z, …8分 又P(2)=1-号-所以)-号-=- 所以P.(亿)一}是以-。为首项，以号为公比的等比数列.…9分 所以P(2)=-×（）'=-×，所以P(2)=-× …10分 ②由①知n(2)=号×，(2)=+× 由题意知Y的取值为0,4,6，… 11分 所以PY=0)=是×P(2)+是×R(2)=音×（合+号×）+号×（合-×）=号+吉×， …13分 PY=0=是×n(2)=合×（合×）=}-}×分 14分 PY-=6)-xP(2,)=古×（合+号×）-b+b× 15分 所以m=0×(号+日×）+4×(-子×)+6×(2+2×)=号-合×： 因为>0，所以E(Y)<号，✉ …16分 因为（是-×）-（号一号×号）=2×(1-3）-3点>0，所以数列是-×}单调递增， 所以-名×>号×-青所以<n<号 …17分 【高三1月质量检测·数学参考答案第6页（共6页）】